2022-2023學(xué)年河北省滄州市成考專(zhuān)升本高等數(shù)學(xué)二自考真題(含答案)

2022-2023學(xué)年河北省滄州市成考專(zhuān)升本高

等數(shù)學(xué)二自考真題（含答案）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題（30題）

/(x)dj-=ln(x+1+J2)+C

1.若J則f（x）等于［］

1

B.1+d

_]

C./+/

1

D.八十z?

二次積分北":「/（工,》）也等于（）

A.ird^.l

C?Ji

2.D.［巾」/（1,3）匕

設(shè)函數(shù)/Cr）在g］上連緣在（0,1訥可導(dǎo),且/'（N）VO?則（）

3.A./(⑴V。C./(D>/(0)

(5『+2)dr=

4」

A.lB.3C.5D.7

已知/Cr)=3Lr+/,則/'(0)=()

5.A.lB.2c.3D.4

6.

過(guò)點(diǎn)(1,3)且切線斜率為亡的曲線方程是

A.y=2五B.

C.y=2\/x+1D.y=4x-\

設(shè)Z=8S(X'》),則稱(chēng)=

A.sln(x2y)

B.x2sin(x2y)

C.-sin(x2y)

D.-x2sin(x2y)

8.

若A與B的交是不可能事件，則A與B一定是

A.對(duì)立事件B.相互獨(dú)立事件

C.互不相容事件D.相等事件

下列廣義積分收斂的是

A」蔗B.廣網(wǎng)"蕓D.廣一也

9.

10.

下列定積分的值等于。的是()?

7：備也BJ產(chǎn)

I‘I

C.[(1+*)dxD.Jjsinxdx

11.

過(guò)曲線y=x+】nx上Mo點(diǎn)的切線平行直線y=2x+3,則切點(diǎn)M)的坐標(biāo)是

()O

A.(hD

B.(e，e)

「(1,e+1)

D(e>e+2)

已知94/(-V”=，，則八])=

12.dxxx2

1

A.A.V2

B.-l

C.2

D.-4

13.

設(shè)D是由曲線l+J=R2所圍成的平面區(qū)域,則jjfe-J'"=.

D

14.通解為y=Ce'+Ge”的二階常系數(shù)線性齊次微分方程是.

15.已知。八54"?()。

A.?

A.V2

B.-1

C.2

D.-4

16.設(shè)函數(shù)f(x)在x=l處可導(dǎo),且式1)=0,若f”⑴>0,則f⑴是()o

A.極大值B.極小值C.不是極值D.是拐點(diǎn)

17微分方程/+功=SUU?的特解形式可設(shè)為.

sin2idz=

18.」n

A.cos21r+CB.一cos2x+C

C.-ycos2j?+CD.—cos21r+C

1O設(shè)函數(shù)E?+3九則李=().

19.dx

A.2x+3y

B.2x

C.2x+3

x\3

D.3

已知/(x)的一個(gè)原函數(shù)為x2+sinx,則。'(2幻心=

A.4x+cos2xB.2x+—cos2x

2

C.2x+—cos2x+CD.x+2cos2x+C

20.2

設(shè)/*)=J；g(，)dz，則尸(x)=

21.

A.A.g(f)-g(2x)

22

Bxg(x)-2xg(2x)

，一2x)-g(x)

C.

2xg(*2)-2g(2x)

22.下列等式不成立的是

lim(l+3=e

A.A.■-*,n

B.…n.

Iim(l+-V)"=e

c-?

D.--n2

23.曲線y=x3的拐點(diǎn)坐標(biāo)是()。

A.(-l,-l)B.(0,0)C.(l,1)D.(2,8)

24.下列變量在給定的變化過(guò)程中是無(wú)窮小量的是[]

A.--(j—0)B.2f—2(工-0)

X

C."7?工一”(+8)D.z?sin—(J—*0)

+]x

sin(lx2-or),

設(shè)lim----------------=1.則Mll”

25.fx

A.A.-lB.-2C.lD.2

26.下列命題正確的是

A.A.無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量

B.無(wú)窮小量是絕對(duì)值很小很小的數(shù)

C.無(wú)窮小量是以零為極限的變量

D.無(wú)界變量一定是無(wú)窮大量

27.

