福建省福清市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

2023-2024學(xué)年第二學(xué)期高一年期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)學(xué)科試卷（完卷時(shí)間：120分鐘；滿分：150分）注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)?姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)?姓名是否一致.2.第I卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).第II卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書(shū)寫作答.在試題卷上作答，答案無(wú)效.3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.第卷一?單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.復(fù)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法計(jì)算.【詳解】.故選：D2.下列幾何體中，棱數(shù)最多的是（）A.五棱錐 B.三棱臺(tái)C.三棱柱 D.四棱錐【答案】A【解析】【分析】根據(jù)棱錐和棱柱的特征逐個(gè)求解其棱數(shù)進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)槲謇忮F有10條棱，三棱臺(tái)有9條棱，三棱柱有9條棱，四棱錐有8條棱，所以這些幾何體中棱數(shù)最多的是五棱錐，故選：A3.在中，點(diǎn)在邊上，，記，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根已知條件和向量的減法法則即可直接計(jì)算得解.【詳解】由題.故選：B.4.已知一個(gè)水平放置的用斜二測(cè)畫法得到的直觀圖如圖所示，且，則其平面圖形的面積是（）A.4 B. C. D.8【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直觀圖畫出平面圖形，求出相關(guān)線段的長(zhǎng)度，即可求出平面圖形的面積.【詳解】由直觀圖可得如下平面圖形：其中，，所以故選：A5.下列說(shuō)法正確的是（）A.若兩個(gè)非零向量共線，則必在同一直線上B.若與共線，與共線，則與也共線C.若則D.若非零向量與是共線向量，則它們的夾角是或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)共線向量的概念即可判斷A,B,D;根據(jù)相等向量的概念可以判斷C.【詳解】方向相同或相反的兩個(gè)非零向量是共線向量，因此D正確；若非零向量是共線向量，則未必在同一直線上，A錯(cuò)；若，則與共線，與共線，但是與未必共線，B錯(cuò)；由可以得到的大小相等，但方向不一定相同，C錯(cuò).故選：D.6.三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長(zhǎng)分別為a，b，c，則這個(gè)三棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】直接利用錐體的體積公式即可求解.【詳解】因?yàn)槿忮F的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，長(zhǎng)分別為a，b，c，所以這個(gè)三棱錐的體積為.故選：B7.在中，角的對(duì)邊分別為，若，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算先求出，再由正、余弦定理求解.詳解】，所以，則，即，由正弦定理，.故選:．8.在平面四邊形中，，則該四邊形的面積為（）A.13 B.26 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積運(yùn)算可以知道，進(jìn)而利用面積公式求解即可.【詳解】因?yàn)樗运运倪呅蔚拿娣e為故選：A二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若直線不平行于平面，且，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.內(nèi)的所有直線與是異面直線B.內(nèi)不存在與平行的直線C.內(nèi)存在唯一一條直線與平行D.內(nèi)的所有直線與都相交【答案】ACD【解析】【分析】依題意可知與平面相交，再判斷直線與平面內(nèi)的直線的位置關(guān)系即可.【詳解】因?yàn)橹本€不平行于平面，且，則與平面相交，設(shè)交點(diǎn)為，則平面內(nèi)所有過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交，即共面，平面內(nèi)所有不過(guò)點(diǎn)直線與直線異面，故A錯(cuò)誤，D錯(cuò)誤；顯然內(nèi)不存在與平行的直線，故B正確，C錯(cuò)誤.故選：ACD10.已知向量，則以下說(shuō)法正確的是（）A.B.與的夾角余弦值為C.與的夾角是銳角D.向量在向量上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)A，根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可判斷；對(duì)B，根據(jù)向量夾角公式的坐標(biāo)表示可判斷；對(duì)C，根據(jù)向量夾角公式的坐標(biāo)表示可判斷；對(duì)D，根據(jù)向量的幾何意義即可判斷.