新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識清單+鞏固練習(xí)專題19 計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理（解析版）

專題19計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理一、知識速覽二、考點(diǎn)速覽

知識點(diǎn)1兩個(gè)計(jì)數(shù)原理1、分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案．在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法。2、分步乘法計(jì)數(shù)原理：完成一件事需要兩個(gè)步驟．做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，完成這件事共有N＝m·n種不同的方法。3、兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用如果完成一件事的各種方法是相互獨(dú)立的，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分類計(jì)數(shù)原理．如果完成一件事的各個(gè)步驟是相互聯(lián)系的，即各個(gè)步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計(jì)算完成這件事的方法數(shù)時(shí)，使用分步計(jì)數(shù)原理．知識點(diǎn)2排列與組合1、排列與排列數(shù)（1）定義：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素排成一列，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)排列．從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的排列數(shù)，用符號SKIPIF1<0表示．（2）排列數(shù)的公式：SKIPIF1<0．特例：當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；規(guī)定：SKIPIF1<0．（3）排列數(shù)的性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．2、組合與組合數(shù)（1）定義：從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素并成一組，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的一個(gè)組合．從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的組合數(shù)，用符號SKIPIF1<0表示．（2）組合數(shù)公式及其推導(dǎo)求從SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的排列數(shù)SKIPIF1<0，可以按以下兩步來考慮：第一步，先求出從這SKIPIF1<0個(gè)不同元素中取出SKIPIF1<0個(gè)元素的組合數(shù)SKIPIF1<0；第二步，求每一個(gè)組合中SKIPIF1<0個(gè)元素的全排列數(shù)SKIPIF1<0；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，得到SKIPIF1<0；因此SKIPIF1<0．這里SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，這個(gè)公式叫做組合數(shù)公式．因?yàn)镾KIPIF1<0，所以組合數(shù)公式還可表示為：SKIPIF1<0．特例：SKIPIF1<0．注意：組合數(shù)公式的推導(dǎo)方法是一種重要的解題方法！在以后學(xué)習(xí)排列組合的混合問題時(shí)，一般都是按先取后排（先組合后排列）的順序解決問題．公式SKIPIF1<0常用于具體數(shù)字計(jì)算，SKIPIF1<0常用于含字母算式的化簡或證明．（3）組合數(shù)的主要性質(zhì)：①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．3、排列和組合的區(qū)別（1）組合：取出的元素地位平等，沒有不同去向和分工．（2）排列：取出的元素地位不同，去向、分工或職位不同．【注意】排列、組合都是研究事物在某種給定的模式下所有可能的配置數(shù)目問題，它們之間的主要區(qū)別在于是否要考慮選出元素的先后順序，不需要考慮順序的是組合問題，需要考慮順序的是排列問題．排列是在組合的基礎(chǔ)上對入選的元素進(jìn)行排隊(duì)，因此，分析解決排列組合綜合問題的基本思維是“先組合，后排列”．知識點(diǎn)3二項(xiàng)式定理1、二項(xiàng)式定理（1）二項(xiàng)式定理：SKIPIF1<0，（2）通項(xiàng)公式：SKIPIF1<0，表示展開式的第SKIPIF1<0項(xiàng)：，（3）二項(xiàng)式系數(shù)：系數(shù)SKIPIF1<0（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，（4）兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開式：①（）②2、二項(xiàng)式展開式中的最值問題（1）二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：=1\*GB3①每一行兩端都是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；其余每個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和，即SKIPIF1<0．