'4--

在處連續(xù)，則。=

設(shè)函數(shù)/(JT)='X2-422,m2

x=2

A.--UB.-LC.；D.3

8應(yīng)8V24V22V2

28.

當(dāng)X-*-0時(shí),5由(工+工2)與x比較是

A.較高階的無(wú)窮小量B.較低階的無(wú)窮小量

C.等價(jià)無(wú)窮小量D.同階的無(wú)窮小量

29.若f(x)的一個(gè)原函數(shù)為arctanx,則下列等式正確的是

A.A.farctanxdx=f(x)+C

B.Jf(x)dx=arctanx+C

C.jarctanxdx=f(x)

D.Jf(x)dx=arctanx

30.設(shè)u=u(x),v=v(x)是可微的函數(shù)，則有d(uv)=

A.A.udu+vdvB.u'dv+v'duC.udv+vduD.udv-vdu

二、填空題(30題)

「,(cosx+x)dx=

32.

jsinxcos2xdx=

33.

函數(shù)y=sinzdt在h=自處的導(dǎo)數(shù)值為.

34.

袋中裝有數(shù)字為l、2、3、4的4個(gè)球，從中任取2個(gè)球，設(shè)事件A={2個(gè)球上的

數(shù)字和25},則尸(A)=_______________.

曲線y=(X-1尸一i的拐點(diǎn)坐標(biāo)是

36.

設(shè)函數(shù)y=sin2x,則y*=.

37.設(shè)y=x2cosx+2x+e,貝I」y'=?

38.y=(x)由方程xy=eyx確定，貝!Idy=.

39.函數(shù)y=ln(l-x2)的單調(diào)遞減區(qū)間是________。

設(shè)/(￡/)=—(工聲7)，則"工)=________.

40.,工，工T1

41.

設(shè)函數(shù)/(x)在X=4處連續(xù)且可導(dǎo).且/'(4)=2,則lim/("一'")

x-UX-4

設(shè)z=lnJ1+/+)；,求dz(l，1).

43.設(shè)八力的二階導(dǎo)故。在??=Jl.ll/

44.

設(shè)函數(shù)，(2]-1)=e",則/(x)=

A.gi+CB.2e+?”+C

C.ACD.2e+'-"+C

設(shè)/(/)=岫(含J.則/⑺=______

46.jsinxcos2xdx=

x2+x-2

47如

48.

..sin5x

然tan2x

49.

J—1?X<1?

2,T1.

設(shè)函數(shù)/(x)JUlim/(x)=

X>1?

工

A.1B.0C.2D.不存在

50.

設(shè)/(x)=sin-?則/(上)=.

xIt

fl工dx=

si.r

52.

若函數(shù)y=/(x)在點(diǎn)x,處不可導(dǎo).則函數(shù)y=fix)在點(diǎn)%處

A.無(wú)定義B.不連續(xù)C.C有切線D.不可微

設(shè)/(3)=」,工則部0.8=.

53.

54.

設(shè)z=arcsin(xy).則三匚=_____________.

axay

55.

設(shè)了=6",則y0°=____________.

56.設(shè)，=ln(e'+co?*),則y'=

3x

57.忸77T-------'

r21,

Jo72_47+3心-------------------*

58.

..(”+1)(〃+2)(“+3)

Iim-------------------------=_______________.

59.

設(shè)函數(shù)y=f(-x2),且f(“)可導(dǎo)，則dy=

60.

三、計(jì)算題(30題)

61.求解微分方程rlnxdy+(y-lar)dj—0滿(mǎn)足條件y(e)=1的特解.

62.求極限叫:士）?

63設(shè)z=z（x.y）是由方程/+y'-e'=O所確定的艙函數(shù)，求充

64計(jì)算定枳分

65.設(shè)曲線y=4-x2（xK））與x軸，y軸及直線x=4所圍成的平面圖形為

D（如

圖中陰影部分所示）.

①求D的面積S；

②求圖中x軸上方的陰影部分繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積Vy.

求不定積分「

66.

67.，?。ǜ咭?

求極限舊（行4）

68.

69?設(shè)〉=，（X）由方程/=sin（r）所確定.求務(wù)

x>0.

