核心概念統(tǒng)整下的數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)探索

摘要培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)是新一輪課程改革的重要目標(biāo)。小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與運(yùn)算主題是培養(yǎng)學(xué)生核心素養(yǎng)的重要知識(shí)載體。小學(xué)階段數(shù)與運(yùn)算一致地表現(xiàn)為計(jì)數(shù)單位及個(gè)數(shù)多少的表達(dá)。以核心概念統(tǒng)領(lǐng)數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)，幫助學(xué)生建立計(jì)數(shù)單位的概念，建立數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；緊扣核心概念設(shè)計(jì)基本問(wèn)題，實(shí)施一致性教學(xué)，幫助學(xué)生用結(jié)構(gòu)化的知識(shí)形成結(jié)構(gòu)化的思維和方法，是數(shù)與運(yùn)算一致性教學(xué)的一般路徑。關(guān)鍵詞核心概念；數(shù)與運(yùn)算；一致性；計(jì)數(shù)單位數(shù)與運(yùn)算是義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的知識(shí)，是小學(xué)數(shù)學(xué)最基本、最核心的內(nèi)容之一，一直以來(lái)備受一線教師關(guān)注?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課程標(biāo)準(zhǔn)》）確立了核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，強(qiáng)調(diào)通過(guò)教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化整合發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)。在數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域?qū)⑦@一路徑具體化為“初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)；感悟數(shù)的運(yùn)算以及運(yùn)算之間的關(guān)系，體會(huì)數(shù)的運(yùn)算本質(zhì)上的一致性，形成運(yùn)算能力和推理意識(shí)”[1]。如何將《課程標(biāo)準(zhǔn)》倡導(dǎo)的教學(xué)理念和教學(xué)方式落實(shí)到數(shù)與運(yùn)算課堂教學(xué)中，是新一輪小學(xué)數(shù)學(xué)課程改革的重頭戲。教學(xué)實(shí)踐表明，以核心概念統(tǒng)整達(dá)成數(shù)與運(yùn)算教學(xué)的一致性是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、運(yùn)算能力和推理意識(shí)的基本路徑。一、整體認(rèn)識(shí)數(shù)與運(yùn)算的一致性義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)課程的數(shù)與運(yùn)算主題內(nèi)容包括整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)及相應(yīng)的四則運(yùn)算。開(kāi)展數(shù)與運(yùn)算的一致性教學(xué)，我們首先要厘清整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)三個(gè)數(shù)概念的一致性，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算的一致性，以及整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)與運(yùn)算的一致性。1.數(shù)概念的一致性整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的表現(xiàn)形式各不相同，不同形式背后卻有著相同的本質(zhì)。它們都是人們?cè)谏a(chǎn)和生活中用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的符號(hào)。人們最初“一個(gè)一個(gè)”數(shù)數(shù)，后來(lái)按“群”計(jì)數(shù)，產(chǎn)生了自然數(shù)的計(jì)數(shù)單位“一、十、百、千……”；隨著生產(chǎn)和生活的需要，人們通過(guò)單位“1”的等分產(chǎn)生了新的、更小的小數(shù)和分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位：“十分之一、百分之一、二分之一、三分之一……”從這個(gè)角度講整數(shù)是計(jì)數(shù)單位不斷累加的結(jié)果，是宏觀的計(jì)數(shù)；分?jǐn)?shù)和小數(shù)是計(jì)數(shù)單位不斷細(xì)分所致，是微觀的計(jì)數(shù)。