2021春滬科版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第24章 圓錐的側(cè)面積和全面積計(jì)算教案

圓錐的側(cè)面積和全面積計(jì)算

一、教學(xué)目標(biāo)分析

知識(shí)與技能：1.認(rèn)識(shí)圓錐，了解圓錐的相關(guān)概念。2.探索圓錐側(cè)面積、全

面積計(jì)算公式。3.會(huì)應(yīng)用公式解決有關(guān)問(wèn)題。

過(guò)程與方法：通過(guò)探究、觀察、分析、計(jì)算，在活動(dòng)中培養(yǎng)學(xué)生探究問(wèn)題

能力，合作交流意識(shí)。并在解決實(shí)際問(wèn)題中提高他們解決問(wèn)題的能力，發(fā)展學(xué)生

應(yīng)用知識(shí)的意識(shí)。

情感態(tài)度與價(jià)值觀：引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題觀察、質(zhì)疑，激發(fā)他們的好奇心和求知

欲，使學(xué)生在運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)，建立學(xué)習(xí)的自信

心。并且鼓勵(lì)學(xué)生思維的多樣性，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)。

二、重難點(diǎn)分析

教學(xué)重點(diǎn)：理解圓錐的相關(guān)概念，探索圓錐的側(cè)面積的計(jì)算公式。

教學(xué)難點(diǎn)：探索圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式。

三、教學(xué)模式：“十二字”教學(xué)模式

四、教學(xué)過(guò)程

（-）出示學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.認(rèn)識(shí)圓錐，了解圓錐的相關(guān)概念

2.探索圓錐側(cè)面積、全面積計(jì)算公式

3.會(huì)應(yīng)用公式解決有關(guān)問(wèn)題

（二）自學(xué)指導(dǎo)

認(rèn)真閱讀課本（例題2以前）的內(nèi)容重點(diǎn)解決：

1.理解圓錐母線的概念。

2.思考圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是什么形狀？應(yīng)怎樣計(jì)算它的面積？認(rèn)真解決課

本思考中的三個(gè)問(wèn)題并完成填空。時(shí)間6分鐘

（三）檢查自學(xué)

1.圓錐的高和母線等概念。

思考：圓錐的底面半徑、高線、母線長(zhǎng)三者之間有怎樣的關(guān)系：a2=h2+r2

2.圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖

（1）沿著圓錐的母線，把一個(gè)圓錐的側(cè)面展開(kāi)，得到一個(gè)什么圖形？這個(gè)扇形

的弧長(zhǎng)與底面的周長(zhǎng)有什么關(guān)系？

（2）圓錐側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，這個(gè)扇形的半徑與圓錐中的哪一條線段相等？

圓錐的就是其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的弧長(zhǎng)，

圓錐的就是其側(cè)面展開(kāi)圖扇形的半徑。

3.圓錐的側(cè)面積和全面積

引導(dǎo)學(xué)生理解圓錐的側(cè)面積計(jì)算公式的推導(dǎo)過(guò)程，能準(zhǔn)確的應(yīng)用公式解

決問(wèn)題。

（四）當(dāng)堂訓(xùn)練

A組

1.根據(jù)下列條件求值（其中r、h、a分別是圓錐的底面半徑、高線、母線長(zhǎng)）

（1）a=2,r=l則h=_______

（2）h=3,r=4則a=

（3）a=10,h=8貝［Ir=

2.已知圓錐的底面直徑為4,母線長(zhǎng)為6,則它的側(cè)面積為.

3.已知圓錐底面圓的半徑為2腐，高為J5,則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為:

全面積為，

B組

1.（立體——平面）

若一個(gè)圓錐的底面圓的周長(zhǎng)是4ncm,母線長(zhǎng)是6cm,則該圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的

圓心角的度數(shù)是

2.（平面--立體）

現(xiàn)有一個(gè)圓心角為90°,半徑為8cm的扇形紙片，用它恰好圍成一個(gè)圓錐的側(cè)

面（接縫忽略不計(jì)）.該圓錐底面圓的半徑為.