1+“求定積分『,/（，）山.

設(shè)弱數(shù)〃*>=.

“VO.

70.E/

71.設(shè)函數(shù)y=yCr）由方程y=（lnx）J?一確定,求4.

求極限lim理工上

72.—71-lr-

七fsinx,

求

73.JTT="

74.求微分方程V*--2,-3yxe1的通解.

75.求/分方程/一2/-3y=「的通第.

設(shè)：=e"E"3，'.求生

76.”

u-=?/可微,求察?魯?奈.

77cW"oyox

dr

78H

,/r(H-x)

79求微分方程廠得泮的通解.

已知函數(shù)/（力處處連續(xù).且滿(mǎn)足方程

J/(Z)dr=-:/+xsin2jr+￡cos2jr.

求/圖?

80.

81求微分方程y"-2.v'-3.V3,.I的通解.

82求函數(shù)/（x）=』-j的單調(diào)區(qū)間,極值,凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

求lien/-"——?-1

83.”,€，->/'

84若曲線由方程工+e"=4-2e”確定，求此曲線在工=1處的切線方程.

QU設(shè)函數(shù)/(.r)=；工，一〉：十。.求/(1)在［-1.2］上的最大值與最小值.

設(shè)函數(shù)工=G'+y)e—:?求dz與^?.

OU*)

計(jì)算定枳分(cos'jrsinjdLr.

87.

求極限lim-―「—/d,

88.…工smj。/TT37

89.

計(jì)算二重積分1其中D為由曲線'=1-X*與丫=工'-1所圍成的區(qū)域.

求極限lim/?±17-3

90.?'G2

四、綜合題(10題)

過(guò)點(diǎn)PH.0)作物物線y=的切線,設(shè)切線與上述彼拷城及，軸圖成-平面圖

91.形,求此圖形境，箱箕轉(zhuǎn)一周所成的箕轉(zhuǎn)體的體根.

證明:方程。-1=廣二3在(0.1)內(nèi)僅有一個(gè)根.

92.，—

93.

設(shè)函數(shù)FCr）=0=（工>0）,其中八上）在區(qū)間1.+8）上連續(xù)，/*（外在

Q.+8）內(nèi)存在且大于零.求證:F"）在（a.+8》內(nèi)單調(diào)遞增.

2（r—1）

94.證明：當(dāng)了>i時(shí)二.：?

95.求由曲線y=（x-D*和直線1=2所圉成的圖形舞上軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.

96.證明方程4］=2-在［0,1］上有且只有一個(gè)實(shí)根.

97.

過(guò)曲線y=，（工20）上某點(diǎn)A作切線.若過(guò)點(diǎn)人作的切線?曲線N=>及，軸圍成

的圖形面積為上,求該圖形繞，軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積V.

證明：當(dāng)1>0時(shí),ln（l+1）>廠'.

ccif明，當(dāng)，》0時(shí)“IL-<|n"'vL

99.1一，，

100.

設(shè)人力在區(qū)間［a.￡|上可導(dǎo),且/（a）=/（6）=0.證明：至少存在一點(diǎn)WW儲(chǔ)山）,使得

/（?）+3"（。=0.

五、解答題（10題）

101.

（1）求曲線y=l-x2與直線y-x=l所圍成的平面圖形的面積A：

（2）求（1）中的平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為.

102.

（本題滿(mǎn)分10分）求曲線『=*及宜線x=0.y=l圍成的平面圖形的面積S及此平面

圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積I；.

103.

"離分10分）某工廠要制造一個(gè)無(wú)盅的例柱形發(fā)能池.其容枳是白m'.池底的2

-芝壁的材料20元/m，問(wèn)如何設(shè)計(jì).才能使成本A1低.最低成本是多少元？

104設(shè)”/（2）是由方程3*所確定，求今

105.（本題滿(mǎn)分8分）計(jì)算?。⊿T-6T）.

106.

做一個(gè)如卜圖所示的角鐵架子，其底為等腰三角形的底邊，底

邊長(zhǎng)為6m、架f總高為5m,試求所用角鐵為最少時(shí)，三根角鐵的長(zhǎng)度各為多少？

計(jì)算lim/Tn（l+2x）

107.t1-cosx

108.

