天津和平區(qū)2024屆高三一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

2024屆天津和平區(qū)高三一?？荚嚁?shù)學(xué)試卷

溫馨提示：本試卷包括第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，共150分.

考試時(shí)間120分鐘.祝同學(xué)們考試順利！

第I卷（選擇題共45分）

注意事項(xiàng)：

L答第I卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考號(hào)涂寫(xiě)在答題卡上.

2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈

后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).答在試卷上的無(wú)效.

3.本卷共9小題，每小題5分，共45分.

參考公式：

球的表面積公式S球=4?斤，其中R表示球的半徑.

如果事件A、5互斥,則？（A5）=P（A）+P⑻.

如果事件A、5相互獨(dú)立，則0（網(wǎng)=P（A）P（8）.

一、選擇題（在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

.A=（xeN|-2<x<2）,2?=1%eZllxl<2）.r-AR入,.?

1.已知集合11f1111h集合C—A則集合C的子集個(gè)數(shù)為

（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)集合的交集運(yùn)算求得集合C,然后可解.

【詳解】因?yàn)锳={0,l},B={T,0,l},

所以C=AB-10,1},

所以集合C的子集個(gè)數(shù)為22=4-

故選：D

3

2.函數(shù)/'（x）=三二的圖象大致是（）

x+2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)奇偶性可排除C；利用導(dǎo)數(shù)可求得了（%）單調(diào)性，由此可排除AD.

【詳解】〃尤)定義域?yàn)镽,/(-x)=t^-=-^-=-f(x),

|x|+2|x|+2

\/（x）為定義在R上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，C錯(cuò)誤;

33x2(x+2)-x32x2(x+3)

當(dāng)尤>0時(shí)，/(x)=-^—,f'(x)=>0,

x+2(x+2『(x+2『

\/（X）在（0,+。）上單調(diào)遞增，AD錯(cuò)誤，B正確.

故選：B.

3.已知等比數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，若為,工的，。2成等差數(shù)列，則既牛=（）

4+09

A.73+1B.73-1C.4+2百D.4-26

【答案】A

【解析】

【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,且q>0,由等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)列方程計(jì)算可得q,再由等比數(shù)列的通

項(xiàng)公式計(jì)算可得

【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列｛4｝中的各項(xiàng)都是正數(shù)，設(shè)公比為q,得q>0,

又為,]〃3，。2成等差數(shù)列，

可得W/x2=4+Q2n2%+2%=%n2al+24g=a1q1,

又用w。，所以才一？9一2=0,解得q=l+6或q=l—g\

又q>0,所以4=1+A/^

則口%=30=&=4=6+I，

a^+a9Og(l+q)a8

故選：A

4.4知a,beR,則“〃+/>2"是“a+/>2”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.既不充分也不必要條件D.充要條件

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意，利用特例可判定充分性不成立，結(jié)合直線與圓的位置關(guān)系，可判定必要性成立，即可得

到答案.

【詳解】例如：af,b=L此時(shí)/+尸=』〉2,但。+人=0+!<2,所以充分性不成立；

222

設(shè)直線/：x+y=2,圓。：必+了2=2,則圓心為0(0,0),半徑為「=應(yīng)，

|2|廠

可得圓心。(0,0)到I的距離為d=rLL-=V2=r,

Vl2+12

此時(shí)直線/與圓C相切，所以x+y>2與圓。沒(méi)有公共點(diǎn)，

即滿足不等式a+Z?>2的點(diǎn)(氏〃)，使得片+尸>2恒成立，即必要性成立，

所以“a2+b~>2”是“a+/?>2"的必要不充分條件.

故選：B.

