專題1.6圖形的變化（1）（上海中考18個(gè)考點(diǎn)真題訓(xùn)練）中考數(shù)學(xué)考前30天迅速提分復(fù)習(xí)方案（上海專用）（解析版）

一．軸對(duì)稱的性質(zhì)（共1小題）1．（2004?上海）正六邊形是軸對(duì)稱圖形，它有6條對(duì)稱軸．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的特點(diǎn)可直接求解．【解答】解：正六邊形有6條對(duì)稱軸，分別是3條對(duì)角線和三組對(duì)邊的垂直平分線．∴正六邊形是軸對(duì)稱圖形，它有6條對(duì)稱軸．【點(diǎn)評(píng)】軸對(duì)稱圖形具有以下的性質(zhì)：（1）軸對(duì)稱圖形的兩部分是全等的；（2）對(duì)稱軸是連接兩個(gè)對(duì)稱點(diǎn)的線段的垂直平分線．二．關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共2小題）2．（2007?上海）如圖，在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，線段AB垂直于y軸，垂足為B，且AB＝2，如果將線段AB沿y軸翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)C處，那么點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是﹣2．【分析】此題首先能夠根據(jù)題意得到兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，再進(jìn)一步得到它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【解答】解：根據(jù)題意，得兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．則它們的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．即點(diǎn)C的橫坐標(biāo)是﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平面直角坐標(biāo)系中兩個(gè)關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)的有關(guān)性質(zhì)，學(xué)生需牢記有關(guān)性質(zhì)．3．（2000?上海）點(diǎn)A（﹣3，4）和點(diǎn)B（3，4）關(guān)于y軸對(duì)稱．【分析】關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)．【解答】解：根據(jù)已知，得點(diǎn)A和點(diǎn)B橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變．再根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，知兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．三．作圖-軸對(duì)稱變換（共1小題）4．（2005?上海）（1）在圖1所示編號(hào)為①、②、③、④的四個(gè)三角形中，關(guān)于y軸對(duì)稱的兩個(gè)三角形的編號(hào)為①，②；關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對(duì)稱的兩個(gè)三角形的編號(hào)為①，③；（2）在圖2中，畫出與△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1．【分析】（1）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到對(duì)稱軸的距離相等，可知1，2兩個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離相等可知1，3是中心對(duì)稱圖形；（2）從三角形三個(gè)頂點(diǎn)向x軸引垂線并延長相同的長度，找到對(duì)應(yīng)點(diǎn)，順次連接．【解答】解：（1）：①，②；①，③；（2）如圖：【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了軸對(duì)稱圖形，中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)以作圖方法，注意解這類題目時(shí)，找對(duì)應(yīng)點(diǎn)是關(guān)鍵．四．翻折變換（折疊問題）（共7小題）5．（2019?上海）如圖，在正方形ABCD中，E是邊AD的中點(diǎn)．將△ABE沿直線BE翻折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，聯(lián)結(jié)DF，那么∠EDF的正切值是2．【分析】由折疊可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB，由折疊的性質(zhì)以及三角形外角性質(zhì)，即可得到∠AEB＝∠EDF，進(jìn)而得到tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．【解答】解：如圖所示，由折疊可得AE＝FE，∠AEB＝∠FEB＝∠AEF，∵正方形ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝AD＝AB，∴DE＝FE，∴∠EDF＝∠EFD，又∵∠AEF是△DEF的外角，∴∠AEF＝∠EDF+∠EFD，∴∠EDF＝∠AEF，∴∠AEB＝∠EDF，∴tan∠EDF＝tan∠AEB＝＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問題，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．6．（2014?上海）如圖，已知在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，BE＝2CE，將矩形沿著過點(diǎn)E的直線翻折后，點(diǎn)C、D分別落在邊BC下方的點(diǎn)C′、D′處，且點(diǎn)C′、D′、B在同一條直線上，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，D′F與BE交于點(diǎn)G．設(shè)AB＝t，那么△EFG的周長為2t（用含t的代數(shù)式表示）．【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得CE＝C′E，再根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半判斷出∠EBC′＝30°，然后求出∠BGD′＝60°，根據(jù)對(duì)頂角相等可得∠FGE＝∠∠BGD′＝60°，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠AFG＝∠FGE，再求出∠EFG＝60°，然后判斷出△EFG是等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)表示出EF，即可得解．