高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)練案49第八章解析幾何第一講直線的傾斜角斜率與直線的方程含解析新人教版

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第八章〖解析〗幾何第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2021·浙江衢州質(zhì)檢)直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)〖〖解析〗〗由直線的方程得直線的斜率為k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈〖0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).2．如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(D)A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2〖〖解析〗〗直線l1的傾斜角α1為鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故選D.3．直線3x＋2y＝6的傾斜角的余弦值為(B)A．eq\f(3\r(13),13) B．－eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(2\r(13),13) D．－eq\f(2,3)〖〖解析〗〗記直線3x＋2y＝6的傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(3,2)，∴eq\f(1－cos2α,cos2α)＝eq\f(9,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<α<π))，解得cosα＝－eq\f(2\r(13),13)，故選B.4．過點M(1，－2)的直線與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，若M恰為線段PQ的中點，則直線PQ的方程為(B)A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0〖〖解析〗〗設(shè)P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(jìn)(1，－2)為線段PQ中點，∴x0＝2，y0＝－4，∴直線PQ的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，即2x－y－4＝0.5．(2021·成都診斷)過點(2,1)，且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小eq\f(π,4)的直線方程是(A)A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2〖〖解析〗〗直線y＝－x－1的傾斜角為eq\f(3π,4)，則所求直線的傾斜角為eq\f(π,2)，故所求直線斜率不存在，又直線過點(2,1)，所以所求直線方程為x＝2.6．(2021·重慶巴蜀中學(xué)診斷)直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))〖〖解析〗〗k＝－eq\f(1,a2＋1)∈〖－1,0)，因此傾斜角的取值范圍eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，選B.7．(2021·重慶一中期中)過點A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為(D)A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0〖〖解析〗〗當(dāng)直線過原點時方程為y＝2x，即2x－y＝0，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入A的坐標(biāo)求出a＝－1，方程為x－y＋1＝0，故選D.8．(2021·廣東七校聯(lián)考)若過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)〖〖解析〗〗由題意知k＝eq\f(a－1,a＋2)<0，∴(a－1)(a＋2)<0，即－2<a<1.故選A.9．(2021·沈陽模擬)直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足(A)A．a(chǎn)b>0，bc<0 B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0 D．a(chǎn)b<0，bc<0〖〖解析〗〗由題意可知直線斜率小于0，縱截距大于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0,bc<0))，故選A.二、多選題10．如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0通過(ABD)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖〖解析〗〗由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－eq\f(C,A)>0知，在y軸上的截距－eq\f(C,B)>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選A、B、D.11．下列說法正確的是(AB)A．直線x－y－2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．點(0,2)關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點為(1,1)C．過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的直線方程為eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)D．經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x＋y－2＝0〖〖解析〗〗A中直線在坐標(biāo)軸上的截距分別為2，－2，所以圍成三角形的面積是2正確，B中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直線y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)連線的斜率為－1，所以B正確，C選項需要條件y2≠y1，x2≠x1，故錯誤，D選項錯誤，還有一條截距都為0的直線y＝x.12．(2021·福建六校聯(lián)考改編)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(BD)〖〖解析〗〗當(dāng)a>0，b>0時，－a<0，－b<0.結(jié)合選項知B符合，當(dāng)a>0，b<0時，－a<0，－b>0，選項D符合，當(dāng)a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0時都不符合，故選B、D.13．