2023年數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)真題演練(2021-2022年高考真題)專題26 數(shù)列的通項(xiàng)公式 (含詳解)

專題26數(shù)列的通項(xiàng)公式

【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】

類型I觀察法：

已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)，一般對(duì)所給的項(xiàng)觀察分析，尋找規(guī)律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此

數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng).

類型n公式法：

若已知數(shù)列的前〃項(xiàng)和S"與4的關(guān)系，求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)M可用公式

構(gòu)造兩式作差求解.

用此公式時(shí)要注意結(jié)論有兩種可能，一種是“一分為二”，即分段式；另一種是“合二為一”，即4和4

合為一個(gè)表達(dá)，(要先分"=1和，?22兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一).

類型m累加法：

%一*=/(?-2)

形如4+產(chǎn)%+/(〃)型的遞推數(shù)列(其中/(〃)是關(guān)于"的函數(shù))可構(gòu)造:

a2~a\=/(1)

將上述嗎個(gè)式子兩邊分別相加,可得:an=+/(n-2)+.../(2)+/(1)+?,,(?>2)

①若/(〃)是關(guān)于〃的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；

②若/(〃)是關(guān)于"的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；

③若/(〃)是關(guān)于〃的二次函數(shù)，累加后可分組求和；

④若/(〃)是關(guān)于〃的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和.

類型IV累乘法：

區(qū)=/(〃-1)

也=/("-2)

形如。,川也=/(〃)型的遞推數(shù)列(其中/(")是關(guān)于〃的函數(shù))可構(gòu)造:

</(1)

將上述丐個(gè)式子兩邊分別相乘，可得:an=/(n-l)/(n-2)-...-/(2)/(l)a1,(M>2)

有時(shí)若不能直接用，可變形成這種形式，然后用這種方法求解.

類型V構(gòu)造數(shù)列法：

(一)形如。山=0%+^(其中均為常數(shù)且pxO)型的遞推式：

(1)若p=l時(shí)，數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列；(2)若q=0時(shí)，數(shù)列｛a,,｝為等比數(shù)列;

(3)若pwl且qfO時(shí)，數(shù)列｛/｝為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列來(lái)求.方

法有如下兩種：

法一：設(shè)％+2=p(a“+⑷，展開移項(xiàng)整理得。"+|=pa“+(p-l)/l,與題設(shè)a“+|=+夕比較系數(shù)

(待定系數(shù)法)得A=-^—,(p0)=>all+i+-^—=p(an+-^―)=%+—匕=/?(%_]+一、),即

p-ip-\p-\p-\p-1

1%+'一]構(gòu)成以q+/一為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出

IP-1JP-1

+看1的通項(xiàng)整理可得對(duì).

法二：由an+l=pan+q得%=pan_]+q(n>2)兩式相減并整理得———=p,即｛。“+1-｝構(gòu)成以

叼-4為首項(xiàng)，以p為公比的等比數(shù)列.求出｛。向-%｝的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為類型m(累加法)便可求出可.

(二)形如%=pa,+/(,?)(p工1)型的遞推式：

(1)當(dāng)/(〃)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí)：

法一：iS：a?+An+B=p[al,.l+A(n-l)+B],通過待定系數(shù)法確定N、8的值，轉(zhuǎn)化成以+8為

首項(xiàng)，以4"=儲(chǔ)品為公比的等比數(shù)列｛%+/"+成，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛可+出?+8｝的

通項(xiàng)整理可得%.

法二：當(dāng)/(〃)的公差為"時(shí)，由遞推式得：an+｝=pan+f(n),a“=pc*+/("-1)兩式相減得：

aa=aa+d

n+\~nP(n-n-\)?令"=。,+1一得:1轉(zhuǎn)化為類型V㈠求出6,，再用類型HI(累加

法)便可求出明

(2)當(dāng)f(〃)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí):

法一：?a?+V(/?)=p\an_x+Xf(n-1)],通過待定系數(shù)法確定4的值，轉(zhuǎn)化成以4+4/(1)為首項(xiàng)，

以北=正與為公比的等比數(shù)列｛/+〃'(〃)｝，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出｛%+"(〃)｝的通項(xiàng)整理

可得

法二：當(dāng)/(及)的公比為夕時(shí)，由遞推式得：aw+I=pan+f(n)----①,an=pan^+f(n-1),兩邊同時(shí)

乘以<7得?！ㄏ?pga“_i+4(〃-1)②,由①②兩式相減得。"+|-4夕=p(a〃-夕％),即久~~—=p,在

轉(zhuǎn)化為類型V㈠便可求出外.