小數(shù)和分?jǐn)?shù)是數(shù)概念發(fā)展的兩個(gè)不同方向，它們以整數(shù)為基礎(chǔ)共同構(gòu)成了完備的小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)概念知識(shí)結(jié)構(gòu)。我們用有限的10個(gè)數(shù)字表達(dá)無(wú)限的“宏觀”或“微觀”的數(shù)，依賴于計(jì)數(shù)單位、數(shù)位、位值制、十進(jìn)制等基本概念的支撐，對(duì)數(shù)的多元表征都一致地表達(dá)了計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的多少（見(jiàn)表1）。2.四則運(yùn)算的一致性義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)的四則運(yùn)算包括整數(shù)四則運(yùn)算、小數(shù)四則運(yùn)算和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算。不論是四則運(yùn)算的意義還是算理，整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)都體現(xiàn)出高度的一致性。（1）四則運(yùn)算意義的一致性。教科書(shū)是教學(xué)內(nèi)容及其結(jié)構(gòu)的載體，它體現(xiàn)了學(xué)科知識(shí)的科學(xué)性和學(xué)科結(jié)構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)性。各個(gè)版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教科書(shū)對(duì)四則運(yùn)算的編排都一致地表現(xiàn)為先分段學(xué)習(xí)整數(shù)四則運(yùn)算及其相互關(guān)系，再推廣到小數(shù)和分?jǐn)?shù)，因此整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的意義是完全一致的（如圖1）。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則運(yùn)算都是以加法為基礎(chǔ)的計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的變化：加法是計(jì)數(shù)單位的增加，減法是計(jì)數(shù)單位的減少，乘法是計(jì)數(shù)單位的倍增，除法是計(jì)數(shù)單位的細(xì)分。（2）四則運(yùn)算算理的一致性。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的算法各不相同，不同算法背后卻是相同算理的支撐：整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)加減法中的相同數(shù)位對(duì)齊、小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊、同分母分?jǐn)?shù)分母不變分子相加減、異分母分?jǐn)?shù)通分后再加減，其背后的算理都是相同計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的加減。整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)乘除法算理的一致性如圖2。3.數(shù)與運(yùn)算的一致性通過(guò)上面的分析我們可以清楚地知道，數(shù)是對(duì)計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的表達(dá)，四則運(yùn)算則是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的增減變化，二者的研究對(duì)象是一致的。從其內(nèi)部的邏輯聯(lián)系上看，數(shù)是運(yùn)算的對(duì)象和基礎(chǔ)，沒(méi)有數(shù)也就不會(huì)有相關(guān)的運(yùn)算，四則運(yùn)算是數(shù)概念的具體化和發(fā)展。數(shù)的組成是數(shù)與運(yùn)算的紐帶，如根據(jù)2和5組成7，可以計(jì)算2+5=7；同時(shí)數(shù)的運(yùn)算又是對(duì)數(shù)概念的鞏固，如45-7，先算15-7=8，再算30+8=38，把45分成了30和15，是對(duì)數(shù)結(jié)構(gòu)的再認(rèn)識(shí)。因此，不要孤立地看待數(shù)與運(yùn)算，應(yīng)根據(jù)事物普遍聯(lián)系的辯證唯物主義觀點(diǎn)，將數(shù)與運(yùn)算納入同一學(xué)習(xí)任務(wù)的不同側(cè)面，它們是不可分割的有機(jī)整體。二、以計(jì)數(shù)單位統(tǒng)領(lǐng)數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)布魯納指出，要“給予那些和基礎(chǔ)課有關(guān)的普遍的和強(qiáng)有力的觀念和態(tài)度以中心地位”[2]。