淺談初中數(shù)學(xué)線段之和最值問(wèn)題

淺談初中數(shù)學(xué)線段之和最值問(wèn)題近年來(lái)，在全國(guó)各地出現(xiàn)的中考試題的平面幾何最值問(wèn)題中，呈現(xiàn)出變化多、涉及面廣、形式靈活的景象，對(duì)學(xué)生來(lái)講是個(gè)難點(diǎn)；如果深入思考，可以發(fā)現(xiàn)：這類(lèi)試題的命制都是立足于教材，解決途徑都是運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想“化折為直”。本文中，筆者根據(jù)近幾年的中考試題，結(jié)合浙教版教材和自己的教學(xué)體會(huì)，談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)中求線段之和最值的求解策略。1.直接應(yīng)用定〔公〕理求最值平面幾何解決最短線路問(wèn)題時(shí)常用的公理(定理)：①兩點(diǎn)之間線段最短.②三角形的兩邊之和大于第三邊,兩邊之差小于第三邊〔②是由①得出〕；③直線外一點(diǎn)到直線的所有線段中垂線段最短.ACBDACBD教材鏈接：七上7.3線段的長(zhǎng)短作業(yè)題：如圖，A、B、C、D表示4個(gè)村莊.村民們準(zhǔn)備合打一口水井，〔1〕略〔2〕你能給出一中使水井到各村莊的距離之和最小的方案嗎？假設(shè)能，請(qǐng)標(biāo)出水井的位置，并說(shuō)明理由.解題分析：教材作業(yè)題中，因點(diǎn)D與點(diǎn)B、點(diǎn)A與點(diǎn)C是定點(diǎn)，當(dāng)水井打在AC與BD的交點(diǎn)時(shí)，水井到各村莊的距離之和最小，直接利用“兩點(diǎn)之間線段最短”的原理。中考鏈接：〔2009山東濰坊〕邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC(一象限),兩頂點(diǎn)A,B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸,y軸的正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)C在第一象限,連接OC,求OC的長(zhǎng)的最大值.解題分析：濰坊的這一試題對(duì)教材進(jìn)行了拓展：點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，直接相聯(lián)不可能解決，但因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯€長(zhǎng)和等邊三角形邊上的中線也是定值,所以設(shè)AB中點(diǎn)為P，在一般情況下OP+PC＞OC，當(dāng)O、P、C三點(diǎn)一線時(shí)OC=OP+PC最大.求解策略：教材的模型是在兩定點(diǎn)之間求最小值，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”，只要把兩定點(diǎn)直接相連，對(duì)無(wú)法或較難量化的兩點(diǎn)間距離那么可以利用幾何圖形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為“折線和”，再利用三角形三邊關(guān)系或兩點(diǎn)間線段最短可得出最值.1.2應(yīng)用垂線段最短教材鏈接：七上7.7相交線〔2〕作業(yè)題如圖,直線l表示一段河道,點(diǎn)A表示集鎮(zhèn),圖上距離與實(shí)際距離之比為1︰2000000.現(xiàn)要從河l向集鎮(zhèn)A引水，問(wèn)沿怎樣的路線開(kāi)挖水渠，才能使水渠的長(zhǎng)度最短？……ABCP解題分析：教材作業(yè)題解決思路是過(guò)點(diǎn)A向垂直于水渠的方向開(kāi)挖水渠，水渠長(zhǎng)最短.直接利用“直線外一點(diǎn)到直線的所有線中垂線段最短ABCP試題鏈接：2010臺(tái)灣如圖，△ABC中，有一點(diǎn)P在AC上移動(dòng).假設(shè)AB=AC=5,BC=6，則APBPCP的最小值為何？

(A)8(B)8.8(C)9.8(D)10解題分析：臺(tái)灣此題APPC=AC為定值5，從而三線段和轉(zhuǎn)化為求BP最小值，因?yàn)锽為定點(diǎn)，P為AC上一動(dòng)點(diǎn)，所以BP最小值就是定點(diǎn)B到AC的垂線段.求解策略：教材的模型是一定點(diǎn)和一定直線求最小值.解答此類(lèi)試題只要透過(guò)問(wèn)題找到本質(zhì)，剔除一些不變的線段〔和〕轉(zhuǎn)化為一定點(diǎn)到一定直線的距離，再利用“直線外一點(diǎn)到直線的所有線中垂線段最短”即可得出最小值.在平面幾何求最值這類(lèi)問(wèn)題中，應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)變換、平移變換和旋轉(zhuǎn)變換這三種圖形變換及性質(zhì)，可以將那些分散、遠(yuǎn)離的條件轉(zhuǎn)移到適當(dāng)?shù)奈恢蒙?，得以相?duì)集中后，再應(yīng)用上述定〔公〕理，便可迎刃而解.2.結(jié)合圖形變換求最值2.1應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)變換把直線同側(cè)的線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段之和一定直線+兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)教材鏈接：浙教版科學(xué)七下1.5光的反射和折射根本模型1：〔將軍飲馬問(wèn)題〕白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河。詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題：詩(shī)中將軍在觀望烽火之后從山腳上的A點(diǎn)出發(fā)，奔向交河旁邊的P點(diǎn)飲馬，飲馬后再到B點(diǎn)宿營(yíng)，試問(wèn)怎樣走，才能使總的路程最短？如圖，在定直線l同側(cè)有兩個(gè)定點(diǎn)A、B,在定直線l上有一動(dòng)點(diǎn)P，請(qǐng)找到使PA+PB最短的點(diǎn)P位置.思路分析：如圖2作A關(guān)于直線l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),連接交l于p，那么p點(diǎn)即為所求使AP+BP為最短的距離〔此題過(guò)B作關(guān)于l的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)也可，方法都是一樣的.中考鏈接：2010湖北鄂州市yODAxPBC如下圖，四邊形為正方形，邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)分別在軸，軸的正半軸上，點(diǎn)在上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，是上的一動(dòng)點(diǎn)，試求和的最小值是A．B.C.D.yODAxPBC解題分析：由得點(diǎn)P為定直線OB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D和點(diǎn)A為兩個(gè)定點(diǎn)，符合模型；用正方形的軸對(duì)稱(chēng)性可知點(diǎn)A關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)就是點(diǎn)C,因此和的最小值就是的最小值，而點(diǎn)A和點(diǎn)C都是定點(diǎn)，根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可得DC即為所求.求解策略：此類(lèi)試題往往把背景變換成角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圓、坐標(biāo)軸、拋物線等，但都有一個(gè)“軸對(duì)稱(chēng)性”的圖形共同點(diǎn)，解題時(shí)只要從變換的背景中提取“一定直線+兩定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)”的數(shù)學(xué)模型，再通過(guò)找定直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和，利用“兩點(diǎn)間線段最短”，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”即可解決.假設(shè)設(shè)問(wèn)是求三角形周長(zhǎng)或四邊形周長(zhǎng)最值，那么必含有定長(zhǎng)線段，依然可以轉(zhuǎn)化為兩線段和的最值.兩定直線+一定點(diǎn)+一動(dòng)點(diǎn)根本模型2：如圖1，兩定直線a和l，其中在定直線l上有一個(gè)定點(diǎn)A,在定直線a上有一動(dòng)點(diǎn)P，請(qǐng)找到使PA和點(diǎn)P到直線l距離之和的最小值的點(diǎn)P位置.思路分析：如圖2作A關(guān)于直線a的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),過(guò)作H垂直l于點(diǎn)H，那么p點(diǎn)即為所求使AP和P到直線l距離和為最短的點(diǎn).中考鏈接：2009紹興定義一種變換：平移拋物線得到拋物線，使經(jīng)過(guò)的頂點(diǎn)．設(shè)的對(duì)稱(chēng)軸分別交于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．〔1〕、〔2〕略〔3〕如圖3，假設(shè)：，經(jīng)過(guò)變換后，，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)到點(diǎn)的距離和到直線的距離之和的最小值．BDCBDCOyxF1AP圖2NBDCAPOyxF1F2〔第24題圖3〕3〕BDCOyxF1F2AP圖1HN解題分析:容易證得菱形，由菱形對(duì)稱(chēng)性可知.如圖1，作交于點(diǎn)，那么．要使最小，只要使最小，此最小值是點(diǎn)到的距離，即邊上的高．〔∵，，，∴，故是等邊三角形．∴∴最小值為．〔在點(diǎn)的右側(cè)和左側(cè)同理〕．求解策略：解決此類(lèi)題的關(guān)鍵是在軸對(duì)稱(chēng)背景中提取模型條件，通過(guò)找定直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)把同側(cè)線段和轉(zhuǎn)化為異側(cè)線段和，利用“點(diǎn)到直線垂線段最短”，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”時(shí)，最小值就得到。