C組

1.已知ZU3C中，ZACB=90°,AC=3cm,BC=4cm,將ZU3。繞直角邊AC旋轉(zhuǎn)

一周，求所得圓錐的側(cè)面積？

（五）小結(jié)

談?wù)劚竟?jié)課的收獲和困惑

（六）作業(yè)：教材練習(xí)題

教學(xué)時(shí)間課題23.2中心對(duì)稱(chēng)（1）課型新授課

知識(shí)了解中心對(duì)稱(chēng)、對(duì)稱(chēng)中心、關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)等概念及掌握這些概念解決一

和些問(wèn)題.

教能力

學(xué)過(guò)程復(fù)習(xí)運(yùn)用旋轉(zhuǎn)知識(shí)作圖,旋轉(zhuǎn)角度變化，設(shè)計(jì)出不同的美麗圖案來(lái)引入旋

目和轉(zhuǎn)180°的特殊旋轉(zhuǎn)——-中心對(duì)稱(chēng)的概念，并運(yùn)用它解決一些實(shí)際問(wèn)題.

標(biāo)方法

情感讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，自主探究和合作交流進(jìn)一步體會(huì)旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲

態(tài)度得知識(shí)，體驗(yàn)成功，享受學(xué)習(xí)樂(lè)趣.

價(jià)值觀

教學(xué)重點(diǎn)利用中心對(duì)稱(chēng)、對(duì)稱(chēng)中心、關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的概念解決一些問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)從一般旋轉(zhuǎn)中導(dǎo)入中心對(duì)稱(chēng).

教學(xué)準(zhǔn)備教師多媒體課件學(xué)生“五個(gè)一”

課堂教學(xué)程序設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)引入

請(qǐng)同學(xué)們獨(dú)立完成下題.

如圖，^ABC繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)D

處，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的三角形，并寫(xiě)出簡(jiǎn)要作法.A,

老師點(diǎn)評(píng)：分析，本題已知旋轉(zhuǎn)后點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)\-O

點(diǎn)是點(diǎn)D,且旋轉(zhuǎn)中心也已知，所以關(guān)鍵是找出旋

轉(zhuǎn)角和旋轉(zhuǎn)方向.顯然，逆時(shí)針或順時(shí)針旋轉(zhuǎn)都符,

合要求，一般我們選擇小于180°的旋轉(zhuǎn)角為宜，故本題選擇的旋轉(zhuǎn)方向

為順時(shí)針?lè)较?；已知一?duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)和旋轉(zhuǎn)中心，很容易確定旋轉(zhuǎn)角.如圖，

連結(jié)OA、OD,則NAOD即為旋轉(zhuǎn)角.接下來(lái)

根據(jù)“任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所y

成的角都是旋轉(zhuǎn)角"和''對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心；

的距離相等”這兩個(gè)依據(jù)來(lái)作圖即可.,

作法：(1)連結(jié)OA、OB、OC、OD；入一4。

(2)分別以O(shè)B、OB為邊作NBOM=NCON=/

ZAOD；B

C

(3)分別截取OE=OB,OF=OC；

(4)依次連結(jié)DE、EF、FD；

即：4DEF就是所求作的三角形，如圖所示.

二、探索新知

問(wèn)題：作出如圖的兩個(gè)圖形繞點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)180。的圖案，并

問(wèn)題：

1.以0為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)180°后兩個(gè)圖形是否重合？

2.各對(duì)稱(chēng)點(diǎn)繞0旋轉(zhuǎn)180°后，這三點(diǎn)是否在一條直線上？

老師點(diǎn)評(píng)：可以發(fā)現(xiàn)，如圖所示的兩個(gè)圖案繞0旋轉(zhuǎn)180°都是重合

的，即甲圖與乙圖重合，AOAB與ACOD重合.

像這樣，把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果它能夠與另一個(gè)

圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做

對(duì)稱(chēng)中心.

這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

例1.如圖，四邊形ABCD繞D點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,請(qǐng)作出旋轉(zhuǎn)后的圖案，

寫(xiě)出作法并回答.

(1)這兩個(gè)圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形嗎？如果是對(duì)稱(chēng)中心是哪一點(diǎn)？如

果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)如果是中心對(duì)稱(chēng)，那么A、B、C、D關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是哪些點(diǎn).

公A

BC

分析：(1)根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的定義便直接可知這兩個(gè)圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖

形，對(duì)稱(chēng)中心就是旋轉(zhuǎn)中心.

