直線的交點坐標(biāo)與距離公式14題型分類

直線的交點坐標(biāo)與距離公式14題型分類一、兩條直線的交點1．兩直線的交點已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2A(a，b)．(1)若點A在直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0上，則有A1a＋B1b＋C1＝0.(2)若點A是直線l1與l2的交點，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1a＋B1b＋C1＝0，,A2a＋B2b＋C2＝0.))2．兩直線的位置關(guān)系方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A1x＋B1y＋C1＝0，,A2x＋B2y＋C2＝0))的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2的公共點的個數(shù)一個無數(shù)個零個直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行二、兩點間的距離公式1．兩點間的距離公式：點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).特別提醒：此公式與兩點的先后順序無關(guān)．2．原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).三、點到直線的距離、兩條平行線間的距離點到直線的距離兩條平行直線間的距離定義點到直線的垂線段的長度夾在平行直線間公垂線段的長圖示公式點P(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0與l2：Ax＋By＋C2＝0之間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))（一）求相交直線的交點坐標(biāo)1、兩直線的交點：已知直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0，聯(lián)立方程即可求解.2、求兩相交直線的交點坐標(biāo)．(1)求兩相交直線的交點坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組．(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法．題型1：求相交直線的交點11．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）判斷下列各組中直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點的坐標(biāo)：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點坐標(biāo)為(2)平行(3)重合【分析】（1）聯(lián)立直線方程得到方程組，求出方程組的解，即可得到兩直線的交點坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線方程得到方程組，判斷方程組無解，即可得到兩直線平行；（3）聯(lián)立直線方程得到方程組，得到方程組有無數(shù)解，即可判斷.【詳解】（1）由，解得，因此直線和相交，交點坐標(biāo)為．（2）因為，，由，得，矛盾，由此可知方程組無解，因此直線與平行．（3）由，得，說明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解．因此直線與重合．12．【多選】（2023秋·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若三條直線，，交于一點，則a的值為（

）A． B．3 C．1 D．2【答案】CD【分析】先求出直線與的交點，然后代入直線方程即可得到.【詳解】解：聯(lián)立直線方程與，即，解得，故直線與的交點為，因為三條直線，，交于一點，所以將代入，解得或2.故選：CD.13．（2023秋·黑龍江雞西·高二雞西實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角形的三個頂點是，則它的外心坐標(biāo)是.【答案】【分析】求出線段的垂直平分線的方程，再求出兩直線交點坐標(biāo)作答.【詳解】依題意，線段中點，直線的斜率，因此線段的垂直平分線的方程為，即，線段中點，直線的斜率，因此線段的垂直平分線的方程為，即，由解得，所以的外心坐標(biāo)是.故答案為：14．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的頂點，，一條角平分線所在直線為，則點A坐標(biāo)為.【答案】【分析】點A在直線上，求點關(guān)于直線的對稱點，由角平分線的性質(zhì)，點在直線AB上，可求直線AB的方程，與直線聯(lián)立方程組，可求點A坐標(biāo).【詳解】如圖所示，可知點A在直線上，

令點為點關(guān)于直線的對稱點.由于直線CD與直線垂直，且線段CD的中點在直線上，于是就有，解得，因此點D的坐標(biāo)為.根據(jù)對稱性可知點在直線AB上，又點B的坐標(biāo)為，于是直線AB的方程為，即.由，解得，得點A的坐標(biāo)為.故答案為：15．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，已知，邊上的高線所在的直線方程為，邊上的高線所在的直線方程為.則邊所在的直線方程為.【答案】【分析】由邊上和邊上的高線所在的直線方程，可得邊和邊所在直線的斜率，再由點坐標(biāo)，可求邊和邊所在直線的方程，通過聯(lián)立方程組，求出兩點的坐標(biāo)，可求邊所在的直線方程【詳解】邊上的高線所在的直線方程為，得，邊上的高線所在的直線方程為，得已知，則AC邊所在的直線方程為，即，則AB邊所在的直線方程為，即.由，得．由，得．則BC邊所在的直線方程為，即.故答案為：.題型2：求過兩條直線的交點的直線方程21．（2023·全國·高二課堂例題）已知直線l經(jīng)過原點，且經(jīng)過如下兩條直線，的交點，求直線l的方程．【答案】．【分析】利用兩直線的交點坐標(biāo)的求解方法求出交點坐標(biāo)，再利用兩點式方程求解.【詳解】因為方程組的解為，所以兩條直線和的交點坐標(biāo)為，從而由題意知直線l經(jīng)過點．又直線l經(jīng)過原點，所以直線l的方程為，即．22．（2023秋·安徽合肥·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）過直線與的交點，且垂直于直線的直線方程是.【答案】【分析】聯(lián)立直線方程得交點坐標(biāo)，再利用垂直關(guān)系及點斜式方程求解即可.【詳解】聯(lián)立，解得，即交點坐標(biāo)為.因為所求直線與直線垂直，所以所求直線的斜率為，所以所求的直線方程是：，即.故答案為：.23．（2023秋·遼寧丹東·高二鳳城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）求經(jīng)過直線，的交點M，且滿足下列條件的直線l的方程：(1)過原點；(2)與直線平行；(3)與直線垂直.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由方程組可得M的坐標(biāo)，過原點，可得方程為，可得k值，進而可得方程；（2）由平行關(guān)由方程組可得M的坐標(biāo)，系可得直線的斜率，進而可得點斜式方程，化為一般式即可；（3）由垂直關(guān)系可得直線的斜率，進而可得點斜式方程，化為一般式即可．【詳解】（1）由，解得，故點.當(dāng)直線過原點，可得方程為，代入點可得，故方程為；（2）若直線平行于直線．則斜率為，故可得方程為，即；（3）若直線垂直于直線．則斜率為，故可得方程為，即.題型3：由兩條直線交點的個數(shù)或位置求參數(shù)31．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線與直線相交，則m的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)兩直線相交的條件即可求解.【詳解】因為直線與直線，即相交，所以，解得.所以m的取值范圍為.故答案為：32．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）直線與直線相交，則實數(shù)k的值為（

