解析：2023年湖南省婁底市中考數(shù)學(xué)真題（解析版）

婁底市2023年學(xué)校畢業(yè)學(xué)業(yè)考試試題卷數(shù)學(xué)溫馨提示：1．本學(xué)科試卷分試題卷和答題卡兩部分，數(shù)學(xué)卷面滿分120分，考試時(shí)量120分鐘．2．請(qǐng)你將姓名、準(zhǔn)考證號(hào)等相關(guān)信息按要求填涂在答題卡上．3．請(qǐng)你在答題卡規(guī)定區(qū)域內(nèi)作答，答在本試題卷上無(wú)效．一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)把你認(rèn)為符合題目要求的選項(xiàng)填涂在答題卡上相應(yīng)題號(hào)下的方框里）1.倒數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)倒數(shù)的定義，乘積為的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)，由此即可求解．【詳解】解：∵，∴倒數(shù)是，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查倒數(shù)的概念，把握相關(guān)概念及計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算可推斷A，依據(jù)合并同類(lèi)項(xiàng)可推斷B，依據(jù)平方差公式可推斷C，依據(jù)積的乘方運(yùn)算可推斷D，從而可得答案．【詳解】解：，故A不符合題意；，不是同類(lèi)項(xiàng)，不能合并，故B不符合題意；，故C不符合題意；，運(yùn)算正確，故D符合題意；故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法運(yùn)算，合并同類(lèi)項(xiàng)，平方差公式的應(yīng)用，積的乘方運(yùn)算，熟記以上基礎(chǔ)的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．3.新時(shí)代我國(guó)教育事業(yè)取得了歷史性成就，目前我國(guó)已建成世界上規(guī)模最大的教育體系，教育現(xiàn)代化進(jìn)展總體水平跨入世界中上國(guó)家行列，其中高等教育在學(xué)總規(guī)模達(dá)到4430萬(wàn)人，處于高等教育普及化階段．4430萬(wàn)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的確定值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同，當(dāng)原數(shù)確定值時(shí)，n是正整數(shù)，當(dāng)原數(shù)確定值時(shí)，n是負(fù)整數(shù)．【詳解】解：4430萬(wàn)，故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法．科學(xué)記數(shù)法的表示形式為的形式，其中，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值．4.一個(gè)小組7名同學(xué)的身高（單位：）分別為：175，160，158，155，168，151，170．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（）A.151 B.155 C.158 D.160【答案】D【解析】【分析】找中位數(shù)要把數(shù)據(jù)按從小到大的挨次排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)或兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)為中位數(shù)．【詳解】解：由于此數(shù)據(jù)依據(jù)從小到大的挨次排列為151，155，158，160，168，170，175．發(fā)覺(jué)160處在第4位．所以這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是160，故選：D．【點(diǎn)睛】本題屬于基礎(chǔ)題，考查了確定一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)的力量．留意找中位數(shù)的時(shí)候肯定要先排好挨次，然后再依據(jù)奇數(shù)和偶數(shù)個(gè)來(lái)確定中位數(shù)，假如數(shù)據(jù)有奇數(shù)個(gè)，則正中間的數(shù)字即為所求；假如是偶數(shù)個(gè)，則找中間兩位數(shù)的平均數(shù)．5.不等式組的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分別求出各不等式的解集，再利用數(shù)軸表示解集的公共部分即可．【詳解】解：，由①得：，由②得：，在數(shù)軸上表示兩個(gè)不等式的解集如下：∴不等式組的解集為：；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個(gè)不等式解集是基礎(chǔ)，熟知大于向右拐，小于向左拐的原則是解答此題的關(guān)鍵．6.將直線向右平移2個(gè)單位所得直線的表達(dá)式為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接依據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律求解即可.【詳解】解：將直線向右平移2個(gè)單位，所得直線的解析式為，即，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查一次函數(shù)圖象與幾何變換，在平面直角坐標(biāo)系中，平移后解析式有這樣一個(gè)規(guī)律“左加右減，上加下減”.7.