【解答】解：由翻折的性質(zhì)得，CE＝C′E，∵BE＝2CE，∴BE＝2C′E，又∵∠C′＝∠C＝90°，∴∠EBC′＝30°，∵∠FD′C′＝∠D＝90°，∴∠BGD′＝60°，∴∠FGE＝∠BGD′＝60°，∵AD∥BC，∴∠AFG＝∠FGE＝60°，∴∠EFG＝（180°﹣∠AFG）＝（180°﹣60°）＝60°，∴△EFG是等邊三角形，∵AB＝t，∴EF＝t÷＝t，∴△EFG的周長＝3×t＝2t．故答案為：2t．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，等邊三角形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)并判斷出△EFG是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．7．（2013?上海）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，tanC＝，如果將△ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處，直線l與邊BC交于點(diǎn)D，那么BD的長為．【分析】首先根據(jù)已知得出△ABC的高以及B′E的長，利用勾股定理求出BD即可．【解答】解：過點(diǎn)A作AQ⊥BC于點(diǎn)Q，∵AB＝AC，BC＝8，tanC＝，∴＝，QC＝BQ＝4，∴AQ＝6，∵將△ABC沿直線l翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)處，過B′點(diǎn)作B′E⊥BC于點(diǎn)E，∴B′E＝AQ＝3，∴＝，∴EC＝2，設(shè)BD＝x，則B′D＝x，∴DE＝8﹣x﹣2＝6﹣x，∴x2＝（6﹣x）2+32，解得：x＝，直線l與邊BC交于點(diǎn)D，那么BD的長為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理和銳角三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)已知表示出DE的長是解題關(guān)鍵．8．（2012?上海）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，點(diǎn)D在AC上，將△ADB沿直線BD翻折后，將點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，如果AD⊥ED，那么線段DE的長為．【分析】由在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，利用三角函數(shù)，即可求得AC的長，又由△ADB沿直線BD翻折后，將點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，AD⊥ED，根據(jù)折疊的性質(zhì)與垂直的定義，即可求得∠EDB與∠CDB的度數(shù)，繼而可得△BCD是等腰直角三角形，求得CD的長，繼而可求得答案．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AC＝＝＝，∵將△ADB沿直線BD翻折后，將點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，∴∠ADB＝∠EDB，DE＝AD，∵AD⊥ED，∴∠CDE＝∠ADE＝90°，∴∠EDB＝∠ADB＝＝135°，∴∠CDB＝∠EDB﹣∠CDE＝135°﹣90°＝45°，∵∠C＝90°，∴∠CBD＝∠CDB＝45°，∴CD＝BC＝1，∴DE＝AD＝AC﹣CD＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了折疊的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及等腰直角三角形性質(zhì)．此題難度適中，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意折疊中的對(duì)應(yīng)關(guān)系．9．（2009?上海）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，M為邊長BC上的點(diǎn)，連接AM，如圖，如果將△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)處，那么點(diǎn)M到AC的距離是2．【分析】如圖，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，根據(jù)折疊的性質(zhì)得AD＝AB＝3，∠BAM＝∠CAM，則AC＝2AD＝6，根據(jù)角平分線定理得ME＝MF，然后利用面積法得到MF?AB+ME?AC＝AB?AC，即3ME+6ME＝3×6，解得ME＝2．【解答】解：如圖，作ME⊥AC于E，MF⊥AB于F，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)，∵△ABM沿直線AM翻折后，點(diǎn)B恰好落在邊AC的中點(diǎn)D處，∴AD＝AB＝3，∠BAM＝∠CAM＝45°，∴AC＝2AD＝6，ME＝MF，∵S△ABM+S△AMC＝S△ABC，∴MF?AB+ME?AC＝AB?AC，∴3ME+6ME＝3×6，∴ME＝2，即點(diǎn)M到AC的距離是2．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．10．（2001?上海）如圖，在邊長為2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE為BC邊上的高，將△ABE沿AE所在直線翻折至△AGE，那么△AGE與四邊形AECD重疊部分的面積是2﹣2．【分析】陰影部分面積＝S△ABG﹣S△COG﹣S△ABE．【解答】解：在邊長為2的菱形ABCD中，∠B＝45°，AE為BC邊上的高，故AE＝，由折疊易得△ABG為等腰直角三角形，∴S△ABG＝BA?AG＝2，S△ABE＝1，∴CG＝2BE﹣BC＝2﹣2，∵AB∥CD，∴∠OCG＝∠B＝45°，又由折疊的性質(zhì)知，∠G＝∠B＝45°，∴CO＝OG＝2﹣．∴S△COG＝3﹣2，∴重疊部分的面積為2﹣1﹣（3﹣2）＝2﹣2．【點(diǎn)評(píng)】本題通過折疊變換考查學(xué)生的邏輯思維能力，解決此類問題，找到所求量的等量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵注意運(yùn)用相似三角形的面積比等于相似比的平方的性質(zhì)．11．（2005?上海）如圖，在三角形紙片ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，折疊該紙片，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕與AB，AC分別相交于點(diǎn)D和點(diǎn)E，則折痕DE的長為1．【分析】先根據(jù)，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3求出AB的長，再根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可知DE⊥AB，AE＝BE＝AB，再在Rt△ADE中，由DE＝AE?tan∠A即可得出DE的長．【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝3，∴AB＝＝＝2，∵△BDE是△ADE翻折而成，DE為折痕，∴DE⊥AB，AE＝BE＝AB＝×2＝，在Rt△ADE中，DE＝AE?tan∠A＝×tan30°＝×＝1．