）A．或 B．或 C．或 D．且【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用兩條直線相交的充要條件，列式求解作答.【詳解】因直線與直線相交，則，即，解得且，所以實數(shù)k的值為且.故選：D33．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）若直線與直線的交點在第一象限，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意得到交點坐標(biāo)為，從而得到，再解不等式組即可.【詳解】，即交點為.因為交點在第一象限，所以.故選：A34．（2023秋·全國·高二期中）若直線與直線的交點位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】法一：聯(lián)立直線方程求交點，根據(jù)所在象限求斜率范圍，進而確定傾斜角范圍；法二：確定直線位于第一象限部分的端點，結(jié)合直線l與其交點在第一象限，數(shù)形結(jié)合確定傾斜角范圍.【詳解】法一：聯(lián)立兩直線方程，得，解得，所以兩直線的交點坐標(biāo)為.因為兩直線的交點在第一象限，所以，解得，設(shè)直線l的傾斜角為θ，則，又，所以.法二：由題意，直線l過定點，設(shè)直線與x軸、y軸的交點分別為.如圖，當(dāng)直線l在陰影部分（不含邊界）運動時，兩直線的交點在第一象限，易知，

∴的傾斜角為，的傾斜角為.∴直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：D35．（2023秋·高二課時練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有唯一解，則實數(shù)a滿足的條件是.【答案】/【分析】由題給方程組有唯一解，可得方程有唯一解，進而得到實數(shù)a滿足的條件【詳解】由，可得，由關(guān)于，的方程組有唯一解，可得方程有唯一解，則故答案為：36．（2023·全國·高二專題練習(xí)）若關(guān)于，的方程組有無窮多組解，則的值為【答案】4【分析】當(dāng)方程組有無窮多解時,可得到兩直線重合,則可求出,,計算即可得解.【詳解】若方程組有無窮多組解，即兩條直線重合,即,則故答案為：437．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知直線與的交點在y軸上，求m的值．【答案】【分析】首先由兩線平行得，聯(lián)立直線方程求交點坐標(biāo)，根據(jù)交點位置求參數(shù)即可.【詳解】當(dāng)時，，平行，無交點；所以，此時聯(lián)立方程有，可得，由交點在y軸上，則，即.

題型4：三條直線能否構(gòu)成三角形問題41．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）使三條直線不能圍成三角形的實數(shù)m的值最多有幾個（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【分析】根據(jù)題設(shè)，討論存在兩條直線平行或三條直線交于一點，分別求出對應(yīng)m值，進而驗證是否滿足題設(shè)，即可得答案.【詳解】要使三條直線不能圍成三角形，存在兩條直線平行或三條直線交于一點，若平行，則，即；若平行，則，即無解；若平行，則，即；若三條直線交于一點，，可得或；經(jīng)檢驗知：均滿足三條直線不能圍成三角形，故m最多有4個.故選：B42．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實數(shù)m的取值集合為．【答案】【分析】根據(jù)三條直線不能構(gòu)成三角形，則有任意兩條平行或交于同一個點，分類討論求解.【詳解】三條直線不能圍成三角形，則有以下情況：(1)直線與直線平行，則有；(2)直線與直線平行，則有；(3)三條直線，，相交于同一點，聯(lián)立解得，代入可得，綜上，實數(shù)m的取值集合為，故答案為:.43．（2023秋·全國·高二期中）已知直線，，．當(dāng)為何值時，它們不能圍成三角形？【答案】當(dāng)時，三條直線不能圍成三角形.【分析】當(dāng)三條直線中的任意兩條平行，或三條直線交于一點時，三條直線無法圍成三角形，列式求解即可.【詳解】當(dāng)三條直線中的任意兩條平行，或三條直線交于一點時，三條直線無法圍成三角形，當(dāng)時，，即，經(jīng)驗證符合題意；當(dāng)時，，，經(jīng)驗證符合題意；當(dāng)時，，無解；當(dāng)三條直線交于一點時，則由，解得：，將點代入直線，整理為，解得：或.綜上可知：當(dāng)時，三條直線不能圍成三角形.44．（2023秋·高二課前預(yù)習(xí)）若三條直線，，能構(gòu)成三角形，求a應(yīng)滿足的條件．