=2\*GB3②對稱性每一行中，與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即SKIPIF1<0．（2）二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大=1\*GB3①如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)SKIPIF1<0的二項(xiàng)式系數(shù)SKIPIF1<0最大；=2\*GB3②如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二項(xiàng)式系數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等且最大．（3）系數(shù)的最大項(xiàng)求SKIPIF1<0展開式中最大的項(xiàng)，一般采用待定系數(shù)法．設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為SKIPIF1<0，設(shè)第SKIPIF1<0項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有SKIPIF1<0，從而解出SKIPIF1<0來．3、二項(xiàng)展開式中的系數(shù)和問題（1）二項(xiàng)式系數(shù)和令SKIPIF1<0，則二項(xiàng)式系數(shù)的和為SKIPIF1<0，變形式SKIPIF1<0．（2）奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和在二項(xiàng)式定理中，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，從而得到：SKIPIF1<0．（3）若SKIPIF1<0，則①常數(shù)項(xiàng)：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．②各項(xiàng)系數(shù)和：令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．一、求解排列應(yīng)用問題的六種常用方法1、直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算；2、優(yōu)先法：優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置；3、捆綁法：相隔問題把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；4、插空法：不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；5、定序問題除法處理：對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列6、間接法：正難則反、等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法【典例1】（2023上·貴州貴陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）貴州省首屆“美麗鄉(xiāng)村”籃球聯(lián)賽總決賽在黔東南苗族侗族自治州臺江縣臺盤村開賽.該聯(lián)賽由臺盤村“六月六”吃新節(jié)籃球賽發(fā)展演變而來，被網(wǎng)友稱為“村BA”.村BA給全國人民展現(xiàn)的不僅是貴州人熱愛生活的精神，更展現(xiàn)了如今欣欣向榮的貴州山水人文，同時(shí)給貴州的旅游帶來巨大的收益.2023年8月20日晚上村BA西南大區(qū)賽總決賽落下帷幕，為慶祝比賽順利結(jié)束，主辦方設(shè)置一場扣籃表演，分別由重慶、貴州、四川、云南代表隊(duì)每隊(duì)各選出2名球員參加扣籃表演，貴州隊(duì)作為東道主，扣籃表演必須在第一位及最后一位，那么一共有（）種表演順序.A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意易知，一共有8個(gè)人需要排列.先確定貴州兩名球員的順序?yàn)镾KIPIF1<0，在確定其余6人順序?yàn)镾KIPIF1<0，由分步乘法原理可得一共有SKIPIF1<0種順序.故選：C.【典例2】（2023上·重慶·高三重慶一中校考階段練習(xí)）現(xiàn)有4男3女共7個(gè)人排成一排照相，其中三個(gè)女生不全相鄰的排法種數(shù)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】7個(gè)人全排列誠去3個(gè)女生全部相鄰的情形，即SKIPIF1<0，故選：B.【典例3】（2022上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）高三年級某班組織元旦晚會，共準(zhǔn)備了甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)節(jié)目，出場時(shí)要求甲、乙、丙三個(gè)節(jié)目順序?yàn)椤凹?、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相鄰），則這樣的出場排序有（）A．24種B．40種C．60種D．84種【答案】B【解析】五個(gè)元素的全排列數(shù)為SKIPIF1<0，由于要求甲、乙、丙在排列中順序?yàn)椤凹?、乙、丙”或“丙、乙、甲?種排法，所以滿足條件的排法有SKIPIF1<0.故選：B．【典例4】（2023·湖南永州·統(tǒng)考一模）為全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，永州市舉辦了“村晚興鄉(xiāng)村”活動(dòng)，晚會有《走，去永州》《揚(yáng)鞭催馬運(yùn)糧忙》《數(shù)幸?！