第3章《勾股定理》-2024-2025學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷（蘇科版）

2024-2025學(xué)年八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)單元測(cè)試卷第3章《勾股定理》一、單選題（每題3分，共24分）1．下列幾組數(shù)中，能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度的是（

）A．4，5，6 B．1，1， C．6，8，11 D．5，12，232．在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，則該三角形為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形3．下列選項(xiàng)中，不能用來(lái)證明勾股定理的是（

）A．B．C．D．4．如圖，AB=BC=CD=DE=1，且BC⊥AB，CD⊥AC，DE⊥AD，則線段AE的長(zhǎng)為（

）．

A． B．2 C． D．35．已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足，則△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形6．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＋b＝14，c＝10，則△ABC的面積為（）A．48 B．24 C．96 D．207．如圖，在Rt△ABC中，，是邊上的一點(diǎn)，作，垂足為，則的最小值是（

）

A． B． C． D．8．如圖，小方格的面積是1，則圖中以格點(diǎn)為端點(diǎn)且長(zhǎng)度為5的線段有（

）A．4條 B．3條 C．2條 D．1條二、填空題（每題3分，共30分）9．在△ABC中，為邊上的高，，,的面積為12，邊的長(zhǎng)為．10．已知一直角三角形中兩邊長(zhǎng)分別為和，則第三邊的平方是．11．在△ABC中，，已知，則12．《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一，在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問(wèn)折者高幾何？”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是：如圖所示，中，，，，求的長(zhǎng)，如果設(shè)，則可列方程為．

13．一只螞蟻從長(zhǎng)、寬都是，高是的長(zhǎng)方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是cm．

14．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的邊長(zhǎng)為，則圖中五個(gè)正方形A、B、C、D、E的面積和為．15．如圖，供給船要給C島運(yùn)送物資，從海岸線AB的港口A出發(fā)向北偏東40°方向直線航行60nmile到達(dá)C島．測(cè)得海岸線上的港口B在C島南偏東50°方向．若A，B兩港口之間的距離為65nmile，則C島到港口B的距離是nmile．16．如圖，長(zhǎng)方形中，，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，連接，則的最小值為17．如圖，和都是等腰直角三角形，，的頂點(diǎn)A在的斜邊DE上，連接BD，有下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的結(jié)論有（填序號(hào)）18．課本中有這樣一句話：“利用勾股定理可以作出，，…線段（如圖所示）．”即：，過(guò)A作且，根據(jù)勾股定理，得；再過(guò)作且，得；…以此類推，得．三、解答題（一共9題，共86分）19．（本題8分）如圖，5×5網(wǎng)格中每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1，△ABC的頂點(diǎn)均為網(wǎng)格上的格點(diǎn)．（1）AB2＝．BC2＝．AC2＝．（2）∠ABC＝°．（3）在格點(diǎn)上存在點(diǎn)P，使∠APC＝90°，請(qǐng)?jiān)趫D中標(biāo)出所有滿足條件的格點(diǎn)P．（用P1、P2……表示）20．（本題8分）如圖，△ABC中，BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，且BD2﹣DA2＝AC2．（1）求證：∠A＝90°；（2）若AB＝8，AD：BD＝3：5，求AC的長(zhǎng)．21．（本題10分）一架方梯長(zhǎng)25米，如圖所示，斜靠在一面上：

（1）若梯子底端離墻7米，這個(gè)梯子的頂端距地面有多高？（2）在（1）的條件下，如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了幾米？22．（本題12分）在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，我們學(xué)會(huì)運(yùn)用圖（Ⅰ）驗(yàn)證它的正確性；圖中大正方形的面積可表示為：，也可表示為：，即由此推出勾股定理，這種根據(jù)圖形可以極簡(jiǎn)單地直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱“無(wú)字證明”．

（1）請(qǐng)你用圖（II）（2002年國(guó)際數(shù)字家大會(huì)會(huì)標(biāo)）的面積表達(dá)式驗(yàn)證勾股定理（其中四個(gè)直角三角形全等）；（2）請(qǐng)你用（III）提供的圖形進(jìn)行組合，用組合圖形的面積表達(dá)式驗(yàn)證；（3）請(qǐng)你自己設(shè)計(jì)圖形的組合，用其面積表達(dá)式驗(yàn)證：．23．（本題8分）如圖第4號(hào)臺(tái)風(fēng)“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省紹興市境內(nèi)的B處，最大風(fēng)力有9級(jí)（23m/s），中心最低氣壓為990百帕，臺(tái)風(fēng)中心沿東北（BC）方向以25km/h的速度向D移動(dòng)在距離B地250km的正北方有一A地，已知A地到BC的距離AD＝70km，那么臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間從B點(diǎn)移到D點(diǎn)？如果在距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都將有受到臺(tái)風(fēng)破壞的危險(xiǎn)，正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的幾個(gè)小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)？24．（本題8分）如圖所示，將長(zhǎng)方形ABCD沿直線BD折疊，使點(diǎn)C落在點(diǎn)C′處，BC′交AD于點(diǎn)E，AD＝16，AB＝8，求DE的長(zhǎng)．25．（本題10分）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝7cm，AC＝25cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AB方向以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B，點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC方向以6cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)．（1）求BC的長(zhǎng)；（2）當(dāng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)2s時(shí)，求P，Q兩點(diǎn)之間的距離；（3）P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)幾秒時(shí)，AP＝CQ?