(3)旋轉(zhuǎn)后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，便是中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn).

解：作法：(1)延長(zhǎng)AD,并且使得DA'=AD

(2)同樣可得：BD=B'D,CD=C'D

(3)連結(jié)A'B‘、B'C'、CD,則四邊形A'BzCD為所求的四

邊形，如圖23-44所示.

答：(1)根據(jù)中心對(duì)稱(chēng)的定義便知這兩個(gè)圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)

中心是D點(diǎn).

(2)A、B、C、D關(guān)于中心D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是A'、B'、C'、D',這里

的>與D重合.

例2.如圖，已知AD是AABC的中線，畫(huà)出以點(diǎn)D為對(duì)稱(chēng)中心，與4

ABD成中心對(duì)稱(chēng)的三角形.

分析：因?yàn)镈是對(duì)稱(chēng)中心且AD是AABC的中線，所以C、B為一對(duì)的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)，因此，只要再畫(huà)出A關(guān)于D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)即可.

解：(1)延長(zhǎng)AD,且使AD=DA',因?yàn)镃點(diǎn)關(guān)于D的中心對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B

(C')，B點(diǎn)關(guān)于中心D的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為C(B')l

(2)連結(jié)A，B，、A，C，.

則zwB，c為所求作的三角形，如圖所示

三、鞏固練習(xí)

教材P64練習(xí)1.B

四、應(yīng)用拓展

例3.如圖，在aABC中，ZC=70°,BC=4,AC=4,現(xiàn)將AABC沿CB一i-

SM

方向平移到aA'B'C'的位置.S

(1)若平移的距離為3,求aABC與4A'B'C'重疊部分的面積.

磁

(2)若平移的距離為x(0WxW4),求AABC與AA'B'C'重疊部分Lcor

的面積y,寫(xiě)出y與x的關(guān)系式.

分析：(1)VBC=4,AC=4

二AABC是等腰直角三角形，易得aBDC'也是等腰直角三角形且BC'

=1

(2)?.?平移的距離為x,...BC'=4-x

解:(1)VCC,=3,CB=4且AC=BC

.?.BC'=C'D=1

SABDC'=—X1X1=一

22

(2)VCC/=x,.'.BC'=4-x

VAC=BC=4

.'.DC'=4-x

.,?SDC=—(4-x)(4-x)=—x'-4x+8

AB22

五、歸納小結(jié)(學(xué)生歸納，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課應(yīng)掌握：

1.中心對(duì)稱(chēng)及對(duì)稱(chēng)中心的概念；

2.關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的概念及其運(yùn)用.

作業(yè)必做教材P67：1.

設(shè)計(jì)選做

教

學(xué)

反

思

教學(xué)時(shí)間課題中心對(duì)稱(chēng)圖形課型新授課

知識(shí)理解關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且被對(duì)

和稱(chēng)中心所平分；理解關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形；掌握這兩個(gè)性質(zhì)

能力的運(yùn)用.

教

過(guò)程復(fù)習(xí)中心對(duì)稱(chēng)的基本概念（中心對(duì)稱(chēng)、對(duì)稱(chēng)中心，關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)），提

學(xué)

和出問(wèn)題，讓學(xué)生分組討論解決問(wèn)題，老師引導(dǎo)總結(jié)中心對(duì)稱(chēng)的基本性質(zhì).

目

方法

標(biāo)

情感讓學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考，自主探究和合作交流進(jìn)一步體會(huì)旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)內(nèi)涵，獲

態(tài)度得知識(shí)，體驗(yàn)成功，享受學(xué)習(xí)樂(lè)趣.

價(jià)值觀

教學(xué)重點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)的兩條基本性質(zhì)及其運(yùn)用.

教學(xué)難點(diǎn)讓學(xué)生合作討論，得出中心對(duì)稱(chēng)的兩條基本性質(zhì).

