概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì) 第6章 數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)

第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底6.1總體和樣本6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底前五章我們學(xué)習(xí)了概率論的根本知識，從本章開始將學(xué)習(xí)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本知識、理論和方法．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)是以對隨機(jī)現(xiàn)象觀測所取得的資料〔數(shù)據(jù)〕為出發(fā)點(diǎn)，以概率論為根底來研究隨機(jī)現(xiàn)象的一門學(xué)科．概率論中，往往是在隨機(jī)變量分布的條件下，去研究它的性質(zhì)、特點(diǎn)和規(guī)律性，比方求隨機(jī)變量取某些特定值的概率、求隨機(jī)變量的數(shù)字特征、研究多個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系等．第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，我們所研究的隨機(jī)變量的分布往往是未知的，通過對隨機(jī)變量進(jìn)行屢次獨(dú)立重復(fù)的試驗(yàn)和觀測，獲取數(shù)據(jù)，利用實(shí)際觀測數(shù)據(jù)研究隨機(jī)變量的分布，對其分布函數(shù)、數(shù)字特征等進(jìn)行估計(jì)和推斷．本章作為數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底，學(xué)習(xí)總體、樣本、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布等有關(guān)概念，以及有關(guān)正態(tài)總體的重要的抽樣分布定理．第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】相對于其它許多數(shù)學(xué)分支而言，數(shù)理統(tǒng)計(jì)是一個(gè)比較年輕的數(shù)學(xué)分支．多數(shù)人認(rèn)為20世紀(jì)40年代克拉美〔H.Carmer〕的著作?統(tǒng)計(jì)學(xué)的數(shù)學(xué)方法?，使得1945年以前25年間英、美統(tǒng)計(jì)學(xué)家在統(tǒng)計(jì)學(xué)方面的工作與法、俄數(shù)學(xué)家在概率論方面的工作結(jié)合起來，從而形成數(shù)理統(tǒng)計(jì)這門學(xué)科．?dāng)?shù)理統(tǒng)計(jì)有很多分支，但其根本內(nèi)容為采集樣本和統(tǒng)計(jì)推斷兩大局部．開展到今天的現(xiàn)代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)，已經(jīng)歷了各種歷史變遷．1.近代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期18世紀(jì)末到19世紀(jì)，是近代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期．這一時(shí)期的重大成就是大數(shù)定律和概率論被引入統(tǒng)計(jì)學(xué)．之后最小二乘法、誤差理論和正態(tài)分布理論等相繼成為統(tǒng)計(jì)學(xué)的重要內(nèi)容．這一時(shí)期有兩大學(xué)派：數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派和社會統(tǒng)計(jì)學(xué)派．【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)派始于19世紀(jì)中葉，代表人物是比利時(shí)的凱特萊〔A.Quetelet，1796-1874〕，著有?概率論書簡??社會物理學(xué)?等，他主張用研究自然科學(xué)的方法研究社會現(xiàn)象，正式把概率論引入統(tǒng)計(jì)學(xué)，并最先用大數(shù)定律證明了社會生活中隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性，提出了誤差理論．凱特萊的奉獻(xiàn)，使統(tǒng)計(jì)學(xué)的開展進(jìn)入個(gè)了一個(gè)新的階段．社會統(tǒng)計(jì)學(xué)派始于19世紀(jì)末，首創(chuàng)人物是德國的克尼斯〔K.G.A.Knies〕，他認(rèn)為統(tǒng)計(jì)學(xué)是一個(gè)社會科學(xué)，是研究社會現(xiàn)象變動原因和規(guī)律性的實(shí)質(zhì)性科學(xué)．各國專家學(xué)者在社會經(jīng)濟(jì)統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的設(shè)定與計(jì)算、指數(shù)的編制、統(tǒng)計(jì)調(diào)查的組織和實(shí)施、經(jīng)濟(jì)社會開展評價(jià)和預(yù)測等方面取得了一系列的重要成果．德國統(tǒng)計(jì)學(xué)家恩格爾〔，1821-1896〕提出的“恩格爾〞系數(shù)，美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家?guī)炱澞暮陀?jīng)濟(jì)學(xué)家斯通等人研究的國民收入和國內(nèi)生產(chǎn)總值的核算方法等，都是偉大的奉獻(xiàn)．【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】18世紀(jì)到19世紀(jì)初期，高斯從描述天文觀測的誤差而引進(jìn)正態(tài)分布，并使用最小二乘法作為估計(jì)方法，是近代數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)開展初期的重大事件，對社會開展有很大的影響．【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】用正態(tài)分布描述觀測數(shù)據(jù)的應(yīng)用是如此普遍，以至在19世紀(jì)相當(dāng)長的時(shí)期內(nèi)，包括高爾頓〔Galton〕在內(nèi)的一些學(xué)者，認(rèn)為這個(gè)分布可用于描述幾乎是一切常見的數(shù)據(jù)．直到現(xiàn)在，有關(guān)正態(tài)分布的統(tǒng)計(jì)方法，仍占據(jù)著常用統(tǒng)計(jì)方法中很重要的一局部．最小二乘法方面的工作，在20世紀(jì)初以來，經(jīng)過一些學(xué)者的開展，如今成了數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中的主要方法．【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】例如英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾.皮爾遜〔K.Pearson，1857-1936〕的2分布理論，統(tǒng)計(jì)學(xué)家戈賽特〔，1876-1937〕的小樣本t分布理論，統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇爾〔，1890-1962〕的F分布理論和試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法，波蘭統(tǒng)計(jì)學(xué)家尼曼〔J.Neyman〕和英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家皮爾遜〔，1895-1980〕的置信區(qū)間理論和假設(shè)檢驗(yàn)理論，以及非參數(shù)統(tǒng)計(jì)法、序貫抽樣法、多元統(tǒng)計(jì)分析法、時(shí)間序列跟蹤預(yù)測法都應(yīng)運(yùn)而生，并逐步成為現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)的主要內(nèi)容．【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)時(shí)期是數(shù)理統(tǒng)計(jì)開展的輝煌時(shí)期，數(shù)理統(tǒng)計(jì)不僅在理論上取得重大進(jìn)展，其方法在生物、農(nóng)業(yè)、醫(yī)學(xué)、社會、經(jīng)濟(jì)、工業(yè)和科技等方面得到愈來愈廣泛的應(yīng)用．另外，計(jì)算機(jī)的應(yīng)用對統(tǒng)計(jì)學(xué)的產(chǎn)生了巨大的影響，需要大量計(jì)算的統(tǒng)計(jì)方法，有了計(jì)算機(jī)，這一切都不成問題．【數(shù)理統(tǒng)計(jì)簡史】第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底【質(zhì)量控制問題】