從，3.1415926，，，，，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先推斷出，是無(wú)理數(shù)，再依據(jù)概率公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴，3.1415926，，，，，中無(wú)理數(shù)有：，，∴從，3.1415926，，，，，中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，此數(shù)是無(wú)理數(shù)的概率是；故選A【點(diǎn)睛】本題考查的是求解一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，立方根，無(wú)理數(shù)的含義，利用概率公式求解簡(jiǎn)潔隨機(jī)大事的概率，把握以上基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)是解本題的關(guān)鍵．8.一個(gè)長(zhǎng)方體物體的一頂點(diǎn)所在A、B、C三個(gè)面的面積比是，假如分別按A、B、C面朝上將此物體放在水平地面上，地面所受的壓力產(chǎn)生的壓強(qiáng)分別為、、（壓強(qiáng)的計(jì)算公式為），則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先依據(jù)長(zhǎng)方體的性質(zhì)，得出相對(duì)面的面積相等，再依據(jù)物體的壓力不變，結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析，即可得出答案．【詳解】解：∵長(zhǎng)方體物體的一頂點(diǎn)所在A、B、C三個(gè)面的面積比是，∴長(zhǎng)方體物體的A、B、C三面所對(duì)的與水平地面接觸的面積比也為，∵，，且肯定，∴隨的增大而減小，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵在嫻熟把握反比例函數(shù)的性質(zhì)．9.如圖，正六邊形的外接圓的半徑為2，過(guò)圓心O的兩條直線、的夾角為，則圖中的陰影部分的面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點(diǎn)共線，為等邊三角形，證明扇形與扇形重合，可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接，標(biāo)注直線與圓的交點(diǎn)，由正六邊形的性質(zhì)可得：，，三點(diǎn)共線，為等邊三角形，∴，，∴，∴扇形與扇形重合，∴，∵為等邊三角形，，過(guò)作于，∴，，，∴；故選C【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓，扇形面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，熟記正六邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．10.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示，給出下列結(jié)論：①；②；③（m為任意實(shí)數(shù)）；④若點(diǎn)和點(diǎn)在該圖象上，則．其中正確的結(jié)論是（）A.①② B.①④ C.②③ D.②④【答案】D【解析】【分析】由拋物線的開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左邊，可得，，，故①不符合題意；當(dāng)與時(shí)的函數(shù)值相等，可得，故②符合題意；當(dāng)時(shí)函數(shù)值最大，可得，故③不符合題意；由點(diǎn)和點(diǎn)在該圖象上，而，且離拋物線的對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越小，可得④符合題意．【詳解】解：∵拋物線的開(kāi)口向下，與y軸交于正半軸，對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左邊，∴，，，∴，∴，故①不符合題意；∵對(duì)稱(chēng)軸為直線，∴當(dāng)與時(shí)的函數(shù)值相等，∴，故②符合題意；∵當(dāng)時(shí)函數(shù)值最大，∴，∴；故③不符合題意；∵點(diǎn)和點(diǎn)在該圖象上，而，且離拋物線的對(duì)稱(chēng)軸越遠(yuǎn)的點(diǎn)的函數(shù)值越小，∴．故④符合題意；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的開(kāi)口方向，與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)稱(chēng)軸方程，增減性的判定，函數(shù)的最值這些學(xué)問(wèn)點(diǎn)是解本題的關(guān)鍵．11.從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的全部組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號(hào)表示，（，n、m為正整數(shù)）；例如：，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)新定義分別進(jìn)行計(jì)算比較即可得解．【詳解】解：∵，∴，A選項(xiàng)，，B選項(xiàng)，，C選項(xiàng)，，D選項(xiàng)，，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了新定義運(yùn)算以及求代數(shù)式的值．正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．12.我國(guó)南宋有名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)學(xué)九章》一書(shū)中，給出了這樣的一個(gè)結(jié)論：三邊分別為a、b、c的的面積為．的邊a、b、c所對(duì)的角分別是∠A、∠B、∠C，則．下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題利用三角函數(shù)間的關(guān)系和面積相等進(jìn)行變形解題即可．