新高考數(shù)學一輪復習講義 第28講 等差數(shù)列（原卷版）

第28講等差數(shù)列（精講）題型目錄一覽①等差數(shù)列基本量的計算②等差數(shù)列的性質及其應用③等差數(shù)列的前n項和④等差數(shù)列中中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系⑤等差數(shù)列的判定與證明一、知識點梳理一、知識點梳理一、等差數(shù)列的有關概念1.等差數(shù)列的定義一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母SKIPIF1<0表示，定義表達式為SKIPIF1<0（常數(shù)）SKIPIF1<0．2.等差中項的概念若三個數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，則SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的等差中項，且有SKIPIF1<0．二、等差數(shù)列的有關公式1.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列SKIPIF1<0的首項為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，那么它的通項公式是SKIPIF1<0．2.等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式設等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．三、等差數(shù)列的常用性質已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0為公差，SKIPIF1<0為該數(shù)列的前SKIPIF1<0項和．1.通項公式的推廣：SKIPIF1<0．2.在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．3.SKIPIF1<0，…仍是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0．4.SKIPIF1<0，…也成等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0．5.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差數(shù)列，則SKIPIF1<0也是等差數(shù)列．四、等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系SKIPIF1<0．數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列?SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)）．【常用結論】1.等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．2.等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．3.等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．4.若SKIPIF1<0與SKIPIF1<0為等差數(shù)列，且前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．二、題型分類精講二、題型分類精講題型一等差數(shù)列基本量的計算策略方法解決等差數(shù)列運算問題的思想方法(1)方程思想：等差數(shù)列的基本量為首項a1和公差d，通常利用已知條件及通項公式或前n項和公式列方程(組)求解，等差數(shù)列中包含a1，d，n，an，Sn五個量，可“知三求二”．(2)整體思想：當所給條件只有一個時，可將已知和所求都用a1，d表示，尋求兩者間的聯(lián)系，整體代換即可求解．(3)利用性質：運用等差數(shù)列性質可以化繁為簡、優(yōu)化解題過程．【典例1】在等差數(shù)列中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則201是數(shù)列的第幾項（

）A．59 B．60 C．61 D．62【典例2】在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．2 B．6 C．8 D．12【題型訓練】一、單選題1．已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．42．等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．5 B．7 C．9 D．113．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0=（

）A．9 B．11 C．13 D．154．設SKIPIF1<0為等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則公差SKIPIF1<0（

）A．－2 B．－1 C．1 D．25．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）．A．3 B．5 C．7 D．96．中國古代數(shù)學名著《算法統(tǒng)宗》中有一道題：“今有七人差等均錢，甲乙均五十八文，戊己庚均六十文，問乙丁各若干？”，意思是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚這七個人，所分到的錢數(shù)成等差數(shù)列，甲、乙兩人共分到58文，戊、己、庚三人共分到60文，問乙、丁兩人各分到多少文錢？則下列說法正確的是（）A．乙分到28文，丁分到24文 B．乙分到30文，丁分到26文C．乙分到24文，丁分到28文 D．乙分到26文，丁分到30文7．等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的前20項和SKIPIF1<0（

）A．200 B．300 C．210 D．320二、填空題9．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差是．10．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0．11．等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是.12．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．13．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則通項公式為．14．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，若在數(shù)列SKIPIF1<0每相鄰兩項之間插入三個數(shù)，使得新數(shù)列也是一個等差數(shù)列，則新數(shù)列的第43項為.題型二等差數(shù)列的性質及其應用策略方法利用等差數(shù)列的性質解題的兩個關注點(1)兩項和的轉換是最常用的性質，利用2am＝am－n＋am＋n可實現(xiàn)項的合并與拆分，在Sn＝eq\f(na1＋an,2)中，Sn與a1＋an可相互轉化．(2)利用Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差數(shù)列，可求S2m或S3m．【典例1】已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．40 C．50 D．45【典例2】已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中項是A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等于（

）A．7 B．14 C．21 D．7(n-1)2．如果等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0（

）A．14 B．12 C．28 D．363．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．30 B．15 C．5SKIPIF1<0 D．10SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前5項和為（

）A．35 B．40 C．45 D．505．現(xiàn)有茶壺九只，容積從小到大成等差數(shù)列，最小的三只茶壺容積之和為0.5升，最大的三只茶壺容積之和為2.5升，則從小到大第5只茶壺的容積為（

）A．0.25升 B．0.5升 C．1升 D．1.5升6．一個等差數(shù)列的前3項之和為12，第4項為0，則第6項為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．27．數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影長度依次成等差數(shù)列，冬至、立春、春分這三個節(jié)氣的日影長度之和為SKIPIF1<0尺，前九個節(jié)氣日影長度之和為SKIPIF1<0尺，則谷雨這一天的日影長度為（

