2022屆高中數(shù)學(xué)新人教A版必修第一冊 3.3冪函數(shù)

3.3幕函數(shù)

內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)

1.通過實(shí)例，了解累函數(shù)的概念.

11數(shù)學(xué)抽象

2.結(jié)合函數(shù)y=x、y=x2>y=x3>y=叼、y=［的圖象，了解它

直觀想象

們的變化情況及性質(zhì).數(shù)學(xué)運(yùn)算

3.會利用幕函數(shù)解決一些問題.

課前?自主探究自主預(yù)習(xí)基礎(chǔ)認(rèn)知

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第44頁

［教材提煉］

知識點(diǎn)一幕函數(shù)的定義

預(yù)習(xí)教材，思考問題

函數(shù)y（x）=x、y（x）=N、1Ax）=%以前叫什么函數(shù)，它們有什么共同特征？

知識梳理（1）一般地，函數(shù)v=由叫做幕函數(shù)（powerfunction）,其中x是自變量，a是常

數(shù).

（2）募函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征

①指數(shù)為常數(shù)；

②底數(shù)是自變量，自變量的系數(shù)為1;

③嘉產(chǎn)的系數(shù)為1；

④只有1項(xiàng).

知識點(diǎn)二幕函數(shù)的圖象和性質(zhì)

預(yù)習(xí)教材，思考問題

函數(shù)y=x,y=N、的圖象在第一象限都過什么點(diǎn)？單調(diào)性如何？

知識梳理常見幕函數(shù)

y—x2>y=/、y=g、,二工一】的圖象

(2)性質(zhì)

函數(shù)

i1

尸Xy=/y=x產(chǎn)嗎y=x]

性

{小￡R且

定義域RRR「0,+8)

xWO}

{x|yeR且

值域R[0,+°°)R[0,+°°)

尸。}

x￡［0,+8)XG(O,+8)

在R上為時，單調(diào)遞增在R上為增函在［0,+8)上時，單調(diào)遞減

單調(diào)性

增函數(shù)xe(-oo,0)數(shù)為增函數(shù)xe(—oo,o)

時，單調(diào)遞減時，單調(diào)遞減

(0,0),

定點(diǎn)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(0,0),(1,1)(1,1)

(1,1)

奇偶性奇偶奇非奇非偶奇

［自主檢測］

1.下列函數(shù)為累函數(shù)的是()

A.y=2x3B.y=2x2—1

13

c-產(chǎn)嚏D.尸丁

答案：C

2.已知累函數(shù)y=/U)的圖象過(4,2)點(diǎn)，則娘=()

A啦B.g

D也

=42

答案：D

3.幕函數(shù)丫二長伍^^恒過定點(diǎn).

答案:（1,1）

4.已知事函數(shù)式x）滿足式2）=/則於）=.

答案：；

課堂?互動探究以例示法核心突破

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第45頁

探究一哥函數(shù)的概念

［例1］函數(shù)|%）=（機(jī)2—加一1）式加2+加一3是幕函數(shù)，且當(dāng)工￡（0,十8）時，月入）是增函數(shù),

求1A?的解析式.

［解析］由源一m—i=i得，

m2-m-2=0,

解得m=2或m=—1.

當(dāng)m=2時，m2+m—3=3,

7（%）=%3符合要求，

當(dāng)根=-1,m2+m—3=-3V0,

3在（0,+8）為減函數(shù)，不符合要求.

綜上，y（x）=x3.

「方法提升■■

判斷事函數(shù)的依據(jù)

形如丁=y的函數(shù)叫寨函數(shù)，它具有三個特點(diǎn)：

（1）系數(shù)為1.

（2）指數(shù)為常數(shù)（也可以為0）.

（3）后面不加任何項(xiàng).

一同源異考重在觸類旁通

若函數(shù)段）=（2加+3）加？一3是幕函數(shù)，則相的值為（）

A.11B.0

C.1D.2

解析：森函數(shù)是形如人勸=k的函數(shù)，所以2"?+3=1,.*.717=-1.

答案:A

探究二基函數(shù)的圖象

［例2］幕函數(shù)丁=12可=/1,｝；=1,3；=%—3在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線()

A.。2，C1，。3，。4

B.C4,CifC3,C2

C.C3，C2,Ci,C4

D.Ci，C4,C2,C3

［解析］由于在第一象限內(nèi)直線x=l的右側(cè)時，氟函數(shù)的圖象從上到下相應(yīng)的指數(shù)

a由大變小，故幕函數(shù)y=x2在第一象限內(nèi)的圖象為Ci,同理，y=/1在第一象限的圖象為

y=3■在第一象限內(nèi)的圖象為C2,y=x—g在第一象限內(nèi)的圖象為。3,故選D.

［答案］D

「方法提升

嘉函數(shù)在第一象限內(nèi)指數(shù)變化規(guī)律：在第一象限內(nèi)直線x=l的右側(cè)，圖象從上到下，相

應(yīng)的指數(shù)由大變小；在直線x=l的左側(cè)，圖象從下到上，相應(yīng)的指數(shù)由大變小.