【詳解】解：∵，，∴即，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等式利用等式的性質(zhì)解題化簡(jiǎn)，生疏是解題的關(guān)鍵．二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）13.函數(shù)y＝的自變量x的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】x≥－1【解析】【詳解】由題意得，x+1≥0，解得x≥﹣1．故答案為x≥﹣1．14.若m是方程的根，則______．【答案】6【解析】【分析】由m是方程的根，可得，把化為，再通分變形即可．【詳解】解：∵m是方程的根，∴，即，∴；【點(diǎn)睛】本題考查的是一元二次方程的解的含義，分式的化簡(jiǎn)求值，精確?????的把原分式變形，再求值是解本題的關(guān)鍵．15.如圖，點(diǎn)E在矩形的邊上，將沿折疊，點(diǎn)D恰好落在邊上的點(diǎn)F處，若．，則______．【答案】5【解析】【分析】利用矩形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得，，可得，，設(shè)，則，利用勾股定理可得，進(jìn)而可得結(jié)果．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，，依據(jù)折疊可知，可知，，則，在中，，則，∴，則，設(shè)，則，在中，，即：，解得：，即：，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、解直角三角形，機(jī)敏運(yùn)用折疊的性質(zhì)得到相等線段是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．16.如圖，在中，，，邊上的高，將圍著所在的直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體的表面積為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】由圓錐的側(cè)面開(kāi)放圖是扇形，可得圓錐的側(cè)面積公式，再依據(jù)題干數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可得：旋轉(zhuǎn)后的幾何體是兩個(gè)共底面的圓錐，∵邊上的高，∴底面圓的周長(zhǎng)為：，∵，，∴幾何體的表面積為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓錐的側(cè)面積的計(jì)算，幾何體的形成，熟記圓錐的側(cè)面積公式是解本題的關(guān)鍵．17.如圖，拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在拋物線上，當(dāng)軸時(shí)，______．【答案】4【解析】【分析】與拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，可得拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，由軸，可得，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，可得，從而可得答案．【詳解】解：∵拋物線與x軸相交于點(diǎn)、點(diǎn)，∴拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵當(dāng)時(shí)，，即，∵軸，∴，關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴，∴；故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查的是利用拋物線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)求解對(duì)稱(chēng)軸方程，嫻熟的利用拋物線的對(duì)稱(chēng)性解題是關(guān)鍵．18.若干個(gè)同學(xué)參與課后社團(tuán)——舞蹈活動(dòng)，一次排練中，先到的n個(gè)同學(xué)均勻排成一個(gè)以O(shè)點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓圈（每個(gè)同學(xué)對(duì)應(yīng)圓周上一個(gè)點(diǎn)），又來(lái)了兩個(gè)同學(xué)，先到的同學(xué)都沿各自所在半徑往后移a米，再左右調(diào)整位置，使這個(gè)同學(xué)之間的距離與原來(lái)n個(gè)同學(xué)之間的距離（即在圓周上兩人之間的圓弧的長(zhǎng)）相等．這個(gè)同學(xué)排成圓圈后，又有一個(gè)同學(xué)要加入隊(duì)伍，重復(fù)前面的操作，則每人須往后移______米（請(qǐng)用關(guān)于a的代數(shù)式表示），才能使得這個(gè)同學(xué)之間的距離與原來(lái)n個(gè)同學(xué)之間的距離相等．【答案】【解析】【分析】由第一次操作可得：，則，設(shè)其次次操作時(shí)每位同學(xué)向后移動(dòng)了x米，可得，解得，再代入化簡(jiǎn)即可．【詳解】解：由第一次操作可得：，∴，設(shè)其次次操作時(shí)每位同學(xué)向后移動(dòng)了x米，則，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式的化簡(jiǎn)，精確?????的理解題意確定相等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共2小題，每小題6分，共12分）19.計(jì)算：．【答案】【解析】【分析】先計(jì)算零次冪，化簡(jiǎn)確定值，化簡(jiǎn)二次根式，求解特殊角的正切，再合并即可．【詳解】解：．【點(diǎn)睛】本題考查的是含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，零次冪的含義，化簡(jiǎn)確定值，二次根式，熟記相關(guān)概念與運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．