教學(xué)準(zhǔn)備教師多媒體課件學(xué)生“五個(gè)一”

課堂教學(xué)程序設(shè)計(jì)設(shè)計(jì)意圖

一、復(fù)習(xí)引入

（老師口問(wèn)，學(xué)生口答）

1.什么叫中心對(duì)稱(chēng)？什么叫對(duì)稱(chēng)中心？

2.什么叫關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)？

3.請(qǐng)同學(xué)隨便畫(huà)一三角形，以三角形一頂點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心，畫(huà)出這個(gè)

三角形關(guān)于這個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)圖形，并分組討論能得到什么結(jié)論.

（每組推薦一人上臺(tái)陳述，老師點(diǎn)評(píng)）

（老師）在黑板上畫(huà)一個(gè)三角形ABC,分兩種情況作兩個(gè)圖形

（1）作AABC一頂點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)圖形；

（2）作關(guān)于一定點(diǎn)0為對(duì)稱(chēng)中心的對(duì)稱(chēng)圖形.

第一步，畫(huà)出AABC.

第二步，以AABC的C點(diǎn)（或0點(diǎn)）為中心，旋轉(zhuǎn)180°畫(huà)出4A'B'

和AA'B，C',如圖1和用2所示.

從圖1中可以得出AABC與aA'B'C是全等三角形；

分別連接對(duì)稱(chēng)點(diǎn)AA'、BB'、CC，,點(diǎn)0在這些線段上且。平分這些

線段.

下面，我們就以圖2為例來(lái)證明這兩個(gè)結(jié)論.

證明：（1）在AABC和AA'B'C中，

OA=OA,,OB=OBZ,ZAOB=ZA,OBZ

.,.△AOB^AA/OB'

.\AB=A,B'

同理可證：AC=A'C,BC=B'C

.'.△ABC絲Z\A'B'C'

（2）點(diǎn)A，是點(diǎn)A繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)180°后得到的，即線段0A繞點(diǎn)0旋

轉(zhuǎn)180°得到線段0A',所以點(diǎn)0在線段AA'上，旦OA=OA',即點(diǎn)0

是線段AA'的中點(diǎn).

同樣地，點(diǎn)0也在線段BB'和CC'上，且OB=OB',OC=OC',即點(diǎn)

0是BB'和CC'的中點(diǎn).

因此，我們就得到

1.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而

且被對(duì)稱(chēng)中心所平分.

2.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形.

例1.如圖，已知AABC和點(diǎn)0,畫(huà)出ADEF,使4DEF和aABC關(guān)于點(diǎn)

0成中心對(duì)稱(chēng).

分析：中心對(duì)稱(chēng)就是旋轉(zhuǎn)180°,關(guān)于點(diǎn)0成中心對(duì)稱(chēng)就是繞0旋轉(zhuǎn)

180°,因此，我們連AO、BO、C0并延長(zhǎng)，取與它們相等的線段即可得到.

解:(1)連結(jié)A0并延長(zhǎng)A0到D,使OD=OA,于是得到點(diǎn)A的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)D,

如圖所示.

(2)同樣畫(huà)出點(diǎn)B和點(diǎn)C的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)E和F.

(3)順次連結(jié)DE、EF,FD.

則4DEF即為所求的三角形.

例2.(學(xué)生練習(xí)，老師點(diǎn)評(píng))如圖，已知四邊形ABCD和點(diǎn)0,畫(huà)四邊

形A'B'C'D',使四邊形A'B'C6和四邊形ABCD關(guān)于點(diǎn)0成中

心對(duì)稱(chēng)(只保留作圖痕跡，不要求寫(xiě)出作法).

教材.

三、應(yīng)用拓展

例3.如圖等邊aABC內(nèi)有一點(diǎn)0,試說(shuō)明：OA+OB>OC.

分析：要證明OA+OB>OC,必然把0A、OB、0C轉(zhuǎn)為在一個(gè)三角形內(nèi)，

應(yīng)用兩邊之和大于第三邊(兩點(diǎn)之間線段最短)來(lái)說(shuō)明，因此要應(yīng)用旋

轉(zhuǎn).以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)60°,便可把0A、OB、0C轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形

內(nèi).

解：如圖，把AAOC以A為旋轉(zhuǎn)中心順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°后，到△AO'

B的位置，則△AOC^^AO'B.

A

杰

BC

/.AO=AO,,0C=0'B

又?.?N0A0'=60°,...△AO'0為等邊三角形.