在數(shù)學(xué)教學(xué)中“將基本概念、基本規(guī)律和基本原理等核心內(nèi)容置于教學(xué)的中心地位”[3]是新一輪課程改革的價(jià)值取向和共同追求。數(shù)與運(yùn)算的核心是計(jì)數(shù)單位，因此，要切實(shí)樹(shù)立起計(jì)數(shù)單位的核心地位，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解并掌握計(jì)數(shù)單位的概念，建立起概念間互相融通的復(fù)雜認(rèn)知結(jié)構(gòu)。1.突出計(jì)數(shù)單位在數(shù)與運(yùn)算中的核心地位從數(shù)與運(yùn)算的一致性可以知道：數(shù)概念是對(duì)計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的靜態(tài)描述，四則運(yùn)算是計(jì)數(shù)單位及其個(gè)數(shù)的動(dòng)態(tài)表達(dá)。計(jì)數(shù)單位從不同狀態(tài)反映了數(shù)與運(yùn)算的共同本質(zhì)，它既是學(xué)習(xí)數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯起點(diǎn)，又是統(tǒng)領(lǐng)該部分知識(shí)內(nèi)容的理論支柱。學(xué)生能否整體把握數(shù)與運(yùn)算的知識(shí)結(jié)構(gòu)，很大程度上取決于對(duì)計(jì)數(shù)單位的理解與掌握水平。因此，教師應(yīng)自始至終把計(jì)數(shù)單位置于教學(xué)的中心地位，突出它的統(tǒng)帥作用。計(jì)數(shù)單位是數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)中的基本概念，具有廣泛的遷移力和普遍的實(shí)用性，在它的統(tǒng)領(lǐng)下，其他知識(shí)都可以看成是特定情境中的具體化。如數(shù)位是計(jì)數(shù)單位所占位置的命名，十進(jìn)制是計(jì)數(shù)單位之間進(jìn)率的具體化，算式50+8=58、0.53-0.5=0.03等從根本上講是數(shù)的組成的具體應(yīng)用，而數(shù)的組成本身就是計(jì)數(shù)單位個(gè)數(shù)的表達(dá)。2.幫助學(xué)生切實(shí)建立起計(jì)數(shù)單位的概念核心概念具有的廣泛遷移力是建立在學(xué)生深刻理解并掌握的基礎(chǔ)之上的。計(jì)數(shù)單位是一個(gè)抽象的概念，伴隨著學(xué)生數(shù)與運(yùn)算學(xué)習(xí)的全過(guò)程。小學(xué)生從開(kāi)始數(shù)數(shù)就接觸計(jì)數(shù)單位，到人教版數(shù)學(xué)教材四年級(jí)上冊(cè)正式抽象概括出計(jì)數(shù)單位的概念，進(jìn)而將計(jì)數(shù)單位擴(kuò)充到小數(shù)和分?jǐn)?shù)中，經(jīng)歷了“具體—抽象—具體”的建構(gòu)過(guò)程，這是教材對(duì)計(jì)數(shù)單位知識(shí)結(jié)構(gòu)與學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)相結(jié)合的教學(xué)法處理。數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)中，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)和認(rèn)知水平采取適合的教學(xué)方式循序漸進(jìn)地幫助學(xué)生理解并掌握計(jì)數(shù)單位這一核心概念。如低年級(jí)學(xué)生教學(xué)中應(yīng)充分運(yùn)用操作、觀察等直觀手段，把計(jì)數(shù)單位的本質(zhì)屬性以形象的物化過(guò)程展現(xiàn)出來(lái)，幫助學(xué)生在頭腦里建立起清晰且正確的表象，從而更好地感知其深刻含義。如計(jì)數(shù)單位“十”，通過(guò)把10根小棒合起來(lái)，捆成一捆的動(dòng)作表征，在頭腦里形象地建立1個(gè)十的表象，進(jìn)而半抽象為計(jì)數(shù)器十位上的一顆珠子、記作十位上的數(shù)字“1”，經(jīng)過(guò)層層抽象，逐步建立“十”的單位概念。隨著學(xué)生年齡的增長(zhǎng)、認(rèn)知水平的提高以及數(shù)域的不斷擴(kuò)充，計(jì)數(shù)單位的知識(shí)也可以根據(jù)遷移原理類(lèi)推出來(lái)，如根據(jù)10個(gè)十是1個(gè)百，類(lèi)推出10個(gè)百是1個(gè)千等。數(shù)源于數(shù)，數(shù)數(shù)是幫助學(xué)生建構(gòu)計(jì)數(shù)單位概念的重要數(shù)學(xué)活動(dòng)。數(shù)數(shù)的本質(zhì)就是數(shù)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)。通過(guò)數(shù)數(shù)不僅可以豐富學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位的體驗(yàn)，同時(shí)還能加深對(duì)滿十進(jìn)一的理解。不同方式的數(shù)數(shù)，更是能幫助學(xué)生溝通不同計(jì)數(shù)單位之間的關(guān)系。