5.某市為了減少水資源浪費(fèi)，計(jì)劃對(duì)居民生活用水實(shí)施階梯水價(jià)制度，為確定一個(gè)比較合理的標(biāo)準(zhǔn)，從該

市隨機(jī)調(diào)查了100位居民，獲得了他們某月的用水量數(shù)據(jù)，整理得到如下頻率分布直方圖，則以下四個(gè)說(shuō)

法正確的個(gè)數(shù)為()

???I!.1：1

0.5.................i—i

0.4.............「

0.3--------------------

0.2一廠

0.1------------……ill

O05115215335445用水量(立方米)

①估計(jì)居民月均用水量低于1.5m3的概率為0.25；②估計(jì)居民月均用水量的中位數(shù)約為Zin?;③該市有

40萬(wàn)居民，估計(jì)全市居民中月均用水量不低于3m3的人數(shù)為6萬(wàn)；④根據(jù)這100位居民的用水量，采用樣

本量按比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取了容量為20人的樣本，則在用水量區(qū)間(1.5,2］中應(yīng)抽取4

人.

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】由頻率分布直方圖求頻率判斷①，結(jié)合直方圖中位數(shù)的求法計(jì)算中位數(shù)，即可判斷②；用頻率估

計(jì)總體即可判斷③，結(jié)合分層抽樣的概念即可判斷④.

【詳解】由頻率分布直方圖可知，居民月均用水量低于LSn?的概率為尸=(02+0.3)x0.5=025,故①

正確；

前三組的頻率之和為(0.2+0.3+0.4)x0.5=0.45<50%,而前四組頻率之和為

(0.2+0.3+0.4+0.5)x0.5=0.7>50%,故中位數(shù)位于［2,2.5),由2+0.5義”二=2.1,可以估計(jì)居

0■70■45

民月均用水量的中位數(shù)約為2.1m3,②正確；

估計(jì)40萬(wàn)居民中月均用水量不低于3m3的人數(shù)為400000x0.15=60000,③正確；

根據(jù)用水量對(duì)這100位居民進(jìn)行分層，用分層抽樣的方法抽取20人，則在用水量1.52m3中應(yīng)抽取

20x(04x0.5)=4人，④正確.

故選：D

_1

6.設(shè)[g]=2,Z?=log3-log9,c=^^>則有(

11)

A.a<b<cB.a<c<b

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助特殊值0,可得。最小，再利用得出b,c大小.

【詳解】由臼=2可得aT°g?<logJ=°,

U)33

]--31

^=logi3-logi9=logi-=log23>l.c=Q^|=2^=^2>0>

下面比較b,c,

(3、2

因?yàn)??〉22=8,所以3>2:，

I)

23

2

^^^=log23>log22=

而=2<[m]—~~<故所以c</?,

綜上，b>c>a.

故選：B

7.已知函數(shù)/(x)=sin2x-cos2x(xeR),/'(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，則以下結(jié)論中正確的是()

A.函數(shù)+是奇函數(shù)

B.函數(shù)/⑺與/■'(￡)的值域相同

7C

C.函數(shù)/(無(wú))的圖象關(guān)于直線兀=—對(duì)稱

4

(71兀、

D.函數(shù)/⑺在區(qū)間上單調(diào)遞增

【答案】D

【解析】

【分析】化簡(jiǎn)/⑴并求導(dǎo)，結(jié)合值域，對(duì)稱性，單調(diào)性逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】由題意，f(x)=sin2%-cos2x=-cos2x,f'(x)=2sin2x,

對(duì)A,/[x+|J=—cos21x+|J=cos2x為偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)B,易知Ax）的值域?yàn)閇一1』，/'（%）的值域?yàn)閇-2,2],故B錯(cuò)誤；

對(duì)C,/（1）=-cos,=0,故C錯(cuò)誤；

（兀兀、/兀2兀\/、/兀兀、

對(duì)D,乒（0,兀），y=cos2x單調(diào)遞減，故）（幻在區(qū)間上單調(diào)遞增，故D

正確.

故選：D.