過點(5,2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程可以是(AB)A．2x＋y－12＝0 B．2x－5y＝0C．x－2y－1＝0 D．2x＋5y＝0〖〖解析〗〗設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為2a.①當(dāng)a＝0時，所求直線經(jīng)過點(5,2)和(0,0)，所以直線方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②當(dāng)a≠0時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直線過點(5,2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(1,a)＝1，解得a＝6，∴所求直線方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.故選AB.三、填空題14．(2021·新高考八省聯(lián)考)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為eq\f(1,3)，－3.〖〖解析〗〗正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OB的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOB＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.故〖答案〗為：eq\f(1,3)；－3.15．經(jīng)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍的直線方程為3x＋4y＋15＝0.〖〖解析〗〗由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點A(－1，－3)．因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.16．如圖，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線BC的方程為x－2y－1＝0.〖〖解析〗〗設(shè)M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中點，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中點，∴3＋n＝0，n＝－3，∴點C的坐標(biāo)為(－5，－3)，則kBC＝eq\f(3－－3,7－－5)＝eq\f(1,2)，∴BC的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－7)，即x－2y－1＝0.17．已知直線l的斜率為eq\f(1,6)，且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，則直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.〖〖解析〗〗設(shè)所求直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵k＝eq\f(1,6)，即eq\f(b,a)＝－eq\f(1,6)，∴a＝－6b.又三角形面積S＝3＝eq\f(1,2)|a|·|b|，∴|ab|＝6.則當(dāng)b＝1時，a＝－6；當(dāng)b＝－1時，a＝6.∴所求直線方程為eq\f(x,－6)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,6)＋eq\f(y,－1)＝1.即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.B組能力提升1．(2021·北京東城期末)已知直線l的傾斜角為α，斜率為k，那么“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖〖解析〗〗當(dāng)eq\f(π,2)<α<π時，k<0；當(dāng)k>eq\r(3)時，eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2).所以“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的必要不充分條件，故選B.2．(2021·湖北孝感調(diào)研)已知點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l的方程為－kx＋y＋k－1＝0，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為(A)A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B．k≥eq\f(3,4)或k≤－eq\f(1,4)C．－4≤k≤eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)≤k≤4〖〖解析〗〗直線l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化為k(1－x)＋y－1＝0，∴直線l過定點P(1,1)．如圖所示．直線PA的斜率kPA＝eq\f(－3－1,2－1)＝－4，直線PB的斜率kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，則直線l與線段AB相交時，它的斜率k的取值范圍是k≤－4或k≥eq\f(3,4).故選A.3．(2021·湖北四地七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)〖〖解析〗〗由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝eq\f(π,4)對稱，所以f(0)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))，所以a＝－b，由直線ax－by＋c＝0知其斜率k＝eq\f(a,b)＝－1，所以直線的傾斜角為eq\f(3π,4)，故選D.4．(2021·山西模擬)若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三點共線，則ab的最小值為16.〖〖解析〗〗根據(jù)A(a,0)，B(0，b)確定直線的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，又C(－2，－2)在該直線上，故eq\f(－2,a)＋eq\f(－2,b)＝1，所以1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,－a)＋\f(1,－b)))≥4eq\r(\f(1,ab))，即ab≥16.當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝－4時等號成立．即ab的最小值為16.5．