某食鹽廠用包裝機(jī)包裝的食鹽，每袋重量500g，通常在包裝機(jī)正常的情況下，袋裝食鹽的重量X服從正態(tài)分布，均值為500g，標(biāo)準(zhǔn)差為25g．為進(jìn)行生產(chǎn)質(zhì)量控制，他們每天從當(dāng)天的產(chǎn)品中隨機(jī)抽出30袋進(jìn)行嚴(yán)格稱重，以檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常．某日，該廠隨機(jī)抽取30袋鹽的重量分別為：

從這些數(shù)據(jù)看，包裝機(jī)的工作正常嗎？4755004854545044394925014634614644945124514345115134905215144494674994845084784794995294806.1總體和樣本6.1.1總體與個(gè)體

總體或母體指我們研究對象的全體構(gòu)成的集合，個(gè)體指總體中包含的每個(gè)成員．例如，在研究某高校學(xué)生生活消費(fèi)狀況時(shí)，該校全體學(xué)生就是一個(gè)總體，其中每一個(gè)學(xué)生是一個(gè)個(gè)體；在人口普查中，總體是某地區(qū)的全體人口，個(gè)體就是該地區(qū)的每一個(gè)人．第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底6.1.1總體與個(gè)體我們研究總體時(shí)，所關(guān)心的往往是總體某方面的特性，這些特性又常?？梢杂靡粋€(gè)或多個(gè)數(shù)量指標(biāo)來反映．例如，在研究某高校學(xué)生生活消費(fèi)狀況時(shí)，關(guān)心的可能是學(xué)生們每月的生活消費(fèi)額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時(shí)，關(guān)心的可能是這些燈泡的壽命和光亮度等．這時(shí)總體指一個(gè)或多個(gè)數(shù)量指標(biāo)，這些數(shù)量指標(biāo)對我們來說是不了解或者說是未知的，我們可以用一個(gè)或多個(gè)隨機(jī)變量來表示它們．

因此，總體可以是一維隨機(jī)變量，也可以是多維隨機(jī)變量．例如，在研究某高校學(xué)生生活消費(fèi)狀況時(shí)，可以用X表示月生活消費(fèi)額，在研究某廠生產(chǎn)的燈泡的質(zhì)量時(shí)，可以分別用X，Y表示燈泡的壽命和光亮度，那么，對上面兩個(gè)問題的研究就轉(zhuǎn)化為對總體X和總體(X，Y)的研究了．