8.若三棱臺(tái)ABC-ABIG的上、下底面均是正三角形，側(cè)面是全等的等腰梯形，且其各頂點(diǎn)都在表面積

為260兀的球。的表面上，A5=2A耳=86，則三棱臺(tái)ABC-A與G的高為（）

A273B.8C.6或8D.26或6

【答案】C

【解析】

【分析】由題可知，三棱臺(tái)ABC-A與G為正三棱臺(tái)，上下底面的中心M連線構(gòu)成的線段為高，根

據(jù)球的性質(zhì)可得。/I=7,OM=1,進(jìn)而可得

【詳解】設(shè)球。的半徑為r,則4口2=260兀，得r=病,

如圖所示，為△A與G的中心，M為.ABC的中心,

由題意可知，三棱臺(tái)A3C-4與。1為正三棱臺(tái)，肽明為其高，球心。在肋％上,

在△ABG中BIMI=^-XA,BI=4,在_ABC中=gxA3=8，

故OM\』2_BM；=7,OM="—BM2=1，

當(dāng)。在線段MM上時(shí)，跖"=0叫+OM=8,

當(dāng)。在線段MM的延長(zhǎng)線上時(shí)，%M=O必-OM=6,

故選：C

22

9.設(shè)雙曲線C：A-多=1（。>03>0）的左、右焦點(diǎn)分別為點(diǎn)片，鳥(niǎo)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A,B兩

ab

耳川1廠___________....

點(diǎn),廿3=彳，AAAB心的面積為8月，且凡A.用5>0,若雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為4,則雙曲線C的方

內(nèi)目2-

程為（

2222

A,土-匕=1B,土-工=1

4244

22

尤2yli

C.工-匕D.

424169

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)雙曲線的定義及對(duì)稱性求出|四|,|但卜由余弦定理解三角形可得2c,即可得解.

【詳解】如圖,

優(yōu)川2'

則由雙曲線定義可知，|A閭—|/*|=|9|=2。=4

所以閭=8,忸閭=4,

所以sAB&=；IA閭忸用ISinZAE,B=1x8x4sinZAF2B=16sinZAF2B=8班,

解得sin/AE,3=且,

22

因?yàn)榕c4?65>0,所以NAg8方,

所以=y,

由余弦定理可知閨=|A^|2+|A^|2-2|Af；||A^|cosy=16+64+32=112,

所以。2=28，）2=。2_。2=28—4=24，

22

所以雙曲線方程為：土-匕=1

424

故選：C

第II卷（非選擇題共105分）

二、填空題（本大題共6小題，每小題5分，共30分.試題中包含兩個(gè)空的，答對(duì)1個(gè)的給3

分，全部答對(duì)的給5分）

10.i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=l+i則|3+回=.

【答案】小

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算及模的定義求解即可.

【詳解】|3+iz|=|3+i（l+i）|=|2+i|=V22+l2=75,

故答案為：

11.在［寧］的二項(xiàng)展開(kāi)式中，/的系數(shù)為（請(qǐng)用數(shù)字作答）.

【答案】-80

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解.

17

【詳解】二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為7+］=（2；%2（5--）（_2）「/不=（-2丫（2；『°一3"

令10—1=3,解得廠=3,

所以＜=—8C；/=—80/,

故答案為：-80

12.為深入學(xué)習(xí)貫徹黨的二十大精神，推動(dòng)全市黨員干部群眾用好“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”學(xué)習(xí)平臺(tái)，某單位組織“學(xué)習(xí)

強(qiáng)國(guó)”知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽共有10道題目，隨機(jī)抽取3道讓參賽者回答，規(guī)定參賽者至少要答對(duì)其中2道才能

通過(guò)初試.已知某參賽黨員甲只能答對(duì)其中的6道，那么黨員甲抽到能答對(duì)題目數(shù)X的數(shù)學(xué)期望為

;黨員甲能通過(guò)初試的概率為.

【答案】①.‘9②.之?

53

【解析】

【分析】求出隨機(jī)變量X的各個(gè)取值的概率，求期望，據(jù)此求P(X22)即可.

