2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-2 . 2 空間向量的運(yùn)算

2023北師大版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊

2.2空間向量的運(yùn)算

第1課時(shí)空間向量的加減法與數(shù)乘運(yùn)算

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一空間向量的加減法

1.（2022天津外國語學(xué)校月考）空間任意四個(gè)點(diǎn)A,B,C,D,則瓦^而-而等于

（）

LDBB.AD

C.DAD.XC

2.（多選）在正方體ABCD-ABCD中，下列各式運(yùn)算的結(jié)果為溫的有（）

A.AB+BC+CDB.AA^+B^+D^

C.AB-QC+B^D.AA^+DC+B^

3.已知正方體ABCD-A.BiCiD,的棱長為1,設(shè)荏=a,BC=^,砧3c,貝！J|a+b+c|=（）

A.0B.3C.2+V2D.2近

4.（2021湖南長沙雅禮教育集團(tuán)期中）直三棱柱ABC-ABG中,若

cX=a,CB=Y）,CC；=c,則54；=（用a,b,c表示）.

題組二空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

5.（2021北京八一學(xué)校期中）已知三棱錐A-BCD中,E是BC的中點(diǎn),則族-

!?+AD）=（）

X.BDB.麗

C.-BDD.-DB

22

6.（2021寧夏長慶高級中學(xué)期中）在平行六面體ABCD-ABCD中,M為AC與BD的

交點(diǎn),若硒％,而小,^A=c,則下列向量中與瓦M(jìn)相等的向量是（）

A.--a+-b+cB.-a+-b+c

2222

C.-a--b+cD.--a--b+c

2222

7.（2022遼寧大連康考迪亞高級中學(xué)月考）如圖,在長方體ABCD-ABCD中,P是

線段DB上一點(diǎn)，且BP=2DR^DP=xAB+yAD+zAA^,則x+y+z=()

A4

A.-B.-

33

c4D.1

8.化簡日(a+2b-3c)+5(|a[b+|c)-3(a-2b+c)=.

題組三共線向量基本定理

9.已知向量a,b,且荏=a+2b,玩=-5a+6b,麗=7a-2b,則一定共線的三點(diǎn)是（）

A.A,B,DB.A,B,C

C.B,C,DD.A,C,D

10.（2021山東濟(jì)寧曲阜第一中學(xué)月考）已知A,B,C三點(diǎn)不共線,對空間內(nèi)任意一

點(diǎn)0,若灰泅+矮+河,貝！JP,A,B,C四點(diǎn)（）

488

A.不共面

B.共面

C.不一定共面

D.無法判斷是否共面

11.（2022廣東深圳華僑城中學(xué)月考）設(shè)e1,e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知

荏=e1+ke2,BC=5eMe2,DC=-ex-2e2,且A,B,D三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)k=.

第2課時(shí)空間向量的數(shù)量積

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一數(shù)量積的概念及運(yùn)算律

1.（2021天津五十五中月考）下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.設(shè)a是空間向量,則a2=|a|2

B.設(shè)a,b是兩個(gè)空間向量,則a?b=b?a

C.設(shè)a,b是兩個(gè)非零空間向量，則（a-b）2=a2-b2

D.設(shè)a,b,c是三個(gè)空間向量，則a,（b+c）=a,b+a,c

2.（2022遼寧沈陽郊聯(lián)體月考）已知正四面體ABCD的棱長為1,且

AE=2EB,AF=2FD,則前?DC=（）

2「1c1、2

AA.—B.—C.——D.—-

3333

3.（多選）（2021遼寧盤錦第二高級中學(xué)階段性考試）設(shè)幾何體ABCD-ABCD是棱

長為a的正方體,則以下結(jié)論正確的有（）

A.AB?Z\A=-a2B.AB?A^=42a

C.BC?^D=a2D.AB?C^=a

4.（2020福建三明一中月考）直三棱柱ABC-ABG的底面是邊長為2的正三角形,

側(cè)棱長為3,M,N分別為AC,BC的中點(diǎn),則福?麗=（）

A.2B.-2C.V10D.-V10

5.（2020云南昆明第一中學(xué)期末）已知單位向量a,b滿足|a|=|a+b|,則（a4-

［匕）?b=.

題組二空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用

6.已知空間向量a,b,|a|=l,|b1=V2,且a-b與a垂直,則a與b的夾角為（）

A.60°B.30°C.135°D.45°

7.（2021江蘇南京第十四中學(xué)調(diào)研）若四面體OABC的四個(gè)面均為等邊三角形,則

cos<OA,'BC>=（）

A.iB.—C.--D.0

222

8.已知空間向量a,b,|a|=3/，|b|=4,m=a+b,n=a+入b,<a,b>=135°,m_Ln,貝!J

入=.

9.在平行四邊形ABCD中，AD=4,CD=3,ZD=60°,PAJ_平面ABCD,PA=6,則PC的長

為.