故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圖形翻折變換的性質(zhì)及三角函數(shù)的定義，熟知“折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等”是解答此題的關(guān)鍵．五．平移的性質(zhì)（共1小題）12．（2020?上海）如果存在一條線把一個(gè)圖形分割成兩個(gè)部分，使其中一個(gè)部分沿某個(gè)方向平移后能與另一個(gè)部分重合，那么我們把這個(gè)圖形叫做平移重合圖形．下列圖形中，平移重合圖形是（）A．平行四邊形 B．等腰梯形 C．正六邊形 D．圓【分析】證明平行四邊形是平移重合圖形即可．【解答】解：如圖，平行四邊形ABCD中，取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接EF．∵四邊形ABEF向右平移可以與四邊形EFDC重合，∴平行四邊形ABCD是平移重合圖形，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平移的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．六．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)（共6小題）13．（2021?上海）定義：在平面內(nèi)，一個(gè)點(diǎn)到圖形的距離是這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)圖上所有點(diǎn)的最短距離，在平面內(nèi)有一個(gè)正方形，邊長為2，中心為O，在正方形外有一點(diǎn)P，OP＝2，當(dāng)正方形繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，則點(diǎn)P到正方形的最短距離d的取值范圍為2﹣≤d≤1．【分析】由題意以及正方形的性質(zhì)得OP過正方形ABCD各邊的中點(diǎn)時(shí)，d最大，OP過正方形ABCD的頂點(diǎn)時(shí)，d最小，分別求出d的值即可得出答案．【解答】解：如圖：設(shè)AB的中點(diǎn)是E，OP過點(diǎn)E時(shí)，點(diǎn)O與邊AB上所有點(diǎn)的連線中，OE最小，此時(shí)d＝PE最大，OP過頂點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)O與邊AB上所有點(diǎn)的連線中，OA最大，此時(shí)d＝PA最小，如圖①：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OE＝1，∵OP＝2，∴d＝PE＝1；如圖②：∵正方形ABCD邊長為2，O為正方形中心，∴AE＝1，∠OAE＝45°，OE⊥AB，∴OA＝，∵OP＝2，∴d＝PA＝2﹣；∴d的取值范圍為2﹣≤d≤1．故答案為：2﹣≤d≤1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)題意得出d最大、最小時(shí)點(diǎn)P的位置是解題的關(guān)鍵．14．（2017?上海）一副三角尺按如圖的位置擺放（頂點(diǎn)C與F重合，邊CA與邊FE疊合，頂點(diǎn)B、C、D在一條直線上）．將三角尺DEF繞著點(diǎn)F按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)n°后（0＜n＜180），如果EF∥AB，那么n的值是45．【分析】分兩種情形討論，分別畫出圖形求解即可．【解答】解：①如圖1中，EF∥AB時(shí)，∠ACE＝∠A＝45°，∴旋轉(zhuǎn)角n＝45時(shí)，EF∥AB．②如圖2中，EF∥AB時(shí)，∠ACE+∠A＝180°，∴∠ACE＝135°∴旋轉(zhuǎn)角n＝360﹣135＝225，∵0＜n＜180，∴此種情形不合題意，故答案為45【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型．15．（2016?上海）如圖，矩形ABCD中，BC＝2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C分別落在點(diǎn)A′、C′處．如果點(diǎn)A′、C′、B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為．【分析】設(shè)AB＝x，根據(jù)平行線的性質(zhì)列出比例式求出x的值，根據(jù)正切的定義求出tan∠BA′C，根據(jù)∠ABA′＝∠BA′C解答即可．【解答】解：設(shè)AB＝x，則CD＝x，A′C＝x+2，∵AD∥BC，∴＝，即＝，解得，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1（舍去），∵AB∥CD，∴∠ABA′＝∠BA′C，tan∠BA′C＝＝＝，∴tan∠ABA′＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義，掌握旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等以及銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．16．（2011?上海）Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，點(diǎn)D在邊BC上，BD＝2CD（如圖）．把△ABC繞著點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)m（0°＜m＜180°）后，如果點(diǎn)B恰好落在初始Rt△ABC的邊上，那么m＝80°或120°．【分析】本題可以把圖形的旋轉(zhuǎn)問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)B繞D點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的問題，故可以D點(diǎn)為圓心，DB長為半徑畫弧，第一次與原三角形交于斜邊AB上的一點(diǎn)B′，交直角邊AC于B″，此時(shí)DB′＝DB，DB″＝DB＝2CD，由等腰三角形的性質(zhì)求旋轉(zhuǎn)角∠BDB′的度數(shù)，在Rt△B″CD中，解直角三角形求∠CDB″，可得旋轉(zhuǎn)角∠BDB″的度數(shù)．【解答】解：如圖，在線段AB取一點(diǎn)B′，使DB＝DB′，在線段AC取一點(diǎn)B″，使DB＝DB″，∴①旋轉(zhuǎn)角m＝∠BDB′＝180﹣∠DB′B﹣∠B＝180°﹣2∠B＝80°，②在Rt△B″CD中，∵DB″＝DB＝2CD，∴∠CDB″＝60°，旋轉(zhuǎn)角∠BDB″＝180°﹣∠CDB″＝120°．故答案為：80°或120°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．關(guān)鍵是將圖形的旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，求旋轉(zhuǎn)角．17．（2010?上海）已知正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE＝2，EC＝1（如圖所示）把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為1或5．