【詳解】由題意，X的可能取值為0』,2,3,

則P(X=0)=耳=±」，P(X=l)=^fi=—=—,

,7C：o12030,7C*12010

?！?2)=呼=幽」，P(X=3)=4=-=-

'7C：01202v7或1206

3119

所以E(X)=lx—+2x—+3x—=—；

10265

黨員甲能通過(guò)初試的概率為P(X22)=P(X=2)+P(X=3)=工+,=2.

263

92

故答案為：—；—

2)，

13.圓好+產(chǎn)+6丁—16=0與拋物線12=2加(〃>0)的準(zhǔn)線相交于A,B兩點(diǎn).若|AB|=6,則拋物線

的焦點(diǎn)坐標(biāo)為.

【答案】(0,7)

【解析】

【分析】根據(jù)弦長(zhǎng)|/3|=6,利用垂徑定理可得°=14,進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,7).

如圖，拋物線*=2加(0>0)的準(zhǔn)線方程為丫=-光，

圓d+J+Gy—16=0即％2+什+3)2=25,圓心坐標(biāo)為(0,—3),半徑為5,

由垂徑定理可得J—3—f-31]+ft竺1]=52,即(3—31=16，

得0=14或夕=-2(舍去)，故拋物線的方程為必=28"焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,7).

故答案為：（0,7）

14.青花瓷，常簡(jiǎn)稱青花，代表了我國(guó)古代勞動(dòng)人民智慧的結(jié)晶，是中國(guó)瓷器的主流品種之一.圖一是一個(gè)

由波濤紋和葡萄紋構(gòu)成的正六邊形青花瓷盤(pán)，已知圖二中正六邊形的邊長(zhǎng)為4，圓。的圓心為正六邊形的

中心，半徑為2,若點(diǎn)/在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)A3在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心。對(duì)稱.（i）請(qǐng)用

MA,MB表示MO=；<ii）請(qǐng)寫(xiě)出MA?MB的取值范圍_______.

【答案】①.+②.[8,12]

【解析】

【分析】（i）根據(jù)向量線性運(yùn)算可直接得到結(jié)果；

（ii）根據(jù)向量線性運(yùn)算、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，可將所求數(shù)量積轉(zhuǎn)化為|加。1-4；根據(jù)正六邊形性質(zhì)可求得

|河。的范圍，由此可得結(jié)果.

--1--1-.

【詳解】（i）-A3在圓。上運(yùn)動(dòng)且關(guān)于圓心O對(duì)稱，為A3中點(diǎn)，=—MA+—“3；

22

（ii）MAMB=（MO+04）.（MO+03）=M（f+（0A+OB^MO+OAOB

=|MO|2-|OA|2=|MO|2-4；

當(dāng)”為正六邊形頂點(diǎn)時(shí)，取得最大值；當(dāng)。"與正六邊形的邊垂直時(shí)，取得最小值;

.六邊形為正六邊形，ODE為正三角形，二|加。|=OD=4.

IImax

作OF1DE,則歹為OE中點(diǎn)，；?卜。]“=依司=,42-22=26；

|w|2—4e[8,12],即的取值范圍為[812].

故答案為：^MA+^MB-,[8,12].

15.若函數(shù)/(x)=sin]a7ix—_4x+3a+4)(其中a>0)在區(qū)間[0,5]上恰有4個(gè)零點(diǎn)，貝Ua

的取值范圍為.

【解析】

【分析】分別分析g(x)=依2—4%+3a+4和/z(x)=sin[a?a-的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求解即可，同時(shí)要注意重

根問(wèn)題的檢驗(yàn).

