2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.7-拋物線-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】　　　

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.7-拋物線-專項(xiàng)訓(xùn)練（原卷版）【練基礎(chǔ)】一、單選題1．（2024春·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．2．（2024·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．3 B．4 C．5 D．63．（2024·北京平谷·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A． B． C．4 D．4．（2024·新疆·統(tǒng)考一模）若是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn)，的最小值為，且，是拋物線上兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（

）A．3 B．2 C． D．5．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)與圓相切時(shí)，的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．6．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈?極簡和雕塑般的氣質(zhì).若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線的一部分，為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2024·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．8．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點(diǎn)A，B（橫坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)A在第一象限），為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與垂直的直線與相交于點(diǎn)M．若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12二、多選題9．（2024·安徽·統(tǒng)考一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上，連接并延長，與交于點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)C．直線與相切 D．在點(diǎn)處的切線與直線平行10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程為 B．若，則的最小值為C．若，則的周長的最小值為11 D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得為鈍角11．（2024·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線（p＞0）的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線過點(diǎn)F交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，直線過點(diǎn)B交C于另一點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，直線AM交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)N，則（

）A．C的方程為 B．C． D．12．（2024·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則B．若，則直線l的傾斜角為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切三、填空題13．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，則__________．14．（2024·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，以F為焦點(diǎn)的拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若MF垂直于x軸，則該橢圓的離心率為______.15．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______．16．（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接分別交拋物線于兩點(diǎn)，若對(duì)任意直線，總存在，使得成立，則該拋物線方程為______.四、解答題17．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知拋物線，點(diǎn)在C上，A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為M，過M的直線l與C交于，，M為P，Q的中點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最大值．18．（2024·山東日照·統(tǒng)考一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為為上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于動(dòng)直線，垂足為，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【提能力】一、單選題19．（2024·陜西咸陽·?？家荒＃┰O(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（

）A．1 B．2 C．3 D．420．（2024春·福建南平·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過拋物線（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，設(shè)，，若n，，成等比數(shù)列，則（

）A． B．3C．3或 D．21．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則下列說法不正確的是（

）A．橢圓E的焦距是2 B．橢圓E的離心率是C．拋物線C的準(zhǔn)線方程是x=-1 D．拋物線C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是422．（2024秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線l交于點(diǎn)D，若，則p=（

）A．1 B． C．2 D．323．（2024·四川成都·成都七中?？级＃┮阎c(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．24．（2022·四川成都·成都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為任一動(dòng)點(diǎn)．條件：直線與直線相交于點(diǎn)；條件：動(dòng)點(diǎn)在拋物線上．則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件25．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，圓的半徑為1，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．1026．（2024·陜西西安·西安市東方中學(xué)?？家荒＃┮阎獟佄锞€：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8二、多選題27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線上一點(diǎn)A(1，-4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程是B．過C的焦點(diǎn)的最短弦長為8C．直線MN過定點(diǎn)(0，4)D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，拋物線．過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線分別與交于另一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．B．直線的斜率為C．若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與的夾角為D．若為拋物線上位于軸上方的一點(diǎn)，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積為229．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值為4C．為定值 D．30．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，曲線在處的切線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則（