10.（2021山東德州夏津第一中學(xué)月考）如圖，已知在平行六面體ABCD-ABCD

中,AB=2,AA尸3,AD=1,且NDAB=NBAA尸NDAA百

（1）求BJ）的長；

（2）求E與瓦3夾角的余弦值.

能力提升練

題組空間向量的數(shù)量積的應(yīng)用

1.已知空間向量a+b+c=O,|a|=2,|b|=3,）c|=4,則cos<a,b>=（）

1111

A.-B.iC.--D.i

2324

2.設(shè)A,B,C,D是空間不共面的四點(diǎn)，且滿足荏?尼=0,獲?同=0,而?而=0,

則ABCD一定是（）

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.等邊三角形

3.（2021江蘇南京期中）如圖,在三棱柱ABC-AEG中,BG與B,C相交于點(diǎn)

0,NAiAB=NAAC=60°,ZBAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,貝峨段AO的長度為（）

A.經(jīng)B.V29CD.V23

22

4.（2022遼寧營口第二高級中學(xué)月考）已知MN是長方體ABCD-ABCD外接球的一

條直徑，點(diǎn)P在長方體表面上運(yùn)動,長方體的棱長分別是1,1,V2,則再祈,麗的

取值范圍為（）

r1「31

A.B.--,0

ri「31

C.--,1D.--,1

24

5.（2021山東濱州博興第三中學(xué)月考）已知空間向量m,n,設(shè)|m|=l,|n|=2,2m+n與

m-3n垂直，a=4m-n,b=7m+2n,則<a,b>=

6.已知空間向量a,b,|a|=2,|b|=l,〈a,b>=60°,則使向量a+入b與入a-2b的夾

角為鈍角的實(shí)數(shù)人的取值范圍是.

7.（2022安徽無為華星學(xué)校月考）如圖,二面角a-1-p為135°,A￡a,BQB,

過A,B分別作1的垂線,垂足分別為C,D,若AC=1,BD=V2,CD=2,則AB的長度

為.

8.如圖所示，四邊形ABCD是矩形,EF〃AB,AB=4,EF=2,AADE和ABCF都是邊長為

2的等邊三角形,G是AD上一動點(diǎn),求FG的長度的范圍.

EF

AR

答案與分層梯度式解析

第1課時(shí)空間向量的加減法與數(shù)乘運(yùn)算

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.CBA+CB-CD^CB+'BA-CD^-CD=DA.故選C.

2.BCDA.AB+'BC+CD=AD^ACi;

B.AA^=AA^—A;

C.荏-或+B1。；=荏+鬲+/。；=荏+西+B1。；=溫;

D.AA[+'DC+B^=AAi+A^Bi+B^=ACi.故選BCD.

3.D|a+b+c|=|AB+'BC+A^\=\AC+A^i\=2\AC\=2^2.故選D.

4.答案a-b+c

解析BA^^BA+AA^=BC+Z\4+CC[=~CB+CA+CC1=-b+a+c=a-b+c.

5.D如圖，取CD的中點(diǎn)F,連接AF,EF,

???三棱錐A-BCD中,E是BC的中點(diǎn)，

AE-^(AC+AD)=AE-AF=FE=^DB,故選D.

c

6.A如圖，連接BD.

。|c

u

A/?

BM=BB+BM=AA+^BD=AA+^BD=c+^(AD~ABy-111

111111111i二c+-2(b-a)2=-2a+-b+c,故

選A.

7.B由題意得*三仄面

所以而=西+印=西+：第=西+：(麗-西)=|西一-(DA+AB)=^AB-

33

1-->2--->

V+依，

又加X荏+y而+z河,福AD,西不共面，

所以x=1,y=-|,z=|,

所以x+y+z=|.故選B.

8.答案沁春

解析原式,a+b-2c+Ua-gb+Uc-3a+6b-3c

22323

=f-+—-3)a+(l--+6)b+(--+--3)c

\237k2)23

=-a+-b--c.

626

9.A因?yàn)榍?而麗=2a+4b=2(a+2b)=2福

所以A,B,D三點(diǎn)共線.

10.B因?yàn)榍按吻傻Z+［記

所以8OP=6OA+OB+OC,

即6(OP-OA)=(OB-OP)+(OC-OP),

即6AP=PB+PC,

即而』麗+工麗.

66

故P,A,B,C四點(diǎn)共面,故選B.

11.答案1

解析：A,B,D三點(diǎn)共線，.?.荏和麗共線,故存在實(shí)數(shù)入，使荏=X麗，由題意

故塔

^BD=BC+CD=(5ei+4e2)+(ei+2e2)=6(ei+e2),即ei+ke2=6入e1+6入e2,

得卜》

Ik=1.

第2課時(shí)空間向量的數(shù)量積

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.CaJ|a|2cos0=|a|：故A中說法正確；

由向量數(shù)量積的運(yùn)算律知B,D中說法正確；

設(shè)a,b的夾角為。，則(a?b)J(|a||b|cos6)2=|a|2|b|2cos26Wa??b2,故C

中說法錯(cuò)誤.

