2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.6-正弦定理和余弦定理-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.6-正弦定理和余弦定理-專項(xiàng)訓(xùn)練【原卷版】[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.在△ABC中，sin2A=sinA.12 B.?12 C.322.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a=2,c=23,A=π6，且b<cA.3 B.2 C.22 D.33.某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長度分別是114，110，A.是銳角三角形 B.是直角三角形 C.是鈍角三角形 D.不存在4.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sinC=45，c=4,B=A.1 B.2 C.1或7 D.2或145.（多選）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是()A.若acosA=B.若sin2A=C.若a=1，b=2，A=30D.若△ABC是銳角三角形，則sinA+6.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:47.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若A=π3，c=4,△ABC的面積為23，則△ABC8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a+b)?cosC=c(cosA+cosB)，a=4,9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,c=3（1）求角A；（2）若a=7,b+c=19,求△ABC的面積[B級綜合運(yùn)用]10.在△ABC中，B=π4，BC邊上的高等于13A.31010 B.1010 C.?101011.（多選）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3cA.A=πB.A=πC.當(dāng)a=4時(shí)，△ABC面積的最大值為23D.當(dāng)b?c=3a312.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家,大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“趙爽弦圖”——由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖①所示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在△ABC中，若AF=1，F(xiàn)D=2，則AB=.13.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,從下列四個(gè)條件①a=2c；②C=π6；③cosB=?24；④b=7中選出三個(gè)條件，能使?jié)M足所選條件的14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且3a?2c（1）求角C；（2）設(shè)AC=6，BC=4，若P為AB上一點(diǎn)，且滿足AP=CP，求AP的長.[C級素養(yǎng)提升]15.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a,b,c,且a=6,4sinB=5sinC,A=2C，則△ABC的周長為，若O為△ABC的內(nèi)心，則16.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且滿足①C=2B;②bcosA=acos（1）從①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；（2）若D為線段AB上一點(diǎn)，且∠BCD=12B，CD=4注:若（1）中選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.6-正弦定理和余弦定理-專項(xiàng)訓(xùn)練【解析版】[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.在△ABC中，sin2A=sin2B+A.12 B.?12 C.32[解析]選B.因?yàn)閟in2A=所以由正弦定理得a2=則cosA=b2.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a=2,c=23,A=π6，且b<c，則b=A.3 B.2 C.22 D.3[解析]選B.由余弦定理得，a2=b2+c2?2bccosA?4=b2+12?6b，即b23.某人要制作一個(gè)三角形，要求它的三條高的長度分別是114，110，15A.是銳角三角形 B.是直角三角形 C.是鈍角三角形 D.不存在[解析]選C.設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a,b,c，且a,b,c邊上的高分別為114,110,1則12a?令a=14，則b=10，c=5,所以cosA=100+25?1962×10×5<0，所以A4.已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sinC=45，c=4,B=π4A.1 B.2 C.1或7 D.2或14[解析]選C.由csinC=bsin因?yàn)閟inC=45，所以cosC=?3所以sinA=sin(B+C)=sinπ4cosC+所以S△ABC=12bc5.（多選）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是(AD)A.若acosA=B.若sin2A=C.若a=1，b=2，A=30D.若△ABC是銳角三角形，則sinA+[解析]選AD.