）A．到距離等于4 B．C．是等腰三角形 D．的最小值為4三、填空題31．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）若拋物線上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)和到x軸的距離分別為10和6，則p的值為______.32．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，直線l的傾斜角，l與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，過F作l的垂線，垂足為D，P為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．33．（2024·河南·長葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在D上，PA與l垂直，垂足為A，若，則的面積等于______.34．（2024·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，記.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有__________.四、解答題35．（2024·浙江嘉興·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，過焦點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且.(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，直線，分別交準(zhǔn)線于，兩點(diǎn)，證明：以線段為直徑的圓過定點(diǎn).36．（2024春·廣東揭陽·高三?？茧A段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)F關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)恰好在y軸上．(1)求拋物線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線與x軸交于點(diǎn)C，若，求的最大值．37．（2024·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，且與軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)，分別作直線的垂線，垂足依次為，，動(dòng)點(diǎn)在上.(1)當(dāng)，且為線段的中點(diǎn)時(shí)，證明：；(2)記直線，，的斜率分別為，，，是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.38．（2022·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，其焦點(diǎn)與準(zhǔn)線的距離為，若直線與交于兩點(diǎn)（直線不垂直于軸），且直線與另一個(gè)交點(diǎn)為，直線與另一個(gè)交點(diǎn).(1)求拋物線的方程；(2)若點(diǎn)，滿足恒成立，求證：直線過定點(diǎn).2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-8.7-拋物線-專項(xiàng)訓(xùn)練（解析版）【練基礎(chǔ)】單選題1．（2024春·全國·高三校聯(lián)考）如圖1所示，拋物面天線是指由拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面）反射器和位于焦點(diǎn)上的照射器（饋源，通常采用喇叭天線）組成的單反射面型天線，廣泛應(yīng)用于微波和衛(wèi)星通訊等領(lǐng)域，具有結(jié)構(gòu)簡單、方向性強(qiáng)、工作頻帶寬等特點(diǎn)．圖2是圖1的軸截面，A，B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，F(xiàn)是拋物線的焦點(diǎn)，∠AFB是饋源的方向角，記為，焦點(diǎn)F到頂點(diǎn)的距離f與口徑d的比值稱為拋物面天線的焦徑比，它直接影響天線的效率與信噪比等．如果某拋物面天線饋源的方向角滿足，，則其焦徑比為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得，根據(jù)，解得與的關(guān)系，即可得出．【詳解】如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，，，代入拋物線方程可得：，解得，由于，得或（舍）又，化為：，解得或（舍）.故選：C.2．（2024·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知F為拋物線的焦點(diǎn)，A為C上的一點(diǎn)，中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，則（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根據(jù)中點(diǎn)的橫坐標(biāo)求出點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而由焦半徑公式求出答案.【詳解】由題意得：，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故，解得：，由拋物線的焦半徑可知：.故選：B3．（2024·北京平谷·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，并且經(jīng)過點(diǎn)，若點(diǎn)P到該拋物線焦點(diǎn)的距離為2，則（

）A． B． C．4 D．【答案】D【分析】由焦半徑公式列出方程，求出，得到，求出的長.【詳解】拋物線準(zhǔn)線方程為，由焦半徑可知：，解得：.則，此時(shí)，則.故選：D4．（2024·新疆·統(tǒng)考一模）若是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上任意一點(diǎn)，的最小值為，且，是拋物線上兩點(diǎn)，，則線段的中點(diǎn)到軸的距離為（