(本題滿(mǎn)分10分)一個(gè)袋子中有編號(hào)為1,2,3,4,5的5個(gè)球,從中任取3個(gè)球.nV.?

:的3個(gè)球中的最大號(hào)碼,求隨機(jī)變量X的分布列.并求E(X).

109.盒中裝著標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4的乒乓球各2個(gè)，從盒中任意取出

3個(gè)球，求下列事件的概率：

(1)A=｛取出的3個(gè)球上最大的數(shù)字是4｝。

(2)B=｛取出的3個(gè)球上的數(shù)字互不相同)。

110,一枚2分硬而，連續(xù)拋擲3次，設(shè)4=｛至少有一次國(guó)徽向上｝。求

P(A)O

六、單選題(0題)

…設(shè)尸(力是/(X)的個(gè)原函數(shù)，則卜「曾改=

111.。\Xj()O

A「吧M

B吧*'

C.吧

小唱+C

參考答案

1.D

因f/(j)djr=ln(jr+/I+1)+C,所以/(x)?fln<x+?/1+x')+C]'----------；—；

J上+y/Y+V

1H------產(chǎn):)=]

Z-/TWy/T+7

2.A

3.D

4.B

5.D

6.C解析

將點(diǎn)(1,3)代入四個(gè)選項(xiàng)，可知只有選項(xiàng)C成立

7.D

8.C

[解析I直接計(jì)算四個(gè)選項(xiàng)的廣義積分，可知D正確.

10.A

答應(yīng)選A.

分析、題考存的知漢點(diǎn)是奇函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的定積分等于零.

11.A

本題將四個(gè)選項(xiàng)代入等式，只有選項(xiàng)A的坐標(biāo)使等式成立.

事實(shí)上y'=]+，=2得JV=1,所以y=l

12.B

因?yàn)槎?所以

13〃(1—cR)K(1—cR)

14.-2y'—3y=0y—2y'-3y=0

15.C

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義式可知

所八2比2紂-S=2/，(2)=L

At2

r(2)=：.

4

16.B

17y'=ACOSJ-+B*in_r(A.B為待定常數(shù))y'=Acosr+Bninx(A.B為待定常數(shù))

18.D

sin2zd/=-yjsin2xd2jr=十(一cos2x)+C.

19.B此題暫無(wú)解析

［解析］根據(jù)原函數(shù)的定義可知/(x)=(?+siru)'=2x+co&x

因?yàn)閒//(2x)dx=；f/z(2x)d(2x)=；f<V(2x)=1/(2x)+C

20B所以j7'(2x)dx=$2?(2x)+cos(2x)J+C=2x+；cos2x+C

21.D

2

22

/'(X)=l［2xgQ)dH'=g(x)-(xy-g(2x).(2x)'

=2xg(x2)-2g(2x)

22.C

利用第二個(gè)重要極限易判定.

C.+=lim,l+J)]"=e°=1?

故選C.

23.B

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是曲線上拐點(diǎn)的概念及拐點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

令

由于是單項(xiàng)選擇題，所以當(dāng)求得，*=6彳工0得，=0時(shí)，可知y=0,此時(shí)無(wú)需驗(yàn)證當(dāng)x<0

時(shí)/<0/>0時(shí)y”>0,即可確定正確選項(xiàng)必為B.

24.D

2

由lim史上=1,lim(2-—2)=-1,故由無(wú)窮小量知應(yīng)選D.lim工=1,limz?sin—=0.

IZLO…>小土+]LOI

25.A

sin(2x?-ar)等價(jià)代換vlx1-ax附“.

lun-----------------lim------------------------=-a=l7k以a--l.

*-*oxzx

26.C

根據(jù)無(wú)窮小量的定義可知選項(xiàng)C正確.

［解析］因?yàn)椋踚m與史=lim------------一產(chǎn)-二」產(chǎn)

，一口-22-4<-?2(X-2)(X+2)(N/X+V2)8V2

27.BX

28.C

29.B

根據(jù)不定積分的定義，可知B正確。

30.C

由乘積導(dǎo)數(shù)公式5■也=+,

dx

有d(uv)=v(M*dx)+u(v*dx)<即d(uv)=udv+vd</.