【詳解】當(dāng)a>0,設(shè)力(x)=sin[a?ix—,g(x)^ax2-4x+3a+4,

則g(x)為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，△=16-4a(3a+4)=T(3a—2)(a+2),

2(23兀1

①當(dāng)a=『g(X)=0有唯一解x=3,此時(shí)力(司=5達(dá)匕也—I,

237r3兀317c

%=§兀v-1'此時(shí)%(*)=0有三個(gè)解，且均不為3,符合題意;

②當(dāng)a〉|>A<0,g(x)=0無(wú)解，故"(x)=sin［g—牛］區(qū)間［0,5］上恰有4個(gè)零點(diǎn)，

3兀319

貝U3兀K5a?！?lt;4兀，解得一Ka<——，符合題意；

4420

99

③當(dāng)0<a<§,A>0,g(x)的對(duì)稱軸1=—〉0,且g(5)=28a—16,g(2)=7a—4,

/|43兀3兀59兀

⑴當(dāng)。=—,g(2)=g(5)=0,此時(shí)g(x)=0有兩個(gè)解：2和5,/=三JU---e---,此

77442o

時(shí)〃(x)=0有三個(gè)解，且與g(x)=0的解2,5不重合，不合題意，

49

(ii)當(dāng)亍<a<§,且8⑵二目⑸〉。，此時(shí)g(x)=0有兩個(gè)解，且均屬于(2,5),

3兀3兀3兀

t=aivc-----G--------,36171----------

444

Q1—111

若〃(尤)=0有2個(gè)解，故兀＜5。兀一—<271,解得——?jiǎng)tae0,舍去;

42020

Q11a

(iii)若〃(尤)=0有3個(gè)解，故2兀W5a兀一］＜3兀，解得/Ka＜“

若此時(shí)g(x)=0有2個(gè)解，則必須有1個(gè)重根,

aux-^-=kn,則工=與士。(左eZ),/z(x)=0的3個(gè)解為3711

下面檢驗(yàn)重根情況:X=—,—,—

4〃4a4〃

315

且一￡(1,—102,5],

4a11LJ

7113

故重根可能—，—

4a4〃4a

令g(x)=/—4x+3〃+4=0,0<a<-,解得

3

_2-J-(a+2)(3"2)_2+J-(a+2)(3a-2)

X]—,—

aa

當(dāng)巧重合,—三用三U〉o),

解得a=YH!二滿足題意;

12(7

若X2—2,則7=2+」-("+2)(3"2),即(a+2)(3a—2),無(wú)解；

4a4aa4

若X2—3,3=2+1-(°+2)(3a-2),即_J—(a+2)(3"2),無(wú)解；

一4a4aa4

當(dāng)A重合，若x1=3,則2=三&+2)(3”2),解得。=主叵*<3(舍去);

4a4aa127

若％=2,則工=2z正正1叵亙，解得符合題意；

4a4aa127

若寸[,則￡=2-1丁一2),即—”…—2),無(wú)解，舍去;

(iv)當(dāng)0<a<3,g(2)=g(5)<0,此時(shí)g(%)=0有1個(gè)解，

3兀3兀3兀37r113

設(shè)為相，則機(jī)w(l,2),t=aTix--e----,5〃兀----,故271V5。兀-----<3兀，解得—<。<一,

44J4204

4114

又。<a<一,綜合得—Ka<—，

7207

321157735

同理(出)的分析弋蟲(chóng)記梁印斗布/“口科，

此時(shí)M%)=o有三個(gè)解，且與g(X)=。的解不重合，符合題意，

114、19生或

綜上所述：—＜。＜一或—4a＜”2

20720203

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)二次函數(shù)特征討論判別式及區(qū)間端點(diǎn)與5的關(guān)

系.

三、解答題(本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

16.在一ABC中，內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別a,b,c,其中a=b+2,c=，且sinA=J5sinC.

(1)求c的值；

(2)求tanA的值；

(3)求cos[2A+?)的值.

【答案】(1)272

⑵一夕

⑶3后

8

【解析】

【分析】(1)由正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，聯(lián)立條件得解；

(2)由余弦定理及同角三角函數(shù)基本關(guān)系得解；

(3)由二倍角的正余弦公式及兩角和的余弦公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

sinA=A/2sinC

a=V2c＞

a=b+2o=4

c=42b,解得＜6=2

a=yflcc=2^2

;.c=2萬(wàn)

【小問(wèn)2詳解】

由余弦定理可得cosA='+"—"-=—顯，又0<4<兀，

2bc4

sinA=A/1-COS2A=,tanA==一幣.