）A．3 B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，利用拋物線的定義和梯形的中位線即可求解.【詳解】根據(jù)題意可知如圖，取AB中點(diǎn)E，分別過點(diǎn)A、B、E作于點(diǎn)D、C、G，DG與軸交于點(diǎn)H.根據(jù)拋物線的定義可得：.因?yàn)镚E為梯形ABCD的中位線，所以所以線段的中點(diǎn)到軸的距離.故選：B5．（2024·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，當(dāng)與圓相切時(shí)，的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為，由直線與圓相切可得，再聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合焦半徑公式即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知，設(shè)直線的方程為.因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到的距離，解得，所以直線的方程為，聯(lián)立，得，則，所以的中點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離為.故選:D6．（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）如圖1，某建筑物的屋頂像拋物線，建筑師通過拋物線的設(shè)計(jì)元素賦予了這座建筑輕盈?極簡和雕塑般的氣質(zhì).若將該建筑外形弧線的一段按照一定的比例處理后可看成圖2所示的拋物線的一部分，為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線的焦點(diǎn)，若，且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，由得出點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)焦半徑公式得，再由求得．【詳解】由題意知，設(shè)，則，由拋物線的幾何性質(zhì)知，則，所以，所以，解得.故選：A．7．（2024·遼寧·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在C上，點(diǎn)，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由拋物線的定義可得，求得，，由得∠MAF＝∠AMN，在△AMF中由正弦定理求得，即可得到答案．【詳解】由題意知點(diǎn)A為拋物線C的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，如圖，過點(diǎn)M作MN垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)N，令，則，由拋物線的定義可得，所以，所以．又，所以∠MAF＝∠AMN，所以．在△AMF中，由正弦定理得，所以，所以．故選：B．8．（2022·四川雅安·統(tǒng)考一模）過拋物線的焦點(diǎn)F且傾斜角為銳角的直線與C交于兩點(diǎn)A，B（橫坐標(biāo)分別為，，點(diǎn)A在第一象限），為C的準(zhǔn)線，過點(diǎn)A與垂直的直線與相交于點(diǎn)M．若，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【分析】由已知可求得直線的斜率為，則直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線的方程，可求出，，即可解得結(jié)果.【詳解】設(shè)直線的斜率為，傾斜角為，.由拋物線的定義知，，又，所以為等邊三角形，且軸，所以，則.，則直線的方程為，聯(lián)立直線的方程與拋物線的方程，可得，解得，，顯然，所以，，所以，.故選：C.二、多選題9．（2024·安徽·統(tǒng)考一模）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在拋物線上，連接并延長，與交于點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線方程為 B．點(diǎn)為線段的中點(diǎn)C．直線與相切 D．在點(diǎn)處的切線與直線平行【答案】BCD【分析】將代入拋物線得，則得到其準(zhǔn)線方程，則可判斷A，聯(lián)立直線的方程與拋物線方程即可得到，即可判斷B，利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在點(diǎn)處的切線方程，令，則可判斷C，再次利用導(dǎo)數(shù)求出拋物線在處的切線斜率，則可判斷D.【詳解】對(duì)A，根據(jù)中點(diǎn)公式得，將其代入得，則，所以拋物線的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤，對(duì)B，，則直線的斜率為，則直線的方程為，將其代入得，解得或0（舍去），此時(shí)，則，所以為中點(diǎn)，故B正確；對(duì)C，，即，則，故拋物線在點(diǎn)處的切線的斜率為，故切線方程為，令得，所以直線為的切線，故C正確；對(duì)D，拋物線在處的切線方程的斜率為，而直線的斜率為，則兩直線的斜率相等，且兩直線顯然不可能重合，所以在點(diǎn)處的切線與直線平行.故選：BCD.10．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上，P為C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程為 B．若，則的最小值為C．若，則的周長的最小值為11 D．在x軸上存在點(diǎn)E，使得為鈍角【答案】BC【分析】根據(jù)題意求出，即可求出準(zhǔn)線，即可判斷A；設(shè)點(diǎn)，，則，根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷B；過點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，再結(jié)合圖象，即可求得的周長的最小值，即可判斷C；設(shè)，再判斷是否有解即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以，解得，所以拋物線C的方程為，所以C的準(zhǔn)線方程為，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：設(shè)點(diǎn)，，則，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，故B正確；C選項(xiàng)：過點(diǎn)P作垂直于C的準(zhǔn)線，垂足為N，連接MN，則，易知，，所以，所以的周長為，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，N三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，所以的周長的最小值為11，故C正確；D選項(xiàng)：設(shè)，則，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在C上，所以，即，所以，所以，故不可能為鈍角，故D錯(cuò)誤.故選：BC.11．（2024·遼寧·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線（p＞0）的焦點(diǎn)為F，斜率為的直線過點(diǎn)F交C于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4，直線過點(diǎn)B交C于另一點(diǎn)M（異于點(diǎn)A），交C的準(zhǔn)線于點(diǎn)D，直線AM交準(zhǔn)線于點(diǎn)E，準(zhǔn)線交y軸于點(diǎn)N，則（