法三：遞推公式為4川=w〃+夕"(其中p,q均為常數(shù))或。川=24+"(其中P，q，尸均為常數(shù))

時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以/+',得：3=/.§+:,引入輔助數(shù)列｛〃,｝(其中"=》)，得：

b.,、=Eb"+'再應(yīng)用類型V㈠的方法解決?

qq

（3）當(dāng)/（〃）為任意數(shù)列時(shí)，可用通法：

在-=M,,+/（〃）兩邊同時(shí)除以P"“可得到第=2+嚕，令之=〃，則鼠=〃+噌，在轉(zhuǎn)

ppppP

化為類型m（累加法），求出6,之后得

類型VI對(duì)數(shù)變換法：

a

形如?+\=pa"（p>0,”,>0）型的遞推式：

在原遞推式a“+i=pa"兩邊取對(duì)數(shù)得lga"*i=qlga"+lgp,令b“=lga”得:，+i=qb“+lgp,化歸為

%"=P4,+4型，求出，之后得％=10與.（注意：底數(shù)不一定要取10,可根據(jù)題意選擇）.

類型VD倒數(shù)變換法：

形如凡「.”=小”4（p為常數(shù)且p*0）的遞推式：兩邊同除于?！巴?，轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)=_L+p形式，

a?a?-i

化歸為a“+i=pan+q型求出上的表達(dá)式，再求％;

%

還有形如。向=一迫一的遞推式，也可采用取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成「一='_L+竺形式，化歸為

pa“+qa?+iqa“p

。川=PM+4型求出工的表達(dá)式，再求見?

an

類型Wl形如k=pa,川+qa”型的遞推式：

用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列｛%-%_）的形式求解.方法為：設(shè)a.2-kae=h（a“+「ka”），比較系數(shù)

彳導(dǎo)h+k=p,-hk=q，可解彳導(dǎo)h、k,于是｛。用-%a,J是公比為〃的等比數(shù)列，這樣就化歸為a“+1=pa“+q型.

總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解，對(duì)不能轉(zhuǎn)化為以上方法求解的數(shù)列，

可用歸納、猜想、證明方法求出數(shù)列通項(xiàng)公式a”.

【題型歸納目錄】題型一：觀察法

題型二：疊加法

題型三：疊乘法

題型四：待定系數(shù)法

題型五：同除以指數(shù)

題型六：取倒數(shù)法

題型七：取對(duì)數(shù)法

題型八：已知通項(xiàng)公式。.與前〃項(xiàng)的和S?關(guān)系求通項(xiàng)問題

題型九：周期數(shù)列

題型十：前〃項(xiàng)積型

題型H^一：“和”型求通項(xiàng)

題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型

題型十三：因式分解型求通項(xiàng)

題型十四：其他幾類特殊數(shù)列求通項(xiàng)

題型十五：雙數(shù)列問題

題型十六：通過遞推關(guān)系求通項(xiàng)

【典例例題】

題型一：觀察法

例1.（2022?山東聊城?高三期末）某數(shù)學(xué)興趣小組模仿“楊輝三角”構(gòu)造了類似的數(shù)陣，將一行數(shù)列中相鄰

兩項(xiàng)的乘積插入這兩項(xiàng)之間，形成下一行數(shù)列，以此類推不斷得到新的數(shù)列.如圖，第一行構(gòu)造數(shù)列1,2；

第二行得到數(shù)列1,2,2；第三行得到數(shù)列1,2,2,4,2,……，則第5行從左數(shù)起第6個(gè)數(shù)的值為.用4,

表示第〃行所有項(xiàng)的乘積，若數(shù)列｛空｝滿足紇=log24,，則數(shù)列｛紇｝的通項(xiàng)公式為.

例2.（2022?河南商

2

丘?高三階段練習(xí)（理））將數(shù)列｛2"｝與｛3"+1｝的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列｛《,｝,則其通項(xiàng)

例3.（2022?云南?昆明一中高三階段練習(xí)（文））2022北京冬奧會(huì)開幕式上，每個(gè)代表團(tuán)都擁有一朵專屬

的“小雪花”，最終融合成一朵“大雪花”，形成了前所未有的冬奧主火炬，驚艷了全世界?。ㄈ鐖D一），如圖

二是瑞典數(shù)學(xué)家科赫在1904年構(gòu)造的能夠描述雪花形狀的圖案.圖形的作法是從一個(gè)正三角形開始，把

每條邊分成三等分，然后以各邊的中間一段為底邊分別向外作正三角形，再去掉底邊，反復(fù)進(jìn)行這一過程,

就得到一個(gè)“雪花”狀的圖案.設(shè)原正三角形（圖①）的邊長(zhǎng)為3,把圖二中的①，②，③，④......圖形

的周長(zhǎng)依次記為卬，%,%，&，…，得到數(shù)列｛4“｝.