【答案】且【分析】由題意可分直線、、、直線經(jīng)過同一點討論，不能構(gòu)成三角形從而可求出的值再求其補集可得答案.【詳解】為使三條直線能構(gòu)成三角形，需三條直線兩兩相交且不共點．①若，則由，得；②若，則由，得；③若，則由，得，當(dāng)時，與三線重合，當(dāng)時，平行．④若三條直線交于一點，由，解得，將的交點的坐標(biāo)代入的方程，解得(舍去)，或，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需且．45．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）若三條直線與能圍成一個直角三角形，則．【答案】或1【分析】由三條直線兩兩垂直，即兩直線的斜率之積為，求解即可.【詳解】顯然，3xy+1=0，x+y+3=0有交點，若與垂直，則；若與垂直，則．所以或1．故答案為：或1（二）兩點間的距離1、兩點間的距離公式：(1)點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離公式|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)原點O(0,0)與任一點P(x，y)的距離|OP|＝eq\r(x2＋y2).2、計算兩點間距離的方法(1)對于任意兩點P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，則|P1P2|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(2)對于兩點的橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)相等的情況，可直接利用距離公式的特殊情況求解．題型5：求兩點間的距離51．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）（1）已知點和，求；（2）已知的頂點為，，，求的周長．【答案】（1）5；（2）【分析】利用兩點間距離公式進行求解.【詳解】（1）；（2），，，故的周長為.52．（2023秋·廣西南寧·高二?？茧A段練習(xí)）已知點為中點，則．【答案】【分析】先求得點的坐標(biāo)，然后求得，【詳解】由于是中點，所以，所以.故答案為：53．（2023·全國·高二課堂例題）已知的三個頂點分別為，，．(1)求邊上的中線的長；(2)證明：為等腰直角三角形．【答案】(1)(2)答案及解析【分析】（1）首先求出線段的中點的坐標(biāo)，利用平面直角坐標(biāo)系中兩點的距離公式計算可得；（2）利用距離公式求出，，，再由勾股定理逆定理證明即可.【詳解】（1）因為，，所以線段的中點的坐標(biāo)為，又，則．（2）因為，，，因為，且，所以為等腰直角三角形．54．（2023·全國·高二專題練習(xí)）以為頂點的的形狀是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形C．等腰非等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系下任意兩點間的距離公式，分別求出即可判斷.【詳解】根據(jù)兩點間的距離公式，得，，，所以，且|，故是等腰非等邊三角形.答案：C.題型6：由兩點間的距離求參數(shù)61．（2023秋·全國·高二期中）已知點與點之間的距離為5，則實數(shù)a的值為（

）A． B． C．或 D．1或【答案】C【分析】根據(jù)平面上兩點間的距離公式，列出方程，即可求解.【詳解】因為點與點之間的距離為5，可得，整理得，即，解得或．故選：C.62．【多選】（2023秋·高二課時練習(xí)）（多選）已知點，且，則a的值為（

）A．1 B． C．5 D．【答案】AD【分析】由兩點間的距離公式求解即可.【詳解】由兩點間距離公式得，所以，所以，即，或．故選：AD.63．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點、、，且，則.【答案】【分析】利用平面內(nèi)兩點間的距離公式可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】已知點、、，且，則，解得.故答案為：.64．（2023秋·高二課時練習(xí)）在直線上求一點P，使它到點的距離為5，并求直線PM的方程.【答案】或，或.【分析】設(shè)，然后根據(jù)題意列方程組可求出，再求出直線的斜率，從而可求出直線PM的方程.【詳解】設(shè)，由題意，解得或，所以或，當(dāng)時，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即；當(dāng)時，直線PM的斜率，因此直線PM方程為，即.題型7：運用兩點間的距離公式求最值71．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）的最小值為．【答案】【分析】根據(jù)兩點之間的距離公式改寫目標(biāo)函數(shù)解析式，即可根據(jù)幾何意義求得結(jié)果.【詳解】，，如圖，設(shè)點，，，要求的最小值，即求的最小值．由于，當(dāng)A，B，C三點共線時，等號成立，且，故的最小值為．

故答案為：.72．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求函數(shù)的最大值．【答案】【分析】可表示為、的距離減去、的距離，然后可得答案.【詳解】表示、的距離，表示、的距離，所以，因為，所以.73．（2023秋·高二課時練習(xí)）數(shù)學(xué)家華羅庚說：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”，事實上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決.例如：與相關(guān)的代數(shù)問題，可以轉(zhuǎn)化為點與點之間的距離的幾何問題.結(jié)合上述觀點：對于函數(shù)，求的最小值.【答案】【分析】根據(jù)給定的條件，利用式子的幾何意義，結(jié)合兩點間距離及對稱問題求解作答.【詳解】函數(shù)，因此表示點到點的距離與到的距離之和，而點在軸上，點關(guān)于軸的對稱點，于是得，當(dāng)且僅當(dāng)點共線，即P與原點重合，時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值.（三）運用坐標(biāo)法解決平面幾何問題1、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題：(1)建系；(2)坐標(biāo)表示；(3)幾何關(guān)系坐標(biāo)化；(4)將數(shù)“翻譯”為形．2、利用坐標(biāo)法解平面幾何問題常見的步驟：(1)建立坐標(biāo)系，盡可能將有關(guān)元素放在坐標(biāo)軸上；(2)用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；(3)將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運算；(4)把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．題型8：用坐標(biāo)法解決平面幾何問題81．（2023·全國·高二課堂例題）證明：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【答案】證明見詳解【分析】首先要建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，將幾何圖形上的點用坐標(biāo)表示出來，然后進行代數(shù)運算，最后把代數(shù)運算的結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．【詳解】如圖，以的直角邊，所在直線為坐標(biāo)軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則．