6.1.1總體與個(gè)體根據(jù)總體中包含個(gè)體的數(shù)量，可以將總體分為有限總體和無限總體，當(dāng)總體中包含個(gè)體的數(shù)量很大時(shí)，我們可以把有限總體看成是無限總體．例如，某廠某天生產(chǎn)的燈泡可以看作是有限總體，而該廠生產(chǎn)的全部燈泡就可以看作為無限總體，因?yàn)樗^去和將來生產(chǎn)的燈泡的全部．6.1.1總體與個(gè)體6.1.2樣本與抽樣實(shí)際應(yīng)用中，為了研究總體的特性，總是從總體中抽出局部個(gè)體進(jìn)行觀察和試驗(yàn)，根據(jù)觀察或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)推斷總體的性質(zhì)．我們把從總體中抽出的局部個(gè)體稱為樣本，把樣本中包含個(gè)體的數(shù)量稱為樣本容量，把對樣本的觀察或試驗(yàn)的過程稱為抽樣，把觀察或試驗(yàn)得到的數(shù)據(jù)稱為樣本觀測值〔觀測數(shù)據(jù)〕，簡稱樣本值．例如，在質(zhì)量檢驗(yàn)中，隨機(jī)抽出n件產(chǎn)品，測得的數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn，就稱它們是樣本觀測值．在抽樣前，不知道樣本觀測值究竟取何值，應(yīng)該把它們看作為隨機(jī)變量，記作X1，X2，...，Xn，稱其為容量為n的樣本.〔在不會混淆的情況下，有時(shí)我們也將觀測數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn稱為樣本，如“質(zhì)量控制問題〞中的30個(gè)數(shù)據(jù)，也可以說成是一個(gè)容量為30的樣本〕．樣本與抽樣在應(yīng)用中，我們從總體中抽出的個(gè)體必須具有代表性，樣本中個(gè)體之間要具有相互獨(dú)立性，為保證這兩點(diǎn)，一般采用簡單隨機(jī)抽樣．定義6.1一種抽樣方法假設(shè)滿足下面兩點(diǎn)，稱其為簡單隨機(jī)抽樣：(1)總體中每個(gè)個(gè)體被抽到的時(shí)機(jī)是均等的；(2)樣本中的個(gè)體相互獨(dú)立．由簡單隨機(jī)抽樣得到的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本．如果沒有特殊說明,以后所說樣本均指簡單隨機(jī)樣本．樣本與抽樣設(shè)X1，X2，...，Xn是從總體X中抽出的簡單隨機(jī)樣本，由定義可知，X1，X2，...，Xn有下面兩個(gè)特性：(1)代表性：X1，X2，...，Xn均與X同分布，即假設(shè)XF(x)，那么對每一個(gè)Xi都有XiF(xi)，i=1，2，…，n(2)獨(dú)立性：X1，X2，...，Xn相互獨(dú)立.由這兩個(gè)特性可知，假設(shè)X的分布函數(shù)為F(x)，那么X1，X2，...，Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x1,x2,…,xn)=F(x1)F(x2)…F(xn)假設(shè)X具有概率密度為f(x)，那么X1，X2，...，Xn的聯(lián)合概率密度為f(x1,x2,…,xn)=f(x1)f(x2)…f(xn)樣本與抽樣往往是未知或不完全知道的，是需要通過樣本來進(jìn)行研究和推斷的．【例6.1】設(shè)總體X服從均值為1/2的指數(shù)分布，X1，X2，X3，X4為來自X的樣本，求X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度和聯(lián)合分布函數(shù)．解：X的概率密度為其分布函數(shù)為那么X1，X2，X3，X4的聯(lián)合概率密度為：樣本與抽樣樣本與抽樣由于X的分布函數(shù)為X1，X2，X3，X4的聯(lián)合分布函數(shù)為

【例6.2】總體X的分布為P{X=i}=1/4，i=0,1,2,3,抽取n=36的簡單隨機(jī)樣本X1,X2,...,X36,求大于50.4小于64.8的概率．解：總體X的均值和方差分別為