）A．C的方程為 B．C． D．【答案】ABD【分析】對(duì)于A，根據(jù)題意設(shè)得的坐標(biāo)，再由直線的斜率求得，從而求得拋物線的方程，由此判斷即可；對(duì)于B，聯(lián)立直線與拋物線的方程，求得的坐標(biāo)，進(jìn)而求得，由此即可判斷；對(duì)于D，設(shè)，從而利用直接法求得的坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式，從而證得，由此判斷即可；對(duì)于C，舉反例排除即可.【詳解】對(duì)于A，由題意得，，所以，整理得p2＋6p－16=0，又p＞0，解得p=2，所以C的方程為x2=4y，故A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知雙曲線C的準(zhǔn)線方程為y=－1，，，直線l1的方程為，聯(lián)立，解得x=－1或x=4，所以，則，故B正確；對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)，由題意知m≠±1且m≠±4，所以直線，令y=－1，得，即，故，同理可得，故，所以，故D正確；對(duì)于C，當(dāng)m=2時(shí)，，，則，，則，故C錯(cuò)誤．故選：ABD．.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是設(shè)，從而利用熟練的運(yùn)算能力將的坐標(biāo)表示為關(guān)于的表達(dá)式，從而得解.12．（2024·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于，兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，作MN垂直于準(zhǔn)線，垂足為N，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若直線l經(jīng)過焦點(diǎn)F，且，則B．若，則直線l的傾斜角為C．若以AB為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，則的最小值為D．若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相切【答案】BC【分析】A選項(xiàng)，考慮直線斜率為0和不為0兩種情況，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，由列出方程，求出，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，先得到直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，與A一樣，設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，結(jié)合求出直線l的斜率，得到傾斜角；C選項(xiàng)，設(shè)，由拋物線定義結(jié)合基本不等式得到的最小值；D選項(xiàng)，與C一樣，考慮直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，得到圓M與準(zhǔn)線相離，D錯(cuò)誤.【詳解】A選項(xiàng)，由題意得：，準(zhǔn)線方程為，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，則，所以，解得：，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以三點(diǎn)共線，即直線經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，此時(shí)，直線l與C只有1個(gè)交點(diǎn)，不合題意，故設(shè)直線，與聯(lián)立得：，故，因?yàn)?，所以，代入中，得到，即，因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，故，即，，解得：故直線l的斜率為，設(shè)直線l的傾斜角為，則，解得：，B正確；C選項(xiàng)，設(shè)，過點(diǎn)作⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)，過點(diǎn)作⊥準(zhǔn)線于點(diǎn)P，因?yàn)橐訟B為直徑的圓M經(jīng)過焦點(diǎn)F，所以⊥，則，由拋物線定義可知：，由基本不等式得：，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故，即，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)直線l不經(jīng)過焦點(diǎn)時(shí)，設(shè)，由三角形三邊關(guān)系可知：，由拋物線定義可知結(jié)合C選項(xiàng)可知：，即，若以AB為直徑作圓M，則圓M與準(zhǔn)線相離，D錯(cuò)誤.故選：BC【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．三、填空題13．（2024·湖北·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知為拋物線上一點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，且直線與的傾斜角互補(bǔ)，則__________．【答案】2【分析】由題可得，然后利用韋達(dá)定理法，兩點(diǎn)間距離公式結(jié)合條件即得.【詳解】由點(diǎn)在拋物線上得：，即,所以拋物線C的方程為：,設(shè)直線的方程為，，,由直線與的傾斜角互補(bǔ)得，即，所以,聯(lián)立，得，所以，,所以，即，所以,所以．故答案為：2.14．（2024·山東威?！そy(tǒng)考一模）已知橢圓的右焦點(diǎn)為F，以F為焦點(diǎn)的拋物線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為M，若MF垂直于x軸，則該橢圓的離心率為______.【答案】##【分析】利用拋物線和橢圓交點(diǎn)及簡單性質(zhì),列出關(guān)系式,求解橢圓離心率即可.【詳解】根據(jù)橢圓和拋物線對(duì)稱性及軸，由在拋物線上得，在橢圓上得.則由條件得：且即得.解得（舍去），所以故答案為:15．