值；

(2)求數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式.

例4.(2022?寧夏六盤山高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)(文))一種十字繡作品由相同的小正方形構(gòu)成，圖①，②,

③，④分別是制作該作品前四步時(shí)對(duì)應(yīng)的圖案，按照此規(guī)律，第n步完成時(shí)對(duì)應(yīng)圖案中所包含小正方形的

個(gè)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列記為｛〃〃｝.

(2)猜想數(shù)列｛%｝的表達(dá)式，并寫出推導(dǎo)過程；

2222

(3)求證：——；+——；+——；+????+——-<l(w>2).

a2-1a3-1a4-1an-1

例5.(2022?安徽?合肥市第六中學(xué)高二期末)如圖，第1個(gè)圖形需要4根火柴，第2個(gè)圖形需要7根火柴,

……，設(shè)第”個(gè)圖形需要?！案鸩?

□□⑴試寫出。4，并求％;(2)

123……71

771

記前〃個(gè)圖形所需的火柴總根數(shù)為s,，設(shè)b“=S“+W，求數(shù)列廠的前〃項(xiàng)和

例6.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派將1,3,6,10等數(shù)稱為三角形數(shù)，因?yàn)檫@些

數(shù)目的點(diǎn)總可以擺成一個(gè)三角形，如圖所示.把所有的三角形數(shù)按從小到大的順序排列，就能構(gòu)成一個(gè)數(shù)列

｛??｝,寫出《，必以及

....■■例7.(2022?全國(guó)?高二課時(shí)練習(xí))觀

??????????

察數(shù)列的特點(diǎn)，在每個(gè)空白處填入一個(gè)適當(dāng)?shù)臄?shù)，并寫出每個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)1,3,7,,31,____,127；

(2)2,5,,17,26,,50；

_1_±±_L

()2，"——，16'32'------，128，

(4)1,-\/2，，2,，>5/7>

例8.(2022?廣東?廣州市培正中學(xué)三模)設(shè)他,｝是集合｛2'+2'|0s<f且s,/wZ｝中所有的數(shù)從小到大排

列成的數(shù)列，即4=3,々=5,能=6,%=9,%=10，6=12........將｛%｝各項(xiàng)按照上小下大、左小右

大的原則寫成如下的三角形數(shù)表.

3

56

91012

(1)寫出該三角形數(shù)表的第四行、第五行各數(shù)(不必說(shuō)明理由)；

(2)設(shè)｛4｝是該三角形數(shù)表第〃行的〃個(gè)數(shù)之和所構(gòu)成的數(shù)列，寫出｛4｝的通項(xiàng)公式；

(3)求。必的值.

【方法技巧與總結(jié)】

觀察法即根據(jù)所給的一列數(shù)、式、圖形等，通過觀察分析數(shù)列各項(xiàng)的變化規(guī)律，求其通項(xiàng).使用觀察

法時(shí)要注意：①觀察數(shù)列各項(xiàng)符號(hào)的變化，考慮通項(xiàng)公式中是否有(-1)"或者(-I)"一部分.②考慮各項(xiàng)的

變化規(guī)律與序號(hào)的關(guān)系.③應(yīng)特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、自然數(shù)的平方｛/｝、｛2"｝與

(-1)”有關(guān)的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列以及由它們組成的數(shù)列.

題型二：疊加法

例9.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知q=0,求通項(xiàng).

例10.(2022?內(nèi)蒙古?烏蘭浩特一中模擬預(yù)測(cè)(文))己知數(shù)列｛〃"｝滿足《=2,%=%-〃,則求

。100=------------------

例11.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,q川-2=%+2〃(〃eN*),則數(shù)列隼的前

2022項(xiàng)的和為.

例12.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))數(shù)列血｝中，4=1，4川=。”+，一，則％=.

n+n

例13.(2022?湖北?華中師大一附中模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛%｝中，已知q=L%=—%,p>0,nwN*.

(1)若p=l,求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)記2="%,若在數(shù)列｛4｝中，b114AmwN'),求實(shí)數(shù)P的取值范圍.

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)列有形如。"+1=a?+/(?)的遞推公式,且/(1)+/(2)+…+/(〃)的和可求,則變形為%+|-%=/(?),

利用疊加法求和

題型三：疊乘法

例14.(2022?浙江浙江?二模)已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5.，滿足%=6,S4=20.數(shù)列低｝滿足

⑴求數(shù)列｛4｝,也｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛c,J滿足4=￡一，“eN*,記數(shù)列｛。｝的前〃項(xiàng)和為若北之工，求〃的最小值.

112

例15.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為5“，且滿足S.=(〃+l)2%-3,

〃eN+.(l)求｛a“｝的通項(xiàng)公式；

⑵若。=(2〃+3)(-1)%,求也｝的前〃項(xiàng)和7；.