贰多l(xiāng)村振興唱起來》四個(gè)節(jié)目，若要對這四個(gè)節(jié)目進(jìn)行排序，要求《數(shù)幸福》與《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，則不同的排列種數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】SKIPIF1<0【解析】由于《數(shù)幸?！放c《鄉(xiāng)村振興唱起來》相鄰，所以兩者“捆綁”，則不同的排列種數(shù)為SKIPIF1<0種.【典例5】（2023上·上?！じ呷影仓袑W(xué)校考期中）從甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，要求每個(gè)項(xiàng)目都有人參加，則甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有種.【答案】54【解析】若甲?乙等5人中任選3人參加三個(gè)不同項(xiàng)目的比賽，共有SKIPIF1<0種不同參賽方案，若沒有甲?乙入選的不同參賽方案共有SKIPIF1<0種，所以甲?乙中至少有1人入選的不同參賽方案共有SKIPIF1<0種.二、組合問題的常見類型與處理方法（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中選取．（2）“至少”或“至多”含有幾個(gè)元素的題型：若直接法分類復(fù)雜時(shí)，逆向思維，間接求解．【典例1】（2023上·河北邢臺·高三校聯(lián)考期中）現(xiàn)有紅色、黃色、藍(lán)色的小球各4個(gè)，每個(gè)小球上都標(biāo)有不同的編號.從中任取3個(gè)小球，若這3個(gè)小球顏色不全相同，且至少有一個(gè)紅色小球，不同取法有（）A．160種B．220種C．256種D．472種【答案】A【解析】若取出的球中有1個(gè)紅球，不同的取法有SKIPIF1<0種；若取出的球中有2個(gè)紅球，不同的取法有SKIPIF1<0種.故不同取法有SKIPIF1<0種.故選：A.【典例2】（2023·云南·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）2023年的五一勞動(dòng)節(jié)是疫情后的第一個(gè)小長假，公司籌備優(yōu)秀員工假期免費(fèi)旅游．除常見的五個(gè)旅游熱門地北京、上海、廣州、深圳、成都外，淄博燒烤火爆全國，則甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有（）A．1800B．1080C．720D．360【答案】B【解析】①恰有2個(gè)部門所選的旅游地相同，第一步，先將選相同的2個(gè)部門取出，有SKIPIF1<0種；第二步，從6個(gè)旅游地中選出3個(gè)排序，有SKIPIF1<0種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，方法有SKIPIF1<0種；②4個(gè)部門所選的旅游地都不相同的方法有SKIPIF1<0種，根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，甲、乙、丙、丁四個(gè)部門至少有三個(gè)部門所選旅游地全不相同的方法種數(shù)共有SKIPIF1<0種．故選：B三、分組分配問題的解題思路分組、分配問題是排列組合的綜合問題，解題思想是先分組后分配（1）分組問題屬于“組合”問題，常見的分組方法有三種：①完全均勻分組，每組元素的個(gè)數(shù)都相等；②部分均勻分組，應(yīng)注意不要重復(fù)；③完全非均勻分組，這種分組不考慮重復(fù)現(xiàn)象．（2）分配問題屬于“排列”問題，常見的分配方法有三種：①相同元素的分配問題，常用“擋板法”；②不同元素的分配問題，利用分步乘法計(jì)數(shù)原理，先分組，后分配；③有限制條件的分配問題，采用分類求解．【典例1】（2023上·江蘇常州·高三統(tǒng)考期中）將5本不同的書分發(fā)給4位同學(xué)，其中甲、乙兩本書不能同時(shí)發(fā)給某一位同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，則不同的分配方案數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】216【解析】5本書送4人，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，共有SKIPIF1<0種方案，甲乙兩本書同時(shí)發(fā)給某一個(gè)同學(xué)，每位同學(xué)都發(fā)到書，每本書只能給一位同學(xué)，則剩余3本書分別給3位同學(xué)，有SKIPIF1<0種方案，綜上，不同的分配方案數(shù)為SKIPIF1<0種．【典例2】（2023上·廣東廣州·高三空港實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校⒓住⒁?、丙、丁四人安排到籃球與演講比賽現(xiàn)場進(jìn)行任務(wù)工作，每個(gè)比賽現(xiàn)場需要兩人，則甲、乙安排在一起的概率為．【答案】SKIPIF1<0【解析】將四人分成兩人兩組共有SKIPIF1<0種，再安排四人到籃球與演講比賽現(xiàn)場進(jìn)行服務(wù)工作有SKIPIF1<0種，又甲、乙安排在一起共有SKIPIF1<0種，所以甲、乙安排在一起的概率為SKIPIF1<0.【典例3】（2023上·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）某高校開設(shè)了乒乓球，羽毛球，籃球，小提琴，書法五門選修課程可供學(xué)習(xí)，要求每位同學(xué)每學(xué)年至多選2門，該校學(xué)生小明想用前3學(xué)年將五門選修課程選完，則小明的不同選修方式有種.（用數(shù)字作答）【答案】90【解析】由題意，前三年修完5門選修課程，每學(xué)年至多選2門，則小明同學(xué)每年所修課程數(shù)為1，2，2，先將5門學(xué)科按1，2，2分成三組，有SKIPIF1<0種方法，再分到這三個(gè)學(xué)年，有SKIPIF1<0種不同方法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，不同選修方式共有SKIPIF1<0種.