31.

fTrff

(cosx+x)dx=2cosxdx40=2sinx=2,

JTJO。

32.

jsinxcos2xdx=-jcos2xdcosx=-^cos3x+C

33.1

C；+C；2

P(A)=°-L=-

C3

34.2/32/3解析：4

(1.-1)

［解析］函數(shù)的定義域是：(-，+~).

y'=3(x-l)2，y*=6(x-l)

令y'=0,得：x=1

當(dāng)x<l時(shí)，/<0,曲線下凹；當(dāng)x>l時(shí)，/>0,曲線上凹.

因此，x=l是曲線拐點(diǎn)的橫坐標(biāo).

由/(1)=-1

35故曲線的拐點(diǎn)坐標(biāo)是：(1,-1).

36.

解題指導(dǎo)本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的二階導(dǎo)致的計(jì)算.由于本題的函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，應(yīng)用

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式先求出y'=(sin2x)'=cos2x?(2x)'=2cos2%對(duì)y'再次用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公

式計(jì)算，得y"=2(cos2x)f=-2sin2x?(2%)'=-4sin2x.

37.2xcosx-x2sinx-2xln2(x2cosx),=2xcosx-x2sinx,(2x),=2x.ln2,e'=0,所以

y,=2xcosx-x2sinx+2xln2.

38.

方程盯=y兩邊對(duì)z求導(dǎo),y為z的函數(shù)，有y+zy'=y?1)解得d_y="上一dx.

39.(心.0)

40.

1

(2-x)s

41.2

解z=—ln(l+x2+y2)

2

/_12yyY=1

y~2l+x2+y2-l+x2+y23D=17^77篙3

2

(L1)=

<T77T7；:.3

所以dz(Ll)=z^(l,l)dx+z；(l,l)d>=：(dx+dy)

42.3

43.

44.D

45.

1+2/)產(chǎn)

--cos1x+C—cos1x+C

46.33

47.應(yīng)填2

【解析】計(jì)算極限時(shí)一定要注意極限的不同類(lèi)型，當(dāng)工fO時(shí)，本題不是“守”型，所以直接

利用極限的四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.但當(dāng)工―1時(shí)，本題是“5”型，可用因式分解約去零因式等

方法求解.

48.5/2

smaa-

sin5xr5x5x5

vlim——=[im-------------?—=—

j-*Otan2jrX-M)tan2;r2JC2

~2T

49.D

50.7T2

7t2

由//(x)=cos—?(--y)所以/7(—)=—cos-J-=n2

XX兀(1)21

nn

51.

n

T

.1i_/

［解析］因?yàn)閇]Idx

=2^-4=<^（根據(jù)奇、偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分性質(zhì)）

7

J。不二

1

=2arcsinx\

63

52.D

53.0

_}1

%y/l-x2y2

11￥z_d「y,1

--------1-I=一

S4Jo-iy丁《…力解析：My為JT.7(l_x2>2)3

ax

y

Jl^QX

ae

55.a"e~a"e~解析：y?=E

56.

【答案)應(yīng)填口13

a4-rnn*

用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算.

y*=［ln(e'+cosjx)］r=—；-----(e,+coax)r=------(e*-sinx).

H,4-cn?(e14-c(Mi%

58.4/21n3

r—d=r_?一小UH」拉二

2

Joj-4J+3Jo(—-1)(工-3)2Jo'T-31-1，2|x-11|0

=-yln3.

1

rg+oi1-5+1)(〃+2)(〃+3)../.I、,一2、八3、.