4cosA

【小問(wèn)3詳解】

因?yàn)閏os2A=2cos2A-l=--,sin2A=2sinAcosA=-，

44

(c“兀)兀.c”.兀7—372

所以cos|2A+—=cos2Acos----sin2Asin—=-------------

I4J448

17.如圖，四棱錐P—A6CD的底面A3CD是正方形，PDJ_平面A3CD,PD=AD=3,點(diǎn)E,歹分別

是棱E4,PC的中點(diǎn)，點(diǎn)M是線段上一點(diǎn).

(1)求證：平面EFD；

(2)求平面或明與平面A3CD的夾角的余弦值;

若直線上田與平面A3CD所成的角的正弦值為之叵，求此時(shí)MC的長(zhǎng)度.

(3)

22

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵B

3

(3)1

【解析】

【分析】(1)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量證明即可;

(2)求平面的法向量，利用向量法求夾角余弦即可；

(3)利用線面角的向量公式求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)樗睦忮FP-A6CD的底面ABCD是正方形，PD_L平面ABCD,

所以以點(diǎn)￡＞為坐標(biāo)原點(diǎn)，DAOCDP的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

則A（3,0,0）,5（3,3,0）,C（0,3,0）,D（0,0,0）,P（0,0,3）,E豹1

所以QE=和|

設(shè)平面￡7X＞的法向量為々=（x,y,z）,

.33

n,,DE——xH—z—0

?9

則3§，令x=1，則4

%?DF=—y+—z=0

又因?yàn)槭?=（3,3,—3）,則PB=3“，即P5〃“，

由nJ_平面EFD,所以依J_平面EFD.

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)平面EFD與平面ABCD的夾角為8,

平面或少的法向量41）,平面A6CD的法向量々=（0,0,1）,

I|^r^|_A/3

所以，COS8=COS%=

同?同3’

則平面EFD與平面ABCD的夾角的余弦值為B

3

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)MC長(zhǎng)度為加（加＞。），M（m,3,0）,

設(shè)直線"F與平面ABCD所成角為4,

因?yàn)閟in'=^^,MF=[-m--

'22I2I)

3_3722

sin42

cosMF,%1|=\"MFI[\：n"-

2V2222

解得根=1,此時(shí)MC的長(zhǎng)度為1.

22

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C：j+%=l（a〉6〉0）的左焦點(diǎn)為點(diǎn)尸，離心率為過(guò)點(diǎn)/且

與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為3.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)不過(guò)原點(diǎn)。且斜率為且的直線/與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)P,Q,線段P。的中點(diǎn)為T(mén),直線。7

2

與橢圓C交于兩點(diǎn)M,N,證明：|7?卜|力。|=|刀0卜|77Vl.

22

【答案】（1）土+上=1

43

（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，列出”,仇c方程組，求得。力的值，即可求解;

（2）設(shè)A3的方程為丁=孝工+機(jī)，聯(lián)立方程組，求得玉+々,中2,得到T（-與二9，再由OT的

方程為了=—字》，聯(lián)立方程組，求得“（-夜,日）,N（夜，-半），進(jìn)而求得

71

\TM\-\TN\=—（6-m2）,再由弦長(zhǎng)公式，求得歸。|,結(jié)合|7斗|7。|=（3盧。|）2，即可得證.