設(shè)，兩點的坐標(biāo)分別為，，的中點為．因為是斜邊的中點，故點的坐標(biāo)為，即．由兩點間距離公式得，，所以，因此直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．82．（2023·高一課時練習(xí)）在中，，D，E為斜邊AB的三等分點，，求斜邊AB的長．【答案】【分析】建立坐標(biāo)系，設(shè)出點的坐標(biāo)，列方程求解即可．【詳解】如圖，以邊AC所在直線為x軸，邊CB所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系．設(shè)點，，則，．由，得，即．因此，．【點睛】用解析法解決平面幾何問題的關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量，然后進行代數(shù)運算，最后把代數(shù)運算“翻譯”成幾何關(guān)系．本例設(shè)點A的橫坐標(biāo)為，點B的縱坐標(biāo)為，使D，E兩點的坐標(biāo)具有更簡潔的形式．我們在解題時要學(xué)會設(shè)坐標(biāo)的技巧．83．（2023·高一單元測試）已知：為實數(shù)，兩直線相交于一點．求證：交點不可能在第一象限及軸上．【答案】見解析．【分析】聯(lián)立的方程，求得交點的坐標(biāo)，再判斷交點的橫、縱坐標(biāo)的取值范圍即可.【詳解】兩直線相交于一點，.由方程組解得，即交點為：①若交點在第一象限，則，解得，，故交點不可能在第一象限內(nèi)．②若交點在軸上，則，方程依然無解，故交點也不可能在軸上.綜上①②可知，直線的交點不可能在第一象限及軸上．（四）點到直線的距離點到直線的距離的求解方法：(1)求點到直線的距離時，只需把直線方程化為一般式方程，直接應(yīng)用點到直線的距離公式求解即可．(2)對于與坐標(biāo)軸平行(或重合)的直線x＝a或y＝b，求點到它們的距離時，既可以用點到直線的距離公式，也可以直接寫成d＝|x0－a|或d＝|y0－b|.(3)若已知點到直線的距離求參數(shù)時，只需根據(jù)點到直線的距離公式列方程求解參數(shù)即可．題型9：求點到直線的距離91．（2023秋·北京昌平·高二?？计谥校c到直線：的距離是【答案】【分析】直接代入點到直線的距離公式求解即可.【詳解】點到直線：的距離是.故答案為：.92．（2023·全國·高二課堂例題）分別求點到下列直線的距離：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用點到直線距離公式分別計算.【詳解】（1）根據(jù)點到直線的距離公式，得（2）因為直線即平行于y軸，所以.93．（2023秋·全國·高二專題練習(xí)）已知點是直線上任意一點，求點與點之間距離的最小值．【答案】3【分析】依題意可知，當(dāng)與直線垂直時點與點之間距離的最小，求出點到直線的距離即可.【詳解】根據(jù)題意畫出圖象如下圖所示：

易知當(dāng)與直線垂直時，點與點之間距離的最?。黄溆辔恢萌?，則；所以最小值即為點到直線的距離，所以，點與點之間距離的最小值為3.94．【多選】（2023秋·河南焦作·高二博愛縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點P在直線上，且點P到直線的距離為，則m的值可能是（

）A． B．10 C．5 D．0【答案】BD【分析】根據(jù)點到直線距離公式直接求解即可.【詳解】依題意可設(shè)，則點P到直線的距離為，解得或0，故選：BD.95．（2023秋·全國·高二期中）已知點在直線上，求的最小值．【答案】3【分析】的最小值是原點到直線的距離，利用公式計算即可.【詳解】算式的幾何意義是點到原點的距離，點在直線上，的最小值是原點到直線的距離，即的最小值為.96．（2023秋·重慶涪陵·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點在線段上，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】將問題化為求原點到線段上點距離的平方的范圍，進而求目標(biāo)式的距離.【詳解】由的圖象如下，

又是上圖線段上的一點，且為原點到該線段上點距離的平方，上述線段端點分別為，到原點距離的平方分別為，由圖知：原點到線段的距離，則，綜上，，故.故選：B題型10：直線圍成的圖形面積問題101．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）求以，，三點為頂點的三角形的面積．【答案】【分析】求得和到直線的距離，從而求得正確答案.【詳解】，由于直線與軸平行，所以到直線的距離為，所以三角形的面積為.

102．（2023·全國·高二隨堂練習(xí)）已知平行四邊形中三個頂點的坐標(biāo)為，，，求這個平行四邊形的面積．【答案】【分析】不妨設(shè)，，，求出直線的方程，從而求出點到的距離，再由兩點間的距離公式求出，即可求出，而平行四邊形的面積為面積的兩倍，即可得解.【詳解】不妨設(shè)三點，，分別為、、，即，，，則，所以直線的方程為，即，所以點到的距離，又，所以，所以平行四邊形的面積.103．（2023秋·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知的頂點，邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為．(1)求頂點的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為(2)【分析】（1）設(shè)，，由題意列方程求解即可得出答案.（2）先求出和直線所在的方程，再由點到直線的距離公式求出邊上的高，即可求出的面積．【詳解】（1）設(shè)，因為邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，所以，解得，即的坐標(biāo)為．設(shè)，因為邊上的中線所在直線方程為，邊上的高所在直線方程為，所以，解得，即的坐標(biāo)為．（2）因為，所以．因為邊所在直線的方程為，即，所以點到邊的距離為，即邊上的高為，故的面積為．104．（2023秋·江蘇·高二南京市人民中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知的邊所在直線方程為，邊所在直線方程為，邊的中點為.求：(1)求點坐標(biāo)；(2)求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用中點坐標(biāo)公式及點在直線上即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論及直線的斜率公式，利用直線的點斜式方程和兩點間的距離公式，結(jié)合點到直線的距離公式及三角形的面積公式即可求解.【詳解】（1）設(shè)，根據(jù)中點公式結(jié)合點在直線上，點在直線上，則有，解得，所以點坐標(biāo)為.（2）由（1）知，，所以,所以直線方程為，即.所以.由，解得，所以.點到直線的距離為，所以的面積為105．【多選】（2023秋·廣東佛山·高二佛山市高明區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知三邊所在直線分別為，則（