【典例4】（2023上·重慶·高三統(tǒng)考期中）為落實(shí)立德樹人的根本任務(wù)，踐行五育并舉，某學(xué)校開設(shè)SKIPIF1<0三門勞動(dòng)教育校本課程，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)報(bào)名參加該校勞動(dòng)教育校本課程的學(xué)習(xí)，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，則不同的報(bào)名方法有（）A．60種B．150種C．180種D．300種【答案】B【解析】根據(jù)題意，甲、乙、丙、丁、戊五位同學(xué)選SKIPIF1<0三門德育校本課程，每位同學(xué)僅報(bào)一門，每門至少有一位同學(xué)參加，需要分三組，有兩類情況，①三組人數(shù)為1、1、3，此時(shí)有SKIPIF1<0種；②三組人數(shù)為2、2、1，此時(shí)有SKIPIF1<0種.所以不同的報(bào)名方法共有60＋90＝150種．故選：B．四、二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)求解二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)，是指展開式中的某一項(xiàng)，如第n項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等，求解二項(xiàng)展開式中的特定項(xiàng)的關(guān)鍵點(diǎn)如下：（1）求通項(xiàng)，利用(a＋b)n的展開式的通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr(r＝0，1，2，…，n)求通項(xiàng)．（2）列方程(組)或不等式(組)，利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)及特定項(xiàng)的特征，列出方程(組)或不等式(組)．（3）求特定項(xiàng)，先由方程(組)或不等式(組)求得相關(guān)參數(shù)，再根據(jù)要求寫出特定項(xiàng)．【典例1】（2023上·天津·高三南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】240【解析】二項(xiàng)式SKIPIF1<0的展開式通項(xiàng)為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以所求常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0.【典例2】（2023上·重慶·高三八中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式的第4項(xiàng)是.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題設(shè)，二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)為SKIPIF1<0，第4項(xiàng)為SKIPIF1<0.【典例3】（2023下·河北邯鄲·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）SKIPIF1<0的展開式中,有理項(xiàng)是.（用關(guān)于x的式子表示）【答案】SKIPIF1<0和SKIPIF1<0【解析】由題知,記SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0或8,所以SKIPIF1<0,故有理項(xiàng)是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.五、三項(xiàng)展開式中某些特定項(xiàng)的系數(shù)的求法（1）通過變形先把三項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式，再用二項(xiàng)式定理求解．（2）兩次利用二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求解．（3）由二項(xiàng)式定理的推證方法知，可用排列、組合的基本原理去求，即把三項(xiàng)式看作幾個(gè)因式之積，要得到特定項(xiàng)看有多少種方法從這幾個(gè)因式中取因式中的量．【典例1】（2019下·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項(xiàng)為.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0中的常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0，故答案為:88【典例2】（2020下·山東棗莊·高二棗莊第三中學(xué)校考階段練習(xí)）在SKIPIF1<0的展開式中，x2項(xiàng)的系數(shù)為（）A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】在SKIPIF1<0的展開式中，通項(xiàng)公式為Tr+1SKIPIF1<0?SKIPIF1<0.對于SKIPIF1<0，通項(xiàng)公式為Tk+1SKIPIF1<0?xr﹣2021k，k≤r，r、k∈N，r≤10.令r﹣2021k＝2，可得r＝2+2021k，故k＝0，r＝2，故x2項(xiàng)的系數(shù)為SKIPIF1<0?SKIPIF1<045，故選：B.