例16.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))在數(shù)列｛%｝中，q=l，=[l-^?_,(w>2),求數(shù)列｛a〃｝的通項(xiàng)公式

例17.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))記S.為數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，已知q=1,圖是公差為;的等差數(shù)列.

(1)求｛《,｝的通項(xiàng)公式；

111_

(2)證明：—+—+-■-+—<2.

%ai%

例18.(2022?福建南平?三模)已知數(shù)列｛““｝滿足4=1,附=f.

⑴求數(shù)列｛《,｝的通項(xiàng)公式；

(2)若｛bn｝滿足b2ll=2a,-24,bln_｝=2%—22.設(shè)邑為數(shù)歹!|也｝的前〃項(xiàng)和，求S?。.

例19.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))數(shù)列滿足：卬=|,(2"2TM川=(2"+J2)q,(〃eN*),則SJ的

通項(xiàng)公式為.

例20.(2022?山西太原?二模(理))已知數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,前N項(xiàng)和為耳，且〃S用=(〃+2)5“，則數(shù)

列數(shù)列*的前〃項(xiàng)和(,=

2??a?+l

例21.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛《｝的首項(xiàng)為1,前〃項(xiàng)和為S“，且"5用=(〃+2)5“，則數(shù)列

｛《,｝的通項(xiàng)公式.

例22.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))數(shù)列｛/｝中，q=1,當(dāng)“22時(shí)、a?=2"a?_,,則數(shù)列｛/｝的通項(xiàng)公式

為

/、1〃E11T1

例23.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛〃“｝中，%=2(〃+2產(chǎn),若7五+彳+L+

且對(duì)任意〃eN*,7；232"+4恒成立，則實(shí)數(shù)2的取值范圍是()A.(-8,7]B.卜哈-g

c.（-g'lD.[l,+00）

【方法技巧與總結(jié)】

數(shù)列有形如為=/（〃）?％7的遞推公式，且/（1）-/（2）……/（〃）的積可求，則將遞推公式變形為

'=/（〃），利用疊乘法求出通項(xiàng)公式為

%

題型四：待定系數(shù)法

例24.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足：%=1,。2=4,4%-3q-4+2=°，設(shè)

八1

“1嗎3+1）聞知+1），〃**?財(cái)+%+■??+%”----------

例25.（2022?四川宜賓?二模（理））在數(shù)列｛“"｝中，q=l,a2=1,且滿足2見0向=4一?。向-《,）（〃22）,

則a?=.

卬=1，q+1=|-，，若〃=三5，則數(shù)列也｝的前

例26.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝中,

°n

〃項(xiàng)和s〃=.

例27.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列的遞推公式。e=現(xiàn)二；，且首項(xiàng)％=5,求數(shù)列也」的通項(xiàng)

a?-1

公式.

2

例28.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛《,｝滿足：[=2,an=-―-（/?>2）,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

1+an-\

式.

4Q—2

例29.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛（｝中，4=3,%=,求｛%｝的通項(xiàng).

an-\+1

例30.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知“用=[=1,求的通項(xiàng)公式.

/2。”+3/、

例31.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝的遞推公式—,且首項(xiàng)q=〃（a*0）,求數(shù)列

｛對(duì)｝的通項(xiàng)公式.

例32.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）⑴已知數(shù)列｛《,｝,其中q=l,?,=2,且當(dāng)”23時(shí)，an-2a?_i+a?,2=\,

求通項(xiàng)公式為;

（2）數(shù)列｛%｝中，q=0,%=2,a“+2-6a,,+1+5a“=2",求凡.

例33.（2022?江蘇,高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足q=3,%=2%-〃+1,

（1）求數(shù)列｛叫的通項(xiàng)公式；

a-n

（2）若數(shù)列｛%｝滿足c“=0丁+1j（2"41）'求數(shù)列匕，｝的前〃項(xiàng)和。

例34.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）數(shù)列｛/｝中，勾=-1,。向,求a”的通項(xiàng)公式.

2-a”

【方法技巧與總結(jié)】

形如a,+i=pa,+q（p,q為常數(shù)，網(wǎng)#0且pwl）的遞推式，可構(gòu)造%+4=p（a“+%）,轉(zhuǎn)化為等

比數(shù)列求解.也可以與類比式a“=pai+4作差，由。用-a“=P（%-a,i），構(gòu)造｛。1-見｝為等比數(shù)列，

然后利用疊加法求通項(xiàng).

題型五：同除以指數(shù)

例35.（2022?河南?高三階段練習(xí)（文））己知數(shù)列也〃｝的首項(xiàng)4=3,且滿足=2%+2后-1,

（1）設(shè)〃=巴”，證明低｝是等差數(shù)列；

（2）求數(shù)列｛《「1｝的前”項(xiàng)和5”.