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)為軸正半軸上一點(diǎn)，且，若，則的準(zhǔn)線方程為______．【答案】【分析】由題知，進(jìn)而根據(jù)計(jì)算即可.【詳解】解：如圖，由題知，將代入方程得，故所以，，所以，因?yàn)?，整理得，解得（舍），所以，拋物線，準(zhǔn)線方程為：故答案為：16．（2024·重慶沙坪壩·重慶南開中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線為拋物線內(nèi)一點(diǎn)，不經(jīng)過點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，連接分別交拋物線于兩點(diǎn)，若對(duì)任意直線，總存在，使得成立，則該拋物線方程為______.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)推出，結(jié)合點(diǎn)在拋物線上可得，，即可求得p，即得答案.【詳解】由題意設(shè)，由可得：，可得：，同理可得：，則：（*）將兩點(diǎn)代入拋物線方程得，作差可得：，而，即，同理可得，，代入（*），可得，此時(shí)拋物線方程為，故答案為：四、解答題17．（2024·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模）已知拋物線，點(diǎn)在C上，A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)記為M，過M的直線l與C交于，，M為P，Q的中點(diǎn)．(1)當(dāng)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意解得拋物線方程，設(shè)直線方程，代入拋物線方程，利用M為P，Q的中點(diǎn)解出P，Q的坐標(biāo)，利用圓上三點(diǎn)求圓的方程；（2）把面積表示為的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求最大值.【詳解】（1）由點(diǎn)在C上，代入，解得，即．因?yàn)镸為A關(guān)于動(dòng)點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，所以．設(shè)直線，聯(lián)立整理得，則，，，由M為P，Q的中點(diǎn)，得，故，由，解得，由直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)O，得，則，解得，，即，，設(shè)外接圓的一般方程，代入，，，解得，，，即，即外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）由（1）可知，，A到直線的距離為，則面積，，由，解得，當(dāng)，，S單調(diào)遞增；當(dāng)，，S單調(diào)遞減；故，面積的最大值．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解答直線與拋物線的題目時(shí)，時(shí)常把兩個(gè)曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系；最值問題經(jīng)常轉(zhuǎn)化成函數(shù)問題處理.18．（2024·山東日照·統(tǒng)考一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為為上的動(dòng)點(diǎn)，垂直于動(dòng)直線，垂足為，當(dāng)為等邊三角形時(shí)，其面積為.(1)求的方程；(2)設(shè)為原點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相切，且與橢圓交于兩點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，試問：是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)正三角形得三角形的邊長，再根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解；（2）設(shè)，則，可得，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，設(shè)，，中點(diǎn)，由點(diǎn)差法可得，，從而可以求出.【詳解】（1）∵為等邊三角形時(shí)，其面積為，∴，解得，根據(jù)和拋物線的定義可知，落在準(zhǔn)線上，即，設(shè)準(zhǔn)線和軸交點(diǎn)為，易證，于是，∴的方程為；（2）假設(shè)存在，使得，則線為段的中點(diǎn)，設(shè)，依題意得，則，由可得，所以切線的斜率為，設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由，可得，所以，整理可得：，即，所以，可得，又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，此時(shí)三點(diǎn)共線，滿足為的中點(diǎn)，綜上，存在，使得點(diǎn)為的中點(diǎn)恒成立，.【提能力】一、單選題19．（2024·陜西咸陽·?？家荒＃┰O(shè)F為拋物線C：的焦點(diǎn)，點(diǎn)A在C上，且A到C焦點(diǎn)的距離為3，到y(tǒng)軸的距離為2，則p＝（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，求出拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，再利用定義求解作答.【詳解】拋物線C：的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程，顯然點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，由拋物線定義得：，所以.故選：B20．（2024春·福建南平·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）過拋物線（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線交拋物線C于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，設(shè)，，若n，，成等比數(shù)列，則（