【典例3】（2022上·廣東深圳·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）下列各式中，不是SKIPIF1<0的展開式中的項(xiàng)是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0表示4個(gè)因式SKIPIF1<0的乘積，在這4個(gè)因式中，有一個(gè)因式選SKIPIF1<0，其余的3個(gè)因式選SKIPIF1<0，所得的項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式選SKIPIF1<0，其余的2個(gè)因式選SKIPIF1<0，所得的項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有1個(gè)因式選SKIPIF1<0，剩下的3個(gè)因式選SKIPIF1<0，所得的項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的展開式中的項(xiàng)，在這4個(gè)因式中，有2個(gè)因式選SKIPIF1<0，其余的2個(gè)因式中有一個(gè)選SKIPIF1<0，剩下的一個(gè)因式選SKIPIF1<0，所得的項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不是SKIPIF1<0的展開式中的項(xiàng).故選:D.六、求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展開式問題的思路（1）若n，m中一個(gè)比較小，可考慮把它展開得到多個(gè)，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展開分別求解．（2）觀察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.（3）分別得到(a＋b)n，(c＋d)m的通項(xiàng)公式，綜合考慮．【典例1】（2023上·河南·高三實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校㏒KIPIF1<0的展開式中，SKIPIF1<0的系數(shù)為（）A．200B．40C．120D．80【答案】B【解析】SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系數(shù)為SKIPIF1<0，故選：B【典例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）SKIPIF1<0的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．180D．300【答案】B【解析】SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0為常數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0為常數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中常數(shù)項(xiàng)為SKIPIF1<0．故選：B．【典例3】（2023·河南·高三校聯(lián)考模擬預(yù)測）在SKIPIF1<0的展開式中，按SKIPIF1<0的升冪排列的第三項(xiàng)為.【答案】SKIPIF1<0【解析】易知，展開式中有常數(shù)項(xiàng)、一次項(xiàng)、二次項(xiàng)等，故所求的項(xiàng)為SKIPIF1<0項(xiàng)．整個(gè)式子中SKIPIF1<0項(xiàng)可由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式中的常數(shù)項(xiàng)與二次項(xiàng)、一次項(xiàng)與一次項(xiàng)、二次項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)相乘得到，其中SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）；故所求為SKIPIF1<0．七、二項(xiàng)式系數(shù)的和與各項(xiàng)的系數(shù)和問題（1）系數(shù)和問題常用“賦值法”求解賦值法是指對二項(xiàng)式中的未知元素賦值，從而求得二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)和的方法．求解有關(guān)系數(shù)和題的關(guān)鍵點(diǎn)如下：①賦值，觀察已知等式與所求式子的結(jié)構(gòu)特征，確定所賦的值，常賦的值有：－1，0，1等．②求參數(shù)，通過賦值，建立參數(shù)的相關(guān)方程，解方程，可得參數(shù)值．③求值，根據(jù)題意，得出指定項(xiàng)的系數(shù)和．（2）二項(xiàng)式系數(shù)和：(a＋b)n的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)的和為Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.【典例1】（2023·浙江·模擬預(yù)測）若SKIPIF1<0，且奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，兩邊同時(shí)求導(dǎo)得，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，∵奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)之和為512，∴SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.【典例2】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測）（多選）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】AC【解析】令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)A正確；令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0選項(xiàng)C正確；SKIPIF1<0，兩邊對SKIPIF1<0求導(dǎo)得：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.