4.4.2對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)課件高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(1)2

第四章

指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4

對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)[學(xué)習(xí)目標(biāo)]

1.能借助描點(diǎn)法或信息技術(shù)作出具體對數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，發(fā)展直

觀想象素養(yǎng).2.知道對數(shù)函數(shù)

y=log?x

與指數(shù)函數(shù)y=a2

互為反函數(shù)(其中a>0,且a≠1).函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與

且

a≠1)的圖象間的關(guān)系函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)與y=logir(a>0,且a≠1)的圖象關(guān)于

對稱.

一

、函

數(shù)y=logax與

y=log[知識梳理]

預(yù)

習(xí)導(dǎo)學(xué)思維啟動

的圖象間的關(guān)系【思考】如何從數(shù)的角度說明函數(shù)y=logx與y=log?x的圖象關(guān)于ax軸對稱提示：因?yàn)辄c(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(x,y)關(guān)于x軸對稱，且所以y=log?x圖象上任一點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)P?(x,-y)都在y=logix的圖象上，反之亦然，由此可知，底數(shù)互為倒數(shù)的兩個a對數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱.[基礎(chǔ)測試]1.函數(shù)y=1gx與y=log1的圖象關(guān)于

對稱.2.若函數(shù)

f(x)的圖象與函數(shù)

y=Inx的圖象關(guān)于x

軸對稱，對數(shù)函數(shù)圖象定義域值域R性質(zhì)過定點(diǎn)

即當(dāng)

時

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)思維啟動

二、對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)[知識梳理]對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)【思考】1)在第一象限內(nèi)觀察函數(shù)的圖象，你能發(fā)現(xiàn)底數(shù)的大小與圖象左右位置的關(guān)系嗎(2)你能解釋為什么對數(shù)函數(shù)y=logax的圖象恒過定點(diǎn)(1,0)嗎由此類推函數(shù)y=loga(x-1)的圖象恒過哪個定點(diǎn)[基礎(chǔ)測試]3.若對數(shù)函數(shù)y=log?x(a>0,

且a≠1)在(0,+oo)上是減函數(shù)，則

a

的取值范圍是

4.函

數(shù)y=log?(x+1)(a>0,且a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)

預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué)思維啟動-

三、反函數(shù)[知識梳理]反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0,且a≠1)

與對數(shù)函數(shù)

y=logax(a>0,且a≠1)互為反函數(shù)，它們的定義域與值域正好互換.【思考】若指數(shù)函數(shù)y=a*(a>0,且a≠1)的圖象過點(diǎn)(1,3),則對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,且a≠1)的圖象也過點(diǎn)(1,3)嗎[基礎(chǔ)測試]5.函數(shù)y=In

x的反函數(shù)是

6.函數(shù)y=10*的反函數(shù)是

(1)若a=log?.70.9,b=log?.10.7,c=1.10.9,則a,b,c的)B.a<c<bD.c<a<b【例1】大小關(guān)系為(A.a<b<cC.b<a<C探索點(diǎn)一比較對數(shù)值的大小(2)下列不等式成立的是(其中a>0,且a≠1)(

)A.log?.1(a+1)<log?.1a

B.loga5.1<loga5.2C.log?2.9<log?.52.2D.log?0.5<log?0.5解析：對于選項(xiàng)A,函數(shù)y=log?.1x是增函數(shù)，則log?.1(a+1)>log?.1a,故選項(xiàng)A不成立；對于選項(xiàng)B,因?yàn)閍與1的大小關(guān)系不確定，

所以loga5.1與

loga5.2的大小關(guān)系不確定，故選項(xiàng)B不一定成立.對于選項(xiàng)C,log?2.9>0,log?.52.2<0,

故選項(xiàng)C不成立；對于選項(xiàng)D,由

log?.57<log?.52<log?.51=0,即

log?0.5<log?0.5,故選D.(3)若a=log,3,b=log?2,c=log?6,則下列結(jié)論正確的是(

)A.b<a<c

B.a<b<cC.c<b<a

D.b<c<a方法規(guī)律對數(shù)值比較大小的常用方法(1)比較大小的對數(shù)式的底數(shù)是同一常數(shù)，真數(shù)不同，

可根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷.(2)在比較底數(shù)不同，真數(shù)相同的兩對數(shù)的大小時，可

以用圖象法，還可以利用換底公式轉(zhuǎn)化為分子為1,分母上為底數(shù)相同，真數(shù)不同的形式，再利用函數(shù)的單調(diào)性比較兩

個分母的大小，來完成比較兩對數(shù)值的大小.(3)若兩個對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)都不相同，則需借助中間

量間接地比較兩對數(shù)值的大小，常用的中間量有0,1,-1等.A.a>b>cB.b>a>cC.a>c>bD.c>b>a解析：因?yàn)?

,所以a>c>b,故選C.2.若a=log?2,b=log?2,c=log?