【分析】題目里只說“旋轉(zhuǎn)”，并沒有說順時(shí)針還是逆時(shí)針，而且說的是“直線BC上的點(diǎn)”，所以有兩種情況，即一個(gè)是逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，一個(gè)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知．【解答】解：旋轉(zhuǎn)得到F1點(diǎn)，∵AE＝AF1，AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE≌△ABF1，∴F1C＝1；旋轉(zhuǎn)得到F2點(diǎn)，同理可得△ABF2≌△ADE，∴F2B＝DE＝2，F(xiàn)2C＝F2B+BC＝5．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．18．（2000?上海）在等腰三角形ABC中，∠C＝90°，BC＝2cm．如果以AC的中點(diǎn)O為旋轉(zhuǎn)中心，將這個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)180°，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，那么點(diǎn)B′與點(diǎn)B的原來位置相距2cm．【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)B′與B重合，那么點(diǎn)B′與點(diǎn)B的原來位置的距離是2OB，由勾股定理可得OB的大小．【解答】解：如圖，∵∠C＝90°，BC＝2cm，O為AC的中點(diǎn)，∴OB＝，∵根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，點(diǎn)B與B′重合，∴點(diǎn)B′與點(diǎn)B的原來位置的距離B′B＝2cm．故答案為2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得出BB′＝2OB是關(guān)鍵．七．中心對(duì)稱圖形（共2小題）19．（2017?上海）下列圖形中，既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形的是（）A．菱形 B．等邊三角形 C．平行四邊形 D．等腰梯形【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形對(duì)各選項(xiàng)分析判斷即可得解．【解答】解：A、菱形既是軸對(duì)稱又是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)正確；B、等邊三角形是軸對(duì)稱，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、平行四邊形不是軸對(duì)稱，是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、等腰梯形是軸對(duì)稱，不是中心對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念．軸對(duì)稱圖形的關(guān)鍵是尋找對(duì)稱軸，圖形兩部分折疊后可重合，中心對(duì)稱圖形是要尋找對(duì)稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩部分重合．20．（2000?上海）在函數(shù)、y＝x+5、y＝x2圖象中，是中心對(duì)稱圖形，且對(duì)稱中心是原點(diǎn)的圖象共有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【分析】根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義與函數(shù)的圖象即可求解．【解答】解：y＝x+5的圖象是中心對(duì)稱圖形，但對(duì)稱中心不是原點(diǎn)；y＝x2圖象不是中心對(duì)稱圖形；只有函數(shù)符合條件．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象性質(zhì)與中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)．八．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)（共1小題）21．（2001?上海）點(diǎn)A（1，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）．【分析】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．【解答】解：根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)，可知點(diǎn)A（1，3）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣1，﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】解決本題的關(guān)鍵是掌握好對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：（1）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)相同，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)；（2）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)；（3）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)．九．利用旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)圖案（共1小題）22．（2006?上海）在中國的園林建筑中，很多建筑圖形具有對(duì)稱性．如圖是一個(gè)破損花窗的圖形，請(qǐng)把它補(bǔ)畫成中心對(duì)稱圖形．如答圖．【分析】本題可通過畫中心對(duì)稱圖形來完成，找出關(guān)鍵點(diǎn)這里半徑長，畫弧，連接關(guān)鍵點(diǎn)即可．【解答】解：【點(diǎn)評(píng)】本題考查畫中心對(duì)稱圖形．比較簡單，關(guān)鍵是利用中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)畫圖．一十．比例線段（共1小題）23．（2000?上海）已知數(shù)3，6，請(qǐng)?jiān)賹懗鲆粋€(gè)數(shù)，使這三個(gè)數(shù)中的一個(gè)數(shù)是另外兩個(gè)數(shù)的比例中項(xiàng)，這個(gè)數(shù)是12（只需填寫一個(gè)數(shù)）．【分析】比例的基本性質(zhì)：兩外項(xiàng)之積等于兩內(nèi)項(xiàng)之積．【解答】解：根據(jù)比例的性質(zhì)列方程，設(shè)這個(gè)數(shù)是x，則根據(jù)題意可知3x＝6×6，解得x＝12，或6x＝9，或x2＝18，故填12．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了線段的比．根據(jù)比例的性質(zhì)列方程求解即可．