樣本與抽樣由于X1，X2，...，X36均與總體X同分布，且相互獨(dú)立，所以，Y的均值和方差分別為

又因?yàn)閚=36較大，依中心極限定理，近似服從正態(tài)分布，所以

樣本與抽樣6.1總體和樣本6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)如前所述，數(shù)理統(tǒng)計(jì)所研究的實(shí)際問題〔總體〕的分布一般來說是未知的，需要通過樣本來推斷．但如果對總體一無所知，那么，做出推斷的可信度一般也極為有限．在很多情況下，我們往往可以通過具體的應(yīng)用背景或以往的經(jīng)驗(yàn)，再通過觀察樣本觀測值的分布情況，對總體的分布形式有個(gè)大致了解．觀察樣本觀測值的分布規(guī)律，了解總體X的概率密度和分布函數(shù)，常用直方圖和經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù).1.直方圖直方圖是對一組數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn的分布情況的圖形描述．將數(shù)據(jù)的取值范圍分成假設(shè)干區(qū)間〔一般是等間隔的〕，在等間隔的情況，每個(gè)區(qū)間的長度稱為組距．考察這些數(shù)據(jù)落入每一個(gè)小區(qū)間的頻數(shù)和頻率，在每一個(gè)區(qū)間上畫一個(gè)矩形，它的寬度是組距，高度可以是頻數(shù)、頻率或頻率/組距，所得直方圖分別稱為頻數(shù)直方圖、頻率直方圖和密度直方圖．6.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖6-1密度直方圖如果數(shù)據(jù)x1，x2，...，xn是來自連續(xù)總體X的樣本觀測值，其密度直方圖中，每一個(gè)矩形的面積恰好是觀測數(shù)據(jù)落入對應(yīng)區(qū)間的頻率，這種密度直方圖可以用來估計(jì)總體的概率密度〔用密度直方圖的頂部折線估計(jì)X的概率密度曲線〕．組距對直方圖的形態(tài)有很大的影響，組距太小或太大，直方圖反映概率密度的形態(tài)就不夠準(zhǔn)確．直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)一個(gè)適宜的分組是希望密度直方圖的形態(tài)接近總體的概率密度函數(shù)的形態(tài)．手工計(jì)算常取組數(shù)等于左右，一些統(tǒng)計(jì)軟件會根據(jù)樣本容量和樣本的取值范圍自動確定一個(gè)適宜的分組方式，畫出各種漂亮的直方圖．【實(shí)驗(yàn)6-1】從某高校一年學(xué)生的“高等數(shù)學(xué)〞課程考試成績中，隨機(jī)抽取60名學(xué)生的成績?nèi)缦拢涸嚴(yán)肊xcel的“數(shù)據(jù)分析〞功能作學(xué)生成績的密度直方圖，并通過直方圖了解學(xué)生成績的分布情況．7669717769718369858586777495668766516873776266739379638787548057727258767276697181756674606779638878857258906170776880796.1.3直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)實(shí)驗(yàn)步驟：(1)確定分組個(gè)數(shù)：因?yàn)?，取分組個(gè)數(shù)為8．?dāng)?shù)據(jù)的最小值為51，最大值為95，為分組方便起見，考慮范圍從50到100，分為8個(gè)組，組距取50/8=6.25，分點(diǎn)分別為：50，56.25，62.5，68.75，75，81.25，87.5，93.75，100。整理學(xué)生成績數(shù)據(jù)，在“組上限〞欄中填入各組的上限值，如圖6-2左所示．

圖6-2數(shù)據(jù)整理與“直方圖〞對話框(2)在Excel主菜單中選擇“工具〞“數(shù)據(jù)分析〞，翻開“數(shù)據(jù)分析〞對話框，在“分析工具〞列表中選擇“直方圖〞選項(xiàng)，單擊“確定〞按鈕．(3)在翻開的“直方圖〞對話框中，依次輸入〔或用鼠標(biāo)拖動選擇〕“輸入?yún)^(qū)域〞、“接收區(qū)域〞和“輸出區(qū)域〞，如圖6-2右所示，單擊“確定〞按鈕．得到頻率分布的結(jié)果如圖6-3左所示．

圖6-3計(jì)算各組頻率與密度(4)計(jì)算密度：在單元格區(qū)域J2:J9中依次輸入組域名：50-56.25、、、68.75-75、75-81.25、、、93.75-100，然后在“密度〞列的單元格K2中輸入公式：=I2/60/6.25，并將公式復(fù)制到K3~K9中，如圖6-3右所示．(5)畫密度直方圖：選中單元格區(qū)域J1:K9，單擊“圖表向?qū)Ж暟粹o，翻開“圖表向?qū)Ж晫υ捒颍凇皥D表類型〞選擇中，取默認(rèn)的“柱形圖〞向?qū)?，直接單擊“完成〞按鈕，即可得到密度柱形圖，如圖6-4所示．圖6-4密度柱形圖右鍵單擊圖中條形，在快捷菜單中選擇“數(shù)據(jù)系列格式〞，翻開“數(shù)據(jù)系列格式〞對話框，在其中的“選項(xiàng)〞選項(xiàng)卡中，修改“分類間距〞為0，如圖6-5〔左〕所示，單擊“確定〞按鈕，即可加寬條形，得到密度直方圖，進(jìn)一步修改圖形，得到密度直方圖，如圖6-5〔右〕所示．