［解析］lim--------------=hm(l+-)(1+-)(1+-)=1

59i.nnnn

-2?'(-，心

［解析］因?yàn)?lt;=/'(-，)(-凸'=-24'(--)

所以dy=-24'(，)也

將微分方程改寫(xiě)為孚+-jLy=L

djrjrinjrx

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y=[JJef北"cLr+C

=i￡(T"+c)

7后+高

將y(e)=1代人,解得C=；.所以特解為

￡?

y,=7(,njr+hb)-

將微分方程改寫(xiě)為學(xué)+=L

dxjrlnxx

這是一階線性微分方程，我們用公式法求解.

y=eJ±”[JJef北"chr+C

=nb(fj,njdj+c)

1.'c

將》(e)=1代人.解得C=■.所以特解為

￡?

v=7(Inx+nb)-

..11\IX-1—IfU

um(z：------;)=nm-：—7------------rr

…?Inxx-1LIlrur(x-1)

%x-1+xln-r

1+lrtr+l=7*

z11、工一1一injr

岬‘而一口"!呷Irurtx-l)

lim------r

,?i1-1

x—1+jrlar

如1+lnjr+1-7*

63.設(shè)F(x,y,z)=x2+y2-ez,

則

所以

原式in(r+1)?2tdt

=|ln(1+()d(H)=t2?ln(14-1

=1成一￡勺早山二山2

-ln2—［我—】)［：+ln<r+l)|］

=ln2-(。-：)一(In2-0)

1

64.1

“7.tri

原式--------Jln(/+l)?2rdr

=jInd+r)d(r:)=H?ln(1+r)|—Jy---d/

，n2

"￡/7；尸也=ln2-￡(r-l+母產(chǎn)

一由7〉1+lna+D門(mén)

ln2一(0一")一(In2-0)

1

2

65.

2

①(4-x)dx

J。?J

=4Xk=，6

(-T)1-(4~T)1

②匕h^?！皬V「”((4-y)d>

=M4y-3-打1：=8小

fxarcsirw.二一Jarcsinrd,1-xl

J

—一八一1"arcsinx+f。-■■d

J，1T

=-/I-jr'arcsini+Jd-r

66.=jr—，1—jr:arcsiar+C.

J"i/cLr=—jarcsinj-d-x1

arcsiru*+

Jvl-X2

=—/一x2arcsinx+JcLr

=1—'arcsinx+C.

1__\(.3-x2+x—1

lim/)r尸西

…+1x+13+1

_[?-1+2

hinj>

iTX+1

一炯]?F-2x+-1=i】?

67.

]?/31\「3-x24-x-1

㈣Q=1x+l)陽(yáng)r，+l

]?一*2+1+2

-hm

iTJ?+I

i?-2x+1i

-hm2=1?

-T3x

—2%“T，

lim/.\=li.1)=e

68.，?-…lX+1/

，/—111Hl)—9%?<7>

lim/.\=lim/14-\=e2?

Z*.\X+1)L—\X+I/

69.解法1將等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得

ex-ey,y,=cos(xy)(y+xy,

所以

,，二d‘二e'-yco§(?)

dxev+xcos(xy)

為r求務(wù).應(yīng)先將x=0代人原方程解出相應(yīng)的y值.然后代人坐即可.

?0

由于、=0代入原方程得

<?-e*=sin(0,,)=0,即y=0,

則

務(wù).0當(dāng)dxI

解法2等式兩邊求做分.得

y

d(c*-e)=d(sin(xy)]t

即e*dx-r*dy=cos(xy)d(zy)=cos(xy)(ydx4xdy).

解得dye'-ycos(xy)

dxe'+xcos(xy)，

dr

所以=—

.odx

70.

T/(x)cLr=/(x)dx4-?/(x)dx

J-iJ0

0

=ln(l+e')+

|n2,|n(1+e.)+|^_L_d(2x)

ln2—1n(1+e1)+yarctan2j

ln2-ln(l+e-')+系

o

10

/(x)dz=/(z)cLr+/(x)dx

J-iJ0

0

=ln(1H-er)

+01+412

In2-!n(l+e1+匕d(2w)

ln2-ln(14-e1)4-yarctan2x

0

ln2-Ind4-e')+-1-.

o

y=[(lru-)*T?+(lnx)**(_rf

=[e"2]'?”+(Inx)1?(e—)'

=e"1*'"''rln(lnj)x?°5卜7…+(lnj-)r?eta，1?2lnx?—

二(lnj*)J?「In(lnx)+亡]?+2(Inx)**i?.

71.

y-[(lor)'1'?工^+(Inx),?(工?)'