3,則

(

)A.a>c>bB.b>c>a

C.c>b>a

D.c>a>b解析：由1

得即1>log?2>log?2.又因?yàn)閘og?3>1,所以log?3>log?2>log?2,即c>a>b,故選D.【跟蹤訓(xùn)練】探索點(diǎn)二解對數(shù)不等式【例2】

(1)不等式

的解集為

解析：原不等式可化為

解得-2<x<1.(2)若

a

的取值范圍是解析：

,得

當(dāng)a>1時

，y=log?x是增函數(shù)，解得所以a>1;當(dāng)0<a<1時

，y=logax是減函數(shù)，解得

所以

綜上所述，

a>1.②當(dāng)

0<a<1

時，不等式等價

解綜上可得，當(dāng)a>1

時，不等式的解集為當(dāng)

0<a<1

時，不等式的解集為。(3)解不等式loga(x-1)≤loga(6-2x)(a>0,且a≠1).解：①當(dāng)a>1

時，不等式等價于

解得

方法規(guī)律兩類對數(shù)不等式的解法(1)形如logaf(x)<logag(x)的不等式.①當(dāng)0<a<1時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>g(x)>0;②當(dāng)

a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<g(x).(2)形如logaf(x)<b的不等式可變形為log.f(x)<log?a'.①當(dāng)0<a<1

時，可轉(zhuǎn)化為f(x)>a?;②當(dāng)a>1時，可轉(zhuǎn)化為0<f(x)<a'.【跟蹤訓(xùn)練】3.變式練本例(1)中不等式變?yōu)閘og?.7(2x)<1<log?.7(x-1),如何求解解析：原不等式可化為log?.7(2x)<log?.70.7<.7(x-1),所以解得1<x<1.7.,則a

的取值范圍是解析：原不等式可化為當(dāng)a>1

時可得

此時原不等式無解.當(dāng)0<a<1

時可得

目。綜上，知a

的取值范圍是5.拔高練已知函數(shù)

若f(a)>f(-a),

則實(shí)數(shù)a

的取值范圍是(

)A.(-1,0)U(1,+)B.(-○0,-1)U(0,1)C.(-1,0)U(0,1)D.(-00,-1)U(1,+o)解析：當(dāng)

時由f(a)>f(-a),得

所以所以a>1.當(dāng)a<0

時

,由f(a)>f(-a),

得

所以

,所以-1<a<0.綜上，得-1<a<0或

a>1.故

選A.y=logix的圖象向左平移1個單位長度即可得到f(x)的圖a象，故選C.探索點(diǎn)三對數(shù)函數(shù)的圖象及應(yīng)用【例3】(1)如果函數(shù)y=a*(a>0,且a≠1)是單調(diào)遞減。ABCD解析：由

,且函數(shù)為減函數(shù)，知

函數(shù)，那么函數(shù)

的圖象大致是(

)解析：令x+3=1,得x=-2,y=-1,即定點(diǎn)為A(-2,-1).因?yàn)辄c(diǎn)A在函數(shù)f(x)=3*+b的圖象上，所以f(-2)=32+b=-1,得所以,所以

(2)已知函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A

也在函數(shù)f(x)=3*+b的圖象上，則f(log?2)=

9

(3)如圖所示，四條曲線是對數(shù)函數(shù)

y=logax,y=logbx,y=logcx,y=logax的圖象，則a,b,c,d及1的大小關(guān)系為

y=logaxy=log,x-

x

y=logax解析：由對數(shù)函數(shù)底數(shù)大小與圖象位置的關(guān)系，知b>a>1>d>c.y0方法規(guī)律1.對數(shù)函數(shù)的圖象過定點(diǎn)問題當(dāng)所求函數(shù)y=m+logf(x)(a>0,且a≠1)的圖象過定點(diǎn)時只需令f(x)=1

求出x,即得定點(diǎn)為(x,m).2.根據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖象判斷底數(shù)大小的方法作直線y=1,

與所給圖象相交，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為各個底數(shù)，依據(jù)在第一象限內(nèi)，自左向右，圖象對應(yīng)的對數(shù)函數(shù)的

底數(shù)逐漸變大，可比較底數(shù)的大小.【跟蹤訓(xùn)練】6.函數(shù)y=x+a

與y=logax的圖象只可能是下面選項(xiàng)中的()A

B

C

D孽7.函數(shù)f(x)=loga(2x+1)+2(a>0,且a≠1)的圖象必過定點(diǎn)

【例4】

(1)若函數(shù)f(x)=log?(x+

√x2+a2)是奇函數(shù)，則

a=

解析：由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，得f(-x)=-f(x),所以log?(

√x2+a2-x)+log?(

√x2+a2+x)=0,即log?a2=0,

所以a2=1,

解得a=±1.探索點(diǎn)四對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用(3)函數(shù)f(x)=In(x2-2x-8)的單調(diào)遞增區(qū)間是

解析：由x2-2x-8>0,得x>4或x<-2,即x

∈(-00,-2)U(4,+oo).

令u=x2-2x-8,則u=(x-1)2-9,則u在區(qū)間(-0o,-2)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(4,+0o)上單調(diào)遞增.又因?yàn)楫?dāng)u∈(0,+o)時，y=Inu單調(diào)遞增，所以當(dāng)x

∈(4,+0o)時，y=In(x2-2x-8)單調(diào)遞增.(2)函數(shù)

的值域是

解析：設(shè)u=8+2x-x2,則u=-(x-1)2+9≤9,由題意，知

u>0,所以0<u≤9.又因?yàn)?/p>

在區(qū)間(0,+oo)上為減函數(shù)，所以

所以

的值域?yàn)閇-2,+oo].方法規(guī)律1.形

如

y=log?

f(x)的函數(shù)的值域或最值問題的解法先求f(x)的值域，取大于零的部分.再根據(jù)y=logau(u=f(x))的單調(diào)性求y=logf(x)的值域或最值2.形如y=log.f(x)的函數(shù)的單調(diào)性問題的解法要確保f(x)>0,當(dāng)a>1時

，y=log?

f(x)的單調(diào)性在f(x)>0的前提下與y=f(x)的單調(diào)性一致.當(dāng)0<a<1時，y=log?f(x)的單調(diào)性在f(x)>0

的前提下與y=f(x)的單調(diào)性相反.【跟蹤訓(xùn)練】

是(

)A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.非奇非偶函數(shù)解析：因?yàn)椤蘹2+1+x>0,所以f(x)的定義域?yàn)镽.所以

f(-