.\A0=00,

在△B00'中，00'+OB>BO,

即OA+OB>OC

四、歸納小結(jié)(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))

本節(jié)課應(yīng)掌握：

中心對(duì)稱(chēng)的兩條基本性質(zhì)：

1.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且

被對(duì)稱(chēng)中心所平分；

2.關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等圖形及其它們的應(yīng)用.

作業(yè)必做

設(shè)計(jì)選做

教

學(xué)

反

思

垂直于弦的直徑性質(zhì)

教學(xué)目標(biāo)：

(1)知識(shí)與技能

理解圓的軸對(duì)稱(chēng)性及垂徑定理的推證過(guò)程；能初步應(yīng)用垂徑定理進(jìn)行計(jì)算

和證明；

⑵過(guò)程與方法

進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力；

（3）情感態(tài)度與價(jià)值觀

通過(guò)圓的對(duì)稱(chēng)性，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的審美觀，并激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的熱愛(ài).

教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：

重點(diǎn)：①垂徑定理及應(yīng)用；②從感性到理性的學(xué)習(xí)能力.

難點(diǎn)：垂徑定理的證明.

教學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)設(shè)計(jì)：

（一）實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，提出問(wèn)題：

1、實(shí)驗(yàn)：讓學(xué)生用自己的方法探究圓的對(duì)稱(chēng)性，教師引導(dǎo)學(xué)生努力發(fā)現(xiàn)：圓具

有軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)、旋轉(zhuǎn)不變性.

2、提出問(wèn)題：老師引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題.通過(guò)“演示實(shí)

驗(yàn)一一觀察一一感性一一理性”引出垂徑定理.

（二）垂徑定理及證明：已知：在。0中，CD是直徑，AB是弦，CD±AB,垂

足為E.求證：AE=EB.

證明：連結(jié)OA、0B,則OA=OB.又AB,.?.直線CD是等腰AOAB的對(duì)稱(chēng)軸,

又是。0的對(duì)稱(chēng)軸.所以沿著直徑CD折疊時(shí)，CD兩側(cè)的兩個(gè)半圓重合，A點(diǎn)和B

點(diǎn)重合，AE和BE重合，因此，AE=BE.從而得到圓的一條重要性質(zhì).

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.

組織學(xué)生剖析垂徑定理的條件和結(jié)論：CD為。0的直徑，

CD±ABAE=EB.

為了運(yùn)用的方便，不易出現(xiàn)錯(cuò)誤，將原定理敘述為：①過(guò)圓心；②垂直于弦；③

平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)??；⑤平分弦所對(duì)的劣弧.

加深對(duì)定理的理解，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn)，避免學(xué)生記混.

（三）應(yīng)用和訓(xùn)練例1、已知在中，弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心0到AB的距

離為3cm,求。。的半徑.

分析：要求。。的半徑，連結(jié)0A,只要求出0A的長(zhǎng)就可以了，因?yàn)橐阎獥l件點(diǎn)

0至IAB的距離為3cm,所以作OE_LAB于E,而AE=EB=-AB=4cm.此時(shí)解RtAAOE

2

即可.

解：連結(jié)0A,作OELAB于E.則AE=EB.VAB=8cm,/.AE=4cm.

又?.?0E=3cm,/.O0的半徑為5cm.

說(shuō)明：①學(xué)生獨(dú)立完成，老師指導(dǎo)解題步驟；②應(yīng)用垂徑定理計(jì)算：涉及四條線

段的長(zhǎng):弦長(zhǎng)a、圓半徑r、弦心距d、弓形高h(yuǎn)關(guān)系：r=h+d；r2=d2+（a/2）2

例2、已知：在以0為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C、D兩點(diǎn).求

證AC=BD.（證明略）

說(shuō)明：此題為基礎(chǔ)題目，對(duì)各個(gè)層次的學(xué)生都要求獨(dú)立完成.

練習(xí)1：教材中練習(xí)1,2兩道題.由學(xué)生分析思路，學(xué)生之間展開(kāi)評(píng)價(jià)、交流.指

導(dǎo)學(xué)生歸納：①構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，垂徑定理和勾股定理的結(jié)合是計(jì)算弦

長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的常用方法；②在圓中解決弦的有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助

線一一弦心距.