例36.（2022?天津?二模）記S,,是公差不為0的等差數(shù)列m｝的前〃項(xiàng)和，已知%+3%=55，。q=54,數(shù)

1

列伊,｝滿足=3blit+2"-（〃22,〃eN）,且4=%-1.

（1）求｛6,｝的通項(xiàng)公式：

（2）證明數(shù)列［與+1）是等比數(shù)列，并求也｝的通項(xiàng)公式；

（3）求證：對(duì)任意的〃EN",

/=!42

例37.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列也｝中,4=3,a“u=3a“+2x3-leM,求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公

式；

例38.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛/｝滿足q=1,。向=4““-2”.

（1）求證：數(shù)列｛a,,｝是等比數(shù)列；

（2）求數(shù)列的前〃項(xiàng)和人

【方法技巧與總結(jié)】

形如a.M=pa,,+d"（pxO且p*l,d"）的遞推式，當(dāng)p="時(shí)，兩邊同除以"向轉(zhuǎn)化為關(guān)于

［之）的等差數(shù)列；當(dāng)pwd時(shí)，兩邊人可以同除以小”得髭?="?之■+',轉(zhuǎn)化為產(chǎn)"也+_L.

｛d"\d"+lddnddd

題型六：取倒數(shù)法

例39.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛4｝滿足6=；,且則數(shù)列。，，=

(5〃+10”〃

例40.（2022?全國(guó),高三專題練習(xí)）數(shù)列｛““｝中，a,=1

%,貝（J=（）

6+5〃+6)%+5〃+15

1□20182019

A.-----B.-----D.

20192019c/2020

15y

例41.（2022?江蘇南京?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛%｝滿足。向若1=5,貝哆廣;若

，貝

10=2046Iq=

【方法技巧與總結(jié)】

（acwO）,取倒數(shù)得」-=處g=2

對(duì)于川叫

b+c%

當(dāng)a=b時(shí)，數(shù)列H是等差數(shù)列;

當(dāng)〃力6時(shí)，令b“=L,則也+二，可用待定系數(shù)法求解.

aa

題型七：取對(duì)數(shù)法例42.已知數(shù)列也,｝的首項(xiàng)為9,且見=°3+2。一（九2）,若“=」一+」一，則數(shù)

%+2a?+1

列也｝的前“項(xiàng)和5“=.

例43.（2022?蚌埠三模）已知數(shù)列｛《,｝滿足q=」一,“"+]=2而"，若b“=log2a“-2,則々曲的最大

256

值為一.

例44.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知數(shù)列｛%｝滿足4=1，芋=,-—7,則4=

2a?+4nan+n

【方法技巧與總結(jié)】

形如《川=旗：《＞0,對(duì)＞0）的遞推公式，則常常兩邊取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

題型八：已知通項(xiàng)公式?！迸c前〃項(xiàng)的和S”關(guān)系求通項(xiàng)問題

例45.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和S,滿足：5,=2%-2,（〃€電）.求數(shù)列｛對(duì)｝

的通項(xiàng)公式；

例46.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為S“，滿足2$,=個(gè)+4-2.求數(shù)列｛叫

的通項(xiàng)公式；

例47.（2022?江西九江三模（理））已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為S”，且滿足々=2,an+]+4a?=3S?+6.

⑴求a”；

（2）求數(shù)列J：：的前〃項(xiàng)和.

例48.(2022?福建?福州三中高三階段練習(xí))已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“,q=電=(“+；)%.

(1)求數(shù)列｛““｝的通項(xiàng)公式；

(2)若6"=2"-'??+1,求數(shù)列圾｝的前〃項(xiàng)和T?.

例49.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為S,，4=4,%=8,且S.-2S“”+S“=4.

(1)求證：數(shù)列｛《｝是等差數(shù)列：

⑵若冊(cè)，S?,,14%川成等比數(shù)列，求正整數(shù)小

例50.(2022?青海海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S“，S“=2%+〃-4.

(1)證明：數(shù)列｛4-1｝是等比數(shù)列.

(2)若數(shù)歹U［上二］的前〃，項(xiàng)和。=整，求機(jī)的值.

513

例51.(2022?青海?海東市第一中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(文))已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足4+2az+3%+…+=/+2〃,

(1)求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

(2)求數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和.

例52.(2022?全國(guó)?南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且S,=；“2+g〃+i,

〃wN”.

(1)求的通項(xiàng)公式；

(2)若數(shù)列也｝滿足豆+%+…+且=|乂3向求數(shù)列抄,｝的前〃項(xiàng)和Z,.