）A．AB邊上的高所在直線方程為 B．AB邊上的高為C．的面積為 D．是直角三角形【答案】ABC【分析】先聯(lián)立方程求出頂點坐標(biāo)，求出AB邊上的高所在直線斜率即可得出方程，利用點到直線距離公式可求出高，利用兩點間距離公式求出，即可求出三角形面積，根據(jù)斜率關(guān)系可判斷D.【詳解】由得；由得；由得；因為，所以AB邊上的高所在直線斜率為，則方程為，即，故A正確；AB邊上的高為點到直線的距離，故B正確；因為，所以的面積為，故C正確：由斜率關(guān)系可知，是的任意兩邊均不垂直，D錯誤.故選：ABC.題型11：點到直線距離公式的應(yīng)用111．（2023秋·高二課時練習(xí)）已知點、，若點與點到直線的距離都為2，求直線的方程．【答案】或或或.【分析】此題需要分為兩類來研究，一類是直線l與點和點兩點的連線平行，一類是線l過兩點和點中點，分類解出直線的方程即可.【詳解】∵，，∴A與B可能在直線l的同側(cè)，也可能直線l過線段中點，①當(dāng)直線l平行直線時：，可設(shè)直線l的方程為，即依題意得：，解得：或，故直線l的方程為：或②當(dāng)直線l過線段中點時：的中點為，當(dāng)直線斜率不存在時：直線l：，不符合題意，舍去；當(dāng)直線斜率存在時，可設(shè)直線l的方程為，即依題意得：，解得：或，故直線l的方程為：或，化簡為，綜上所述：直線方程為：或或或.112．【多選】（2023秋·全國·高二期中）若點在直線上，且點到直線的距離是，則點的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】設(shè)出點的坐標(biāo)為，利用點到直線的距離公式表示出到已知直線的距離，讓等于列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值，再寫出點的坐標(biāo)即可.【詳解】解：設(shè)點坐標(biāo)為，點到直線的距離為：，解得或，∴點坐標(biāo)為或.故選：AC.113．【多選】（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）已知，兩點到直線：的距離相等，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】AB【分析】根據(jù)點到直線的距離公式列式求解即可.【詳解】由題意可得：，整理得，則，解得或.故選：AB.（五）兩平行線間的距離求兩條平行直線間距離的兩種方法：(1)轉(zhuǎn)化法：將兩條平行線間的距離轉(zhuǎn)化為一條直線上一點到另一條直線的距離，即化線線距為點線距來求．(2)公式法：設(shè)直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0，則兩條平行直線間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).題型12：求兩平行線間的距離121．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）求下列兩條平行線之間的距離：(1)，；(2)，．【答案】(1)(2)【分析】根據(jù)給定條件利用平行線間距離公式直接計算即可得解.【詳解】（1）因為直線可化為，又直線，所以直線與的距離為.（2）因為直線可化為：，又直線，所以直線與的距離：.122．（2023春·浙江·高二校聯(lián)考開學(xué)考試）兩條直線：；：．則與之間的距離為．【答案】【分析】根據(jù)兩平行線間的距離公式，即可求得本題答案.【詳解】因為兩條直線：；：，所以兩平行線間的距離.故答案為：123．（2023秋·江蘇連云港·高二東?？h石榴高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知直線與直線平行，則它們之間的距離是（

）A．1 B． C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)兩條平行線間的距離公式求解.【詳解】將直線化為，因為直線與直線平行，設(shè)兩條平行線間的距離為，所以根據(jù)兩平行線之間的距離公式.故選：B124．（2023秋·全國·高二階段練習(xí)）兩條平行直線和間的距離為，則分別為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由兩直線平行可推出，再根據(jù)平行線間距離公式可計算.【詳解】由題意可得，再由平行線的距離公式得.故選：B125．（2023秋·重慶綦江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知兩條平行直線：，：間的距離為，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，由直線平行的判斷方法可得的值，由兩平行線間距離公式可得的值，由此計算可得答案．【詳解】根據(jù)題意，兩條平行直線，，必有，解可得，則即，變形可得，又由兩條平行直線間的距離為，則有，解可得或，故.故答案為：．126．【多選】（2023秋·高二課時練習(xí)）已知兩條平行直線：和：之間的距離小于，則實數(shù)m的值可能為（

）A．0 B．1 C．2 D．－1【答案】AC【分析】由兩條平行直線間距離可求出實數(shù)m的取值范圍，即可得出答案.【詳解】直線：和：平行，則，兩條平行直線間距離，解得且，故0和2符合要求.故選:AC．題型13：距離公式的綜合應(yīng)用131．【多選】（2023秋·福建寧德·高二統(tǒng)考期中）已知直線：，則下列結(jié)論正確的是（

