2014年高考立體幾何(解析版)

2021年高考真題立體幾何匯編解析版16．〔2021江蘇〕(本小題總分值14分)如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)．．〔1〕求證：直線PA∥平面DEF；〔2〕平面BDE⊥平面ABC．【答案】本小題主要考察直線與直線、直線與平面以及平面與平面的位置關(guān)系，考察空間想象能力和推理論證能力.總分值14分.〔1〕∵為中點(diǎn)∴DE∥PA∵平面DEF，DE平面DEF∴PA∥平面DEF〔2〕∵為中點(diǎn)∴∵為中點(diǎn)∴∴∴，∴DE⊥EF∵，∴∵∴DE⊥平面ABC∵DE平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．17.〔2021山東〕〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是線段的中點(diǎn).〔=1\*ROMANI〕求證：；〔=2\*ROMANII〕假設(shè)垂直于平面且，求平面和平面所成的角〔銳角〕的余弦值.解：〔Ⅰ〕連接為四棱柱，又為的中點(diǎn)，,,為平行四邊形又〔Ⅱ〕方法一：作,連接那么即為所求二面角在中，在中，,方法二：作于點(diǎn)以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間坐標(biāo)系，設(shè)平面的法向量為顯然平面的法向量為顯然二面角為銳角，所以平面和平面所成角的余弦值為18．三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖如下圖。設(shè)，分別為線段，的中點(diǎn)，為線段上的點(diǎn)，且?！?〕證明：為線段的中點(diǎn)；〔2〕求二面角的余弦值。解：〔1〕由三棱錐及其側(cè)視圖、俯視圖可知，在三棱錐中：平面平面，設(shè)為的中點(diǎn)，連接，于是，所以平面因?yàn)椋謩e為線段，的中點(diǎn)，所以，又，故假設(shè)不是線段的中點(diǎn)，那么直線與直線是平面內(nèi)相交直線從而平面，這與矛盾所以為線段的中點(diǎn)〔2〕以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，于是，，設(shè)平面和平面的法向量分別為和由，設(shè)，那么由，設(shè)，那么所以二面角的余弦值17.〔本小題總分值12分〕在平行四邊形中，，.將沿折起，使得平面平面，如圖.求證：；假設(shè)為中點(diǎn)，求直線與平面所成角的正弦值.〔17〕〔2021天津〕〔本小題總分值13分〕如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點(diǎn)為棱的中點(diǎn).〔Ⅰ〕證明；〔Ⅱ〕求直線與平面所成角的正弦值；〔Ⅲ〕假設(shè)為棱上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.〔17〕本小題主要考察空間兩條直線的位置關(guān)系，二面角、直線與平面所成的角，直線與平面垂直等根底知識(shí).考察用空間向量解決立體幾何問題的方法.考察空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.總分值13分.依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系〔如圖〕，可得，，，.由為棱的中點(diǎn)，得.〔Ⅰ〕證明：向量，，故.所以，.〔Ⅱ〕解：向量，.設(shè)為平面的法向量，那么即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.于是有.所以，直線與平面所成角的正弦值為.〔Ⅲ〕解：向量，，，.由點(diǎn)在棱上，設(shè)，.故.由，得，因此，，解得.即.設(shè)為平面的法向量，那么即不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量.取平面的法向量，那么.易知，二面角是銳角，所以其余弦值為.19．〔2021湖南〕〔本小題總分值12分〕如圖6，四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等，四邊形均為矩形．證明：假設(shè)的余弦值．19、〔本小題總分值12份〕解：〔I〕如圖〔a〕，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所?同理。因?yàn)椤?，所以。而，因此底面ABCD。由題設(shè)知，∥。故底面ABCD?！并颉辰夥↖如圖〔a〕，過作于H，連接.由〔I〕知，底面ABCD，所以底面，于是.又因?yàn)樗睦庵鵄BCD-的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形是菱形，因此，從而，所以，于是，進(jìn)而。故是二面角的平面角。不妨設(shè)AB=2。因?yàn)椋?，。在中，易知。而，于是。故。即二面角的余弦值為。解?因?yàn)樗睦庵鵄BCD-的所有棱長(zhǎng)都相等，所以四邊形ABCD是菱形，因此。