【小問(wèn)1詳解】

V2

解:由橢圓c：J+=1的離心率為g,且過(guò)點(diǎn)尸且與尤軸垂直的直線截得的線段長(zhǎng)為3,

aF

1

a2

,序22

可得《—=3,解得a=2,6=6,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為土+乙=1.

a43

a2=b~+c2

【小問(wèn)2詳解】

證明：設(shè)直線AB所在的直線方程為y=+機(jī)（機(jī)H0），

[y6=——x+.m

22

聯(lián)立方程組《22,，整理得3x+2sznr+2m-6=0,

土+乙=1

143

所以A=（2國(guó)『—4x3（2加2一6）>0,解得—布<m<遍，

設(shè)P&,y,),Q(X2,y2),T(x0,y0),則當(dāng)+々=一個(gè)1,為々=也產(chǎn)

所以X°=—半，則丁=等乂my/3m

+m=——

2

6

所以O(shè)T的方程為y=----x，

2

x=-A/2x=0

y/69所以M■（-應(yīng)，乎0,N（應(yīng),

解得《

聯(lián)立22V6或“

土+匕=1y=——

[4322

則17MH犯=[J(m2-2娓m+6)(7九2+2mm+6)=^(6-m2),

12

又由|P0=\1+.|石一司=J1+

2m2—6

~3~

又因?yàn)門(mén)的中點(diǎn),

可得17PHT0=（=；歸02=；（78—萼)2=￡(62)，

所以17PH7°|=|力14|力巾

,*,【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決直線與圓錐曲線問(wèn)題的方法與策略：

1、涉及圓錐曲線的定義問(wèn)題：拋物線的定義是解決曲線問(wèn)題的基礎(chǔ)，它能將距離進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化.如果問(wèn)題

中涉及圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線，又能與距離聯(lián)系起來(lái)，那么用圓錐曲線定義就能解決問(wèn)題.因此，涉及圓錐

曲線的焦半徑、焦點(diǎn)弦問(wèn)題，可以優(yōu)先考慮利用圓錐曲線的定義轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，這樣就可以使問(wèn)題

簡(jiǎn)單化.

2、涉及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)

系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)注意向量、基本不等式、函數(shù)及導(dǎo)數(shù)在解答中的應(yīng)用.

19.若數(shù)列｛4｝滿足a"1其中dwO,a.〉O,則稱數(shù)列｛4｝為M數(shù)列.

(1)已知數(shù)列｛?！埃秊镸數(shù)列，當(dāng)〃=1,6=1時(shí).

(i)求證：數(shù)列｛d｝是等差數(shù)列，并寫(xiě)出數(shù)列｛a〃｝(〃eN*)通項(xiàng)公式；

2nni

(ii)I=W[(d+4)(T)[(〃eN*),求

k=lk=\兒

n]

⑵若｛叫是M數(shù)列(MN*),且d>0,證明：存在正整數(shù)〃.使得X—〉2024.

i=lai

【答案】(1)(i)證明見(jiàn)解析，a=4n(ii)-———

"22n+2

(2)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)(i)根據(jù)等差數(shù)列定義即可證明并寫(xiě)出通項(xiàng)公式(ii)分組求和得出北，利用裂項(xiàng)相消法求解

即可；

112|JCL+nd-Jci+(n-i)d|

(2)求出一，利用放縮法可得d.____L_L,相加相消即可

%and

Y—>^-(ylaf+nd-a｝,據(jù)此即可得證.

七%d\>

【小問(wèn)1詳解】

(i)由an+l=如+d,可得a3-片=1("eN*),

所以數(shù)列｛4｝是首項(xiàng)為a；公差為1的等差數(shù)列，

所以(〃一l)d=〃，

又因?yàn)?。?gt;。，所以％=

(五)a：=〃,a：=(冊(cè))=〃2,

2n—2n2n

Tn=￡[(d+硝(T)[=立(T)&,r]+立(T)/叼

k=lk=lk=l

2nIn

設(shè)A=4(T)4[，8=之[(-1)*叼，

k=lk=l

2222224n+2?12

A=[(-1)i-Z:]=-l+2-3+4-+(2n)=3+7+(4n-1)=()'=2n+n

k=l2

B=1)%叼=-1+2-3+4-+2n=n,

若｛a.｝是Af數(shù)列(”wN*),有a；=d+(〃—1”，

故a'="a：+(〃—l)d，且d>0,

11