）A．直線的傾斜角是B．若直線：，則C．點到直線的距離是1D．過點與直線平行的直線方程是【答案】ACD【分析】由斜率與傾斜角的關(guān)系判斷A，由直線的位置關(guān)系判斷B，D，由點到直線的距離公式判斷C，【詳解】對于A，直線的斜率為，故傾斜角是，故A正確，對于B，直線的斜率為，兩直線斜率乘積為1，不垂直，故B錯誤，對于C，由點到直線的距離公式得，故C正確，對于D，過點與直線平行的直線方程為，得，故D正確，故選：ACD132．【多選】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知O為坐標(biāo)原點，，，，P，Q分別是線段，上的動點，則下列說法正確的是（

）A．點M到直線的距離為 B．若，則點Q的坐標(biāo)為C．點M關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為 D．周長的最小值為【答案】BCD【分析】求出直線AB的方程利用點到直線的距離公式計算可判斷A；求出過M且與AB平行的直線方程，可得點坐標(biāo)可判斷B；設(shè)點M關(guān)于AB對稱的點為，根據(jù)點關(guān)于直線對稱求出坐標(biāo)可判斷C；求出點M關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)，利用的周長為可判斷D．【詳解】對于A，由題意可得直線AB的方程為，故M到AB的距離為，故A錯誤；對于B，過M且與AB平行的直線方程為，當(dāng)時，即得，故B正確；對于C，如圖，設(shè)點M關(guān)于AB對稱的點為，則解得，故，故C正確；對于D，點M關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為，則的周長為．故D正確．故選：BCD．133．【多選】（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知為坐標(biāo)原點，，為軸上一動點，為直線：上一動點，則（

）A．周長的最小值為 B．的最小值為C．的最小值為 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】設(shè)關(guān)于直線：的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，對于A：根據(jù)對稱性可得，進而可得結(jié)果；對于B：根據(jù)點到直線的距離分析判斷；對于C：因為，結(jié)合點到直線的距離分析判斷；對于D：根據(jù)題意分析可得，結(jié)合點到直線的距離分析判斷.【詳解】設(shè)關(guān)于直線：的對稱點為，關(guān)于軸的對稱點為，可知，對于選項A：可得周長，當(dāng)且僅當(dāng)四點共線時，等號成立，所以周長的最小值為，故A錯誤；對于選項B：設(shè)到軸，直線：的距離分別為，則，可得，所以的最小值為，故B正確；對于選項C：因為，設(shè)到直線：的距離為，可得，所以的最小值為，故C正確；對于選項D：作，垂足為，因為直線的斜率，則，可得，則，可得，所以的最小值為4，故D正確；故選：BCD.134．【多選】（2023秋·江蘇·高二階段練習(xí)）已知直線，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．當(dāng)，到直線距離相等時， B．當(dāng)時，直線的斜率不存在C．當(dāng)時，直線在軸上的截距為2 D．當(dāng)時，直線與直線平行【答案】CD【分析】當(dāng)，到直線距離相等時，或，A錯誤，直線斜率為，B錯誤，取，則，C正確，計算，D正確，得到答案.【詳解】對選項A：，解得或，錯誤；對選項B：時，，直線斜率為，錯誤；對選項C：時，，取，則，正確；對選項D：時，，，不過A點，，，正確；故選：CD（六）直線的對稱問題有關(guān)對稱問題的兩種主要類型(1)中心對稱：①點P(x，y)關(guān)于O(a，b)的對稱點P′(x′，y′)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2a－x，,y′＝2b－y.))②直線關(guān)于點的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于點的對稱問題來解決．(2)軸對稱：①點A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對稱點A′(m，n)，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(n－b,m－a)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，,A·\f(a＋m,2)＋B·\f(b＋n,2)＋C＝0.))②直線關(guān)于直線的對稱可轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱問題來解決．題型14：直線的對稱問題141．（2023秋·寧夏銀川·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線，則點關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)對稱點，根據(jù)線段中點在直線上，所在直線與直線垂直，即斜率相乘為，代入坐標(biāo)即可求解.【詳解】設(shè)對稱點，線段中點為，則，解得，點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)為.故答案為：.142．（2023秋·江蘇·高二專題練習(xí)）點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】設(shè)對稱點坐標(biāo)為，然后由斜率乘積等于，和的中點在直線上，列方程組可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)的對稱點坐標(biāo)為，則，解得，即所求對稱點的坐標(biāo)是．故答案為：143．（2023秋·高二單元測試）已知點與點關(guān)于直線對稱，則的值為．【答案】【分析】將線段的中點代入直線的方程中可得答案.【詳解】因為、，所以的中點為，因為點與點關(guān)于直線對稱，所以的中點在此直線上，所以，即，故答案為：144．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】在直線上任取一點，設(shè)其關(guān)于直線的對稱點為，然后根據(jù)對稱關(guān)系列方程可表示出，再代入中化簡可得答案【詳解】在直線上任取一點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，因為點在直線上，所以，即，所以所求直線方程為，故選：A.145．（2023秋·高二課時練習(xí)）直線關(guān)于點對稱的直線的方程為．【答案】【分析】根據(jù)直線關(guān)于點對稱，設(shè)上的點坐標(biāo)，寫出關(guān)于對稱的點坐標(biāo)，根據(jù)點在已知直線上求直線方程.【詳解】設(shè)為上任意一點，則關(guān)于點的對稱點為，因為在直線l上，所以，即直線的方程為．故答案為：146．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測）已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.【答案】或【分析】根據(jù)題意，求出與軸的交點，設(shè)出直線的方程，根據(jù)點關(guān)于直線的對稱點在軸上，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】