又底面ABCD，從而OB，OC,兩兩垂直。如圖〔b〕，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB,OC,，所以，于是相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：O(0，0，0)，，.易知，是平面的一個(gè)法向量。設(shè)是平面的一個(gè)法向量，那么即取，那么，所以。設(shè)二面角的大小為，易知是銳角，于是。故二面角的余弦值為18．〔2021廣東〕〔本小題總分值13分〕如圖4，四邊形為正方形，平面，，于點(diǎn)，，交于點(diǎn).〔1〕證明：ABCDABCDEFP18.〔１〕平面，，又，，平面，，又，平面，即；〔２〕設(shè)，那么中，，又，ABCDEFABCDEFPxyz，，，又，，，同理，如下圖，以D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，那么，，，，，設(shè)是平面的法向量，那么，又，所以，令，得，，由〔１〕知平面的一個(gè)法向量，設(shè)二面角的平面角為，可知為銳角，，即所求．20．〔2021安徽〕(此題總分值13分)如圖，四棱柱中，底面.四邊形為梯形，,且.過三點(diǎn)的平面記為，與的交點(diǎn)為?！并瘛匙C明：為的中點(diǎn)；〔Ⅱ〕求此四棱柱被平面所分成上下兩局部的體積之比；〔Ⅲ〕假設(shè)，，梯形的面積為6，求平面與底面所成二面角大小。20．〔本小題總分值13分〕〔Ⅰ〕證：∵∴從而平面與這兩個(gè)平面的交線相互平行，即故與的對(duì)應(yīng)邊相互平行，于是∴，即為的中點(diǎn)?！并颉辰猓喝鐖D，連接QA，QD。設(shè)，梯形ABCD的高為，四棱柱被平面所分成上下兩局部的體積分別為和，，那么。，圖1∴圖1又，∴故〔Ⅲ〕解法1：如圖1，在中，作，垂足為E，連接又，且∴，∴∴為平面和平面ABCD所成二面角的平面角?！?，，∴又∵梯形ABCD的面積為6，DC=2，∴，于是，,故平面和底面ABCD所成二面角的大小為。解法2：如圖2，以D為原點(diǎn)，，分別為軸和軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè)因?yàn)?，所以，從而，設(shè)平面的法向量為由得所以又平面ABCD的法向量所以故平面和底面ABCD所成二面角的大小為。17.〔2021北京〕〔本小題14分〕如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，分別為的中點(diǎn)，在五棱錐中，為棱的中點(diǎn)，平面與棱分別交于點(diǎn).〔1〕求證：；〔2〕假設(shè)底面，且，求直線與平面所成角的大小，并求線段的長(zhǎng).〔17〕〔共14分〕解：〔I〕在正方形中，因?yàn)锽是AM的中點(diǎn)，所以∥。又因?yàn)槠矫鍼DE，所以∥平面PDE，因?yàn)槠矫鍭BF，且平面平面，所以∥?！并颉骋?yàn)榈酌鍭BCDE,所以，.如圖建立空間直角坐標(biāo)系，那么，,,,, .設(shè)平面ABF的法向量為，那么即令，那么。所以，設(shè)直線BC與平面ABF所成角為a,那么。設(shè)點(diǎn)H的坐標(biāo)為。因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)，即。所以。因?yàn)槭瞧矫鍭BF的法向量，所以，即。解得，所以點(diǎn)H的坐標(biāo)為。所以19、〔2021上?！场泊祟}總分值12分〕底面邊長(zhǎng)為2的正三棱錐,其外表展開圖是三角形，如圖，求△的各邊長(zhǎng)及此三棱錐的體積.19.解：∵由題得，三棱錐是正三棱錐∴側(cè)棱與底邊所成角一樣且底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形∴由題得，，又∵三點(diǎn)恰好在構(gòu)成的的三條邊上∴∴∴，三棱錐是邊長(zhǎng)為2的正四面體∴如右圖所示作圖，設(shè)頂點(diǎn)在底面內(nèi)的投影為，連接，并延長(zhǎng)交于∴為中點(diǎn)，為的重心，底面∴，，19〔2021湖北〕(本小題總分值12分)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱,上移動(dòng)，且.當(dāng)時(shí)，證明：直線平面;是否存在，使平面與面所成的二面角？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，說明理由.19〔2021江西〕(本小題總分值12分)如圖，四棱錐中，為矩形，平面平面.求證：假設(shè)問為何值時(shí)，四棱錐的體積最大？并求此時(shí)平面與平面夾角的余弦值.19.〔2021遼寧〕〔本小題總分值12分〕如圖，和所在平面互相垂直，且，，E、F分別為AC、DC的中點(diǎn).〔1〕求證：；〔2〕求二面角的正弦值.〔2021陜西〕〔本小題總分值12分〕四面體及其三視圖如下圖，過被的中點(diǎn)作平行于，的平面分別交四面體的棱于點(diǎn).〔=1\*ROMANI〕證明：四邊