【詳解】對(duì)A，由題意知，，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，由題意知，所以，故B正確對(duì)C，，所以與的夾角是鈍角，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，向量在向量上的投影向量為，故D正確.故選：BD11.已知分別為內(nèi)角的對(duì)邊，下面四個(gè)結(jié)論正確的是（）A.若，則是鈍角三角形B.若，則為等腰三角形C.若，則D.若，且有兩解，則的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用余弦定理判斷A；利用余弦定理將角化邊，即可判斷B；由正弦定理將邊化角，結(jié)合誘導(dǎo)公式及二倍角公式判斷C；由正弦定理判斷D.【詳解】對(duì)于A：由余弦定理，所以為鈍角，則是鈍角三角形，故A正確；對(duì)于B：因?yàn)?，由余弦定理可得，所以整理得，所以或，故為等腰三角形或直角三角形，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，又，所以，所以，即，又，則，所以，所以，則，所以，故C正確；對(duì)于D：如圖，因?yàn)?，若有兩解，則，即，所以，則的取值范圍是，故D正確．故選：ACD第II卷三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_________..【答案】【解析】【分析】先求出，再由向量垂直的坐標(biāo)表示即可得解.【詳解】由題，因?yàn)?，所以故答案為?13.若復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可求出其共軛復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)椋?，所以的共軛?fù)數(shù)為.故答案為：14.設(shè)銳角的三內(nèi)角所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為，且，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件及三角形的內(nèi)角和定理，利用三角函數(shù)的性質(zhì)、正弦定理和二倍角公式即可求解.【詳解】銳角中，角所對(duì)的邊分別為,,且,.，∴,，∴由正弦定理可得：，∴,故的取值范圍為．故答案為：.四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.已知復(fù)數(shù)，．（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由實(shí)部為且虛部不為列式求解；（2）由實(shí)部與虛部均小于得到不等式組，求出的取值范圍．【小問(wèn)1詳解】是純虛數(shù)，故，解得【小問(wèn)2詳解】因?yàn)樵趶?fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以，解得，故的取值范圍為．16.已知在中，角的對(duì)邊分別為且．（1）求；（2）求的大小及的面積．【答案】（1）（2），【解析】【分析】（1）利用正弦定理將角化邊即可；（2）利用余弦定理及面積公式計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】由正弦定理，又，所以，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由余弦定理，又，所以，所以.17.如圖，在菱形中，.（1）若，求的值；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的線性運(yùn)算，將用基底來(lái)表示，即可求出的值；（2）將分別用基底來(lái)表示，然后在進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)樵诹庑沃校?故，故，所以.【小問(wèn)2詳解】顯然，所以……①因菱形，且，故.所以.故①式.故.18.從一張半徑為3的圓形鐵皮中裁剪出一塊扇形鐵皮（如圖1陰影部分），并卷成一個(gè)深度為米的圓錐筒（如圖2）．若所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為．（1）求圓錐筒的容積；（2）在（1）中的圓錐內(nèi)有一個(gè)底面圓半徑為的內(nèi)接圓柱（如圖3），求內(nèi)接圓柱側(cè)面積的最大值以及取最大值時(shí)的取值．【答案】（1）（2），12【解析】【分析】（1）根據(jù)圓錐的結(jié)構(gòu)特征，扇形即為為圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，求出圓錐的底面半徑和高，即可求出容積；（2）根據(jù)圓柱內(nèi)接圓錐關(guān)系，求出圓柱的高與底面半徑的關(guān)系式，進(jìn)而求出圓柱側(cè)面積的目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)特征求其最值即可.【小問(wèn)1詳解】設(shè)圓錐筒的半徑為，容積為，∵所裁剪的扇形鐵皮的圓心角為，∴，解得，∴，∴.∴圓錐筒的容積為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)內(nèi)接圓柱高為，由圓錐內(nèi)接圓柱的軸截面圖，得，所以內(nèi)接圓柱側(cè)面積，所以當(dāng)時(shí)內(nèi)接圓柱側(cè)面積最大，最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查圓錐與扇形展開(kāi)圖的關(guān)系、體積以及內(nèi)接圓柱側(cè)面積最值的計(jì)算，考查計(jì)算求解能力，屬于中檔題.19.在中，已知