（四）小節(jié)與反思

（1）圓的軸對(duì)稱(chēng)性；（2）垂徑定理及應(yīng)用.

方法：（1）垂徑定理和勾股定理有機(jī)結(jié)合計(jì)算弦長(zhǎng)、半徑、弦心距等問(wèn)題的方法,

構(gòu)造直角三角形；（2）在因中解決與弦有關(guān)問(wèn)題經(jīng)常作的輔助線一一弦心距；（3）

為了更好理解垂徑定理，一條直線只要滿足①過(guò)圓心；②垂直于弦；則可得③平

分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎?duì)的劣弧.

（五）作業(yè)教材.

課時(shí)作業(yè)設(shè)計(jì)

一、選擇題.

1.如圖1,如果AB為。。的直徑，弦CDLAB,垂足為E,那么下列結(jié)論中,

錯(cuò)誤的是（）.

A.CE=DEB.BC=BDC.ZBAC=ZBADD.AOAD

2.如圖2,。。的直徑為10,圓心0到弦AB的距離OM的長(zhǎng)為3,則弦AB的長(zhǎng)

是（）

A.4B.6C.7D.8

3.如圖3,在。0中，P是弦AB的中點(diǎn)，CD是過(guò)點(diǎn)P的直徑，則下列結(jié)論中不

正確的是（）

A.AB±CDB.ZA0B=4ZACDC.AD=BDD.P0=PD

二、填空題

1.如圖4,AB為GO直徑,E是BC中點(diǎn),0E交BC于點(diǎn)D,BD=3,AB=10,則AC=

B

E

（5）

2.P為。0內(nèi)一點(diǎn)，0P=3cm,OO半徑為5cm,則經(jīng)過(guò)P點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為—

最長(zhǎng)弦長(zhǎng)為.

3.如圖5,OE、OF分別為。0的弦AB、CD的弦心距,如果OE=OF,那么

（只需寫(xiě)一個(gè)正確的結(jié)論）

三、綜合提高題

1.如圖24-11,AB為。。的直徑，CD為弦，過(guò)C、D分別作CNJ_CD、DM±CD,

分別交AB于N、M,請(qǐng)問(wèn)圖中的AN與BM是否相等，說(shuō)明理由.

2.如圖，。。直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E,AE=2,EB=6,ZDEB=30°,求弦CD

長(zhǎng).

3.（開(kāi)放題）AB是。0的直徑，AC、AD是。0的兩弦，已知AB=16,AC=8,AD=8,

求NDAC的度數(shù).

答案：

~■、1.D2.D3.D

二、1.82.8103.AB=CD

三、1.AN=BM理由：過(guò)點(diǎn)0作OELCD于點(diǎn)E,則CE=DE,且CN〃OE〃DM.

/.ON=OM,/.OA-ON=OB-OM>

,\AN=BM.

2.過(guò)0作OF，CD于F,如右圖所示

VAE=2,EB=6,；.0E=2,

；.EF=5OF=1,連結(jié)OD,

在Rt^ODF中，42=12+DF2,DF=V15,，CD=2VB.

3.(1)AC、AD在AB的同旁，如右圖所示:

VAB=16,AC=8,AD=86,

/.-AC=-(-AB),/.ZCAB=60°，

222

同理可得NDAB=30°,

.,.ZDAC=30°.

(2)AC、AD在AB的異旁，同理可得：ZDAC=60°+30°=90°.

弧長(zhǎng)和扇形面積

教學(xué)目標(biāo)

(-)知識(shí)與技能

1.經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式的過(guò)程；

2.了解弧長(zhǎng)計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式，并會(huì)應(yīng)用公式解決問(wèn)題.

（二）過(guò)程與方法

1.經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)計(jì)算公式及扇形面積計(jì)算公式的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的探索能

力.

2.了解弧長(zhǎng)及扇形面積公式后，能用公式解決問(wèn)題，訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)用

能力.

（三）情感態(tài)度與價(jià)值觀

1.經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式，讓學(xué)生體驗(yàn)教學(xué)活動(dòng)充滿著探索與

創(chuàng)造，感受數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性.