兩定直線+一定點(diǎn)+兩動(dòng)點(diǎn)根本模型3：如圖，∠AOB=45°，其中有一定點(diǎn)P，在AO,BO的邊上有兩動(dòng)點(diǎn)MN，是否存在點(diǎn)MN，使得△PMN的周長(zhǎng)最小解題分析：要求△PMN周長(zhǎng)的最小值，其實(shí)就是求PM+PN+MN的最小值，根據(jù)根本模型2，作P關(guān)于OA的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P1，作P關(guān)于OB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P2，連接P1P2交OA,OB于點(diǎn)M,N，那么PM+PN+MN最小，即△PMN的周長(zhǎng)最小。2.2．應(yīng)用平移變換將無(wú)交點(diǎn)的兩線段之和轉(zhuǎn)化為“將軍飲馬問(wèn)題”中的兩線段之和教材鏈接:浙教版七下2.6圖形變換的簡(jiǎn)單應(yīng)用作業(yè)題:“要在一條河上架一座橋(橋通常與河岸垂直),小聰小明小慧分別提供了一種方案,哪一種方案能使從A地到B地的路程最短?請(qǐng)說(shuō)明理由.”〔建橋問(wèn)題〕思路分析：小明的方案能使從A到B地的路程最短.方法是：將B點(diǎn)向下平移到M，使BM的長(zhǎng)等于橋長(zhǎng)；連結(jié)A、M交b于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作a的垂線，交a于點(diǎn)C,那么CD是橋所在的位置.根本模型4；兩定點(diǎn)+一定直線+同側(cè)兩定點(diǎn)如圖1，兩定點(diǎn)A、B和定直線L，其中在定直線上有兩個(gè)定距離的動(dòng)點(diǎn)A,B請(qǐng)?jiān)谥本€L上找到使AC+BD值最小的點(diǎn)C和點(diǎn)D的位置.思路分析：如圖2，作點(diǎn)B的對(duì)稱(chēng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作∥L,且=CD,連結(jié)與直線L交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)D位置，點(diǎn)C位置隨之也就確定.該模型是教材的變式。中考鏈接：2010天津：在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在軸、軸的正半軸上，，，為邊的中點(diǎn).〔Ⅰ〕略〔Ⅱ〕假設(shè)、為邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)、的坐標(biāo).解題思路：如圖，由于CD和EF是兩定長(zhǎng)線段，因此，四邊形的周長(zhǎng)最小值其實(shí)就是DE+CF的最小值.作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，在邊上截取，連接與軸交于點(diǎn)，在上截取.∵GC∥EF，，∴四邊形為平行四邊形，有.又、的長(zhǎng)為定值，∴此時(shí)得到的點(diǎn)、使四邊形的周長(zhǎng)最小.∵由Rt∽R(shí)t,可得.∴.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，0〕，點(diǎn)的坐標(biāo)為〔，0〕.天津試題是模型的變式，區(qū)別在于把定直線異側(cè)不“聚頭”的兩線段變化成定直線同側(cè)不“聚頭”的兩線段.解決過(guò)程中多了一次軸對(duì)稱(chēng)變換.求解策略：此類(lèi)題是求定直線同側(cè)未連接兩線段和的最小值，首先需要用軸對(duì)稱(chēng)變換轉(zhuǎn)化成“建橋問(wèn)題”模型后，再用平移變換將未連接的兩線段在定直線上“聚頭”，等量轉(zhuǎn)化為折線，利用“兩點(diǎn)間線段最短”，實(shí)現(xiàn)“折”轉(zhuǎn)“直”找到其中一個(gè)點(diǎn)的位置，另一點(diǎn)位置也隨之找到.2.3應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換將交于同一點(diǎn)的三線段之和改變位置等量轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)間的折線之和教材鏈接：浙教版八下課本第82頁(yè)：你聽(tīng)說(shuō)過(guò)費(fèi)馬點(diǎn)嗎？……費(fèi)馬點(diǎn)有許多有趣并且有意義的性質(zhì)……把你的探究結(jié)果寫(xiě)成一篇小論文，并通過(guò)與同學(xué)交流來(lái)修改完善你的小論文.中考鏈接：2010福建寧德EADBCNM如圖，四邊形ABCD是正方形，△ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD〔不含B點(diǎn)〕上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接EN、AM、CM.⑴略⑵①EADBCNM解題分析：根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)可得：EN=AM,△BNM為等邊三角形推的MN=BN,此時(shí)AM＋BM＋CM的最小值轉(zhuǎn)化為求“三折線”EN+NM+MC的最小值.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”EN+NM+MC等于CE時(shí)最小.所以，當(dāng)M位于BD與CE交點(diǎn)時(shí)，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的長(zhǎng).求解策略：此類(lèi)試題的模型是：三條聚在一起的線段，求線段和的最小值；解決策略是利用旋轉(zhuǎn)變換，把如圖1所求的“相聚于同一點(diǎn)的三條線段”轉(zhuǎn)化為