如數(shù)35，學(xué)生可以一個(gè)一個(gè)地從1數(shù)到35，其中9的下一個(gè)數(shù)是10，19的下一個(gè)數(shù)是20，29的下一個(gè)數(shù)是30。如此，學(xué)生對(duì)滿十進(jìn)一就會(huì)產(chǎn)生深刻的體會(huì)，積累數(shù)數(shù)的經(jīng)驗(yàn)。同樣是數(shù)35，學(xué)生還可以一十一十地?cái)?shù)出3個(gè)十，再一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)出5個(gè)一，借此理解35是由3個(gè)十和5個(gè)一組成。對(duì)比溝通兩種數(shù)數(shù)方法，學(xué)生還能得出35既可以由35個(gè)一組成，也可以由3個(gè)十和5個(gè)一組成，理解不同表征背后相同的大小關(guān)系。3.以計(jì)數(shù)單位為核心建立起數(shù)與運(yùn)算的認(rèn)知結(jié)構(gòu)網(wǎng)腦科學(xué)研究表明，認(rèn)知結(jié)構(gòu)的層次越豐富，連結(jié)越多樣，層次之間越融通，就越有利于遷移[4]。計(jì)數(shù)單位是數(shù)與運(yùn)算認(rèn)知結(jié)構(gòu)中重要的連結(jié)點(diǎn)，通過(guò)它可以不斷吸納概念、組織信息，促成數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)間的融會(huì)貫通。因此，數(shù)與運(yùn)算教學(xué)應(yīng)以計(jì)數(shù)單位為固著點(diǎn)，將概念、法則、規(guī)律等有效組織起來(lái)并建立起相互之間的連結(jié)。數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)中的具體內(nèi)容以計(jì)數(shù)單位為三、緊扣核心概念設(shè)計(jì)基本問(wèn)題，實(shí)施一致性教學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的課堂教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一般模式，作為驅(qū)動(dòng)課堂教學(xué)的問(wèn)題應(yīng)與核心概念相匹配，具有廣泛的遷移力和普遍的適應(yīng)性，故稱(chēng)之為基本問(wèn)題。數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)應(yīng)以基本問(wèn)題為驅(qū)動(dòng)，在深度學(xué)習(xí)中不斷豐富學(xué)生對(duì)核心概念的理解，整體建構(gòu)認(rèn)知結(jié)構(gòu)。1.把握基本問(wèn)題的融通性，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)階的通道數(shù)與運(yùn)算的核心概念是計(jì)數(shù)單位，與之對(duì)應(yīng)的基本問(wèn)題是“計(jì)數(shù)單位是什么，有多少個(gè)？”這一問(wèn)題不僅揭示了數(shù)與運(yùn)算的本質(zhì)，還具有開(kāi)放性，能激發(fā)全體學(xué)生對(duì)計(jì)數(shù)單位這一核心概念的持續(xù)性思考，形成數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)進(jìn)階的通道?；締?wèn)題貫穿于數(shù)與運(yùn)算學(xué)習(xí)的全過(guò)程，但計(jì)數(shù)單位是一個(gè)高度抽象的概念，教學(xué)時(shí)我們應(yīng)根據(jù)數(shù)與運(yùn)算的邏輯，順應(yīng)學(xué)生的年齡特征和思維水平，將基本問(wèn)題具體化。如低年級(jí)學(xué)生認(rèn)識(shí)兩位數(shù)時(shí)，教師可以將“計(jì)數(shù)單位是什么，有多少個(gè)？”這一基本問(wèn)題具體化為：“怎樣用你喜歡的方式表示25？”學(xué)生可能回答：用小棒擺出來(lái)；用語(yǔ)言讀（數(shù)）出來(lái)；用符號(hào)寫(xiě)出來(lái)；用算式25=20+5表示等。這個(gè)開(kāi)放的問(wèn)題留足了學(xué)生思考的空間，不同認(rèn)知水平的學(xué)生都能表達(dá)自己的理解。通過(guò)分享交流，學(xué)生之間取長(zhǎng)補(bǔ)短，學(xué)會(huì)用多種方式表示數(shù)，建立起清晰的數(shù)的表象。針對(duì)高年級(jí)學(xué)生“計(jì)數(shù)單位是什么，有多少個(gè)？”這一基本問(wèn)題教師可以直接提問(wèn)，如五年級(jí)學(xué)習(xí)小數(shù)乘法3.5×3，人教版教科書(shū)借助“一只風(fēng)箏3.5元，買(mǎi)3只多少元”的情境引出。結(jié)合具體情境直接拋出基本問(wèn)題：?jiǎn)挝皇鞘裁矗卸嗌賯€(gè)？基于對(duì)單位的多元理解，學(xué)生呈現(xiàn)不同的算法：3.5元=3元+5角，3.5元×3=3元×3+5角×3=9元+15角=10.5元；3.5元=35角，35角×3=105角=10.5元；3.5=35個(gè)0.1，3.5×3=35個(gè)（0.1）×3=105個(gè)（0.1）=10.5等。