例53.(2022?福建?三明一中模擬預(yù)測(cè))設(shè)數(shù)列｛樂｝的前〃項(xiàng)和為S,,,若q=1,5),=%?-1.

(1)求數(shù)列｛4“｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)。=—,求數(shù)列他｝的前〃項(xiàng)和7；.

?！?1

2v

例54.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))記S,,為數(shù)列｛風(fēng)｝的前"項(xiàng)和.已知一+〃=2a,+l.

n

(1)證明：｛"“｝是等差數(shù)列：

(2)若%，%，生成等比數(shù)列，求S”的最小值.

例55.(2022?福建?廈門一中模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和S,,%=1,an>0,anan+i=4S?-l.

(1)計(jì)算出的值，求｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)6,=(-l)"a?a?+i，求數(shù)列｛=｝的前2〃項(xiàng)和T2?.

例56.(2022?福建省福州第一中學(xué)三模)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.，％=0,%=1，

?S?+I-(2n+1電+(〃+1)S,T-1=0(〃…2).

(1)證明：｛《｝為等差數(shù)列；

(2)設(shè)6“=2?！保凇ê?向之間插入〃個(gè)數(shù)，使這〃+2個(gè)數(shù)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，求的前〃項(xiàng)和.

(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,〃向=2(5“+〃+1)(〃eN*),令b.=a“+l.

⑴求證：｛4｝是等比數(shù)列；

(2)記數(shù)列｛〃6“｝的前〃項(xiàng)和為?；，求T”.

例57.(2022?全國(guó),高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為S“，且有2q+22a2+2,3-----1-2"=n-2,J.

(1)求數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)"=金一，北為數(shù)列也｝的前〃項(xiàng)和，證明：Tn<2.

例58.(2022?江西?高三階段練習(xí)(理))已知首項(xiàng)為1的數(shù)列口)的前〃項(xiàng)和為S“，且

〃S“+i-(〃+2)S“=+(〃+1)("+2)?

(1)求證：數(shù)列是等差數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；

(3)若數(shù)列也｝滿足0+1+6,=a2n>求證：4也4......b?<-^―.

例59.(2022?貴州?貴陽(yáng)一中高三階段練習(xí)(理))設(shè)數(shù)列｛q｝前〃項(xiàng)和為S,,,若％=1,

"1

2S：-2sM,+凡=0(〃22,〃eN*),則Xv=___________.

/=15

例60.(2022?四川?宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校模擬預(yù)測(cè)(理))已知數(shù)列｛4｝滿足l+g+今+…+#1=2",

352/74-1

則q+%+…+4=.

例61.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知數(shù)列｛叫的前〃項(xiàng)和為5,.若4=2,a?+,=S?,則/)0=()

A.2"B.298C.2"D.2100

例62.(2022?陜西省神木中學(xué)高一期末)已知數(shù)列｛4“｝的前〃項(xiàng)和為5“9m=3+2向馮=2,則S,,=

()

A.("+1)-2"B.(n+l)-2"*'C.n-2"-'D.n-2"

例63.(2022?內(nèi)蒙古?赤峰二中模擬預(yù)測(cè)(理))在數(shù)列的｝中，q=l,5川=他,+2,則％小的值為()

A.757x22020B.757x22019C.757x22018D.無(wú)法確定

【方法技巧與總結(jié)】

對(duì)于給出關(guān)于a,,與S”的關(guān)系式的問題，解決方法包括兩個(gè)轉(zhuǎn)化方向，在應(yīng)用時(shí)要合理選擇.一個(gè)方向

是轉(zhuǎn)化S,,為4的形式，手段是使用類比作差法，使S,-S,i=a.(〃22,〃cN*),故得到數(shù)列｛《,｝的相

關(guān)結(jié)論，這種方法適用于數(shù)列的前〃項(xiàng)的和的形式相對(duì)獨(dú)立的情形；另一個(gè)方向是將。“轉(zhuǎn)化為-Si

(?>2,先考慮與S,-的關(guān)系式，繼而得到數(shù)列｛5“｝的相關(guān)結(jié)論，然后使用代入法或者其他

方法求解｛%｝的問題，這種情形的解決方法稱為轉(zhuǎn)化法，適用于數(shù)列的前“項(xiàng)和的形式不夠獨(dú)立的情況.

簡(jiǎn)而言之，求解。，與S,的問題，方法有二，其一稱為類比作差法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化S,的形式為％的形式，

適用于5“的形式獨(dú)立的情形，其二稱為轉(zhuǎn)化法，實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化％的形式為S”的形式，適用于S,的形式不夠

獨(dú)立的情形；不管使用什么方法，都應(yīng)該注意解題過程中對(duì)”的范圍加以跟蹤和注意，一般建議在相關(guān)步

驟后及時(shí)加注〃的范圍.