）A． B．3C．3或 D．【答案】B【分析】由拋物線的定義及等比中項(xiàng)的性質(zhì)計(jì)算可得結(jié)果.【詳解】由n，，成等比數(shù)列，得．由拋物線的定義知，，，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以．故選：B.21．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）已知拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則下列說法不正確的是（

）A．橢圓E的焦距是2 B．橢圓E的離心率是C．拋物線C的準(zhǔn)線方程是x=-1 D．拋物線C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離是4【答案】D【分析】根據(jù)橢圓方程求出，求出焦距和離心率，根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合求出，就能求出曲線和焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離.【詳解】根據(jù)橢圓可得：所以橢圓E的焦距是，故A正確；橢圓E的離心率為，故B正確；又因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)為，拋物線的焦點(diǎn)F與橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)重合，即所以拋物線C的準(zhǔn)線方程是，故C正確；拋物線C的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離，故D不正確.故選：D22．（2024秋·廣西河池·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線）的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為l，過的直線與拋物線交于點(diǎn)A、B，與直線l交于點(diǎn)D，若，則p=（

）A．1 B． C．2 D．3【答案】D【分析】利用拋物線的定義，以及幾何關(guān)系可知，再利用數(shù)形結(jié)合可求的值.【詳解】如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為，作，，垂足分別為，，則.根據(jù)拋物線定義知,,又，所以，設(shè)，因?yàn)?，所以，則.所以,，又,可得,所以，所以,可得,即.故選：.23．（2024·四川成都·成都七中?？级＃┮阎c(diǎn)是拋物線的對(duì)稱軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn)，在拋物線上且滿足，當(dāng)取最大值時(shí)，點(diǎn)恰好在以為焦點(diǎn)的雙曲線上，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先利用兩點(diǎn)間距離表示，再結(jié)合基本不等式求最值，并且求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線上的點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)，，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí),，所以.故選：C24．（2022·四川成都·成都市第二十中學(xué)校?？家荒＃┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為任一動(dòng)點(diǎn)．條件：直線與直線相交于點(diǎn)；條件：動(dòng)點(diǎn)在拋物線上．則是的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】先分別將條件條件轉(zhuǎn)化為與實(shí)數(shù)對(duì)相關(guān)的解析式，進(jìn)而得到二者間的邏輯關(guān)系.【詳解】條件：直線與直線相交于點(diǎn)，則，則，整理得條件：動(dòng)點(diǎn)在拋物線上，則，則是的充分不必要條件.故選：A25．（2022·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在上，圓的半徑為1，過點(diǎn)的直線與圓相切于點(diǎn)，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】B【分析】由題作圖，由圖可得，根據(jù)拋物線定義可得等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，根據(jù)圖形可得最小值情況，從而可得的最小值.【詳解】解：因?yàn)閽佄锞€，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，如下圖所示：連接，過作垂直準(zhǔn)線于，則在直角中，，所以，由拋物線的定義得：，則由圖可得的最小值即拋物線頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，即，所以.故選：B.26．（2024·陜西西安·西安市東方中學(xué)校考一模）已知拋物線：的焦點(diǎn)為，拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】拋物線的準(zhǔn)線的方程為，過作于，根據(jù)拋物線的定義可知，則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，可求得最小值，答案可得.【詳解】解：拋物線：的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線的方程為，如圖，過作于，由拋物線的定義可知，所以則當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最小為.所以的最小值為.故選：C.二、多選題27．（2024·全國·高三專題練習(xí)）過拋物線上一點(diǎn)A(1，-4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則（