26．（本題8分）如圖，紅星村A和幸福村B在一條小河CD的同側(cè)，它們到河岸的距離AC，BD分別為1km和3km，又知道CD的長(zhǎng)為3km，現(xiàn)要在河岸CD上建一水廠向兩村輸送自來(lái)水，鋪設(shè)水管的工程費(fèi)用為每千米20000元．（1）請(qǐng)?jiān)贑D上選擇水廠位置，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最?。ㄗ鲌D工具不限，保留作圖痕跡）；（2）求鋪設(shè)水管的最省總費(fèi)用．27．（本題14分）我們知道，圖形的運(yùn)動(dòng)只改變圖形的位置，不改變圖形的形狀、大小，運(yùn)動(dòng)前后的兩個(gè)圖形全等，翻折就是這樣．如圖1，將△ABC沿AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C'處，則△ADC≌△ADC'．嘗試解決：（1）如圖2，△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，將△ABC沿AD翻折，使點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)C'處，求CD的長(zhǎng)．（2）如圖3，在長(zhǎng)方形ABCD中，AB=8，AD=6，點(diǎn)P在邊AD上，連接BP，將△ABP沿BP翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，PE、BE分別與CD交于點(diǎn)G、F，且DG=EG．①求證：PE=DF；②求AP的長(zhǎng)．參考答案一、單選題（每題3分，共24分）1．B【詳解】解：A、因?yàn)?2+52≠62，所以不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，故本選項(xiàng)不符合題意；B、因?yàn)?，所以能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，故本選項(xiàng)符合題意；C、因?yàn)?2+82≠112，所以不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)度，故本選項(xiàng)不符合題意；D、因?yàn)?+12＜23，不能構(gòu)成三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；故選：B．2．B【詳解】解：∵在△ABC中，BC=6，AC=8，AB=10，∵BC2+AC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，故選：B．3．D【詳解】解：、四個(gè)直角三角形的面積小正方形的面積大正方形的面積，，整理得，可以證明勾股定理，不符合題意；、四個(gè)直角三角形的面積小正方形的面積大正方形的面積，，整理得，可以證明勾股定理，不符合題意；、三個(gè)直角三角形的面積和梯形的面積，，整理得，可以證明勾股定理，不符合題意；、不能證明勾股定理，故此選項(xiàng)符合題意，故選：．4．B【詳解】解：∵，，∴，∵，，∴，∵，，∴，故選：B．5．D【詳解】解：∵，∴或，∴或，∴是等腰三角形或直角三角形，故選：D．6．B【詳解】因?yàn)樵赗t△ABC中,∠C＝90°,根據(jù)勾股定理可得:a2因?yàn)閏＝10,所以,又因?yàn)閍＋b＝14,所以,即,所以:2ab=196-100=96,即,根據(jù)直角三角形面積公式可得,即.故選B.7．C【詳解】解：連接，∵，，∴四邊形是矩形，∴，當(dāng)時(shí)，有最小值，∴，∴在中，，在中，，∵，∴，∴，∴，∴在中，，∴即的最小值為，∴的最小值為，故選．

8．A【詳解】解：如圖所示，共4條．故選：A．二、填空題（每題3分，共30分）9．5或/或5【詳解】解：分兩種情況考慮：∵，，的面積為12，，∴，∴，①當(dāng)在內(nèi)，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：；②當(dāng)在外，如圖所示，在中，根據(jù)勾股定理得：，∴，在中，根據(jù)勾股定理得：；故答案為：5或．10．或【詳解】解：設(shè)第三邊為x，（1）若13是直角邊，則第三邊x是斜邊，由勾股定理得：，∴；（2）若13是斜邊，則第三邊x為直角邊，由勾股定理得：，∴,∴第三邊的平方是或．故答案為：或．11．4【詳解】解：在中，，，故答案為：4．12．【詳解】解：，，，，，，即，則可列方程為，故答案為：．13．10【詳解】解：如圖1所示：