2.通過(guò)用弧長(zhǎng)及扇形面積公式解決實(shí)際問(wèn)題，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與人類(lèi)生活

的密切聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，提高他們的學(xué)習(xí)積極性，同時(shí)提高大家

的運(yùn)用能力.

教學(xué)重點(diǎn)

1.經(jīng)歷探索弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式的過(guò)程.

2.了解弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式.

3.會(huì)用公式解決問(wèn)題.

教學(xué)難點(diǎn)

1.探索弧長(zhǎng)及扇形面積計(jì)算公式.

2.用公式解決實(shí)際問(wèn)題.

教學(xué)方法

學(xué)生互相交流探索法

教學(xué)過(guò)程

I.創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課

［師］在小學(xué)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)有關(guān)圓的周長(zhǎng)和面積公式，弧是圓周的一部分，

扇形是圓的一部分，那么弧長(zhǎng)與扇形面積應(yīng)怎樣計(jì)算？它們與圓的周長(zhǎng)、圓的面

積之間有怎樣的關(guān)系呢？本節(jié)課我們將進(jìn)行探索.

n.新課講解

一、復(fù)習(xí)

i.圓的周長(zhǎng)如何計(jì)算？

2.圓的面積如何計(jì)算？

3.圓的圓心角是多少度？

［生］若圓的半徑為r,則周長(zhǎng)1=2萬(wàn)r,面積S=〃落圓的圓心角是360°.

二、探索弧長(zhǎng)的計(jì)算公式

如圖，某傳送帶的一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)輪的半徑為10cm.

(1)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品/被傳送多少厘米?

⑵轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1°，傳送帶上的物品4被傳送多少厘米？

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)〃。，傳送帶上的物品4被傳送多少厘米？

［師］分析：轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品應(yīng)被傳送一個(gè)圓的周長(zhǎng)；因?yàn)閳A

的周長(zhǎng)對(duì)應(yīng)360°的圓心角，所以轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品/被傳送圓周

長(zhǎng)的一二；轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn),傳送帶上的物品力被傳送轉(zhuǎn)1°時(shí)傳送距離的〃倍.

360

［生］解：(D轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品力被傳送2"X10=20"cm；

(2)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn)1。，傳送帶上的物品/被傳送駟=2cm；

36018

(3)轉(zhuǎn)動(dòng)輪轉(zhuǎn),傳送帶上的物品/被傳送AX型^=」巴=cm.

360180

［師］根據(jù)上面的計(jì)算，你能猜想出在半徑為A的圓中，n。的圓心角所對(duì)的

弧長(zhǎng)的計(jì)算公式嗎？請(qǐng)大家互相交流.

［生］根據(jù)剛才的討論可知，360°的圓心角對(duì)應(yīng)圓周長(zhǎng)2萬(wàn)/?,那么1°的圓

心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)為過(guò)=型，〃°的圓心角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)應(yīng)為1°的圓心角對(duì)應(yīng)的

360180

弧長(zhǎng)的〃倍，即〃*芷=四匹.

180180

［師］表述得非常棒.

在半徑為力的圓中，n的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(arclength)的計(jì)算公式為：

1,=-nn-R.

180

下面我們看弧長(zhǎng)公式的運(yùn)用.

三、例題講解

制作彎形管道時(shí)，需要先按中心線計(jì)算“展直長(zhǎng)度”再下料，試計(jì)算下圖中

管道的展直長(zhǎng)度，即的長(zhǎng)(結(jié)果精確到0.1mm).

分析：要求管道的展直長(zhǎng)度，即求A8的長(zhǎng)，根根弧長(zhǎng)公式/=2型可求得

180

的長(zhǎng)，其中〃為圓心角，不為半徑.

解：7?=40mm,n=110.

二AB的長(zhǎng)=」-—X408mm.

180180

因此，管道的展直長(zhǎng)度約為76.8mm.

四、想一想

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長(zhǎng)3m的繩子，繩子的另

一端拴著一只狗.

(1)這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？

(2)如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過(guò)〃。角，那么它的最大活動(dòng)區(qū)域有多大？

［師］請(qǐng)大家互相交流.