L同源異考重在觸類旁通

m

已知幕函數(shù)y=y，y=xf>=請的圖象如圖，貝！］()

A.m>ri>p

B.m>p>n

C.n>p>m

D.p>n>m

答案：c

探究三幕函數(shù)的性質(zhì)

［例3］(1)求下列函數(shù)的定義域，并指出其奇偶性和單調(diào)性.

23__3

①y=否；②尸q；③尸x2；④y=x-7

［解析］①函數(shù)'=《，即〉=去，其定義域?yàn)镽;是偶函數(shù)；它在［0,+oo)上為增函數(shù)，

在(-8,0］上為減函數(shù).

②函數(shù)>=或，即y=y^,其定義域?yàn)椋?,+°°)；既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；它在

［0,+8)上為增函數(shù).

③函數(shù)y=x~2,即y=m，其定義域?yàn)?一8,0)U(0,+°°);是偶函數(shù)；它在(0,+°°)

上為減函數(shù)，在(一8,0)上為增函數(shù).

31

④函數(shù)y=x—7,即)=---,其定義域?yàn)?0,+°°);既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)；它

依

在(0,+8)上為減函數(shù).

「■■方法提升

要類比常見嘉函數(shù)的性質(zhì)，利用其共性.對于單調(diào)性、奇偶性按一般函數(shù)的判斷方法.

⑵比較幕值大?。?/p>

①3-,和3.1—1；

②—8—*和—熊

③(一1H和(一IH；

223

@4.1^,3.8—§和(一1.9)亍

［解析］①函數(shù)y=x一,在(0,+8)上為減函數(shù)，

55

又3<3.1,.*.3—2>3.1—2-

②一8一1=-(jK函數(shù)y='在(0,+8)上為增函數(shù)，又豈，則(我>(戰(zhàn)

從而

函數(shù)y=x一,在(0,+8)上為減函數(shù),

2、2

3-

22223

④4.與>1§=1,0<3.8一鏟1—§=1,(―1.9)不0,

322

???(一1.9)不3.8一鏟(4.1)亍

—■■■方法提升

幕值大小比較常用的方法

要比較的兩個基值，若指數(shù)相同，底數(shù)不同時，考慮應(yīng)用嘉函數(shù)的單調(diào)性；考慮借助中

間量“r’“o”"一1”進(jìn)行比較.

(3)已知哥函數(shù)>=/m-9(加￡N*)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在(0,+8)上函數(shù)值隨元的增大

而減小，求滿足3+1)—］V(3—2〃)一可的a的取值范圍.

［解析］，.,函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞減，

A3m-9<0,解得機(jī)V3.

又根￡N*,???根=1,2.

又函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱，

???3加一9為偶數(shù)，故m=1.

由題意得(。+1)一,V(3—2〃)一

?.，=x—g在(一8,0),(0,+8)上均單調(diào)遞減，

1>3一2〃>0或0>Q+1>3—2〃或〃+lV0V3—2〃,

23、

解得或a<—\.

(<—■■■方法提升

利用幕函數(shù)解不等式的步驟

利用福函數(shù)解不等式，實(shí)質(zhì)是已知兩個函數(shù)值的大小，判斷自變量的大小，常與嘉函數(shù)

的單調(diào)性、奇偶性等綜合命題.求解步驟如下：

(1)確定可以利用的呆函數(shù);

(2)借助相應(yīng)的惠函數(shù)的單調(diào)性，將不等式的大小關(guān)系，轉(zhuǎn)化為自變量的大小關(guān)系;

(3)解不等式求參數(shù)范圍，注意分類討論思想的應(yīng)用.

課后?素養(yǎng)培優(yōu)素養(yǎng)拓展能力提升

授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第46頁

“塞異形同”的基函數(shù)家族——塞函數(shù)圖象性質(zhì)的拓展

對于累函數(shù)尸"zCR)時，可視為尸學(xué)型3，g互異)根據(jù)最簡分?jǐn)?shù)加直，來類比常

見幕函數(shù)的圖象.

(1)當(dāng)a>0時，

①圖象都通過點(diǎn)(0,0),(1,1)；

②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而增大；

③在第一象限內(nèi)，a>l時，圖象是向下凸的；

0<?<1時，圖象是向上凸的；

④在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)(1,1)后，圖象向右上方無限伸展.

(2)當(dāng)a<0時，

①圖象都通過點(diǎn)(1,1);

②在第一象限內(nèi)，函數(shù)值隨x的增大而減小，圖象是向下凸的；

③在第一象限內(nèi)，圖象向上與y軸無限接近，向右與x軸無限接近；

④在第一象限內(nèi)，過點(diǎn)(1,1)后，磔越大，圖象下降的速度越快.

(3)幕函數(shù)的奇偶性.y=^,當(dāng)a=3p,qGZ)是最簡分?jǐn)?shù)時，當(dāng)p,4均為奇數(shù)時，>=十

是奇函數(shù)；當(dāng)"為偶數(shù)，q為奇數(shù)時，y=K是偶函數(shù)；當(dāng)q為偶數(shù)時，為非奇非偶函數(shù).

4

［典例］l.y=x—§的圖象是()

44

［解析］:一鏟0,???次x)=