；如圖2所示：．∵，∴螞蟻爬行的最短路程是．故答案為：10．14．98【詳解】解：設(shè)正方形A、B、C、D的邊長(zhǎng)分別是a、b、c、d，則正方形A的面積，正方形B的面積，正方形C的面積，正方形D的面積，又∵，，∴正方形A、B、C、D、E的面積和．即正方形A，B，C，D、E的面積的和為．故答案為：98．15．25【詳解】根據(jù)題意可知，∴．在中，，，∴（nmile）．故答案為：25．16．15【詳解】如圖：作F關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)E，則，的長(zhǎng)即為的最小值．長(zhǎng)方形中，，F(xiàn)為的中點(diǎn)，∴，∴，∴，即的最小值為15．故答案為：15．17．①②③④【詳解】解：∵和都是等腰直角三角形，∴，∴，即：，∵，∴，∴，故①正確；由三角形外角定理，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，故②正確；∵，∴，∵，∴，即：，故③正確；∵，∴在中，，∵為等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，故④正確；故答案為：①②③④．18．【詳解】解：……∴故答案為：．三、解答題（一共9題，共86分）19．（1）5，20，25；（2）90；（3）答案見(jiàn)詳解．【詳解】（1）解：，,，故答案為：5，20，25．（2）解：，，故答案為：．（3）解：，；，；，．故如圖所示，為所求．20．（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】（1）證明：連接CD，∵BC的垂直平分線DE分別交AB、BC于點(diǎn)D、E，∴CD＝DB，∵BD2﹣DA2＝AC2，∴CD2﹣DA2＝AC2，∴CD2＝AD2+AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠A＝90°；（2）解：∵AB＝8，AD：BD＝3：5，∴AD＝3，BD＝5，∴DC＝5，∴AC＝．21．（1）梯子的頂端距地面24米（2）梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米【詳解】（1）解：在中，（米），（米），∴（米），答：梯子的頂端距地面24米；（2）解：在中，（米），∴（米），∴（米），答：梯子的底端在水平方向滑動(dòng)了8米．22．（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）見(jiàn)解析【詳解】（1）解：由圖可得：大正方形的面積為：，中間小正方形面積為：，四個(gè)直角三角形面積和為：，由圖形關(guān)系可知：大正方形面積=小正方形面積+四直角三角形面積，則有：，即：；（2）如圖示：

大正方形邊長(zhǎng)為所以面積為：，因?yàn)樗拿娣e也等于兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為和兩個(gè)長(zhǎng)為寬為的矩形面積之和，即，所以有：成立．（3）如圖所示：

滿足面積表達(dá)式：．23．臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)小時(shí)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)．【詳解】解：在ΔABD中，根據(jù)勾股定理，BD===240（km），則臺(tái)風(fēng)中心經(jīng)過(guò)240÷25=小時(shí)從B點(diǎn)移到D點(diǎn)，如圖，距臺(tái)風(fēng)中心70km的圓形區(qū)域內(nèi)都會(huì)受到不同程度的影響，∴所以人們要在臺(tái)風(fēng)中心到達(dá)E點(diǎn)之前撤離，∵BE=BD-DE=240-70=170km，170÷25=（小時(shí)），∴正在D點(diǎn)休閑的游人在接到臺(tái)風(fēng)警報(bào)后的小時(shí)內(nèi)撤離才可脫離危險(xiǎn)．24．DE＝10.【詳解】解:由折疊的性質(zhì),得:CD＝C′D＝AB＝8,∠C＝∠C′＝90°.設(shè)DE＝x,則AE＝16－x.在△ABE和△C′DE中,∴△ABE≌△C′DE,∴BE＝DE＝x,在Rt△ABE中,由勾股定理得:AB2＋AE2＝BE2,即82＋（16－x）2＝x2,解得x＝10，即DE＝10.25．（1）BC＝24cm；（2）PQ＝13cm；（3）P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)s時(shí)，AP＝CQ.【詳解】解:（1）∵在Rt△ABC中,∠B＝90°,AB＝7cm,AC＝25cm∴BC2＝AC2－AB2＝252－72＝242,∴BC＝24cm.（2）連接PQ,由題意知BP＝7－2＝5（cm）,BQ＝6×2＝12（cm），在Rt△BPQ中,由勾股定理,得:PQ＝BP2＋BQ2＝52＋122＝132,∴PQ＝13cm.（3）設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)ts時(shí),AP＝CQ,則t＝24－6t,解得t＝.答:P,Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)s時(shí),AP＝CQ.26．（1）見(jiàn)解析；（2）100000元．【詳解】解：（1）延長(zhǎng)AC到F，使CF＝AC，連接BF，交CD于E，∵AC⊥CD，∴AE＝FE，∴AE＋BE＝FE＋BE＝BF，則在CD上選擇水廠位置是E時(shí)，使鋪設(shè)管道的費(fèi)用最?。唬?）如上圖，過(guò)B作BN⊥CA，交CA的延長(zhǎng)線于N，∴BN＝CD＝3km，CN＝BD＝3km，∵AC＝CF＝1km，∴NF＝4km，在Rt△BNF中，由勾股定理得：BF＝km，∵AC⊥CD，AC＝CF，∴AE＝FE，∴AE＋BE＝EF＋BE＝BF＝5km，∴鋪設(shè)水管的最最省總費(fèi)用