20.先化簡(jiǎn)，再求值：，其中x滿足．【答案】；2【解析】【分析】先計(jì)算括號(hào)內(nèi)的分式的減法運(yùn)算，再把除法化為乘法運(yùn)算，得到化簡(jiǎn)的結(jié)果，再整體代入計(jì)算即可．【詳解】解：；∵，∴，其中，∴原式．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式的化簡(jiǎn)求值，嫻熟的化簡(jiǎn)分式并整體代入進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵．四、解答題（本大題共2小題，每小題8分，共16分）21.某區(qū)教育局為了了解某班級(jí)同學(xué)對(duì)科學(xué)學(xué)問(wèn)的把握狀況，在全區(qū)范圍內(nèi)隨機(jī)抽取若干名同學(xué)進(jìn)行科學(xué)學(xué)問(wèn)測(cè)試，依據(jù)測(cè)試成果分優(yōu)秀、良好、合格與不合格四個(gè)等級(jí)，并繪制了如下兩幅不完整統(tǒng)計(jì)圖．（1）參與本次測(cè)試的同學(xué)人數(shù)為_(kāi)_____，______．（2）請(qǐng)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖．（3）若全區(qū)該年紀(jì)共有5000名同學(xué)，請(qǐng)估量該班級(jí)對(duì)科學(xué)學(xué)問(wèn)把握狀況較好（測(cè)試成果能達(dá)到良好及以上等級(jí)）的同學(xué)人數(shù)．【答案】（1）150人，（2）補(bǔ)全圖形見(jiàn)解析（3）3500人．【解析】【分析】（1）由良好60人除以其占比可得總?cè)藬?shù)，由優(yōu)秀的45人除以總?cè)藬?shù)可得m的值；（2）先利用總?cè)藬?shù)減去優(yōu)秀，良好，不合格，得到合格的人數(shù)，再補(bǔ)全統(tǒng)計(jì)圖即可；（3）由5000乘以測(cè)試成果能達(dá)到良好及以上等級(jí)的同學(xué)人數(shù)的占比可得答案．【小問(wèn)1詳解】解：（人），∴參與本次測(cè)試的同學(xué)人數(shù)為150人，，∴；故答案為：人；30；【小問(wèn)2詳解】∵（人），補(bǔ)全圖形如下：．【小問(wèn)3詳解】（人）；∴全區(qū)該年紀(jì)共有5000名同學(xué)，請(qǐng)估量該班級(jí)對(duì)科學(xué)學(xué)問(wèn)把握狀況較好（測(cè)試成果能達(dá)到良好及以上等級(jí)）的同學(xué)人數(shù)有3500人．【點(diǎn)睛】本題考查的是從條形圖與扇形圖中獵取信息，利用樣本估量總體，能夠正確的讀圖是解本題的關(guān)鍵．22.幾位同學(xué)在老師的指導(dǎo)下到某景區(qū)進(jìn)行戶外實(shí)踐活動(dòng)，在登山途中發(fā)覺(jué)該景區(qū)某兩座山之間風(fēng)景美麗?，但路陡難行，為了便于建議景區(qū)管理處在這兩山頂間建觀光索道，他們分別在兩山頂上取A、B兩點(diǎn)，并過(guò)點(diǎn)B架設(shè)一水平線型軌道（如圖所示），使得，從點(diǎn)B動(dòng)身按方向前進(jìn)20米到達(dá)點(diǎn)E，即米，測(cè)得．已知，，求A、B兩點(diǎn)間的距離．【答案】A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．【解析】【分析】如圖，過(guò)作于，由，設(shè)，則，可得，而，可得，結(jié)合，即，再建立方程求解即可．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，∵，即，設(shè)，則，∴，而，∴，∵，∴，即，∴，解得：，∴（米），答：A、B兩點(diǎn)間的距離為500米．【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，作出合適的幫助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．五、解答題（本大題共2小題，每小題9分，共18分）23.為落實(shí)“五育并舉”，綠化美化環(huán)境，學(xué)校在勞動(dòng)周組織同學(xué)到校內(nèi)周邊種植甲、乙兩種樹(shù)苗．已知購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗3棵，乙種樹(shù)苗2棵共需12元，；購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗1棵，乙種樹(shù)苗3棵共需11元．（1）求每棵甲、乙樹(shù)苗的價(jià)格．（2）本次活動(dòng)共種植了200棵甲、乙樹(shù)苗，假設(shè)所種的樹(shù)苗若干年后全部長(zhǎng)成了參天大樹(shù)，并且平均每棵樹(shù)的價(jià)值（含生態(tài)價(jià)值，經(jīng)濟(jì)價(jià)值）均為原來(lái)樹(shù)苗價(jià)的100倍，要想獲得不低于5萬(wàn)元的價(jià)值，請(qǐng)問(wèn)乙種樹(shù)苗種植數(shù)量不得少于多少棵？【答案】（1）每棵甲種樹(shù)苗的價(jià)格為2元，每棵乙種樹(shù)苗的價(jià)格3元；（2）乙種樹(shù)苗種植數(shù)量不得少于100棵．【解析】【分析】（1）設(shè)每棵甲種樹(shù)苗價(jià)格為x元，每棵乙種樹(shù)苗的價(jià)格y元，由“購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗3棵，乙種樹(shù)苗2棵共需12元，；購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗1棵，乙種樹(shù)苗3棵共需11元”列出方程組，可求解；（2）設(shè)乙種樹(shù)苗種植數(shù)量為m棵，則甲種樹(shù)苗數(shù)量為棵，依據(jù)“獲得不低于5萬(wàn)元的價(jià)值”列不等式解題即可．