【典例3】（2023上·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，其中二項(xiàng)式SKIPIF1<0展開式的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.八、二項(xiàng)式系數(shù)最大與最小二項(xiàng)式系數(shù)先增后減中間項(xiàng)最大（1）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是偶數(shù)，則中間一項(xiàng)SKIPIF1<0的二項(xiàng)式系數(shù)SKIPIF1<0最大；（2）如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)SKIPIF1<0是奇數(shù)，則中間兩項(xiàng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的二項(xiàng)式系數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相等且最大．【典例1】（2023下·云南·高三師大附中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是（）A．160B．240C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大為SKIPIF1<0，即展開式的第4項(xiàng)，即SKIPIF1<0.故選：C．【典例2】（2023上·海南·高三洋浦中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若SKIPIF1<0的展開式中只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中的SKIPIF1<0項(xiàng)為.【答案】SKIPIF1<0【解析】由題意，只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大知，展開式中有共SKIPIF1<0項(xiàng)，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故展開式中的SKIPIF1<0項(xiàng)為SKIPIF1<0.【典例3】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃㏒KIPIF1<0展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】SKIPIF1<0【解析】由二項(xiàng)式系數(shù)的基本性質(zhì)可知，SKIPIF1<0展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為SKIPIF1<0.因此，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為SKIPIF1<0.九、二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展開式系數(shù)最大的項(xiàng)，一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ak≥Ak－1，,Ak≥Ak＋1，))從而解出k來，即得．【典例1】（2023上·全國·高三階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0的展開式中唯有第5項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】SKIPIF1<0的展開式的通項(xiàng)為SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故選：A【典例2】（2023·湖北襄陽·高三襄陽四中?？寄M預(yù)測）已知SKIPIF1<0的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為SKIPIF1<0，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第（）A．SKIPIF1<0項(xiàng)B．SKIPIF1<0項(xiàng)C．SKIPIF1<0項(xiàng)D．SKIPIF1<0項(xiàng)【答案】D【解析】SKIPIF1<0的展開式中前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的展開式通項(xiàng)為SKIPIF1<0，設(shè)展開式中第SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)最大，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因此，展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為第SKIPIF1<0項(xiàng).故選：D.易錯(cuò)點(diǎn)1利用分步乘法原理計(jì)數(shù)，分步標(biāo)準(zhǔn)錯(cuò)誤點(diǎn)撥：仔細(xì)區(qū)分是“分類”還是“分步”是運(yùn)用兩個(gè)原理的關(guān)鍵.兩個(gè)原理的區(qū)別在于一個(gè)與分類有關(guān)，一個(gè)與分步有關(guān).如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無論哪一類辦法中的哪一種方法都能單獨(dú)完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成n個(gè)步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理.