全國新高考1卷地區(qū)高三數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題分類完整版編完整版析（原卷版）

2024屆高三數(shù)學(xué)圓錐曲線解答題分類精編精析【題型目錄】題型一：圓錐曲線中的弦長、面積問題題型二：圓錐曲線中的定點問題題型三：圓錐曲線中的定值、恒成立問題題型四：圓錐曲線中的定直線問題題型五：圓錐曲線中的存在性問題題型六：圓錐曲線中的范圍與最值問題題型七：斜率之和差商積問題題型八：圓錐曲線中的切線問題【題型分類精編精析】：題型一：圓錐曲線中的弦長、面積問題1.（安徽省A10聯(lián)盟2024屆高三4月質(zhì)量檢測）已知橢圓C：的短軸長為4，過右焦點F的動直線與C交于A，B兩點，點A，B在x軸上的投影分別為，（在的左側(cè)）；當(dāng)直線的傾斜角為135°時，線段的中點坐標(biāo)為.（1）求的方程；（2）若圓：，判斷以線段為直徑的圓與圓的位置關(guān)系，并說明理由；（3）若直線與直線交于點M，的面積為，求直線的方程.題型二：圓錐曲線中的定點問題1.（山東省“齊魯名校聯(lián)盟”2023—2024學(xué)年高三年級第七次聯(lián)考）已知直線與曲線．（1）若與交于，兩點，點，直線與的斜率之積為1，證明：直線過定點；（2）若與相切于點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點，求的最小值．題型三：圓錐曲線中的定值、恒成立問題1.（2024屆河北省承德市部分高中二模）圓?橢圓?雙曲線都有對稱中心，統(tǒng)稱為有心圓錐曲線，如下方式可以得到部分的有心圓錐曲線，已知動點與定點的距離和到定直線的距離的比為常數(shù)其中且記點的軌跡為曲線.（1）求的方程，并說明軌跡的形狀；（2）設(shè)點若曲線上兩動點均在軸上方且與相交于點.（i）當(dāng)時，求證：的值及的周長均為定值；（ii）當(dāng)時，記的面積為其內(nèi)切圓半徑為試探究是否存在常數(shù)使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，請說明理由.2.（江西省新余市20232024學(xué)年高三年級第二次模擬考試）通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫做把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P，（1）已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標(biāo)：（2）已知二次方程的圖像是由平面直角坐標(biāo)系下某標(biāo)準(zhǔn)橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標(biāo)軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M、N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G、H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.3.（湖北省十一校20232024學(xué)年高三下學(xué)期第二次聯(lián)考）已知橢圓的離心率為，，分別為橢圓的左頂點和上頂點，為左焦點，且的面積為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（2）設(shè)橢圓的右頂點為、是橢圓上不與頂點重合的動點．（i）若點，點在橢圓上且位于軸下方，直線交軸于點，設(shè)和的面積分別為，若，求點的坐標(biāo)：（ii）若直線與直線交于點，直線交軸于點，求證：為定值，并求出此定值（其中、分別為直線和直線的斜率）．4.（湖南省2024屆新高考教學(xué)教研聯(lián)盟高三第二次聯(lián)考）已知拋物線，焦點為，過作兩條關(guān)于直線對稱的直線分別交于兩點．（1）判斷直線的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由．（2）若三點在拋物線上，且滿足，證明三個頂點的橫坐標(biāo)均小于2．題型四：圓錐曲線中的定直線問題1．（新疆烏魯木齊地區(qū)2024年高三年級第三次質(zhì)量監(jiān)測）已知拋物線，的三邊AB，AC，BC所在直線分別與拋物線相切于點M，N，D，點．（1）求直線MN的方程；（2）證明；（3）證明的垂心H在定直線上．2.（河北省滄衡名校聯(lián)盟高三年級模擬考試）已知雙曲線的一條漸近線為，實軸長為，為上一點.（1）求雙曲線的方程；（2）（i）證明：直線與雙曲線相切于點；（ii）若直線與雙曲線相切，為雙曲線的右焦點，且，試判斷點是否在定直線上，若在定直線上，求出該直線方程；若不在定直線上，請說明理由.3．（2024屆遼寧省撫順市六校協(xié)作體高三下學(xué)期第三次模擬）如圖所示，在圓錐內(nèi)放人兩個球，它們都與圓錐的側(cè)面相切（即與圓錐的每條母線相切），且這兩個球都與平面相切，切點分別為，數(shù)學(xué)家丹德林利用這個模型證明了平面與圓錐側(cè)面的交線為橢圓，記為為橢圓的兩個焦點．設(shè)直線分別與該圓錐的母線交于兩點，過點的母線分別與球相切于兩點，已知．以直線為軸，在平面內(nèi)，以線段的中垂線為軸，建立平面直角坐標(biāo)系．