解題的關(guān)鍵是掌握比例中項(xiàng)的性質(zhì)：a：b＝b：c，即b2＝ac．一十一．平行線分線段成比例（共4小題）24．（2013?上海）如圖，已知在△ABC中，點(diǎn)D、E、F分別是邊AB、AC、BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB＝3：5，那么CF：CB等于（）A．5：8 B．3：8 C．3：5 D．2：5【分析】先由AD：DB＝3：5，求得BD：AB的比，再由DE∥BC，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CE：AC＝BD：AB，然后由EF∥AB，根據(jù)平行線分線段成比例定理，可得CF：CB＝CE：AC，則可求得答案．【解答】解：∵AD：DB＝3：5，∴BD：AB＝5：8，∵DE∥BC，∴CE：AC＝BD：AB＝5：8，∵EF∥AB，∴CF：CB＝CE：AC＝5：8．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行線分線段成比例定理．此題比較簡單，注意掌握比例線段的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解此題的關(guān)鍵．25．（2009?上海）如圖，已知AB∥CD∥EF，那么下列結(jié)論正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【分析】根據(jù)平行線分線段成比例確定出對(duì)應(yīng)線段，進(jìn)行判斷即可．【解答】解：由平行線分線段成比例可知是被平行線所截的線段才有可能是對(duì)應(yīng)線段，∴CD、EF不是對(duì)應(yīng)線段，故C、D不正確；∵BC和AD對(duì)應(yīng)，CE和DF對(duì)應(yīng)，∴＝，故A正確；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查平行線段成比例定理，確定出對(duì)應(yīng)線段是解題的關(guān)鍵．26．（2021?上海）如圖所示，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，＝，則＝．【分析】過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，由四邊形BMDN是矩形，可得DM＝BN，＝，根據(jù)AD∥BC，可得＝＝，＝，即可得到＝．【解答】解：過D作DM⊥BC于M，過B作BN⊥AD于N，如圖：∵AD∥BC，DM⊥BC，BN⊥AD，∴四邊形BMDN是矩形，DM＝BN，∵＝，∴＝，∴＝，∵AD∥BC，∴＝＝，∴＝，∴＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線分線段成比例定理，涉及基本的相似三角形判定與性質(zhì)，掌握同（等）底三角形面積比等于高之比，同（等）高的三角形面積比等于底之比是解題的關(guān)鍵．27．（2012?上海）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD，∠BAF＝∠DAE，AE與BD交于點(diǎn)G．（1）求證：BE＝DF；（2）當(dāng)＝時(shí)，求證：四邊形BEFG是平行四邊形．【分析】（1）證得△ABE與△AFD全等后即可證得結(jié)論；（2））利用＝得到，從而根據(jù)平行線分線段成比例定理證得FG∥BC，進(jìn)而得到∠DGF＝∠DBC＝∠BDC，最后證得BE＝GF，利用一組對(duì)邊平行且相等即可判定平行四邊形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADF，∵∠BAF＝∠DAE，∴∠BAF﹣∠EAF＝∠DAE﹣∠EAF，即：∠BAE＝∠DAF，∴△BAE≌△DAF∴BE＝DF；（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴△ADG∽△EBG∴＝又∵BE＝DF，＝∴＝＝∴，又∠BDC＝∠GDF故△BDC∽△GDF，再由對(duì)應(yīng)角相等有∠DBC＝∠DGF∴GF∥BC（同位角相等則兩直線平行）∴∠DGF＝∠DBC∵BC＝CD∴∠BDC＝∠DBC＝∠DGF∴GF＝DF＝BE∵GF∥BC，GF＝BE∴四邊形BEFG是平行四邊形【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線分線段成比例定理及平行四邊形的判定與性質(zhì)，特別是第二問如何利用已知比例式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決此題的關(guān)鍵．一十二．相似三角形的性質(zhì)（共1小題）28．（2008?上海）如果兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，那么這兩個(gè)三角形面積的比是1：9．【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方求出即可．【解答】解：∵兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3，又∵相似三角形的面積比等于相似比的平方，∴這兩個(gè)三角形面積的比是1：9．故答案為：1：9．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方．一十三．相似三角形的判定（共2小題）29．（2010?上海）下列命題中，是真命題的為（）A．銳角三角形都相似 B．直角三角形都相似 C．等腰三角形都相似 D．等邊三角形都相似【分析】可根據(jù)相似三角形的判定方法進(jìn)行解答．【解答】解：A、銳角三角形的三個(gè)內(nèi)角都小于90°，但不一定都對(duì)應(yīng)相等，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、直角三角形的直角對(duì)應(yīng)相等，但兩組銳角不一定對(duì)應(yīng)相等，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、等腰三角形的頂角和底角不一定對(duì)應(yīng)相等，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、所有的等邊三角形三個(gè)內(nèi)角都對(duì)應(yīng)相等（都是60°），所以它們都相似，故D選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是相似三角形的判定方法．需注意的是絕對(duì)相似的三角形大致有三種：①全等三角形；②等腰直角三角形；③等邊三角形．30．（2007?上海）如圖，E為平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn)，連接AE，交邊CD于點(diǎn)F．在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)寫出圖中一對(duì)相似三角形：△AFD∽△EFC（或△EFC∽△EAB，或△EAB∽△AFD）．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BC，AB∥CD∴△AFD∽△EFC∽△EAB．故答案為：△AFD∽△EFC（答案不唯一）．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．平行于三角形一邊的直線截另兩邊或另兩邊的延長線所組成的三角形與原三角形相似．