題型九：周期數(shù)列

例64.(2022?河南安陽(yáng)?模擬預(yù)測(cè)(理))已知數(shù)列｛%｝滿足。,,”“+「勺+2=-1(〃0*)，4=-3,若｛/｝的前

〃項(xiàng)積的最大值為3,則出的取值范圍為()

A.[-1,0)504]B.[-1,0)C.(0,1]D.-1)51,+?>)

+，

例65.(2022?廣東深圳?高三階段練習(xí))已知數(shù)列｛%｝中，4=1,電=2,a?+2=(-1)"+2,貝1]維=

%9

()

.122

A.3B.—C.—D.—

131319

例66.(2022海南省直轄縣級(jí)單位?三模)已知數(shù)列｛4｝中，q=2,a2=4,an+a,l+i+an+2=2,則。2儂=

()

A.4B.2C.-2D.-4

例67.(2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高三階段練習(xí))在數(shù)列｛4｝中，q=l,1a,,=2,“eN*,則

%=;｛凡｝的前2022項(xiàng)和為.

例68.(2022?上海靜安?二模)數(shù)列｛%｝滿足q=2,勺=丁!一，若對(duì)于大于2的正整數(shù)〃，

1-&-1

貝Ufll02=?

1d—1

例69.(2022?云南師大附中模擬預(yù)測(cè)(理))已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，且q=]，。向=苜一，則

$2022=-

例70.(2022?重慶一中高三階段練習(xí))已知數(shù)列｛可｝滿足：a,=2,4m=號(hào)，則電。22=.

例71.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))在數(shù)列｛對(duì)｝中，囚=1,%=,方'4為偶數(shù),則

3%+1,%為奇數(shù)

%+%+%+...+%=

3an+1,%為奇數(shù)

例72.(2021?全國(guó)?高三專題練習(xí)(文))己知正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足《山'梟為偶數(shù)，則當(dāng)一時(shí),

a202l=?

【方法技巧與總結(jié)】

(1)周期數(shù)列型一：分式型

(2)周期數(shù)列型二：三階遞推型

(3)周期數(shù)列型三：乘積型

(4)周期數(shù)列型四：反解型

題型十：前〃項(xiàng)積型

例73.(2022?徐州模擬)已知數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)積為北，若對(duì)V〃..2,〃€N,,都有7；“?(一=2千成立，

且q=1,a2=2,則數(shù)列｛4｝的前10項(xiàng)和為.

例74.(2022?重慶模擬)若數(shù)列｛/｝滿足其前〃項(xiàng)的積為」一，則—.

例75.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝的前項(xiàng)積為(,，且滿足a,=WT(〃€N').

(1)求證：數(shù)列｛北-;｝為等比數(shù)列；

(2)若％+。2+..?+4〃>10,求〃的最小值.

例76.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí))已知數(shù)列｛〃"｝中，St｝=4-<724---=S[xS?x…xS〃，且S"+(,=l.

(1)求證：數(shù)列]止是等差數(shù)列；

⑵求證：對(duì)于任意的正整數(shù)",Tn是?！芭c5”的等比中項(xiàng).

例77.(2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè))數(shù)列｛%｝滿足勾=1,一%?‘、.?…一%="+1.

。2T%T%-1

(1)求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式：

(2)數(shù)列中是否存在最大項(xiàng)和最小項(xiàng)？若存在，求出相應(yīng)的最大項(xiàng)或最小項(xiàng)；若不存在，說(shuō)明理

由.

例78.(2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)(理))已知數(shù)列｛對(duì)｝前〃項(xiàng)積為刀,，且q,+7；=l(〃eN*).

(1)求證：數(shù)列J-1為等差數(shù)列；

(2)設(shè)5,,=邛+以+…+7?，求證：5?>a?+1-l.

【方法技巧與總結(jié)】

類比前〃項(xiàng)和求通項(xiàng)過程：

(1)〃=1,得Q］

(2)”22時(shí)，

1n-\

題型H■?一：“和”型求通項(xiàng)

例79.(2022秋?河南月考)若數(shù)列｛4｝滿足吐+4a=?%為常數(shù))，則稱數(shù)列｛4｝為等比和數(shù)列，k稱

%%

為公比和，已知數(shù)列｛〃“｝是以3為公比和的等比和數(shù)列，其中q=l,%=2,則叼儂=一,

2

例80.(2022秋?南明區(qū)校級(jí)月考)若數(shù)列｛凡｝滿足4+%”=-；_~廣,則S,“=____.