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）點在直線上，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，是橢圓的左、右頂點，連接，設(shè)直線與交于點．證明：點在直線上．題型五：圓錐曲線中的存在性問題1.（湖南省邵陽市2024屆高三第二次聯(lián)考）已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線上，直線與雙曲線交于兩點.（1）若經(jīng)過點，且，求；（2）若經(jīng)過點，且兩點在雙曲線的左支上，則在軸上是否存在定點，使得為定值.若存在，請求出面積的最小值；若不存在，請說明理由.2．（2023學(xué)年第二學(xué)期杭州市高三年級教學(xué)質(zhì)量檢測）已知是橢圓的左，右頂點，點與橢圓上的點的距離的最小值為1．（1）求點的坐標(biāo)．（2）過點作直線交橢圓于兩點（與不重合），連接，交于點．（?。┳C明：點在定直線上；（ⅱ）是否存在點使得，若存在，求出直線的斜率；若不存在，請說明理由．題型六：圓錐曲線中的范圍與最值問題1．（2024屆河北省名校聯(lián)盟高三下學(xué)期4月第二次聯(lián)考）已知橢圓，直線與橢圓交于A、B兩點，為坐標(biāo)原點，且，，垂足為點．(1)求點的軌跡方程；(2)求面積的取值范圍．2.（遼寧省鞍山市普通高中2023—2024學(xué)年度高三第二次質(zhì)量監(jiān)測）焦點在軸上的橢圓的左頂點為，，，為橢圓上不同三點，且當(dāng)時，直線和直線的斜率之積為．（1）求的值；（2）若的面積為1，求和的值；（3）在（2）的條件下，設(shè)的中點為，求的最大值．3.（2024年大連市高三第一次模擬考試）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點O為坐標(biāo)原點，已知兩點，點M滿足，記點M的軌跡為G．（1）求曲線G的方程：（2）若P，C，D為曲線G上的三個動點，的平分線交x軸于點，點Q到直線PC的距離為1．（?。┤酎cQ為重心，用a表示點P的坐標(biāo)；（ⅱ）若，求a的取值范圍．4.（萍鄉(xiāng)市2023—2024學(xué)年度高三二?？荚囋嚲恚┮阎獧E圓的離心率為是上的不同兩點，且直線的斜率為1，當(dāng)直線過原點時，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，點都不在軸上，連接，分別交于兩點，求點到直線的距離的最大值.5.（山東省聊城市2024屆高三下學(xué)期模擬考試（二模））已知橢圓的短軸長為2，離心率為.（1）求的方程；（2）直線與交于兩點，與軸交于點，與軸交于點，且.（?。┊?dāng)時，求的值；（ⅱ）當(dāng)時，求點到的距離的最大值.6.（江西省上饒市2024屆第二次高考模擬考試）已知離心率為的橢圓與拋物線有相同的焦點，且拋物線經(jīng)過點，是坐標(biāo)原點.（1）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與拋物線交于兩點，與橢圓交于兩點，若的內(nèi)切圓圓心始終在直線上，求面積的最大值.7.（湖南省2024屆高三“一起考”大聯(lián)考）已知雙曲線E：（，）一個頂點為，直線l過點交雙曲線右支于M，N兩點，記，，的面積分別為S，，.當(dāng)l與x軸垂直時，的值為.（1）求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若l交y軸于點P，，，求證：為定值；（3）在（2）的條件下，若，當(dāng)時，求實數(shù)m的取值范圍.8.（2024屆湖北省高中畢業(yè)生四月模擬考試）已知橢圓和的離心率相同，設(shè)的右頂點為，的左頂點為，，（1）證明：；（2）設(shè)直線與的另一個交點為P，直線與的另一個交點為Q，連，求的最大值.參考公式：9．（天域全國名校協(xié)作體20232024學(xué)年高三下學(xué)期聯(lián)考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓的離心率為e，已知橢圓長軸長是短軸長的2倍，且橢圓W過點．（1）求橢圓W的方程；（2）已知平行四邊形ABCD的四個頂點均在W上，求平行四邊形ABCD的面積S的最大值．題型七：斜率之和差商積問題1.（2024屆明日之星高考數(shù)學(xué)精英模擬卷）以雙曲線的右焦點F為圓心作圓，與C的一條漸近線相切于點.（1）求C的方程.（2）在x軸上是否存在定點M，過點M任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線l，當(dāng)l與C交于A，B兩點時，直線，的斜率之和為定值？若存在，求出M點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.2.（湖南省益陽市2024屆高三下學(xué)期4月教學(xué)質(zhì)量檢測）已知直線與橢圓相交于點，點在第一象限內(nèi)，分別為橢圓的左、右焦點．（1）設(shè)點到直線的距離分別為，求的取值范圍；（2）已知橢圓在點處的切線為．（i）求證：切線的方程為；（ii）設(shè)射線交于點，求證：為等腰三角形．題型八：圓錐曲線中的切線問題1.（安徽省黃山市2024屆高中畢業(yè)班第二次質(zhì)量檢測）已知為拋物線上的動點，為圓上的動點，若的最小值為.（1）求的值；（2）若動點在軸上方，過作圓的兩條切線分別交拋物線于另外兩點，且滿足，求直線的方程．