）A．C的準(zhǔn)線方程是B．過C的焦點(diǎn)的最短弦長為8C．直線MN過定點(diǎn)(0，4)D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為【答案】AD【分析】由題可得為，進(jìn)而判斷A，利用焦點(diǎn)弦的方程結(jié)合拋物線的定義結(jié)合條件可判斷B，設(shè)為，聯(lián)立拋物線利用韋達(dá)定理結(jié)合條件可得m、n的數(shù)量關(guān)系，可判斷C，由C分析所得的定點(diǎn)P，要使到直線的距離最大有，可得此時(shí)直線的方程判斷D.【詳解】將代入中得：，則為，所以的準(zhǔn)線方程是，故A正確；由題可知的焦點(diǎn)為，可設(shè)過的焦點(diǎn)的直線為，由，可得，設(shè)交點(diǎn)為，則，，所以，即過C的焦點(diǎn)的最短弦長為16，故B不正確；設(shè)，，直線為，聯(lián)立拋物線得：，所以，，又，所以，因?yàn)椋?，即，所以，整理得，故，得，所以直線為，所以直線過定點(diǎn)，故C不正確；當(dāng)時(shí)，到直線的距離最大，此時(shí)直線為，故D正確.故選：AD.28．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，，拋物線．過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，直線分別與交于另一點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．B．直線的斜率為C．若的面積為（為坐標(biāo)原點(diǎn)），則與的夾角為D．若為拋物線上位于軸上方的一點(diǎn)，，則當(dāng)取最大值時(shí)，的面積為2【答案】ACD【分析】A選項(xiàng)：，直線的方程為，由直線過點(diǎn)得即可解決；B選項(xiàng)：設(shè)，得直線的方程為直線過點(diǎn)得，同理即可解決；C選項(xiàng)：得，設(shè)，，又得即可；D選項(xiàng)：過作垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，由拋物線定義得直線與拋物線相切時(shí)，最大，設(shè)直線.得即可.【詳解】A選項(xiàng)：易知，，所以直線的方程為，（利用兩點(diǎn)式求解直線的方程）因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，A正確．B選項(xiàng)：設(shè)，，所以直線的方程為，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，同理可得，所以，故B錯(cuò)誤．C選項(xiàng)：，（利用B選項(xiàng)中）設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以與的夾角為，故C正確．D選項(xiàng)：易知為拋物線的焦點(diǎn)，過作垂直拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，如圖由拋物線的定義知，，即，當(dāng)取最大值時(shí)，取最小值，（正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用）即直線與拋物線相切．設(shè)直線的方程為，由得，所以，解得，此時(shí)，即，所以，又點(diǎn)在軸上方，故，所以，故D正確．故選：ACD【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：直線與拋物線的位置關(guān)系有三種：相交、相切、相離．判斷方法：把直線方程和拋物線方程聯(lián)立，當(dāng)?shù)玫降氖且辉畏匠虝r(shí)，根據(jù)來判斷直線與拋物線的位置關(guān)系，①若，則直線與拋物線相交；②若，則直線與拋物線相切；③若，則直線與拋物線相離．當(dāng)?shù)玫降氖且辉淮畏匠虝r(shí)，直線與拋物線交于一點(diǎn)，此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行（或重合）29．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸相交于點(diǎn)，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，且兩點(diǎn)在準(zhǔn)線上的投影點(diǎn)分別為，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．的最小值為4C．為定值 D．【答案】ABD【分析】由焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程，可判斷A正確；設(shè)直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，求出兩根之和及兩根之積，由拋物線的性質(zhì)可得弦長的表達(dá)式，再由參數(shù)的范圍可得其最小值，判斷B正確；分別表示出可判斷C不正確；表示出，，由可判斷D正確．【詳解】對(duì)于A，因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線，所以，則，故A正確；對(duì)于，拋物線，過焦點(diǎn)的直線為，則，整理可得，設(shè)，可得，，，所以，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，最小值為4，所以正確；對(duì)于C，，所以所以，所以C不正確；對(duì)于D，，，，所以，故D正確.故選：ABD.30．（2022·廣東韶關(guān)·統(tǒng)考一模）設(shè)是拋物線上一點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，在的準(zhǔn)線上的射影為，關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為，曲線在處的切線與準(zhǔn)線交于點(diǎn)，直線交直線于點(diǎn)，則（