在溝通多種算法基礎(chǔ)上，幫助學(xué)生理解小數(shù)乘法的本質(zhì)及一般計(jì)算方法。2.優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，形成一致性學(xué)習(xí)路徑由數(shù)與運(yùn)算課程內(nèi)容的一致性決定了課程組織的相似性。教學(xué)過(guò)程中以真實(shí)情境中的真實(shí)問(wèn)題為引領(lǐng)優(yōu)化教學(xué)結(jié)構(gòu)，帶領(lǐng)學(xué)生充分經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，形成一致性的學(xué)習(xí)路徑，從而實(shí)現(xiàn)從“學(xué)會(huì)”到“會(huì)學(xué)”。教材在數(shù)與運(yùn)算知識(shí)結(jié)構(gòu)的編寫(xiě)上體現(xiàn)了對(duì)學(xué)習(xí)過(guò)程的引導(dǎo)。教師可以遵循教材“準(zhǔn)備—建構(gòu)—應(yīng)用”的編排邏輯，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生學(xué)情帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程（如圖４）。學(xué)習(xí)路徑就是在基本問(wèn)題引領(lǐng)下的學(xué)習(xí)過(guò)程的結(jié)構(gòu)化。路徑中自主探究、合作學(xué)習(xí)是學(xué)習(xí)的主要方式，是圍繞基本問(wèn)題的個(gè)性化學(xué)習(xí)。分享交流、抽象概括等環(huán)節(jié)是生生之間、師生之間的對(duì)話，教師要引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)數(shù)、讀數(shù)、寫(xiě)數(shù)、數(shù)的組成等一系列活動(dòng)，實(shí)際理解數(shù)的大小，建立起數(shù)的表象或者理解多樣算法背后不變的算理，優(yōu)化出具有普適性的一般算法，抽象概括一般算法的法則。結(jié)構(gòu)化的學(xué)習(xí)路徑強(qiáng)調(diào)學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中的體驗(yàn)與感悟，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)知識(shí)的自主建構(gòu)，有助于學(xué)生學(xué)習(xí)力的提高，普遍適用于其他數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)。3.明確思維方式的共通性，形成結(jié)構(gòu)化思維數(shù)與運(yùn)算的教學(xué)不僅是引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)與運(yùn)算的知識(shí)和技能，更重要的是數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累與思想方法的獲得，培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的思維能力。數(shù)與運(yùn)算主題結(jié)構(gòu)相似、思想方法相通，因此學(xué)習(xí)、探究方式也具有共通性。問(wèn)題引領(lǐng)下共通的學(xué)習(xí)方式有助于學(xué)生思維的結(jié)構(gòu)化。如通過(guò)整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)算理共性的研究可以幫助學(xué)生形成借助舊經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)化新知識(shí)、解決新問(wèn)題、學(xué)習(xí)新知識(shí)的結(jié)構(gòu)化思維。學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)14×12，我們的基本問(wèn)題是：計(jì)算的方法是什么？為什么可以這樣計(jì)算？教學(xué)中基本問(wèn)題轉(zhuǎn)化成具體學(xué)習(xí)任務(wù)：14×12可以怎么計(jì)算？哪種方法最好？算一算、畫(huà)一畫(huà)、比一比、說(shuō)一說(shuō)。任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生首先根據(jù)數(shù)的結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆分，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化，如14×12=14×10+14×2；12=6+6，14×12=14×6+14×6；12=4+8，14×12=14×4+14×8……在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生用豎式表達(dá)拆分過(guò)程，比較發(fā)現(xiàn)拆分成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)，能用豎式簡(jiǎn)潔地表達(dá)，具有一般性，從而建構(gòu)起具有一般性的兩位數(shù)