直線交軸于點，交軸于點，設(shè)直線的方程為，則關(guān)于直線的對稱點在軸上，所以，則的中點在直線上，所以①，又②，聯(lián)立①②可得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.147．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線：與關(guān)于直線對稱，與平行，則（

）A． B． C． D．2【答案】C【分析】點關(guān)于直線的對稱點為可得的方程，再根據(jù)相互平行可得答案.【詳解】直線關(guān)于直線對稱的直線，即是交換位置所得，即，相互平行，的斜率為，故.故選：C.148．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【分析】由于兩條直線平行，所以可設(shè)，利用對稱的性質(zhì)，可求得，進而求得直線方程為.【詳解】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.故答案為：149．（2023·全國·高二課堂例題）求直線關(guān)于直線對稱的直線的方程．【答案】【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點，再在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，得出方程組，求得點點的坐標(biāo)為，進而求得直線的方程.【詳解】聯(lián)立方程組，解得所以直線與相交，且交點為，可得點也在直線上．再在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，可得，解得，即點的坐標(biāo)為，則直線的斜率為，所以直線的方程為，即，故直線的方程為.1410．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．【答案】（1）；（2）．【分析】（1）由于，所以，可設(shè)的方程為，在直線上取點，求出點關(guān)于直線的對稱點，代入方程，即得解；（2）與的交點坐標(biāo)為也在上，另取上不同于的一點，求出關(guān)于的對稱點為，利用兩個點坐標(biāo)求出直線方程，即得解【詳解】（1）因為，所以．設(shè)直線的方程為（，且）．在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即點的坐標(biāo)為．把點的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點坐標(biāo)為．另取上不同于A的一點，設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，得，即點的坐標(biāo)為．所以過與的直線的方程為，即．1411．（2023秋·廣西南寧·高二?？茧A段練習(xí)）已知直線和點(1)求點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)；(2)求直線關(guān)于點對稱的直線方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)點關(guān)于線對稱列式求解即可；（2）根據(jù)相關(guān)點法分析運算即可.【詳解】（1）設(shè)，由題意可得，解得，所以點的坐標(biāo)為.（2）在直線上任取一點，設(shè)關(guān)于點的對稱點為，則，解得，由于在直線上，則，即，故直線關(guān)于點的對稱直線的方程為.1412．（2023秋·河北邢臺·高二河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）一條光線從點射出，與軸相交于點，則反射光線所在直線在軸上的截距為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出點關(guān)于軸對稱點坐標(biāo)，直線即為反射光線所在直線，由直線方程中令得縱截距．【詳解】關(guān)于軸的對稱點為，則反射光線所在直線為.因為，所以反射光線所在直線的方程為.令，得反射光線所在直線在軸上的截距為.故選：C．1413．（2023·全國·高二專題練習(xí)）光線從射向軸上一點，又從反射到直線上一點，最后從點反射回到點，則BC所在的直線方程為．【答案】【分析】分別求點關(guān)于軸和直線的對稱點，再根據(jù)幾何關(guān)系求得直線的方程.【詳解】點關(guān)于軸的對稱點為，設(shè)點關(guān)于的對稱點為，則，解得：，即,由對稱性可知，點在直線上，所以，直線的方程為，即.

故答案為：1414．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知點，，點在直線：上運動，則的最小值為.【答案】7【分析】結(jié)合圖象，求出點關(guān)于直線的對稱點為，的最小值即為，解出即可.【詳解】如圖：

設(shè)點，關(guān)于直線的對稱點為，則，解得則，則,故答案為：1415．（2023秋·河南南陽·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知點、，在直線上，則的最小值等于.【答案】12【分析】求出關(guān)于的對稱點的坐標(biāo)，則即為的最小值.【詳解】設(shè)關(guān)于的對稱點為則，解得，，，則，所以的最小值是12.故答案為：.1416．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直線上求兩點P，Q，使得：(1)P到與的距離之差最大；(2)Q到與的距離之和最?。敬鸢浮?1)(2)【分析】(1)設(shè)點B關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)為，連接，可得的坐標(biāo)為，結(jié)合圖象可知當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最大，聯(lián)立直線l與的方程，求解即可；(2)點C關(guān)于l的對稱點為，可求得的坐標(biāo)為，結(jié)合圖象可得當(dāng)且僅當(dāng)Q，A，三點共線時，最小，聯(lián)立直線與l的方程求解即可.【詳解】（1）解：如圖，設(shè)點B關(guān)于l的對稱點的坐標(biāo)為，連接，則，即，

所以①．因為的中點在直線l上，所以，即②．由①②得，所以點的坐標(biāo)為．于是所在直線的方程為，即．易知||，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時，最大．所以聯(lián)立直線l與的方程，解得，即l與的交點坐標(biāo)為，故點P的坐標(biāo)為．（2）解：如圖，設(shè)點C關(guān)于l的對稱點為，可求得的坐標(biāo)為，

