2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.7-解三角形的應(yīng)用-專項訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.7-解三角形的應(yīng)用-專項訓(xùn)練基礎(chǔ)鞏固練1.已知A,B兩地間的距離為10km,B,C兩地間的距離為20km,現(xiàn)測得∠ABC=120°,則A,C兩地間的距離為()A.10km B.103kmC.105km D.107km2.設(shè)M,N為某海邊相鄰的兩座山峰,到海平面的距離分別為100米,50米.現(xiàn)欲在M,N之間架設(shè)高壓電網(wǎng),須計算M,N之間的距離.勘測人員在海平面上選取一點(diǎn)P,利用測角儀從P點(diǎn)測得M,N點(diǎn)的仰角分別為30°,45°,并從P點(diǎn)觀測到M,N點(diǎn)的視角為45°,則M,N之間的距離為()A.5010米 B.5014米C.5022米 D.5026米3.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi),歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕,仍巍然屹立,是中國現(xiàn)存最早的磚塔.如圖,為測量塔的總高度AB,選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點(diǎn)C與D,現(xiàn)測得∠BCD=30°,∠BDC=45°,CD=32m,在C點(diǎn)測得塔頂A的仰角為60°,則塔的總高度為()A.(96-326)m B.(96-323)mC.(92-322)m D.(92-323)m第3題圖第4題圖4.(多選題)如圖所示,為了測量A,B兩處島嶼間的距離,小明在D處觀測到A,B分別在D處的北偏西15°、北偏東45°方向,再往正東方向行駛30海里至C處,觀測B在C處的正北方向,A在C處的北偏西60°方向,則下列結(jié)論正確的有()A.∠CAD=60°B.A,D之間的距離為152海里C.A,B兩處島嶼間的距離為156海里D.B,D之間的距離為303海里5.(多選題)某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°,距離為126nmile;在A處看燈塔C在貨輪的北偏西30°,距離為83nmile.貨輪由A處向正北方向航行到D處時,再看燈塔B在南偏東60°的方向上,則下列說法正確的有()A.A處與D處之間的距離是24nmileB.燈塔C與D處之間的距離是83nmileC.燈塔C在D處的西偏南60°D.D在燈塔B的北偏西30°6.已知甲船位于小島A的南偏西30°的B處,乙船位于小島A處,AB=20千米,甲船沿BA的方向以每小時6千米的速度行駛,同時乙船以每小時8千米的速度沿正東方向勻速行駛,當(dāng)甲、乙兩船相距最近時,他們行駛的時間為小時.

7.如圖,從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B,C的俯角分別為67°,30°,此時氣球的高是92m,則河流的寬度BC約等于m.(用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù):sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,3≈1.73)

8.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象,被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”,我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞.若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,B兩點(diǎn)間的距離,現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C,D,測得CD=50m,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,求B,D兩點(diǎn)間的距離及A,B兩點(diǎn)間的距離.綜合提升練9.如圖,一輛汽車在一條水平的公路上沿正西方向勻速行駛,在公路北側(cè)遠(yuǎn)處一座高900米的山頂D測得點(diǎn)A在東偏南30°方向上,過一分鐘后測得點(diǎn)B在山頂D的東偏南60°方向上,俯角為45°,則該車的行駛速度為()A.15米/秒 B.153米/秒C.20米/秒 D.203米/秒10.“寸影千里”法是《周髀算經(jīng)》中記載的一種遠(yuǎn)距離測量的估算方法,其具體方法是在同一天(如夏至)的正午,于兩地分別豎起同高的標(biāo)桿,然后測量標(biāo)桿的影長,并根據(jù)“日影差一寸,實(shí)地相距千里”的原則推算兩地距離.如圖,某人在夏至的正午分別在同一水平面上的A,B兩地豎起高度均為a寸的標(biāo)桿AE與BF,AC與BD分別為標(biāo)桿AE與BF在地面的影長,再按影長AC與BD的差結(jié)合“寸影千里”來推算A,B兩地的距離.記∠CEA=α,∠BDF=ββ<π2-α,則按照“寸影千里”的原則,AA.1B.1C.1D.111.說起延安革命紀(jì)念地景區(qū),可謂是家喻戶曉,它由寶塔山、棗園革命舊址、楊家?guī)X革命舊址、中共中央西北局舊址、延安革命紀(jì)念館組成.尤其寶塔山,它可是圣地延安的標(biāo)志,也是中國革命的搖籃,見證了中國革命的進(jìn)程,在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖,寶塔山的坡度比為7∶3(坡度比即坡面的垂直高度和水平寬度的比),在山坡A處測得∠CAD=15°,從A處沿山坡往上前進(jìn)66m到達(dá)B處,在山坡B處測得∠CBD=30°,則寶塔CD的高為()A.44m B.42m C.48m D.46m12.(多選題)某同學(xué)為測量教學(xué)樓的高度,先在地面選擇一點(diǎn)C,測量出對教學(xué)樓AB的仰角∠ACB=α,再分別執(zhí)行如下四種測量方案,則利用測量數(shù)據(jù)可表示出教學(xué)樓高度的方案有()方案A方案B,C方案DA.從點(diǎn)C向教學(xué)樓前進(jìn)a米到達(dá)點(diǎn)D,測量出角∠ADB=βB.在地面上另選點(diǎn)D,測量出∠ACD=β,∠ADC=γ,CD=a米C.在地面上另選點(diǎn)D,測量出∠BDC=β,CD=a米D.從過點(diǎn)C的直線上(不過點(diǎn)B)另選點(diǎn)D,E,測量出CD=2DE=a米,∠ADB=β,∠AEB=γ13.如圖,一位同學(xué)從P1處觀測塔頂B及旗桿頂A,得仰角分別為α和90°-α.后退lm至點(diǎn)P2處再觀測塔頂B,仰角變?yōu)樵瓉淼囊话?設(shè)塔CB和旗桿BA都垂直于地面,且C,P1,P2三點(diǎn)在同一條水平線上,則塔BC的高為m;旗桿BA的高為m(用含有l(wèi)和α的式子表示).