圖6-5密度直方圖從學(xué)生成績的密度直方圖可以看到，學(xué)生成績在平均分附近比較密集，較低或較高分?jǐn)?shù)學(xué)生比較少，學(xué)生成績的分布呈近似“鐘形〞對稱，即成績分布近似正態(tài)分布．類似的方法可以畫出學(xué)生成績的頻數(shù)直方圖和頻率直方圖，由于三種直方圖只是高度相差一定的倍數(shù)，所以在研究總體分布的形態(tài)時(shí)，三種直方圖具有同樣的作用．2.經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為了解總體X的分布形式，根據(jù)樣本觀測值x1，x2，...，xn構(gòu)造一個(gè)函數(shù)Fn(x)來近似總體X的分布函數(shù)，函數(shù)Fn(x)稱為經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)．它的構(gòu)造方法是這樣的，將樣本觀測值x1，x2，...，xn按從小到大可排成，定義

直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)只在x=x(k)，〔k=1，2，…，n〕處有躍度為1/n的間斷點(diǎn)，假設(shè)有l(wèi)個(gè)觀測值相同，那么Fn(x)在此觀測值處的躍度為l/n．對于固定的x，F(xiàn)n(x)即表示事件{Xx}在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)的頻率，即，其中k為落在(-，x)中xi的個(gè)數(shù)．

直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)由伯努利大數(shù)定理知Fn(x)依概率收斂于F(x)．實(shí)際上，F(xiàn)n(x)還一致地收斂于F(x)，所謂的格里文科定理指出了這一更深刻的結(jié)論，即所以，當(dāng)n充分大時(shí)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)Fn(x)是總體分布函數(shù)F(x)的一個(gè)良好的近似．

直方圖與經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布在利用樣本推斷總體的性質(zhì)時(shí)，往往不能直接利用樣本，而需要對它進(jìn)行一定的加工，這樣才能有效地利用其中的信息，否那么，樣本只是呈現(xiàn)為一堆“雜亂無章〞的數(shù)據(jù)．第6章數(shù)理統(tǒng)計(jì)根底【例6.3】從某地區(qū)隨機(jī)抽取50戶農(nóng)民，調(diào)查其人均年收入情況，得到數(shù)據(jù)〔單位:元〕如下： 試對該地區(qū)農(nóng)民收入的水平和貧富懸殊程度做個(gè)大致分析．9248009167048701040824690574490972988126668476494040880461085260275478896270471285488876884888211928208786148467468287928726966449268081010728742850864738

6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布解：顯然，如果不進(jìn)行加工，面對這一大堆大小參差不齊的數(shù)據(jù)，很難得出什么印象．但是可以對這些數(shù)據(jù)稍事加工，如記各農(nóng)戶的人均年收入分別為x1，x2，...，x50，計(jì)算得到這樣，就可以了解到該地區(qū)農(nóng)民的平均收入和該地區(qū)農(nóng)民貧富懸殊的大致情況：農(nóng)民的年人均平均收入大約為809.52元，標(biāo)準(zhǔn)差約為155.85元，貧富懸殊不算很大．

6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布由此可見對樣本的加工是十分重要的．對樣本加工，主要就是構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量．6.2.1統(tǒng)計(jì)量定義6.2設(shè)X1，X2，…，Xn為來自總體X的樣本，稱不含未知參數(shù)的樣本的函數(shù)g(X1，X2，…，Xn)為統(tǒng)計(jì)量．假設(shè)x1，x2，...，xn為樣本觀測值，那么稱g(x1，x2，...，xn)為統(tǒng)計(jì)量g(X1，X2，…，Xn)的觀測值.統(tǒng)計(jì)量是處理、分析數(shù)據(jù)的主要工具．對統(tǒng)計(jì)量的一個(gè)最根本的要求就是可以將樣本觀測值代入進(jìn)行計(jì)算，因而不能含有任何未知的參數(shù)．

6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布【例6.4】設(shè)X1，X2，…，Xn是來自總體X的樣本，X～N(，2)，其中、2為未知參數(shù)，那么X1，min{X1，X2，…，Xn}均為統(tǒng)計(jì)量，但諸如等均不是統(tǒng)計(jì)量，因它含有未知參數(shù)或．常用的統(tǒng)計(jì)量有如下幾種：

6.2.1統(tǒng)計(jì)量1.有關(guān)一維總體的統(tǒng)計(jì)量設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，x1，x2，...，xn為樣本觀測值，(1)樣本均值常用來作為總體期望〔均值〕的估計(jì)量，其觀測值為

統(tǒng)計(jì)量(2)樣本方差(3)樣本標(biāo)準(zhǔn)差樣本方差和樣本標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了樣本數(shù)據(jù)的分散程度，常用來作為總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)量.觀測值分別為

統(tǒng)計(jì)量(4)樣本k階原點(diǎn)矩〔簡稱樣本k階矩〕，(k=1，2，…)(5)樣本k階中心矩，(k=2，3，…)顯然Ak和Bk的觀測值分別記為

統(tǒng)計(jì)量定理6.1設(shè)總體X的期望E(X)=,方差D(X)=2，X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，，S2分別為樣本均值和樣本方差，那么