所以所在直線的方程為．易知，當(dāng)且僅當(dāng)Q，A，三點共線時，最小，所以聯(lián)立直線與l的方程，解得，即與l的交點坐標(biāo)為，故點Q的坐標(biāo)為．一、單選題1．（2023秋·福建廈門·高二廈門一中校考階段練習(xí)）不論實數(shù)取何值時，直線都過定點，則直線關(guān)于點的對稱直線方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出定點坐標(biāo)，設(shè)直線關(guān)于點的對稱直線方程為，則，解方程即可得出答案.【詳解】由可得：，令，解得：，所以，設(shè)直線關(guān)于點的對稱直線方程為：，則到直線與的距離相等，所以，解得：，即（舍去）或.故直線關(guān)于點的對稱直線方程為：.故選：D.2．（2023秋·河北邢臺·高二河北南宮中學(xué)?？茧A段練習(xí)）點到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)點到直線的距離公式計算即可.【詳解】點到直線的距離為.故選：A.3．（2023秋·四川成都·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先對所求式子配方整理，把問題轉(zhuǎn)化為，求直線上一點，到直線同側(cè)的兩點間的距離之和的最小值，就是將軍飲馬求最值問題，先對其中一點作關(guān)于直線的對稱點，進一步把問題轉(zhuǎn)化為，求兩點間的距離，求解即可.【詳解】該式子是表示點到點、點的距離之和，又，上述式子表示直線上的點到點、點的距離之和的最小值（如圖）.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則有，解得，即，所以，所以直線上的點到點、點的距離之和的最小值為.故選：D.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）點(1,1)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】A【分析】利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】點(1,1)到直線的距離.故選：A.5．（2023秋·全國·高二期中）設(shè)直線與直線的交點為P，則P到直線的距離為（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】先聯(lián)立直線方程求出點P坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式計算即可.【詳解】聯(lián)立兩直線方程，即，由點到直線的距離公式可得P到直線的距離為.故選：D6．（2023秋·福建寧德·高二福鼎市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）經(jīng)過直線和的交點，且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為0的直線方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【分析】先求直線和的交點，設(shè)所求直線方程為，可得在x，y軸上的截距，結(jié)合題意列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解得，所以直線和的交點為，由題意可知所求直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，可知所求直線方程為，令，可得；令，可得；可知直線在x，y軸上的截距分別為，，由題意可得，整理得，解得或，所以所求直線方程為或.故選：C.7．（2023秋·高二課時練習(xí)）兩平行直線和間的距離是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)平行線間距離公式計算.【詳解】直線化為，因此所求距離為，故選：A．8．（2023秋·高二課時練習(xí)）點，P在直線上，，則P點的個數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】由點到直線的距離，可判斷滿足條件的點的個數(shù).【詳解】因為點到直線的距離為，所以P點的個數(shù)是1個.故選：B.二、多選題9．（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線過直線和的交點，且原點到直線的距離為3，則的方程可以為（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】先求得和的交點坐標(biāo)，然后根據(jù)直線的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合原點到直線的距離確定正確答案.【詳解】由解得，即交點為，當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，此時原點到直線的距離為，符合題意，A選項正確.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，即，由解得，直線的方程為，C選項正確.故選：AC10．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是【答案】AC【分析】確定關(guān)于，的對稱點，利用兩點距離最小判斷A、B；確定關(guān)于，的對稱點，利用兩點距離最小判斷C、D；【詳解】由關(guān)于，的對稱點分別為，而，從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，A對；從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是，B錯；由關(guān)于，的對稱點分別為，從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程，C對；從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是，D錯.故選：AC11．（2023秋·云南昆明·高二校考階段練習(xí)）已知點，，且點在直線：上，則（

）A．存在點，使得 B．存在點，使得C．的最小值為 D．最大值為3【答案】BCD【分析】設(shè)，利用斜率公式判斷A，利用距離公式判斷B，化折線為直線，利用兩點之間線段最短判斷C，根據(jù)幾何意義判斷D.【詳解】對于A：設(shè)，若時，此時的斜率不存在，，與不垂直，同理時與不垂直，當(dāng)且時，，若，則，去分母整理得，，方程無解，故與不垂直，故A錯誤；對于B：設(shè)，若，則，即，由，所以方程有解，則存在點，使得，故B正確；對于C：如圖設(shè)關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)、、三點共線時取等號（在線段之間），故C正確；對于D：如下圖，，當(dāng)且僅當(dāng)在的延長線與直線的交點時取等號，故D正確.故選：BCD12．（2023秋·吉林長春·高二長春外國語學(xué)校?？计谥校┮阎c，點在直線上，且直線與直線垂直，則（

）A．直線的斜率是2B．直線的方程是C．點的坐標(biāo)是D．【答案】ABC【分析】根據(jù)直線垂直求得直線斜率判斷A，根據(jù)點斜式方程求解直線方程判斷B，聯(lián)立直線方程得點坐標(biāo)判斷C，根據(jù)兩點距離公式計算判斷D.【詳解】與直線垂直的直線的斜率，故選項A正確；又直線過點，所以直線方程為，即，故選項B正確；聯(lián)立，解得，所以點的坐標(biāo)是，故選項C正確；根據(jù)兩點距離公式得，故選項D錯誤.故選：ABC.三、填空題13．（2023秋·貴州·高二貴州省興義市第八中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點為直線與直線的交點，則點到直線的最大距離為．【答案】【分析】先求得直線與直線的交點，然后根據(jù)直線所過定點求得正確答案.【詳解】由解得，所以，直線即，由解得，所以直線過定點，所以點到直線的最大距離為.故答案為：14．（2023·江蘇·高二專題練習(xí)）已知直線經(jīng)過點，且點，到直線的距離相等，則直線的方程為.【