>Jn+2+>jn

例81.(2022?青海西寧?二模(理))已知S,為數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和，q=l,an+l+2S?=2n+i,則邑。22=

()

A.2020B.2021C.2022D.2024

例82.(2022?全國(guó),高三專題練習(xí))數(shù)列｛”“｝滿足qeZ,+勺=2〃+3,且其前“項(xiàng)和為S,.若Sg=4，

則正整數(shù)加=()

A.99B.103C.107D.198

例83.(2022?黑龍江?哈師大附中高三階段練習(xí)(理))已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,若

2

5?+1+5?=2?(?€^),且。尸0,原>=28,則q的值為

A.-8B.6C.-5D.4

例84.(2022?浙江省春暉中學(xué)模擬預(yù)測(cè))已知數(shù)列｛““｝滿足:區(qū)川+為=2*+7(〃€曠)，且q=4.

(1)求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)已知數(shù)列也｝滿足，=，定義使4也也……apeN*)為整數(shù)的人叫做“幸福數(shù)，

求區(qū)間［1,2022］內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和.

例85.(2022?河南?方城第一高級(jí)中學(xué)模擬預(yù)測(cè)(理))已知數(shù)列｛%｝滿足q=l,““+M”=4”.

(1)求數(shù)列｛?！埃耐?xiàng)公式；

,4ncosnjv,,,、一一.」

(2)設(shè)b?=-------,,求數(shù)列｛6“｝的前月項(xiàng)和S,,并求S,,的最大值.

【方法技巧與總結(jié)】

滿足4用+““=/（〃），稱為“和”數(shù)列，常見如下幾種：

（1）“和”常數(shù)型

（2）“和”等差型

（3）“和”二次型

（4）“和”換元型題型十二：正負(fù)相間討論、奇偶討論型

例86.數(shù)列｛a,,｝滿足a.+（-1嚴(yán)?！?3〃-1,前16項(xiàng)和為540,則%=?

例87.（2022?夏津縣校級(jí)開學(xué)）數(shù)列｛4｝滿足?！?2+（T）"%=3〃T，前16項(xiàng)和為508,則％=.

例88.（2022秋?舒城縣校級(jí)月考）已知數(shù)列｛q｝滿足:1+（T）"%="（〃€%*）,則數(shù)列｛2｝的前40項(xiàng)

和凡。=----

例89.（2022春?漳州期末）已知數(shù)列｛%｝滿足勺+|=（-1）"（%+〃）,則｛4｝的前40項(xiàng)和為.

例90.（2022秋?普陀區(qū)校級(jí)期末）已知數(shù)列｛.“｝的首項(xiàng)4=2,且滿足川=2"（〃wN"）,則。2。=一.

例91.（2022?鼓樓區(qū)校級(jí)模擬）已知數(shù)列｛《,｝中，q=l,4用=%+（-1）"〃（〃€"*）,貝1」徇）=—.

例92.（2022春?東安區(qū)校級(jí)期中）已知數(shù)列｛%｝滿足:“+（-1）"?！?3〃-1,（〃€川），則｛4｝的前40項(xiàng)

的和為（）

A.860B.1240C.1830D.2420

例93.（2022?全國(guó)?高三專題練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛凡｝的前〃項(xiàng)和為，，已知%=2,%+2+（-1廠&=2,則

例94.（2022?遼寧?盤錦市高級(jí)中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列｛叫，滿足4=。，且

/〃=2"1,丘”，設(shè)S,,是數(shù)列｛a,,｝的前〃項(xiàng)和，若Szo-l,則a的值為（）

12%,n=2k,kwZ

111

A.----B.----C.----D.1

303020201515

2an〃=2左一1,左wN*

例95.（2022?全國(guó)?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛為｝滿足4=1,且%“=3’.,

—=2k,keN

[2〃

（1）求｛凡｝的通項(xiàng)公式；

⑵在①2=q+。刷，②bn=a,,「a“,③”=。/用這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面橫線上，并解答.

若數(shù)列也｝滿足,求也｝的前2〃項(xiàng)和$2“.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【方法技巧與總結(jié)】

（1）利用〃的奇偶分類討論，觀察正負(fù)相消的規(guī)律

（2）分段數(shù)列

（3）奇偶各自是等差，等比或者其他數(shù)列

題型十三：因式分解型求通項(xiàng)

例96.（2022秋?安徽月考）已知正項(xiàng)數(shù)列｛““｝滿足：%=a，-4a^+an+l-2an=0,n&N'.

（I）判斷數(shù)列｛%｝是否是等比數(shù)列，并說(shuō)明理由；

（II）若a=2,設(shè)neN"，求數(shù)列｛"｝的前〃項(xiàng)和.

例97.（2022?懷化模擬）已知正項(xiàng)數(shù)列｛4｝滿足4=1,24-6凡=0（〃..2,〃e