一十四．相似三角形的判定與性質(zhì)（共10小題）31．（2018?上海）如圖，已知正方形DEFG的頂點(diǎn)D、E在△ABC的邊BC上，頂點(diǎn)G、F分別在邊AB、AC上．如果BC＝4，△ABC的面積是6，那么這個(gè)正方形的邊長是．【分析】作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖，先利用三角形面積公式計(jì)算出AH＝3，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，則GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，再證明△AGF∽△ABC，則根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得＝，然后解關(guān)于x的方程即可．【解答】解：作AH⊥BC于H，交GF于M，如圖，∵△ABC的面積是6，∴BC?AH＝6，∴AH＝＝3，設(shè)正方形DEFG的邊長為x，則GF＝x，MH＝x，AM＝3﹣x，∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴＝，即＝，解得x＝，即正方形DEFG的邊長為．故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用，尋找相似三角形的一般方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形；在應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)時(shí)，主要利用相似比計(jì)算相應(yīng)線段的長．也考查了正方形的性質(zhì)．32．（2012?上海）在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，∠AED＝∠B，如果AE＝2，△ADE的面積為4，四邊形BCED的面積為5，那么AB的長為3．【分析】由∠AED＝∠B，∠A是公共角，根據(jù)有兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，即可證得△ADE∽△ACB，又由相似三角形面積的比等于相似比的平方，可得，然后由AE＝2，△ADE的面積為4，四邊形BCDE的面積為5，即可求得AB的長．【解答】解：∵∠AED＝∠B，∠A是公共角，∴△ADE∽△ACB，∴，∵△ADE的面積為4，四邊形BCED的面積為5，∴△ABC的面積為9，∵AE＝2，∴，解得：AB＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，注意掌握有兩角對(duì)應(yīng)相等的三角形相似與相似三角形面積的比等于相似比的平方．33．（2010?上海）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD＝∠ABC，若AC＝2，AD＝1，則DB＝3．【分析】由題意，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，滿足∠ACD＝∠ABC，可證△ABC∽△ACD，再根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來解答．【解答】解：∵∠ACD＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ACD，∴，∵AC＝2，AD＝1，∴，解得DB＝3．故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)及對(duì)應(yīng)邊長成比例，難點(diǎn)在于找對(duì)應(yīng)邊．34．（2020?上海）已知：如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊AB、AD上，BE＝DF，CE的延長線交DA的延長線于點(diǎn)G，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：△BEC∽△BCH；（2）如果BE2＝AB?AE，求證：AG＝DF．【分析】（1）由菱形的性質(zhì)得出CD＝CB，∠D＝∠B，證明△CDF≌△CBE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)得出∠DCF＝∠BCE，得出∠H＝∠BCE，則可得出結(jié)論．（2）利用平行線分線段成比例定理結(jié)合已知條件解決問題即可．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴CD＝CB，∠D＝∠B，∵DF＝BE，∴△CDF≌△CBE（SAS），∴∠DCF＝∠BCE，∵CD∥BH，∴∠H＝∠DCF，∴∠H＝∠BCE，∵∠B＝∠B，∴△BEC∽△BCH．（2）證明：∵BE2＝AB?AE，∴，∵CB∥DG，∴＝，∴＝，∵BC＝AB，∴AG＝BE，∵△CDF≌△CBE，∴DF＝BE，∴AG＝DF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．35．（2019?上海）已知：如圖，AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，D是AO延長線上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD并延長交⊙O于點(diǎn)E，聯(lián)結(jié)CD并延長交⊙O于點(diǎn)F．（1）求證：BD＝CD；（2）如果AB2＝AO?AD，求證：四邊形ABDC是菱形．【分析】（1）連接BC，根據(jù)AB＝AC，OB＝OA＝OC，即可得出AD垂直平分BC，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)求出即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和判定求出∠ABO＝∠ADB＝∠BAO，求出BD＝AB，再根據(jù)菱形的判定推出即可．【解答】證明：（1）如圖1，連接BC，OB，OC，∵AB、AC是⊙O的兩條弦，且AB＝AC，∴A在BC的垂直平分線上，∵OB＝OA＝OC，∴O在BC的垂直平分線上，∴AO垂直平分BC，∴BD＝CD；（2）如圖2，連接OB，∵AB2＝AO?AD，∴＝，∵∠BAO＝∠DAB，∴△ABO∽△ADB，∴∠OBA＝∠ADB，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB，∴∠OAB＝∠BDA，∴AB＝BD，∵AB＝AC，BD＝CD，∴AB＝AC＝BD＝CD，∴四邊形ABDC是菱形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定，垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能綜合運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．36．（2018?上海）已知：如圖，正方形ABCD中，P是邊BC上一點(diǎn)，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分別是點(diǎn)E、F．（1）求證：EF＝AE﹣BE；（2）連接BF，如果＝．求證：EF＝EP．