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．(1)求證：直線l過定點；(2)若直線l不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍；(3)若直線與兩坐標(biāo)軸所圍成三角形面積為4，求直線l的方程；(4)若直線l交x軸負(fù)半軸于點A，交y軸正半軸于點B，O為坐標(biāo)原點，設(shè)△AOB的面積為S，求S的最小值及此時直線l的方程，〖〖解析〗〗(1)證明：設(shè)直線過定點(x0，y0)，則kx0－y0＋1＋2k＝0對任意k∈R恒成立，即(x0＋2)k－y0＋1＝0恒成立．所以x0＋2＝0，－y0＋1＝0.解得x0＝－2，y0＝1，故直線l過定點(－2,1)．另證：kx－y＋1＋2k＝0可化為y－1＝k(x＋2)，顯然x＝－2，y＝1時對任意k方程都成立，故直線過定點(－2,1)．(2)直線l的方程為y＝kx＋2k＋1，則直線l在y軸上的截距為2k＋1，要使直線l不經(jīng)過第四象限，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≥0，,1＋2k≥0，))解得k的取值范圍是k≥0.(3)依題意，直線l在x軸上的截距為－eq\f(1＋2k,k)，在y軸上的截距為1＋2k，由題意得eq\f(2k＋12,|2k|)＝4，解得k＝eq\f(1,2)或k＝eq\f(2\r(2)－3,2)或k＝－eq\f(2\r(2)＋3,2)，故所求直線方程為x－2y＋4＝0或(2eq\r(2)－3)x－2y＋4(eq\r(2)－1)＝0或(2eq\r(2)＋3)x＋2y＋4(eq\r(2)＋1)＝0.(4)又－eq\f(1＋2k,k)<0，且1＋2k>0，∴k>0，∴S＝eq\f(2k＋12,2k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)(4＋4)＝4，當(dāng)且僅當(dāng)4k＝eq\f(1,k)，即k＝eq\f(1,2)時，等號成立．故S的最小值為4，此時直線l的方程為x－2y＋4＝0.第八章〖解析〗幾何第一講直線的傾斜角、斜率與直線的方程A組基礎(chǔ)鞏固一、單選題1．(2021·浙江衢州質(zhì)檢)直線x＋eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角是(D)A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(5π,6)〖〖解析〗〗由直線的方程得直線的斜率為k＝－eq\f(\r(3),3)，設(shè)傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(\r(3),3)，又α∈〖0，π)，所以α＝eq\f(5π,6).2．如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則(D)A．k1<k2<k3 B．k3<k1<k2C．k3<k2<k1 D．k1<k3<k2〖〖解析〗〗直線l1的傾斜角α1為鈍角，故k1<0，直線l2與l3的傾斜角α2與α3均為銳角且α2>α3，所以0<k3<k2，因此k1<k3<k2，故選D.3．直線3x＋2y＝6的傾斜角的余弦值為(B)A．eq\f(3\r(13),13) B．－eq\f(2\r(13),13)C．eq\f(2\r(13),13) D．－eq\f(2,3)〖〖解析〗〗記直線3x＋2y＝6的傾斜角為α，則tanα＝－eq\f(3,2)，∴eq\f(1－cos2α,cos2α)＝eq\f(9,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)<α<π))，解得cosα＝－eq\f(2\r(13),13)，故選B.4．過點M(1，－2)的直線與x軸、y軸分別交于P、Q兩點，若M恰為線段PQ的中點，則直線PQ的方程為(B)A．2x＋y＝0 B．2x－y－4＝0C．x＋2y＋3＝0 D．x－2y－5＝0〖〖解析〗〗設(shè)P(x0,0)，Q(0，y0)，∵M(jìn)(1，－2)為線段PQ中點，∴x0＝2，y0＝－4，∴直線PQ的方程為eq\f(x,2)＋eq\f(y,－4)＝1，即2x－y－4＝0.5．(2021·成都診斷)過點(2,1)，且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小eq\f(π,4)的直線方程是(A)A．x＝2 B．y＝1C．x＝1 D．y＝2〖〖解析〗〗直線y＝－x－1的傾斜角為eq\f(3π,4)，則所求直線的傾斜角為eq\f(π,2)，故所求直線斜率不存在，又直線過點(2,1)，所以所求直線方程為x＝2.6．(2021·重慶巴蜀中學(xué)診斷)直線x＋(a2＋1)y＋1＝0的傾斜角的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4))) B．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))〖〖解析〗〗k＝－eq\f(1,a2＋1)∈〖－1,0)，因此傾斜角的取值范圍eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)，π))，選B.7．(2021·重慶一中期中)過點A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為(D)A．x－y＋1＝0B．x＋y－3＝0C．2x－y＝0或x＋y－3＝0D．2x－y＝0或x－y＋1＝0〖〖解析〗〗當(dāng)直線過原點時方程為y＝2x，即2x－y＝0，當(dāng)直線不過原點時，設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，代入A的坐標(biāo)求出a＝－1，方程為x－y＋1＝0，故選D.8．(2021·廣東七校聯(lián)考)若過點P(1－a,1＋a)和Q(3,2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實數(shù)a的取值范圍是(A)A．(－2,1) B．(－1,2)C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)〖〖解析〗〗由題意知k＝eq\f(a－1,a＋2)<0，∴(a－1)(a＋2)<0，即－2<a<1.故選A.9．(2021·沈陽模擬)直線ax＋by＋c＝0同時要經(jīng)過第一、第二、第四象限，則a，b，c應(yīng)滿足(A)A．a(chǎn)b>0，bc<0 B．a(chǎn)b>0，bc>0C．a(chǎn)b<0，bc>0 D．a(chǎn)b<0，bc<0〖〖解析〗〗由題意可知直線斜率小于0，縱截距大于0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ab>0,bc<0))，故選A.二、多選題10．如果A·C<0，且B·C<0，那么直線Ax＋By＋C＝0通過(ABD)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限〖〖解析〗〗由已知得直線Ax＋By＋C＝0在x軸上的截距－eq\f(C,A)>0知，在y軸上的截距－eq\f(C,B)>0，故直線經(jīng)過第一、二、四象限，不經(jīng)過第三象限．故選A、B、D.11．下列說法正確的是(AB)A．