）A．SKIPIF1<0尺 B．SKIPIF1<0尺 C．SKIPIF1<0尺 D．SKIPIF1<0尺9．“SKIPIF1<0”是“數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列”的（

）．A．充分不必要條件 B．充要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件10．公差不為零的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則下列各式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、填空題11．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=12．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.13．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.14．在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的根，則SKIPIF1<0＝.15．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題型三等差數(shù)列的前n項和策略方法在等差數(shù)列中，SKIPIF1<0，…仍成等差數(shù)列；SKIPIF1<0也成等差數(shù)列．【典例1】設SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．16 B．18 C．20 D．22【典例2】已知SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（

）A．4 B．7 C．8 D．9【題型訓練】一、單選題1．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．10 C．11 D．132．一百零八塔，位于寧夏吳忠青銅峽市，是始建于西夏時期的喇嘛式實心塔群，是中國現(xiàn)存最大且排列最整齊的喇嘛塔群之一，塔的排列順序自上而下，第一層1座，第二層3座，第三層3座，第四層5座，第五層5座，從第五層開始，每一層塔的數(shù)目構成一個首項為5，公差為2的等差數(shù)列，總計一百零八座，則該塔共有（

）A．八層 B．十層 C．十一層 D．十二層3．記SKIPIF1<0是公差不為0的等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．44．南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，······，則第十層有（

）個球．

A．12 B．20 C．55 D．1105．《數(shù)書九章》有這樣一個問題：有5位士兵按從低到高站成一排（從低到高依次為甲、乙、丙、丁、戊），身高依次成等差數(shù)列，已知乙士兵的身高為5尺1寸，這五位士兵身高之和為26尺（1尺為10寸），則丁士兵的身高為（

）A．5尺2寸 B．5尺3寸 C．5尺4寸 D．5尺5寸6．記SKIPIF1<0為等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．25 B．22 C．20 D．157．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．6 B．12 C．18 D．248．）在等差數(shù)列{an}中，a3+2a5+a9=10，則數(shù)列{an}前10項的和為（

）A．20 B．24 C．25 D．289．在項數(shù)為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，其前SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，最后SKIPIF1<0項的和為SKIPIF1<0，所有項的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．設SKIPIF1<0為正項等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和．若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．若兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題13．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<014．設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和是SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0三、填空題15．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則公差為.16．記等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0．17．若等差數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前10項的和為.18．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．19．已知SKIPIF1<0和SKIPIF1<0均為等差數(shù)列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前60項的和為．20．設等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．21．已知兩個等差數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項和分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.題型四等差數(shù)列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系策略方法等差數(shù)列中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關系數(shù)列的前項和和通項的關系：則【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【題型訓練】一、單選題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．27 B．28 C．29 D．305．設SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和.若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．已知正項數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．4045 B．4042 C．4041 D．40407．在無窮正項等差數(shù)列SKIPIF1<0中，公差為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0是等差數(shù)列”是“存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件8．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則下列結論正確的是（

）A．數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列B．數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列二、多選題9．設無窮數(shù)列SKIPIF1<0為正項等差數(shù)列且其前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列判斷正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<010．等差數(shù)列SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則（

）A．當SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0三、填空題11．已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．12．數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0，則該數(shù)列的通項公式為.13．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為.14．正項數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為.15．已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差數(shù)列，若SKIPIF1<0，則使得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0同時成立的k的值為．題型五等差數(shù)列的判定與證明策略方法等差數(shù)列的判定與證明的方法方法解讀適合題型定義法SKIPIF1<0為同一常數(shù)?SKIPIF1<0是等差數(shù)列解答題中的證明問題等差中項法SKIPIF1<0成立?SKIPIF1<0是等差數(shù)列通項公式法SKIPIF1<0為常數(shù)）對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0都成立?SKIPIF1<0是等差數(shù)列選擇、填空題中的判定問題前SKIPIF1<0項和公式法驗證SKIPIF1<0為常數(shù)）對任意的正整數(shù)SKIPIF1<0都成立?SKIPIF1<0是等差數(shù)列【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0.(1)求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；(2)求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.【題型訓練】一、單選題1．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0為等差數(shù)列”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知數(shù)列SKIPIF1<0各項為正數(shù)，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0是等差數(shù)列 B．SKIPIF1<0是等比數(shù)列C．SKIPIF1<0是等差數(shù)列 D．SKIPIF1<0是等比數(shù)列4．）已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．3 D．20227．已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．8 B．9 C．10 D．118．數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，其前n項和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．47 B．46 C．45 D．44二、多選題9．設數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，則下列能判斷數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列的是（

）A．SKIPIF1<