統(tǒng)計(jì)量由辛欽大數(shù)定理和依概率收斂的性質(zhì)可以證明定理6.2設(shè)總體X的k階原點(diǎn)矩E(Xk)=k存在〔k=1，2，…，m〕，X1，X2，…，Xn為總體X的樣本，g(t1，t2，…，tm)是m元連續(xù)函數(shù)，那么特別有

統(tǒng)計(jì)量2.有關(guān)二維總體的統(tǒng)計(jì)量設(shè)(X1，Y1)，(X2，Y2)，…，(Xn，Yn)為二維總體(X，Y)的樣本，其觀測值為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，那么以下各量為統(tǒng)計(jì)量：(1)樣本協(xié)方差(2)樣本相關(guān)系數(shù)其中SXY和RXY常分別用來作為總體X和Y的協(xié)方差Cov(X，Y)與相關(guān)系數(shù)XY的估計(jì)量．

統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)量

實(shí)驗(yàn)方法一：(1)輸入數(shù)據(jù)及統(tǒng)計(jì)量名，如圖6-7左所示．(2)計(jì)算樣本均值，在單元格H2中輸入公式：=AVERAGE(A2:E11)(3)計(jì)算樣本方差s2，在單元格H3中輸入公式：=VAR(A2:E11)(4)計(jì)算樣本標(biāo)準(zhǔn)差s，在單元格H4中輸入公式：=STDEV(A2:E11)計(jì)算結(jié)果：、s2=24288.91、s=155.85，如圖6-7右所示．

統(tǒng)計(jì)量圖6-7計(jì)算統(tǒng)計(jì)量

統(tǒng)計(jì)量實(shí)驗(yàn)方法二：(1)輸入整理數(shù)據(jù)，如圖6-8左所示．(2)在Excel主菜單中選擇“工具〞“數(shù)據(jù)分析〞，翻開“數(shù)據(jù)分析〞對話框，在“分析工具〞列表中選擇“描述統(tǒng)計(jì)〞選項(xiàng)，單擊“確定〞按鈕．(3)在翻開的“描述統(tǒng)計(jì)〞對話框中，依次輸入“輸入?yún)^(qū)域〞和“輸出區(qū)域〞，選中“標(biāo)志位于第一行〞復(fù)選框，如圖6-8中所示，單擊“確定〞按鈕．得到描述統(tǒng)計(jì)的結(jié)果如圖6-8右所示．

統(tǒng)計(jì)量

圖6-8描述統(tǒng)計(jì)

統(tǒng)計(jì)量

6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布6.2.2抽樣分布統(tǒng)計(jì)量的分布稱為抽樣分布．為了研究抽樣分布，先研究數(shù)理統(tǒng)計(jì)中三種重要的分布．1.2分布定義6.3設(shè)X1，X2，…，Xn為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)N(0，1)分布，那么稱隨機(jī)變量服從自由度為n的2分布，記為2～2(n)．此處自由度指2中包含獨(dú)立變量的個(gè)數(shù)．可以證明，2(n)的概率密度為其中()稱為伽馬函數(shù)，

6.2.2抽樣分布2分布概率密度

圖6-92(n)分布的概率密度曲線可以看出，隨著n的增大，的圖形趨于“平緩〞，其圖形下區(qū)域的重心亦逐漸往右下移動．

6.2.2抽樣分布2分布具有下面性質(zhì)：(1)(可加性)設(shè)是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且(2)設(shè)證明(1)由2分布的定義易得證明．(2)因?yàn)榇嬖谙嗷オ?dú)立、同分布于N(0，1)的隨機(jī)變量X1，X2，…，Xn，使那么

6.2.2抽樣分布由于Xi獨(dú)立，且注意到N(0，1)的四階矩為3，可得

英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家費(fèi)歇〔〕曾證明，當(dāng)n較大時(shí)，近似服從

6.2.2抽樣分布2.t分布定義6.4設(shè)X～N(0，1)，Y～2(n)，X與Y獨(dú)立，那么稱隨機(jī)變量服從自由度為的t分布，又稱為學(xué)生氏分布(Studentdistribution)，記為T～t(n)．可以證明t(n)的概率密度為圖6-10t分布的概率密度曲線

6.2.2抽樣分布

圖6-10t分布的概率密度曲線顯然t分布的概率密度是x的偶函數(shù)，圖6-10描繪了n=1，3，7時(shí)t(n)的概率密度曲線．作為比較，還描繪了N(0，1)的概率密度曲線．