2.C由題意得加=|麗，ZBDC=60°,所以

EF?~DC^-BD-DC^-X1X1Xcos(180°-60°

333

故選c.

3.AC如圖所示,在正方體ABCD-ABCD中，

對于A,手在前方向上的投影數(shù)量為-a,

.'.AB,G_A=-a；故A正確；

對于B,不B在南方向上的投影數(shù)量為a,

：.AB?而=a2,故B錯(cuò)誤；

對于C,碩在前方向上的投影數(shù)量為a,

：.BC?乖=a?,故C正確；

對于D,**在萬方向上的投影數(shù)量為一包

：.AB?不;=一22,故D錯(cuò)誤.

故選AC.

4.B由題意得AA」AB,|荏|=2,所以河?荏=0.

因?yàn)镸,N分別為A￡,BC的中點(diǎn)，

所以府=京+萍,AN=^AB+^AC,

所以荏?'NM=AB?(AM-AN)=AB?(AA^+^AC-^AB-^AC^=AB-AA^-

-AB2=0-2=-2.

2

5.答案0

解析..ab是單位向量，.?.a2=b2=L

Ia|=|a+b|,a2+2a?b+￡=1,故a?b=-|,

(a+-b]?b=a?b+-b2=--+-=0.

\27222

6.Da-b與a垂直，...(a-b),a=0,

a,a-a,b=|a|2-1a||b|cos<a,b>=l-lXV2Xcos<a,b>=0,cos<a,b>=-^-.

V0°W〈a,b>W180°,，<a,b>=45°.

7.D設(shè)四面體OABC的棱長為a.

因?yàn)檎f=覺-礪，

所以瓦彳?'BC=OA?(OC-OB)=0A?OC-OA-OB=aJ,cospa?.cos^=0,

所以cos<OA,前〉一竺?絲??=().

\OA\\BC\

8.答案-|

解析由m_Ln得(a+b),(a+入b)=0,即a?+(1+入)a?b+入bW),所以

18+(1+X)X3V2X4Xcos135°+16入=0,即2入+3=0,解得人=一|.

9.答案7

解析^PC=PA+AD+DC,

所以

~PC2=(PA+AD+DC)2=\PA\2+\AD\2+\DC\2+2PA?AD+2PA?DC+2AD?DC=62+42+

32+2|ZD|?I瓦|COS120°=61T2=49,所以|而|=7.

10.解析(1)由題可矢口,B^=B^B+'BA+AD=AD-AB-AAi，那么瑜2=(而_荏_

初產(chǎn)而2+荏2+磯a.2而,萬一2而?AA^+2AB-A47=l2+22+3-

2X(1X2+1X3-2X3)x|=15,

因此BJ)的長為危.

(2)連接AB由題知,也=西=磯-福

=J32+22-2X3X2X|=V7,

所以E?B^D=(AAi-AB)?(AD-AB-AA1)=AD?AA^-AD-AB+AB2-

ZT2=1X3X--1X2Xi+2-32=--,

1222

匚UI、I/心r\>r>r\\CD1,%D3A/105

所以COS<CD1,B1D〉—―------.

11|CDi||81D|V7XV1570

能力提升練

1.DVa+b+c=0,/.a+b=-c,

/.(a+b)2=|a12+1b12+2a,b=|c|',

a-b_l

:.a?b=|,/.cos<a,b>='

W\b\4

故選D.

2.B因?yàn)橥?AC=0,AB?AD=0,AC?AD=0,

所以瓦?BD=(AC-AB)?(AD-AB)=AC-AD-AC?AB-AB?AD+AB2=AB2>Q,

所以cosB熹黑>0,故NB是銳角，

同理而?CD>0,DC?DB>0,可得NC,ZD都是銳角，故ABCD是銳角三角形，故選

B.

3.A?.?四邊形BCCB是平行四邊形,

麗三西屈+西）,

-------?------>-------?------>1------>1--------

40=4B+B。=BC+

221

1，一>1......>1一一）

『c+次+出，

2

22

VZAlAB=ZAIAC=60°,ZBAC=90°,\A=3,AB=AC=2,：.AB=AC=4,AAi=9,AB?

AC=0,

AB?AA^=AC?祝=2X3義cos60°=3,

：.AO2=^(AB+AC+

Z4^)2=J(AB2+AC2+AAf+2AB?AC+2AB?AA^+2AC?汨)哼

A\A0\爸,即AO爸.故選A.

4.B連接DBb則DB,是長方體外接球的一條直徑.

因?yàn)镸N是長方體外接球的一條直徑,

所以不妨令M與D重合,N與R重合，

則外接球的直徑為41+1+2=2,半徑為1.

設(shè)長方體外接球的球心為0,則

PM?PN=(PO+OM)?(PO+ON)=(PO+OM)?(PO-OM)=\PO\2-\OM\2=\PO\2-1.

因?yàn)辄c(diǎn)P在長方體表面上運(yùn)動,所以|時(shí)程,1],所以|砌2寸,1],

所以|對「-I斗為].故選B.

L4

5.答案0°

解析,/(2m+n