【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)每棵甲種樹(shù)苗的價(jià)格為x元，每棵乙種樹(shù)苗的價(jià)格y元，由題意可得：，解得：，答：每棵甲種樹(shù)苗的價(jià)格為2元，每棵乙種樹(shù)苗的價(jià)格3元；【小問(wèn)2詳解】設(shè)乙種樹(shù)苗種植數(shù)量為m棵，則甲種樹(shù)苗數(shù)量為棵，∴，解得：，∴的最小整數(shù)解為100．答：乙種樹(shù)苗種植數(shù)量不得少于100棵．【點(diǎn)睛】本題考查的是二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，嫻熟的確定相等關(guān)系與不等關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．24.如圖1，點(diǎn)為等邊的重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，，，（1）求證：四邊形為菱形．（2）如圖2，以點(diǎn)為圓心，為半徑作①推斷直線與的位置關(guān)系，并予以證明．②點(diǎn)劣弧上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)、點(diǎn)不重合），連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求證：為定值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①直線是的切線；②見(jiàn)解析．【解析】【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，由是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，得?，，進(jìn)而證明四邊形是平行四邊形，于是即可得四邊形為菱形；（2）①延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，先證為角平分線，進(jìn)而求得，又由菱形的性質(zhì)得，從而有，于是依據(jù)切線的判定即可得出結(jié)論；②在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，由①得，進(jìn)而求得，再由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求得，從而依據(jù)角的和差關(guān)系求得，于是證明得，即可證明結(jié)論成立．【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，∵是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴中線過(guò)點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，，∴?，，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵?，∴四邊形為菱形；【小問(wèn)2詳解】①解：直線是的切線，理由如下：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，∵是等邊三角形，是重心，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，∴中線過(guò)點(diǎn)，即、、三點(diǎn)共線，，，，∴為的角平分線，∴，∵四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴直線是的切線；②證明：在優(yōu)弧上取一點(diǎn)，連接、，由①得，∵，∴，∴，∴，∵四邊形內(nèi)接于，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴∴∵∴，即為定值．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)，切線的判定以及菱形的判定，嫻熟把握菱形的判定，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，重心的性質(zhì)以及切線的判定定理是解題的關(guān)鍵．六、綜合題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）25.明麗的中華人民共和國(guó)國(guó)旗始終是當(dāng)代中華兒女永不褪色的信仰，國(guó)旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星．為了增加同學(xué)的國(guó)家榮譽(yù)感、民族驕傲感等．?dāng)?shù)學(xué)老師組織同學(xué)對(duì)五角星進(jìn)行了較深化的爭(zhēng)辯．延長(zhǎng)正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形的邊的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F，的平分線交于點(diǎn)M．（1）求證：．（2）若，求的長(zhǎng)．（3）求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）依據(jù)正多邊形的性質(zhì)可以得到，再利用三角形的內(nèi)角和以及角平分線的定義得到，再依據(jù)，可得到，進(jìn)而得到結(jié)論；（2）依據(jù)等角對(duì)等邊可以得到，，再由（1）得結(jié)論得到，解方程可以求出結(jié)果；（3）設(shè)，連接，，依據(jù)正多邊形可以推導(dǎo)出，，則可表示出，然后求出比值．【小問(wèn)1詳解】證明：∵是正五邊形，∴，∴，又∵的平分線交于點(diǎn)M，∴，∴，又∵，∴，∴，即；【小問(wèn)2詳解】解：∵，∴，∴，，∵，∴，解得：或（舍去），∴；【小問(wèn)3詳解】設(shè)，，連接，，則依據(jù)（2）中計(jì)算可得，∵是正五邊形，∴，∴∴，∴，，