6.2.2抽樣分布可看出，隨著n的增大，t(n)的概率密度曲線與N(0，1)的概率密度曲線越來越接近．可以證明t分布具有下面性質(zhì)：即當(dāng)n趨向無窮時(shí),t(n)近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0,1)．一般地，假設(shè)n>30，就可認(rèn)為t(n)根本與N(0，1)相差無幾了．

6.2.2抽樣分布3.F分布定義6.5設(shè)X～

2(n1)，Y～

2(n2)，且X與Y獨(dú)立，稱隨機(jī)變量服從自由度為(n1，n2)的F分布，記為F～F(n1，n2)．可以證明的概率密度函數(shù)為

6.2.2抽樣分布

抽樣分布圖6-11F分布的概率密度曲線由F分布的定義容易看出，假設(shè)F～F(n1，n2)，那么1/F～F(n2，n1)．4.正態(tài)總體的抽樣分布定理在數(shù)理統(tǒng)計(jì)問題中，正態(tài)分布占據(jù)著十分重要的位置，一方面因?yàn)樵趹?yīng)用中，許多隨機(jī)變量的分布或者是正態(tài)分布，或者接近于正態(tài)分布；另一方面，正態(tài)分布有許多優(yōu)良性質(zhì)，便于進(jìn)行較深入的理論研究．因此，我們著重討論正態(tài)總體下的抽樣分布，給出有關(guān)最重要的統(tǒng)計(jì)量樣本均值和樣本方差S2的抽樣分布定理．

抽樣分布定理6.3設(shè)X1，X2，…，Xn為來自總體N(，2)的樣本，，S2分別為樣本均值和樣本方差，那么有(1)(2)(3)與S2相互獨(dú)立；(4)證明：由正態(tài)分布的性質(zhì)容易得到(1),略去(2)和(3)的證明,下面僅證明4.

抽樣分布

證明(4):由(1)知，從而由(2)(3)知根據(jù)t分布的定義

抽樣分布【例6.5】某廠生產(chǎn)的燈泡壽命近似服從正態(tài)分布N(800，402)，抽取16個(gè)燈泡的樣本，求平均壽命小于775小時(shí)的概率.

解：設(shè)燈泡壽命總體為X，因?yàn)閄～N(800,402),n=16,所以樣本均值故

抽樣分布【例6.6】設(shè)總體X～N(

，102)，抽取容量為n的樣本，樣本均值記為．欲使與的偏差小于5的概率大于0.95，樣本容量n至少應(yīng)該取多大？解：依題令,即因?yàn)榭傮w，從而所以即查表知，由于單調(diào)不減，應(yīng)有故n至少應(yīng)該取為16．

6.2.2抽樣分布【例6.7】設(shè)X1，X2，…，Xn為總體X～N(，2)的樣本，求樣本方差的均值和方差．解：此題可以通過2分布的均值和方差簡單求出．由定理6.3,所以有

于是

抽樣分布6.2.3分位數(shù)設(shè)X為一隨機(jī)變量，我們知道對于給定的實(shí)數(shù)x，P{X>x}是事件{X>x}的概率．在統(tǒng)計(jì)中，我們常常需要對給定事件{X>x}的概率，由此確定的x取是一個(gè)臨界點(diǎn),稱為分位數(shù)(點(diǎn)),有如下定義：定義6.6設(shè)X為隨機(jī)變量，假設(shè)對給定的(0，1)，存在x滿足P{X>x}=，那么稱x為X的上分位數(shù)(點(diǎn))．

6.2統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布假設(shè)X具有密度f(x)，P{X>x}=說明分位數(shù)x右邊的一塊陰影面積為，即

容易看出，X的上分位數(shù)x是關(guān)于的減函數(shù)，即增大時(shí)x減少.下面給出幾種常用分布的上分位數(shù)的求法：

6.2.3分位數(shù)1.設(shè)ZN(0，1)，記N(0，1)的上分位數(shù)為z，即有P{Z>z}=.由于(z)=P{Zz}=1–P{Zz}=1–，由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表〔附表2〕反過來查，即可以得到z的值.為使用方便，表6-1列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的幾個(gè)常用分位數(shù)z的值．表6-1常用的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分位數(shù)

0.0010.0050.010.0250.050.10z

3.0902.5762.3261.9601.6451.282

6.2.3分位數(shù)由N(0，1)的概率密度的對稱性〔見圖6-13〕可知所以z1-=–z．

圖6-13z1-與z

6.2.3分位數(shù)2.設(shè)

2

～

2(n)，記

2(n)的上

分位數(shù)為

2(n)，即有P{

2>

2(n)}=

.附表3中給出了時(shí)

2(n)的值，當(dāng)n>40時(shí)，由

2(n)的漸近性質(zhì)，有

6.2.3分位數(shù)3.設(shè)T～t(n)，記t(n)的上

分位數(shù)為t

(n)，即有P{T>t

(n)}=

；由t(n)的概率密度的對稱性t1-

(n)=–t

(n)