直線x－y－2＝0與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2B．點(0,2)關(guān)于直線y＝x＋1的對稱點為(1,1)C．過(x1，y1)，(x2，y2)兩點的直線方程為eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)D．經(jīng)過點(1,1)且在x軸和y軸上截距都相等的直線方程為x＋y－2＝0〖〖解析〗〗A中直線在坐標(biāo)軸上的截距分別為2，－2，所以圍成三角形的面積是2正確，B中eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(0＋1,2)，\f(2＋1,2)))在直線y＝x＋1上，且(0,2)，(1,1)連線的斜率為－1，所以B正確，C選項需要條件y2≠y1，x2≠x1，故錯誤，D選項錯誤，還有一條截距都為0的直線y＝x.12．(2021·福建六校聯(lián)考改編)在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：ax＋y＋b＝0和直線l2：bx＋y＋a＝0有可能是(BD)〖〖解析〗〗當(dāng)a>0，b>0時，－a<0，－b<0.結(jié)合選項知B符合，當(dāng)a>0，b<0時，－a<0，－b>0，選項D符合，當(dāng)a<0，b>0或a<0，b<0或a＝0或b＝0時都不符合，故選B、D.13．過點(5,2)且在y軸上的截距是在x軸上的截距的2倍的直線方程可以是(AB)A．2x＋y－12＝0 B．2x－5y＝0C．x－2y－1＝0 D．2x＋5y＝0〖〖解析〗〗設(shè)所求直線在x軸上的截距為a，則在y軸上的截距為2a.①當(dāng)a＝0時，所求直線經(jīng)過點(5,2)和(0,0)，所以直線方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②當(dāng)a≠0時，設(shè)所求直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,2a)＝1，又直線過點(5,2)，所以eq\f(5,a)＋eq\f(1,a)＝1，解得a＝6，∴所求直線方程為eq\f(x,6)＋eq\f(y,12)＝1，即2x＋y－12＝0.故選AB.三、填空題14．(2021·新高考八省聯(lián)考)若正方形一條對角線所在直線的斜率為2，則該正方形的兩條鄰邊所在直線的斜率分別為eq\f(1,3)，－3.〖〖解析〗〗正方形OABC中，對角線OB所在直線的斜率為2，建立如圖直角坐標(biāo)系，設(shè)對角線OB所在直線的傾斜角為θ，則tanθ＝2，由正方形性質(zhì)可知，直線OA的傾斜角為θ－45°，直線OB的傾斜角為θ＋45°，故kOA＝tan(θ－45°)＝eq\f(tanθ－tan45°,1＋tanθtan45°)＝eq\f(2－1,1＋2)＝eq\f(1,3)，kOB＝tan(θ＋45°)＝eq\f(tanθ＋tan45°,1－tanθtan45°)＝eq\f(2＋1,1－2)＝－3.故〖答案〗為：eq\f(1,3)；－3.15．經(jīng)過點A(－1，－3)，傾斜角等于直線y＝3x的傾斜角的2倍的直線方程為3x＋4y＋15＝0.〖〖解析〗〗由已知：設(shè)直線y＝3x的傾斜角為α，則所求直線的傾斜角為2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).又直線經(jīng)過點A(－1，－3)．因此所求直線方程為y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.16．如圖，在△ABC中，已知A(5，－2)，B(7,3)，且AC邊的中點M在y軸上，BC邊的中點N在x軸上，則直線BC的方程為x－2y－1＝0.〖〖解析〗〗設(shè)M(0，a)，N(b,0)，C(m，n)，∵A(5，－2)，B(7,3)，又M是AC的中點，∴5＋m＝0，m＝－5，N是BC的中點，∴3＋n＝0，n＝－3，∴點C的坐標(biāo)為(－5，－3)，則kBC＝eq\f(3－－3,7－－5)＝eq\f(1,2)，∴BC的方程為y－3＝eq\f(1,2)(x－7)，即x－2y－1＝0.17．已知直線l的斜率為eq\f(1,6)，且和坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，則直線l的方程為x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.〖〖解析〗〗設(shè)所求直線l的方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1.∵k＝eq\f(1,6)，即eq\f(b,a)＝－eq\f(1,6)，∴a＝－6b.又三角形面積S＝3＝eq\f(1,2)|a|·|b|，∴|ab|＝6.則當(dāng)b＝1時，a＝－6；當(dāng)b＝－1時，a＝6.∴所求直線方程為eq\f(x,－6)＋eq\f(y,1)＝1或eq\f(x,6)＋eq\f(y,－1)＝1.即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.B組能力提升1．(2021·北京東城期末)已知直線l的傾斜角為α，斜率為k，那么“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的(B)A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件〖〖解析〗〗當(dāng)eq\f(π,2)<α<π時，k<0；當(dāng)k>eq\r(3)時，eq\f(π,3)<α<eq\f(π,2).所以“α>eq\f(π,3)”是“k>eq\r(3)”的必要不充分條件，故選B.2．(2021·湖北孝感調(diào)研)已知點A(2，－3)，B(－3，－2)，直線l的方程為－kx＋y＋k－1＝0，且與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍為(A)A．k≥eq\f(3,4)或k≤－4 B．k≥eq\f(3,4)或k≤－eq\f(1,4)C．－4≤k≤eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)≤k≤4〖〖解析〗〗直線l的方程－kx＋y＋k－1＝0可化為k(1－x)＋y－1＝0，∴直線l過定點P(1,1)．如圖所示．直線PA的斜率kPA＝eq\f(－3－1,2－1)＝－4，直線PB的斜率kPB＝eq\f(－2－1,－3－1)＝eq\f(3,4)，則直線l與線段AB相交時，它的斜率k的取值范圍是k≤－4或k≥eq\f(3,4).故選A.3．(2021·湖北四地七校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋x))，則直線ax－by＋c＝0的傾斜角為(D)A．eq\f(π,4) B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3) D．eq\f(3π,4)〖〖解析〗〗由feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－x))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4