14.某公園要建造如圖所示的綠地OABC,OA,OC為互相垂直的墻體,已有材料可建成的圍欄AB與BC的總長度為12米,且∠BAO=∠BCO.設(shè)∠BAO=α,0<α<π2(1)當(dāng)AB=3,α=5π12時,求(2)當(dāng)AB=6時,求綠地OABC面積S的最大值及此時α的值.創(chuàng)新應(yīng)用練15.魏晉時期劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是關(guān)于測量的數(shù)學(xué)著作,其中第一題是測量海島的高.如圖,點(diǎn)E,H,G在水平線AC上,DE和FG是兩個垂直于水平面且等高的測量標(biāo)桿的高度,稱為“表高”,EG稱為“表距”,GC和EH都稱為“表目距”,GC與EH的差稱為“表目距的差”,則海島的高AB=()A.表高×表距表目距的差+表高 B.C.表高×表距表目距的差+表距 D.16.汽車最小轉(zhuǎn)彎半徑是指當(dāng)轉(zhuǎn)向盤轉(zhuǎn)到極限位置,汽車以最低穩(wěn)定車速轉(zhuǎn)向行駛時,外側(cè)轉(zhuǎn)向輪的中心平面在支承平面上滾過的軌跡圓半徑,下圖中的BC即是.已知某車在低速前進(jìn)時,圖中A處的輪胎行進(jìn)方向與AC垂直,B處的輪胎前進(jìn)方向與BC垂直,軸距AB為2.55米,方向盤轉(zhuǎn)到極限時,輪子方向偏了30°,則該車的最小轉(zhuǎn)彎半徑BC為米.

17.記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知b2=ac,點(diǎn)D在邊AC上,BDsin∠ABC=asinC.(1)證明:BD=b.(2)若AD=2DC,求cos∠ABC的值.參考答案1.D2.A3.B4.BC5.ABC6.101378.解在△BCD中,∠BCD=∠ACB+∠DCA=135°,則∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得CDsin所以BD=CD·sin∠BCDsin在△ACD中,∠ADC=∠ADB+∠BDC=150°,則∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=50m.在△ABD中,AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB=2500+5000-2×50×502×-22所以AB=505m.9.A10.C11.A12.ABD13.lsinαl14.解(1)如圖,連接AC.在△ABC中,AB=3,BC=9,∠ABC=2π-5π12?5π12?π2=2π3,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-因此AC的長為313米.(2)由題意知,BC=AB=6,∠ACB=∠CAB,∠ABC=2π-2α-π2=3π2-2α,所以∠OAC=∠OCA=π4.在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC=72-72cos3π2-2α=72+72sin2α,所以S△AOC=14AC2=18+18sin2α,S△ABC=12×6×6×sin3π2-2α=-18cos2α,所以S=S△ABC+S△AOC=-18cos2α+18+18sin2α=182·sin2α-π4+18,0<α<π2.當(dāng)2α-π4=π2,即α=15.A16.5.117.(1)證明在△ABC中,由正弦定理,得BD·b=ac.又b2=ac,所以BD·b=b2,即BD=b.(2)解因?yàn)锳D=2DC,所以AD=23b,DC=13在△ABD中,由余弦定理,得cos∠ADB=DA在△BCD中,由余弦定理,得cos∠BDC=D因?yàn)椤螦DB+∠BDC=π,所以23b即113b2=2a2+c2又b2=ac,所以113ac=2a2+c