2023-2024學(xué)年河南省信陽市高級(jí)中學(xué)新校、北湖校區(qū)高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2023-2024學(xué)年信陽市高級(jí)中學(xué)新校、北湖校區(qū)高一下學(xué)期期末測試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z滿足z3+i=3+i2024，其中i為虛數(shù)單位，則z的共軛復(fù)數(shù)zA.?25i B.?25 2.設(shè)m,n是兩條不同的直線，α,β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中為真命題的是(

)A.若m//α,n?α，則m//n B.若m//α,α//β，則m//β

C.若m⊥α,m⊥n，則n//α D.若m⊥α,m//β，則α⊥β3.某航空公司銷售一款盲盒機(jī)票，包含哈爾濱、西安、蘭州、濟(jì)南、延吉5個(gè)城市，甲乙兩人計(jì)劃“五一”小長假前分別購買上述盲盒機(jī)票一張，則兩人恰好到達(dá)城市相同的概率為(

)A.15 B.25 C.354.記?ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知c=4,A=45°，若角B有兩解，則a的值可以是(

)A.2 B.22 C.25.如圖，銳二面角α?l?β的棱上有A，B兩點(diǎn)，直線AC，BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AB.已知AB=4，AC=BD=6，CD=8，銳二面角α?l?β的平面角的余弦值是(

)A.14 B.13 C.236.拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子2次，事件甲為“第一次骰子正面向上的數(shù)字是1”，事件乙為“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是4”，事件丙為“兩次骰子正面向上的數(shù)字之和是8”，則(

)A.甲乙互斥 B.乙丙互為對立 C.甲乙相互獨(dú)立 D.甲丙互斥7.已知正四棱臺(tái)的體積為143，上、下底面邊長分別為2,2A.20π B.25π C.36π D.50π8.如圖，在扇形AOB中，扇形的半徑為1,∠AOB=2π3，點(diǎn)P在弧AB?上移動(dòng)，OP=aOA+bOBA.32 B.3C.2 D.3二、多選題：本題共3小題，共15分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列說法中正確的是(

)A.用簡單隨機(jī)抽樣的方法從含有60個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為6的樣本，則個(gè)體m被抽到的概率是0.1

B.已知一組數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)據(jù)的方差是265

C.數(shù)據(jù)13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位數(shù)是23

D.若樣本數(shù)據(jù)x1,x2,?,10.已知點(diǎn)A?2?,?3?,??3?,?B2?,?5?,?1?,?C1?,?4?,?0，平面α經(jīng)過線段AB的中點(diǎn)D，且與直線A.線段AB的長為36

B.點(diǎn)P1?,?2?,??1在平面α內(nèi)

C.線段AB的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為0,?4?,??1

D.直線CD與平面α所成角的正弦值為11.已知復(fù)數(shù)z1=2+3i,z2=3?4i,zA.z1+z2=z1+z2

B.Z1Z2=52

C.滿足z=z三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知平面向量a,b,b=3，向量a在向量b上的投影向量為1613.已知事件A與B相互獨(dú)立，P(A)=0.6，P(AB)=0.42，則P(A+B)=

．14.已知四面體A?BCD中，棱BC，AD所在直線所成的角為60°，且BC=4，AD=3，∠ACD=120°，則四面體A?BCD體積的最大值是

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)數(shù)字人民幣在數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代中體現(xiàn)的價(jià)值、交易媒介和支付手段職能，為各地?cái)?shù)字經(jīng)濟(jì)建設(shè)提供了安全、便捷的支付方式，同時(shí)也為金融監(jiān)管、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供更多選擇性和可能性.蘇州作為全國首批數(shù)字人民幣試點(diǎn)城市之一，提出了2023年交易金額達(dá)2萬億元的目標(biāo).現(xiàn)從使用數(shù)字人民幣的市民中隨機(jī)選出200人，并將他們按年齡(單位：歲)進(jìn)行分組：第1組15,25，第2組25,35，第3組35,45，第4組45,55，第5組55,65，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求直方圖中a的

