中考數(shù)學(xué)滿分之路【05】瓜豆原理

中考數(shù)學(xué)滿分之路（5）：瓜豆原理【引例】在平面直角坐標(biāo)系中，，，過點(diǎn)作直線//軸，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作，使，且，連接，，則的周長的最小值為______．當(dāng)我們對本題進(jìn)行初步分析后，能較容易將“求周長的最小值”轉(zhuǎn)化為求“的最小值”*，其中，為定點(diǎn)，為動點(diǎn)”，進(jìn)而聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，從而問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為“求點(diǎn)如何運(yùn)動”．*注：有同學(xué)已經(jīng)知道，此處可將打包轉(zhuǎn)換出去，容易求解，后面會進(jìn)一步說明．所謂“瓜豆原理”，是我們在考慮一個動點(diǎn)如何運(yùn)動時的一種思考方向．觀察下列圖形中動點(diǎn)如何運(yùn)動？并嘗試推廣（比如：點(diǎn)在線段上且，點(diǎn)如何運(yùn)動？點(diǎn)在的延長線上，，點(diǎn)如何運(yùn)動？）．①點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)在定直線上運(yùn)動，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)如何運(yùn)動？②點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)在定圓⊙上運(yùn)動，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)如何運(yùn)動？以下討論的均為在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的方向．③點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)在定直線（定圓⊙）上運(yùn)動，，且，則點(diǎn)如何運(yùn)動？④點(diǎn)為定點(diǎn)，，且，若點(diǎn)的運(yùn)動路徑為英文單詞，則點(diǎn)的運(yùn)動路徑什么？⑤點(diǎn)為定點(diǎn)，且，點(diǎn)在定直線（定圓⊙）上運(yùn)動，，則點(diǎn)如何運(yùn)動？【瓜豆原理】若點(diǎn)為定點(diǎn)，為定角，為定值，則點(diǎn)與點(diǎn)的運(yùn)動路徑相同．需注意的是始終在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的方向上（或始終在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)的方向上），即線段是由旋轉(zhuǎn)放縮得來的．【引例】在平面直角坐標(biāo)系中，，，過點(diǎn)作直線//軸，點(diǎn)是直線上的一個動點(diǎn)，以為邊在右側(cè)作，使，且，連接，，則的周長的最小值為______．當(dāng)我們對本題進(jìn)行初步分析后，能較容易將“求周長的最小值”轉(zhuǎn)化為求“的最小值”*，其中，為定點(diǎn)，為動點(diǎn)”，進(jìn)而聯(lián)想到“將軍飲馬”模型，從而問題的關(guān)鍵轉(zhuǎn)化為“求點(diǎn)如何運(yùn)動”．*注：有同學(xué)已經(jīng)知道，此處可將打包轉(zhuǎn)換出去，容易求解，后面會進(jìn)一步說明．當(dāng)點(diǎn)在定直線上運(yùn)動時，點(diǎn)如何運(yùn)動呢？點(diǎn)為定點(diǎn)，，，點(diǎn)在定直線上運(yùn)動，則點(diǎn)在某條直線上運(yùn)動．至于在哪條直線上運(yùn)動，需要抓住題目中不變的信息，即點(diǎn)到直線的距離不變．具體的處理方式如下：如圖，過作于點(diǎn)，作，在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)60°的方向上，射線交直線于點(diǎn)，有∽，進(jìn)而∽，所以，所以點(diǎn)在過點(diǎn)且與垂直的直線上運(yùn)動．【方法小結(jié)】作出垂線段，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)相似．到此，會發(fā)現(xiàn)其實(shí)原題早已經(jīng)給我們做好了一組旋轉(zhuǎn)相似，連接，根據(jù)∽，將整體轉(zhuǎn)化為，容易求解．【反思】思路要靈活，不要固守于某個方法．平時也要多積累各種作法．那么，點(diǎn)在定圓上運(yùn)動時，我們又該如何確定點(diǎn)在哪個定圓上運(yùn)動呢？解決問題的關(guān)鍵仍然在于：抓住題目中不變的信息，具體如下：①如圖，點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)在定圓⊙上運(yùn)動，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)如何運(yùn)動？②如圖，點(diǎn)為定點(diǎn)，點(diǎn)在定圓⊙上運(yùn)動，且，點(diǎn)如何運(yùn)動？這兩個問題中，始終不變的是兩個定點(diǎn)間的距離即的長度以及⊙的半徑即的長度．對于①，連接，，取的中點(diǎn)，連接，有，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動．對于②，如圖，連接，，過作的垂線，在垂線上取，有∽，相似比為，∴，∴點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上運(yùn)動．注意，若在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°方向上，則在繞點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)90°方向上．【方法小結(jié)】連接定點(diǎn)，定半徑，構(gòu)造中位線或旋轉(zhuǎn)相似．核心為“抓住不變的信息”．【同步練習(xí)】1、在中，邊上的高為1，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則的最小值為______．2、如圖，在中，，對角線，，點(diǎn)是線段上的一動點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作，在射線上取點(diǎn)，使得，連接，則周長的最小值為______．3、如圖，在等腰中，，點(diǎn)在以斜邊為直徑的半圓上，為的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)沿半圓從點(diǎn)運(yùn)動至點(diǎn)時，點(diǎn)運(yùn)動的路徑長是______．4、如圖，在中，，，，點(diǎn)是以為圓心，4為半徑的圓上的一動點(diǎn)，連接，為的中點(diǎn)，則線段長度的最大值為______．5、如圖，在中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，若點(diǎn)在反比例函數(shù)（）的圖象上運(yùn)動，則點(diǎn)在某個函數(shù)的圖象上運(yùn)動，這個函數(shù)的解析式為______．（請寫出自變量的取值范圍）6、如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)，在同側(cè)，，，，，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，連接，作，交直線與點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動到的中點(diǎn)時，線段的中點(diǎn)所經(jīng)過的路徑（線段）長為______．7、正方形的邊長為4，為上一點(diǎn)，且，為邊上的一個動點(diǎn)，連接，以為邊向右側(cè)作等邊，連接，則的最小值為______．8、