中級(jí)宏觀：最優(yōu)增長RCK

最優(yōu)增長理論Ramsey-Cass-Koopmans模型華東師范大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院

新古典增長模型的缺陷缺陷：1、水平效應(yīng)因素——儲(chǔ)蓄率S與人力資本h外生2、增長效應(yīng)因素——技術(shù)A外生。批評(píng)：可解釋一切，惟獨(dú)不解釋增長因素。誘發(fā)現(xiàn)代增長模型的開展：最優(yōu)增長問題1、儲(chǔ)蓄率2、技術(shù)A3、人力資本hcysySolow穩(wěn)態(tài)Phelps黃金率Phelps1962增長黃金率：消費(fèi)最大化Phelps黃金增長=特殊的Solow穩(wěn)態(tài)Ramsey1928模型：最優(yōu)儲(chǔ)蓄《經(jīng)濟(jì)學(xué)》雜志“儲(chǔ)蓄的一個(gè)數(shù)學(xué)理論”基于變分法討論最優(yōu)增長〔消費(fèi)、儲(chǔ)蓄與投資〕路徑。最優(yōu)化問題：變分法問題：Euler方程Ramsey技巧：最優(yōu)方案使積分函數(shù)趨于0，積分收斂打折非道德邊際消費(fèi)效用

邊際產(chǎn)出=勞動(dòng)的邊際負(fù)效用消費(fèi)動(dòng)亂的厭惡程度消費(fèi)增長率=資本邊際產(chǎn)出Cass-Koopmans模型：最優(yōu)增長1965：Cass“總量資本積累模型中的最優(yōu)儲(chǔ)蓄”；Koopmans“論最優(yōu)經(jīng)濟(jì)增長概念”引入折現(xiàn)率與人口指數(shù)，討論封閉經(jīng)濟(jì)Ramsey問題生產(chǎn)函數(shù)：企業(yè)最大化：居民財(cái)富累積：跨期總福利與瞬時(shí)人均消費(fèi)效用函數(shù)：非蓬齊對(duì)策(CharlesPonzi-Game,連鎖信1920s)條件Cass-Koopmans模型：最優(yōu)增長穩(wěn)態(tài)〔修正的黃金率〕：相位圖：鞍點(diǎn)對(duì)k0須選定c0，使達(dá)唯一路徑〔穩(wěn)定支〕，才能到鞍點(diǎn)穩(wěn)定臂Lagrange函數(shù)一階條件：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：龐德里雅金：最大值原理俄L.S.Pontryagin1962論文“最優(yōu)過程的數(shù)學(xué)定理”Hamilton函數(shù)：協(xié)態(tài)變量---狀態(tài)變量的影子價(jià)值。解垂直終結(jié)線〔狀態(tài)變量終結(jié)值自由〕問題要求滿足橫截條件0非負(fù)常數(shù)。特別在垂直終結(jié)線問題中嚴(yán)格正，故可標(biāo)準(zhǔn)化為0=1。有的最優(yōu)化問題中其可能為0，被積函數(shù)F無用。一階條件：協(xié)態(tài)變量運(yùn)動(dòng)方程控制變量運(yùn)動(dòng)方程狀態(tài)變量運(yùn)動(dòng)方程最優(yōu)控制問題與最大值原理例：經(jīng)濟(jì)體一可耗盡資源初始有限儲(chǔ)量S(0)。抽取使儲(chǔ)量—狀態(tài)變量S(t)如下消減：控制變量—抽取速度E(t)兩特性：受制于人為抉擇；控制其可影響狀態(tài)變量。假設(shè)最終儲(chǔ)量不受限制，在時(shí)期[0,T]使用S的效用最大化，那么動(dòng)態(tài)最優(yōu)問題是：求解：利用Pontryagin最大值原理構(gòu)造Hamilton函數(shù)最優(yōu)控制問題的特殊性質(zhì)1/控制變量路徑可間斷，分段連續(xù)即可；而狀態(tài)變量路徑必須連續(xù)，可轉(zhuǎn)折，只要分段可微。2/可直接處理控制變量的約束，比方取值范圍為閉凸集。3/自由終結(jié)狀態(tài)〔垂直終結(jié)線〕，這保證控制變量隨心所欲，而不必?fù)?dān)憂狀態(tài)變量的終結(jié)值?？刂谱兞縰時(shí)間t時(shí)間t狀態(tài)變量y0t1t2T垂直終結(jié)線最優(yōu)控制問題與變分法問題的聯(lián)系變分法問題與最優(yōu)控制問題有區(qū)別與聯(lián)系最優(yōu)控制問題：目標(biāo)泛函、約束條件；控制變量、狀態(tài)變量、協(xié)態(tài)變量狀態(tài)變量的初始值和終結(jié)值求解用最大值原理特別，當(dāng)約束條件為上述最優(yōu)控制問題就是垂直終結(jié)線的變分法問題變分法問題求解一階條件一般而言最優(yōu)控制問題可轉(zhuǎn)化為變分法問題求解：一階條件與邊界條件相同最大值原理的理論根底：變分法觀點(diǎn)最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)為變分法問題最優(yōu)化依賴y,u的路徑，與無關(guān)〔約束條件〕最優(yōu)路徑的鄰近路徑因p(t),q(t),yT任意Euler方程：Cass-Koopmans模型：最優(yōu)增長穩(wěn)態(tài)-鞍點(diǎn)〔修正的黃金率〕相位圖對(duì)k0須選定c0，使到達(dá)唯一路徑〔穩(wěn)定支〕，才能到鞍點(diǎn)。穩(wěn)定支Hamilton函數(shù):一階條件與橫截條件：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：Cass-Koopmans模型動(dòng)態(tài)：穩(wěn)態(tài)附近的線性近似鞍點(diǎn)：Cass-Koopmans模型：特例穩(wěn)定臂Cass-Koopmans模型：分散經(jīng)濟(jì)引入政府1政府支出g外生一次性稅收彌補(bǔ)生產(chǎn)函數(shù)：企業(yè)最大化：跨期總福利與瞬時(shí)人均消費(fèi)效用函數(shù)：居民財(cái)富累積：非蓬齊對(duì)策(CharlesPonzi-Game,連鎖信1920s)條件Cass-Koopmans模型：分散經(jīng)濟(jì)引入政府1穩(wěn)態(tài)〔修正的黃金率〕：相位圖：鞍點(diǎn)政府支出外生由一次性稅收彌補(bǔ)下，擠出消費(fèi)，對(duì)資本存量無影響。穩(wěn)定臂Lagrange函數(shù)一階條件：動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：Cass-Koopmans模型：分散經(jīng)濟(jì)引入政府2政府支出g外生，由一次性稅收與債務(wù)企業(yè)最大化：跨期總福利與瞬時(shí)人均消費(fèi)效用函數(shù)：居民財(cái)富累積：政府約束：非蓬齊對(duì)策條件NPG與政府1中的居民預(yù)算一致：政府稅收與債務(wù)都不出現(xiàn)在方程中。給定支出，融資方式不影響資源配置。求解同1，略。一元連續(xù)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程：系統(tǒng)變量與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系方程。該系統(tǒng)變量是未知的、關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)且可導(dǎo)的函數(shù)。例/連續(xù)價(jià)風(fēng)格整的供求模型非線性微分方程的線性近似