=.x1**4-(lnx),?《e"”'

=e'f"'rln(lnx)一上??y1?十(lnjr)r?e”’?21nx?—

(Iru?尸?rin(lnj-)4\一]?1***+2(lor)"'?H

2

ln(1+2x)1+2”

lrim尸.......rhPm-----：-------------

I71-3x-1I—!.x(—3)

2/I-3x

2-3T

—3

4y/\-3x

lim

72.3(1+2R

2

「Ind+2x)mi

lim廠-----hrm-----：-------------

i-3*-1-。*----x(-3)

2八-3*

2八一31

-3

4y1—3x

3(1+2x)3

被積函數(shù)分子分母同乘(1一3皿)?得

sinxd-sinx)^=[警必_1/工必

I—mnXJCO5XJ

工―[如踏＞—](see，/-l)dx

Jcos?rJ

sec2rAx,+Jdr

73.COJW=1/cosx-tanx+x+C

被積函數(shù)分子分母同乘（I-*inx）?得

sinxd-sinx)^=f-Lnlxdx

1-BinxJcomkJ

_f如若'—f(sec^x-Ddx

JCOSXJ

sec2xdx4JcLr

=l/cosx-tanx+x+C

74.

相應(yīng)的齊次方程為

y—2y_3y=0.

其特征方程為^-2r-3=0.

得特征根為乙=3.r,=-1?故齊次方程的通解為

>=C,e^+C2eyG，a為任意常數(shù)）.

由于自由項(xiàng)/（x）="e'.人=-1是特征單根?故可設(shè)原方程的特解為

y9=x（Ar+B）e"*?

將y,代入原方程?得

-8Ar+2A4B=x,

有-8A=1.2A—4B=0

得A-±,

故原方程的特*r為

?7（一巨一?產(chǎn)一新丁+W.

所以原方程的通解為

一/為任意常數(shù)）.

y=Ge"+Cte?1n（21+De?GC

相應(yīng)的齊次方程為

y-2y1-3y=0.

其特征方程為r?-2r-3=0.

得特征根為C=3,r,=一1,故齊次方程的通解為

y=+Cie*（C,，G為任意常數(shù)）.

由于自由項(xiàng)〃a=xef.A=-1是特征單根.故可設(shè)原方程的特解為

y*=x（Ar4-B）e~*?

將y?代入原方程,得

-8Ar+2A-48=h.

有一8A=l.2A—4B=0

陰表，

故原方程的特卿為

，?=■*■（一：，-土―‘"一言（2l+1?！?

所以原方程的通解為

y=Cd'+ae，一去（2上+DelGC為任意常數(shù)）.

75.

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

特征方程為r*—2r—3=0,

故

n=-1?r?=3.

于是

y=Ge-，+Ge”

為齊次線性方程的通解.

而e'中的A=-1為單一特征根.故可設(shè)

y'=xAe_*

為

y*—2y-3y=e**

的一個(gè)特解.于是有

3)，=Ac-,-Are-,.(y*)*=-Ae-r-Ae->+Are

知

Are'-2Aei-2(Ae^-Ar)-3Are-*-『?

即

—4Ae-'=e~*,

于是由-4A=1.知A=-

4

所以

y'■1-4-e-*

4

為

y*-Zy-3y=『

的一個(gè)特解.因此原方程的通解為

y=Ge"+Cie"一+'(GC為任意常數(shù)).

與原方程對(duì)應(yīng)的齊次線性方程為

y—2y—3y=0.

特征方程為r*—2r—3=0.

故

于是

y=Ge"+Cte"

為齊次線性方程的通解.

而e'中的A一一1為單一特征根，故可設(shè)

y*=xAe-*

的一個(gè)特解,于是有

(y,)，=AL，一任『?3)*=-Ae--"，+Are

知

Are'-2Ae--2(Aer-Are")-3Are-*=「.

即

-4Ae-z=e'*,

于是由4A=】.知A——y.

所以

的一個(gè)特解,因此原方程的通解為

y=G『+ae"一亨e'（GC為任意常數(shù)）.

4

?=p3eaJJJ.____1_______2工

1+工，+/2+.

=.e?rctanJJ

22

76.&'+/(1+X4-y)

?；之二尸皿八?>.

=parcunJ{J.____\____.___21

ai+x*+y2，7十.

令工y=Z=",則f(uf>N