【分析】（1）利用正方形的性質(zhì)得AB＝AD，∠BAD＝90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠1＝∠3，則可判斷△ABE≌△DAF，則BE＝AF，然后利用等線段代換可得到結(jié)論；（2）利用＝和AF＝BE得到＝，則可判定Rt△BEF∽R(shí)t△DFA，所以∠4＝∠3，再證明∠4＝∠5，然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF＝EP．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA＝∠AFD＝90°，∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°，∴∠1＝∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE＝AF，∴EF＝AE﹣AF＝AE﹣BE；（2）如圖，∵＝，而AF＝BE，∴＝，∴＝，∴△BEF∽△DFA，∴∠4＝∠3，而∠1＝∠3，∴∠4＝∠1，∵∠5＝∠1，∴∠4＝∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF＝EP．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用．也考查了全等三角形的判定與性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．37．（2015?上海）已知，如圖，平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在邊BC的延長線上，且OE＝OB，連接DE．（1）求證：DE⊥BE；（2）如果OE⊥CD，求證：BD?CE＝CD?DE．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得到BO＝BD，由等量代換推出OE＝BD，根據(jù)平行四邊形的判定即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)等角的余角相等，得到∠CEO＝∠CDE，推出△BDE∽△CDE，即可得到結(jié)論．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BO＝OD，∵OE＝OB，∴OE＝OD，∴∠OBE＝∠OEB，∠OED＝∠ODE，∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE＝180°，∴∠BEO+∠DEO＝∠BED＝90°，∴DE⊥BE；（2）∵OE⊥CD∴∠CEO+∠DCE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠CEO＝∠CDE，∵OB＝OE，∴∠DBE＝∠OEB，∴∠DBE＝∠CDE，∵∠BED＝∠DEC，∴△BDE∽△DCE，∴，∴BD?CE＝CD?DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟記定理是解題的關(guān)鍵．38．（2014?上海）已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)F，點(diǎn)E是邊BC延長線上一點(diǎn)，且∠CDE＝∠ABD．（1）求證：四邊形ACED是平行四邊形；（2）連接AE，交BD于點(diǎn)G，求證：＝．【分析】（1）證△BAD≌△CDA，推出∠ABD＝∠ACD＝∠CDE，推出AC∥DE即可；（2）根據(jù)平行得出比例式，再根據(jù)比例式的性質(zhì)進(jìn)行變形，即可得出答案．【解答】證明：（1）∵梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠BAD＝∠CDA，在△BAD和△CDA中∴△BAD≌△CDA（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠CDE＝∠ABD，∴∠ACD＝∠CDE，∴AC∥DE，∵AD∥CE，∴四邊形ACED是平行四邊形；（2）∵AD∥BC，∴＝，＝，∴＝，∵平行四邊形ACED，AD＝CE，∴＝，∴＝，∴＝，∴＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，平行四邊形的判定，平行線的判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目比較好，難度適中．39．（2012?上海）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0），與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D在線段OC上，OD＝t，點(diǎn)E在第二象限，∠ADE＝90°，tan∠DAE＝，EF⊥OD，垂足為F．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求線段EF、OF的長（用含t的代數(shù)式表示）；（3）當(dāng)∠ECA＝∠OAC時(shí)，求t的值．【分析】（1）已知點(diǎn)A、B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求拋物線解析式即可；（2）關(guān)鍵是證明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系以及三角形函數(shù)的定義求解；（3）如解答圖，通過作輔助線構(gòu)造一對(duì)全等三角形：△GCA≌△OAC，得到CG、AG的長度；然后利用勾股定理求得AE、EG的長度（用含t的代數(shù)式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到關(guān)于t的無理方程，解方程求出t的值．【解答】解：（1）二次函數(shù)y＝ax2+6x+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得，∴這個(gè)二次函數(shù)的解析式為：y＝﹣2x2+6x+8；（2）∵∠EFD＝∠EDA＝90°∴∠DEF+∠EDF＝90°，∠EDF+∠ODA＝90°，∴∠DEF＝∠ODA∴△EDF∽△DAO∴．∵，∴＝，∴，∴EF＝t．同理，∴DF＝2，∴OF＝t﹣2．（3）∵拋物線的解析式為：y＝﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC＝8．如圖，連接EC、AC，過A作EC的垂線交CE于G點(diǎn)．∵∠ECA＝∠OAC，在△GCA與△OAC中，，∴△GCA≌△OAC，∴CG＝4，AG＝OC＝8．如圖，過E點(diǎn)作EM⊥x軸于點(diǎn)M，則在Rt△AEM中，∴EM＝OF＝t﹣2，AM＝OA+OM＝OA+EF＝4+t，由勾股定理得：∵AE2＝AM2+EM2＝；在Rt△AEG中，由勾股定理得：∴EG＝＝＝∵在Rt△ECF中，EF＝t，CF＝OC﹣OF＝OC﹣EM＝8﹣（t﹣2）＝10﹣t，CE＝CG+EG＝+4由勾股定理得：EF2+CF2＝CE2，即，解得t1＝10，t2＝6，∵當(dāng)t＝10時(shí)，CF＝10﹣10＝0，∴不合題意舍去，∴t＝6．另解：延長CE至x軸交于點(diǎn)K．∵∠ECA＝∠OAC（已知）∴AK＝CK（等角對(duì)等邊）設(shè)OK＝x，則AK＝4+x．在Rt△COK中，CO＝8，OK＝x根據(jù)勾股定理得，CK＝＝，∴根號(hào)64+x2＝4+x，解得x＝6，∵△CEF∽△CKO（兩角對(duì)應(yīng)相等）∴EF：KO＝CF：CO，即0.5t：6＝10﹣t：8，解得t＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，難度較大．