）A．到距離等于4 B．C．是等腰三角形 D．的最小值為4【答案】BCD【分析】A選項(xiàng)根據(jù)拋物線方程得到焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離；B選項(xiàng)設(shè)，得到，，根據(jù)坐標(biāo)得到，或根據(jù)即可得到；C選項(xiàng)根據(jù)直線，的斜率相等得到，根據(jù)是線段中點(diǎn)，得到是線段的中點(diǎn)，最后利用和直角三角形的性質(zhì)得到即可；D選項(xiàng)設(shè)直線的方程為，得到，然后根據(jù)坐標(biāo)表示出，最后利用基本不等式求最值即可.【詳解】對(duì)于A，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線距離，A不正確.對(duì)于B，因?yàn)椋旱臏?zhǔn)線為：，焦點(diǎn)為，設(shè)，則，，所以，所以，（或由拋物線定義知，所以，）故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋蕴幍那芯€斜率，，而，所以，從而，又是線段中點(diǎn)，所以是線段的中點(diǎn)，又，所以，所以C正確.對(duì)于D，因?yàn)?，所以直線的方程為，令，得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最小值為4，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.三、填空題31．（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）若拋物線上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)和到x軸的距離分別為10和6，則p的值為______.【答案】2或18【分析】由拋物線的定義得點(diǎn)A的坐標(biāo)，代入拋物線的方程求解即可.【詳解】∵設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則，準(zhǔn)線l方程為：，∴由拋物線的定義知，，∴點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為，則，又∵點(diǎn)A在拋物線上，∴，解得：或.故答案為：2或18.32．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：的焦點(diǎn)為F，直線l的傾斜角，l與拋物線交于，兩點(diǎn)，且，過F作l的垂線，垂足為D，P為拋物線上任意一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】8【分析】先設(shè)出直線l的方程并代入拋物線方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系及已知條件得到直線l過點(diǎn)，進(jìn)而得到D在以FG為直徑的圓的上運(yùn)動(dòng)，最后利用拋物線的定義、三角形的三邊關(guān)系及垂線段最短求解．【詳解】如圖，設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，則可設(shè)l的方程為，聯(lián)立，整理得，∴，，∴，∴或（舍去），G的坐標(biāo)為．∵，直線l的傾斜角，點(diǎn)D在以FG為直徑的圓的上運(yùn)動(dòng)分別過P，D作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為點(diǎn)H，I，如圖根據(jù)拋物線的定義知，∴，當(dāng)點(diǎn)P為ID與拋物線E的交點(diǎn)時(shí)，最小．，∵l的傾斜角，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)最小為5，此時(shí)取最小值，故的最小值為8．故答案為：833．（2024·河南·長葛市第一高級(jí)中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在D上，PA與l垂直，垂足為A，若，則的面積等于______.【答案】【分析】根據(jù)拋物線的焦半徑可得為等邊三角形，即可求解邊長進(jìn)而得面積.【詳解】由以及可知,故為等邊三角形，所以因此故，所以，故答案為：34．（2024·湖南衡陽·?？寄M預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，圓與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，記.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，有；③可能是等腰直角三角形；其中命題中正確的有__________.【答案】①②【分析】聯(lián)立方程求得，結(jié)合可得，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，求得，即可求得，判斷①；當(dāng)時(shí)，由，求得的值，判斷②；分情況討論為等腰直角三角形情況，判斷③.【詳解】由圓與，聯(lián)立方程，解得或（舍），當(dāng)時(shí)，，所以，從而，即，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，所以，則，①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)三點(diǎn)共線，由于，所以，所以，由題意知，所以，故①正確；②當(dāng)時(shí)，即，所以，即，解得，又，得，所以②正確；③若是等腰直角三角形，則或或?yàn)橹苯牵驗(yàn)?，?dāng)時(shí)，則，得，此時(shí)，不是等腰直角三角形，由對(duì)稱性可知當(dāng)時(shí)，也不是等腰直角三角形，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)槭紫仁堑妊切?，由拋物線的對(duì)稱性可知點(diǎn)在軸上，此時(shí)，，,,即，故不是等腰直角三角形，綜上所述，不可能是等腰直角三角形，所以③錯(cuò)誤，故答案為：①②.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：題目中涉及到向量的運(yùn)算即，因此要利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算，表示出，則