圖6-14t1-

(n)與t

(n)附表4中給出了時(shí)t

(n)的值，當(dāng)n>40時(shí)，由于t(n)近似N(0，1),所以t

(n)

z

6.2.3分位數(shù)4.設(shè)F～F(n1，n2)，記F(n1，n2)的上分位數(shù)為F(n1，n2)，即有P{F>F(n1，n2)}=．附表5中給出局部F(n1，n2)的值.另外，由于F～F(n1,n2)時(shí),1/F～F(n2,n1)，所以故

6.2.3分位數(shù)【例6.8】求以下分位數(shù)：(1)z0.025；20..5(20)；t0.1(25)；F0.05(10，15)；(2)t0.975(4)；(3)t0.05(55)；(4)F0.9(14，10)；(5)20.975(200).解：(1)查表6-1知z0.025=1.96．也可由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表〔附表2〕，對函數(shù)值(z0.025)=1–0.025=0.975反查表得z0.025=1.96．

6.2.3分位數(shù)分別查附表3、附表4、附表5得到

20.5(20)=31.4104、t0.1(25)=1.3164、F0.05(10，15)=2.54;(2)在附表4中沒有

=0.975，可先查出t0.025(4)=2.7764，利用對稱性得到t0.975(4)=–t0.025(4)=–2.7764．(3)在附表4中查不到t0.05(55)，用近似公式t0.05(55)

z0.05=1.645．

6.2.3分位數(shù)(4)在附表5中，查不到F0.9(14，10)，但可查出F0.1(10，14)=2.10，故(5)在附表3表中查不到

20.975(200)，先查出z0.975=–z0.025=–1.96，再作如下近似計(jì)算

6.2.3分位數(shù)【實(shí)驗(yàn)6.3】用Excel計(jì)算例6-8中的分位數(shù):(1)z0.025；(2)t0.975(4)；(3)t0.05(55)；(4)F0.9(14，10)；(5)

20.975(200).

實(shí)驗(yàn)準(zhǔn)備：(1)函數(shù)NORMSINV的使用格式：NORMSINV(probability)功能：返回標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)的反函數(shù)值．

分位數(shù)

(2)函數(shù)TINV的使用格式：TINV(probability,degrees_freedom)功能：返回給定自由度的t-分布的上

/2分位數(shù)．其中

=probability為t-分布的雙尾概率，degrees_freedom為分布的自由度．(3)函數(shù)FINV的使用格式：FINV(probability,degrees_freedom1,degrees_freedom2)功能：返回F分布的上

分位數(shù)，其中

=probability為F分布的單尾概率，degrees_freedom1和degrees_freedom2為兩個(gè)自由度．

分位數(shù)(4)函數(shù)CHIINV的使用格式：CHIINV(probability,degrees_freedom)功能：返回

2分布的上

分位數(shù)．其中

=probability為

2分布的單尾概率，Degrees_freedom為自由度．

分位數(shù)實(shí)驗(yàn)步驟：(1)計(jì)算z0.025，在單元格B2中輸入公式：=NORMSINV(0.975)(2)計(jì)算t0.975(4)，由于t0.975(4)=-t0.025(4)，在單元格B3中輸入公式:=-TINV(2*0.025,4)(3)計(jì)算t0.05(55)，在單元格B4中輸入公式：=TINV(2*0.05,55)

分位數(shù)(4)計(jì)算F0.9(14，10)，在單元格B5中輸入公式：=FINV(0.9,14,10)(5)計(jì)算20.975(200)，在單元格B6中輸入公式：=CHIINV(0.975,200)計(jì)算結(jié)果如以以下圖．

分位數(shù)【例6.9】設(shè)X1，X2是總體X~N(1，2)的樣本，試求概率P{(X1–X2)2

20.08}．

解法一：因?yàn)閄~N(1，2)，所以Xi~N(1，2)，i=1,2，從而記，所以查表知，即所以

分位數(shù)【例6.9】設(shè)X1，X2是總體X~N(1，2)的樣本，試求概率P{(X1–X2)2

20.08}．解法二：因X~N(1，2)，所以從而

分位數(shù)由定理6.3容易證明下述有關(guān)兩個(gè)總體的抽樣分布定理．定理6.4設(shè)，分別為來自N(1,12)和N(2,22)的樣本，且它們相互獨(dú)立，設(shè)，S12，，S22，分別為相應(yīng)樣本的樣本均值和樣本方差，那么(1)(2)

6.2.3分位數(shù)(3)當(dāng)時(shí)，其中

6.2.3分位數(shù)證：(1)由于,，又與獨(dú)立，故由正態(tài)分布的性質(zhì)知所以

6.2.3分位數(shù)證：