第（3）問中，涉及到無理方程的求解，并且計(jì)算較為復(fù)雜，注意不要出錯(cuò)．40．（2011?上海）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30，AB＝50．點(diǎn)P是AB邊上任意一點(diǎn)，直線PE⊥AB，與邊AC或BC相交于E．點(diǎn)M在線段AP上，點(diǎn)N在線段BP上，EM＝EN，．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，求CM的長；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在邊AC上時(shí)，點(diǎn)E不與點(diǎn)A、C重合，設(shè)AP＝x，BN＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；（3）若△AME∽△ENB（△AME的頂點(diǎn)A、M、E分別與△ENB的頂點(diǎn)E、N、B對(duì)應(yīng)），求AP的長．【分析】（1）本題需先根據(jù)已知條件得出AC的值，再根據(jù)CP⊥AB求出CP，從而得出CM的值．（2）本題需先根據(jù)EN，設(shè)出EP的值，從而得出EM和PM的值，再得出△AEP∽△ABC，即可求出＝，求出a的值，即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并且能求出函數(shù)的定義域．（3）本題需先設(shè)EP的值，得出則EM和MP的值，然后分①點(diǎn)E在AC上時(shí)，根據(jù)△AEP∽△ABC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據(jù)△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長；②點(diǎn)E在BC上時(shí)，根據(jù)△EBP∽△ABCC，求出AP的值，從而得出AM和BN的值，再根據(jù)△AME∽△ENB，求出a的值，得出AP的長．【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∴AC＝，＝，＝40，∵CP⊥AB，∴＝，∴＝，∴CP＝24，∴CM＝，＝，＝26；（2）∵，∴設(shè)EP＝12a，則EM＝13a，PM＝5a，∵EM＝EN，∴EN＝13a，PN＝5a，∵△AEP∽△ABC，∴＝，∴，∴x＝16a，∴a＝，∴BP＝50﹣16a，∴y＝50﹣21a，＝50﹣21×，＝50﹣x，∵當(dāng)E點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，x＝0．當(dāng)E點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，x＝32．∴函數(shù)的定義域是：（0＜x＜32）；（3）①當(dāng)點(diǎn)E在AC上時(shí)，如圖2，設(shè)EP＝12a，則EM＝13a，MP＝NP＝5a，∵△AEP∽△ABC，∴，∴，∴AP＝16a，∴AM＝11a，∴BN＝50﹣16a﹣5a＝50﹣21a，∵△AME∽△ENB，∴，∴＝，∴a＝，∴AP＝16×＝22，②當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)，如圖（備用圖），設(shè)EP＝12a，則EM＝13a，MP＝NP＝5a，∵△EBP∽△ABC，∴＝，即＝，解得BP＝9a，∴BN＝9a﹣5a＝4a，AM＝50﹣9a﹣5a＝50﹣14a，∵△AME∽△ENB，∴，即＝，解得a＝，∴AP＝50﹣9a＝50﹣9×＝42．所以AP的長為：22或42．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形、勾股定理、解直角三角形的判定和性質(zhì)，在解題時(shí)要注意知識(shí)的綜合應(yīng)是解本題的關(guān)鍵．一十五．相似三角形的應(yīng)用（共1小題）41．（2020?上海）《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量井深的方法．如圖所示，在井口B處立一根垂直于井口的木桿BD，從木桿的頂端D觀察井水水岸C，視線DC與井口的直徑AB交于點(diǎn)E，如果測(cè)得AB＝1.6米，BD＝1米，BE＝0.2米，那么AC為7米．【分析】根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結(jié)論．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，正確的識(shí)別【解答】解：∵BD⊥AB，AC⊥AB，∴BD∥AC，∴△ACE∽△BDE，∴，∴＝，∴AC＝7（米），故答案為：7．圖形是解題的關(guān)鍵．一十六．作圖-相似變換（共1小題）42．（2001?上海）如圖，在大小為4×4的正方形方格中，△ABC的頂點(diǎn)A、B、C在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫一個(gè)△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不為1），且點(diǎn)A1、B1、C1都在單位正方形的頂點(diǎn)上．答案如圖．【分析】在4×4的方格紙中，使△A1B1C1與格點(diǎn)三角形ABC相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊相似比相等，對(duì)應(yīng)角相等，可知要畫一個(gè)135度的鈍角，鈍角的兩邊只能縮小，又要在格點(diǎn)上所以要縮小為1和2，畫出這樣的兩邊長后，三角形的三點(diǎn)就確定了．【解答】解：如圖【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的畫法，根據(jù)的主要是相似三角形的性質(zhì)．注意根據(jù)本題中的要求只能畫縮小的相似圖形．一十七．相似形綜合題（共2小題）43．（2021?上海）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是對(duì)角線AC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BO并延長交邊CD或邊AD于點(diǎn)E．（1）當(dāng)點(diǎn)E在CD上，①求證：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求的值；（2）若DE＝2，OE＝3，求CD的長．【分析】（1）①由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAC＝∠DCA，由平行線的性質(zhì)得出∠DAC＝∠ACB，由直角三角形的性質(zhì)得出∠OBC＝∠OCB，根據(jù)相似三角形的判定定理可得出結(jié)論；②得出∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°．過點(diǎn)D作DH⊥BC于點(diǎn)H，設(shè)AD＝CD＝2m，則BH＝AD＝2m，則可得出答案；（2）①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在AD上時(shí)，證明四邊形ABCE是矩形．設(shè)AD＝CD＝x，由勾股定理得出方程，解方程即可得出答案；②如圖