值并估算樣本平均年齡(同組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)及第78百分位數(shù)；(2)在這200位市民中用分層隨機(jī)抽樣的方法從年齡在25,35和45,55內(nèi)抽取6位市民做問卷調(diào)查，現(xiàn)從這6位中隨機(jī)抽取兩名幸運(yùn)市民，求兩名幸運(yùn)市民年齡都在25,35內(nèi)的概率．16.(本小題12分)如圖，四邊形PDCE為矩形，直線PD垂直于梯形ABCD所在的平面．∠ADC=∠BAD=90°，F(xiàn)是線段PA的中點(diǎn)，PD=(1)求證：AC//平面DEF；(2)求點(diǎn)F到平面BCP的距離．17.(本小題12分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，滿足bc?a(1)求角A；(2)若△ABC的外接圓的面積為7π3，sinB+sinC=18.(本小題12分)

如圖，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，已知邊長為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，C1D(2)求直線AE和平面ABF所成角的正弦值；(3)求平面ABF和平面ABCD所成角的余弦值．19.(本小題12分)在Rt?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cosA(1)求角A；(2)已知c≠2b，a=23，點(diǎn)P，Q是邊AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P，Q不重合)，記①當(dāng)θ=π6時(shí)，設(shè)?PBQ的面積為S，求②記∠BPQ=α，∠BQP=β.問：是否存在實(shí)常數(shù)θ和k，對于所有滿足題意的α，β，都有sin2α+sin2β+k=4ksinαsinβ成立?參考答案1.D

2.D

3.A

4.C

5.B

6.D

7.A

8.B

9.AB

10.BCD

11.BD

12.3213.0.88

14.3215.解：(1)a+0.03+0.015+0.01×2樣本平均年齡為20×0.1+30×0.3+40×0.35+50×0.15+60×0.1=38.5，各組的頻率依次為0.1,0.3,0.35,0.15,0.1，0.1+0.3+0.35=0.75<0.78，0.1+0.3+0.35+0.15=0.9>0.78，所以第78百分位數(shù)在第4組，設(shè)為x，則0.75+x?45所以第78百分位數(shù)為47．(2)年齡在25,35的市民人數(shù)為200×0.3=60，年齡在45,55的市民人數(shù)為200×0.15=30，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取年齡在25,35的人數(shù)為6×6060+30=4人，年齡在45,55設(shè)年齡在25,35的4人為A，B，C，D，年齡在45,55的2人為E，F(xiàn)，從這6為市民中抽取兩名的基本事件有AB,AC,其中2名年齡都在25,35內(nèi)的基本事件有AB,AC,所以兩名幸運(yùn)市民年齡都在25,35內(nèi)的概率為615

16.解：(1)設(shè)CP與ED相交于O，連接OF，∵PF=FA，PO=OC，∴OF//CA又OF?平面DEF，AC?平面DEF，∴AC//平面DEF(2)設(shè)A到平面PCB距離為?，在梯形ABCD中，AB=AD=1∴S又∵PD⊥平面ABCD，PD=∴V又因?yàn)镻D⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PD⊥BD，則PB=PD2+B所以有PB2+BC2而VA?PCB=又F為PA中點(diǎn)，故點(diǎn)F到平面BCP的距離12

17.解：(1)因?yàn)閎c?a所以b(b?a)+c(c?a)=(c?a)(b?a)，所以b2?ab+c所以cosA=因?yàn)锳∈0,π，所以A=(2)因?yàn)椤鰽BC的外接圓的面積為7π3，所以△ABC的外接圓半徑為r=由正弦定理得asinA=2r因?yàn)閟inB+sinC=由(1)知b2所以(b+c)2?7=3bc，得3bc=25?7=18所以△ABC的面積為12

18.解：(1)建立以D為原點(diǎn)，分別以DA，DC，DD1為x,y,z軸，空間直角坐標(biāo)系，

則可求A(4,0,0)，E(4,1,4)，C(0,4,0)，B14,4,4

AE=(0,1,4),CB1=(4,0,4)，設(shè)異面直線AE與B1C所成的角為α，

則cosα=|AE→·CB1→|AE→||CB1→||=1617×42=23417;

(2)令面ABF的法向量為n1=(x0,y0,z0)，

B(4,4,0)，F(xiàn)(0,1,4)19.解：(1)因?yàn)閏osAa=所以sinA所以sinAcosB?因?yàn)锳?B∈?π,π，C?A∈所以A?B=C?A或A?B+C?A=2×即2A=B+C或C=B+π(舍去)或B=C+π(舍去)，又A+B+C=π，所以A=π(2)①因?yàn)閏≠2b，所以B=π2，又A=π3，a=2如圖，設(shè)∠QBC=x，x∈0,

則在?QBC中，由正弦定理，得BQsin所以BQ=在?ABP中，由正弦定理，得B