【典例1】（2023上·廣東佛山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）5名同學(xué)去聽同時(shí)舉行的3個(gè)課外知識講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中的1個(gè)講座，且甲乙聽同一個(gè)講座，則不同選擇的種數(shù)是．【答案】SKIPIF1<0【解析】根據(jù)題意，把甲乙看成一個(gè)同學(xué)，由分步計(jì)數(shù)原理，可得不同選擇的種類是SKIPIF1<0．5．（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給該地區(qū)的5個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂色方法共有種.【答案】72【解析】觀察圖形知，2區(qū)與4區(qū)不相鄰，3區(qū)與5區(qū)不相鄰，且不相鄰的區(qū)域可用同1種顏色涂色，因此計(jì)算涂色方法可用3色和4色，使用3種顏色，則2區(qū)與4區(qū)同色，3區(qū)與5區(qū)必同色，涂2區(qū)與4區(qū)有4種方法，涂3區(qū)與5區(qū)有3種方法，涂1區(qū)有2種方法，則涂色方法有SKIPIF1<0（種）；使用4種顏色，選取同色的方案有2種，涂同色的兩塊有4種方法，涂另外3塊依次有3，2，1種方法，則涂色方法有SKIPIF1<0（種），所以不同的涂色方法共有SKIPIF1<0（種）.【典例2】（2023上·陜西西安·高三階段練習(xí)）五岳是中國漢文化中五大名山的總稱，分別為東岳泰山、西岳華山、中岳嵩山、北岳恒山、南岳衡山.某旅游博主為領(lǐng)略五岳之美，決定用兩個(gè)月的時(shí)間游覽完五岳，且每個(gè)月只游覽五岳中的兩大名山或三大名山（五岳只游覽一次），則恰好在同一個(gè)月游覽華山和恒山的概率為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由題意，確定一個(gè)月的游覽方案，則另一個(gè)月游覽其余名山即可.該旅游博主游覽五岳可分兩類方法：第一類，第一個(gè)月游覽兩大名山，從五大名山中任選兩大名山，有SKIPIF1<0種方法；第二類，第一個(gè)月游覽三大名山，從五大名山中任選三大名山，有SKIPIF1<0種方法；由分類計(jì)數(shù)原理可得，共有SKIPIF1<0種方法.設(shè)SKIPIF1<0“該旅游博主恰好在同一個(gè)月游覽華山和恒山”，可分兩步完成這件事：第一步，從兩個(gè)月中選一個(gè)月游覽華山和恒山，有SKIPIF1<0種方法；第二步，確定游覽華山和恒山的這個(gè)月的游覽方案，分為兩類：若該月只游覽兩大名山，則只有SKIPIF1<0種方法；若該月瀏覽三大名山，則再從其余三大山中任取一大山游覽，有SKIPIF1<0種方法，則第二步共有SKIPIF1<0種方法；由分步計(jì)數(shù)原理，則完成事件SKIPIF1<0共有SKIPIF1<0種方法.由古典概型概率公式得SKIPIF1<0.故選：C.易錯(cuò)點(diǎn)2數(shù)字排列中“0”的位置不明點(diǎn)撥：對于數(shù)字排列問題，0是特殊的數(shù)字，在解題過程中往往會忽視0不在首位的特殊要求?！镜淅?】（2023·全國·高三專題練習(xí)）從0，1，…，9中選出三個(gè)不同數(shù)字組成四位數(shù)（其中的一個(gè)數(shù)字可以出現(xiàn)兩次），如5224．則這樣的四位數(shù)共有個(gè)．【答案】3888【解析】分三種情形討論．四位數(shù)中不含0的有SKIPIF1<0（個(gè)）；四位數(shù)中含0且0只出現(xiàn)一次的有SKIPIF1<0（個(gè)）．從而，共有SKIPIF1<0個(gè)．【典例2】（2023·福建泉州·高三統(tǒng)考模擬預(yù)測）將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任意排成一行，可以組成個(gè)不同的6位數(shù)．（用數(shù)字作答）【答案】SKIPIF1<0【解析】將SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0任意排成一行，且數(shù)字SKIPIF1<0不在首位，則有SKIPIF1<0種，數(shù)字SKIPIF1<0和SKIPIF1<0相鄰且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0之前的排法有SKIPIF1<0種，故所求滿足題意的SKIPIF1<0位數(shù)有SKIPIF1<0個(gè).【典例3】（2023·廣東·高三深圳中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）用0，1，2，3，4，5這六個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，要求任意兩個(gè)偶數(shù)數(shù)字之間至少有一個(gè)奇數(shù)數(shù)字，則符合要求的六位數(shù)的個(gè)數(shù)有個(gè).【答案】108【解析】滿足要求的六位數(shù)按照偶數(shù)數(shù)字所在的位置可以分宜以下幾類：第一類：0,2,4排在從左至右的第一位，第三位，第五位，先排第一位有兩種排法，再排第三位和第五位有SKIPIF1<0種排法，再將奇數(shù)排在第二，四，六位有SKIPIF1<0種排法，所以第一類包含的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，第二類：0,2,4排在從左至右的第一位，第三位，第六位，先排第一位有兩種排法，再排第三位和第六位有SKIPIF1<0種排法，再將奇數(shù)排在第二，四，五位有SKIPIF1<0種排法，所以第二類包含的六位數(shù)的個(gè)數(shù)為SKIPIF1<0，第三類：0,2,4排在從左至右的第一位，第四位，第六位，先排第一位有兩種排法，再排第四位和第六位有SKIPIF1<0