由正弦定理可知asinA=bsin所以acosA=asinA，可得tanA=1因?yàn)?A∈(0,2π)，2B∈(0,2π)，且內(nèi)角2A，2B所以由sin2A=sin2B可知，2A=2B或2A+2B=π，即A=B所以△ABC為等腰三角形或直角三角形，B錯誤；由正弦定理可得sinB=b因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=因?yàn)椤鰽BC是銳角三角形，所以A+B>π2即π2>A>又y=sinx在(0,所以sinA>sin(πsin(π2?A)=cos6.在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4[解析]設(shè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,因?yàn)閟inA:sinB:sinC=3:2:4，所以a:b:c=3:2:4，設(shè)a=3k,b=2k,c=4k,k>07.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,若A=π3，c=4,△ABC的面積為23，則△ABC[解析]由S△ABC=12bcsinA由余弦定理a2=b2+所以a=23,由正弦定理，得△ABC外接圓的半徑R=a8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且(a+b)?cosC=c(cosA+cosB)，a=4,[解析]由正弦定理得(sinA+所以sinAcos所以sinAcosC?sinC又A，B，C是三角形的內(nèi)角，A?C+C?B=A?B∈(?π,π)所以A?C=C?B，所以A+B=2C，所以C=π3，由余弦定理得c2=a9.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,c=3（1）求角A；[答案]解：因?yàn)閏=3asinC?ccos又sinC≠0,所以1=3sinA?cos又A∈(0,π)，所以A=（2）若a=7,b+c=19,求△ABC的面積[答案]因?yàn)閍=7,b+c=19,A=所以由a2=b2+c2?2bccosA所以S=12[B級綜合運(yùn)用]10.在△ABC中，B=π4，BC邊上的高等于13BC，則A.31010 B.1010 C.?1010[解析]選C.設(shè)△ABC中角A，B，C的對邊分別是a,b,c，由題意可得13a=csinπ4=22c,則a=322c11.（多選）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且3cacosA.A=πB.A=πC.當(dāng)a=4時(shí)，△ABC面積的最大值為23D.當(dāng)b?c=3a3[解析]選BD.由3cacosB=tanA+tan即3(tanA+tanB)所以tanA=3,又A∈(0,π)若a=4，由b2+c2?即bc≤16，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=4時(shí)，等號成立，所以S△ABC=即△ABC面積的最大值為43由b?c=3a3得b=c+3a3，將其代入所以(3c?a)(3c+2a)=0，因?yàn)閍>0，c>0即b=2c，所以滿足b2=a2+12.趙爽是我國古代數(shù)學(xué)家,大約在公元222年，他為《周髀算經(jīng)》一書作序時(shí)，介紹了“趙爽弦圖”——由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖①所示.類比“趙爽弦圖”，可構(gòu)造如圖②所示的圖形，它是由3個(gè)全等的三角形與中間一個(gè)小等邊三角形拼成的一個(gè)大等邊三角形.在△ABC中，若AF=1，F(xiàn)D=2，則AB=13.[解析]由題意△EFD為等邊三角形，則∠EDA=π3，所以∠BDA=2π3，根據(jù)條件△AFC與△BDA全等，所以AF=BD=1.在△ABD中，AD=3，BD=1，所以A13.已知△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,從下列四個(gè)條件①a=2c；②C=π6；③cosB=?24；④b=7中選出三個(gè)條件，能使?jié)M足所選條件的△ABC存在且唯一，你選擇的三個(gè)條件是①③④（填寫相應(yīng)的序號），所選三個(gè)條件下的c[解析]選①②④或①②③，由a=2c及正弦定理，得sinA=2sinC=2×12=22,所以A=π4或A=3π4，不滿足題意；選①③④，由余弦定理，得cosB=a2+c2?b14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c,且3a?2c（1）求角C；[答案]解：因?yàn)?a?2csin所以由正弦定理可得sinC(12sinB+32cosB)=32sinA所以sinC=3cosC又因?yàn)镃∈(0,π),所以C=（2）設(shè)AC=6，BC=4，若P為AB上一點(diǎn)，且滿足AP=CP，求AP的長.[答案]因?yàn)锳C=6，BC=4，所以由余弦定理得AB2=AC2解得AB=27（負(fù)值舍去），所以cosA=設(shè)AP=x,則cosA=62+x故AP的長為372[C級素養(yǎng)提升]15.已知△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a,b,c,且a=6,4sinB=5sinC,A=2C，則△ABC的周長為15，若O為△ABC的內(nèi)心，則[解析]由4sinB=5sinC,得4sin(A+C)=5sinC,即4(sinAcosC+cosAsinC)=5sinC.又A=2C，所以4(sin2CcosC+cos2CsinC)=5sinC，即4[2sinCcos2C+(2cos2C?1)sinC]=5sinC.因?yàn)锳=2C設(shè)△ABC內(nèi)切圓的半徑為r,則有12absinC=12(a+b+c)?r,即1216.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c,且滿足①C=2B;②bcosA=acos（1）從①②③中選取兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立；[答案]解：①③?②.由③及余弦定理的推論，得cosB=a因?yàn)锽∈(0,π)，所以B=由①C=2B，可得C=π2所以A=π4=B，則有所以bcosA=a①②?③.由②及正弦定理，得sinBcos所以sin(A?B)=0因?yàn)锳，B∈(0,π)，