［生］⑴如圖(1),這只狗的最大活動(dòng)區(qū)域是圓的面積，即93

⑵如圖(2),狗的活動(dòng)區(qū)域是扇形，扇形是圓的一部分，360°的圓心角對(duì)

11

應(yīng)的圓面積，1°的圓心角對(duì)應(yīng)圓面積的--->即----義9萬(wàn)=—7r，n°的圓心角

36036040

對(duì)應(yīng)的圓面積為〃><△=生.

4040

［師］請(qǐng)大家根據(jù)剛才的例題歸納總結(jié)扇形的面積公式.

［生］如果圓的半徑為此則圓的面積為萬(wàn)底1°的圓心角對(duì)應(yīng)的扇形面積為

要■,n的圓心角對(duì)應(yīng)的扇形面積為〃?耍=嚶.因此扇形面積的計(jì)算公

360360360

式為S扇形=口腎,其中斤為扇形的半徑，n為圓心角.

五、弧長(zhǎng)與扇形面積的關(guān)系

［師］我們探討了弧長(zhǎng)和扇形面積的公式，在半徑為A的圓中，n的圓心角

所對(duì)的弧長(zhǎng)的計(jì)算公式為一五R,na的圓心角的扇形面積公式為S國(guó)彩=

180

萬(wàn)4,在這兩個(gè)公式中，弧長(zhǎng)和扇形面積都和圓心角半徑〃有關(guān)系，因

360

此/和S之間也有一定的關(guān)系，你能猜得出嗎？請(qǐng)大家互相交流.

［生［???/=sf-

n

?r￡1?nr)

..-------JIK=—R-——JTR.?'*5??=—1R.

36021802

六、扇形面積的應(yīng)用

扇形428的半徑為12cm,N408=120°,求AB的長(zhǎng)（結(jié)果精確到0.1cm）和

扇形/防的面積（結(jié)果精確到0.1cm2）

分析：要求弧長(zhǎng)和扇形面積，根據(jù)公式需要知道半徑A和圓心角〃即可，本

題中這些條件已經(jīng)告訴了，因此這個(gè)問(wèn)題就解決了.

170

解：AB的長(zhǎng)=上？1X12仁25.1cm.

180

1of）

S=—萬(wàn)義12?心150.7cm2.

m360

因此，AB的長(zhǎng)約為25.1cm,扇形/①的面積約為150.7cm2.

m.課堂練習(xí)

IV.課時(shí)小結(jié)

本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：

i.探索弧長(zhǎng)的計(jì)算公式1=-七〃兄并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；

180

2.探索扇形的面積公式S=’-萬(wàn)#,并運(yùn)用公式進(jìn)行計(jì)算；

360

3.探索弧長(zhǎng)/及扇形的面積S之間的關(guān)系，并能已知一方求另一方.

V.課后作業(yè)

練習(xí)

VI.活動(dòng)與探究

如圖，兩個(gè)同心圓被兩條半徑截得的AB的長(zhǎng)為6〃cm,的長(zhǎng)為10萬(wàn)

cm,又4片12cm,求陰影部分/位右的面積.

分析:要求陰影部分的面積，需求扇形皈的面積與扇形/如的面積之差.根

據(jù)扇形面積S=-1R,1已知，則需要求兩個(gè)半徑和與OA,因?yàn)镺C=OA+AC,

2

4。已知，所以只要能求出。1即可.

解：設(shè)力=/?,OC=R+\2,AO=n°,根據(jù)已知條件有：

6n-TIR①

180

10TT=—K(/?+12)②

180

①用3_R

T=r得一二------

②5R+12

.,.3(7?+12)=57?,...仁18.

.*.00=18+12=30.

，S=S南形例-S南形板=LX10"X30-L義6"X18=96萬(wàn)cm2.

22

所以陰影部分的面積為96"cm2.

切線的判定

教學(xué)目標(biāo)：1、理解切線的判定定理，并并能初步運(yùn)用它解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

2、知道判定切線的常用的三種方法，初步掌握方法的選擇。

3、掌握在解決切線的問(wèn)題中常用的輔助線的作法。

情感態(tài)度：通過(guò)判定定理的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和歸納問(wèn)題的能力，并激

發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣；。

教學(xué)重點(diǎn)：切線的判定定理的理解和應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：理解切線判定定理的中的兩個(gè)條件：一是經(jīng)過(guò)半徑的外端；二是直線

垂直于這條半徑。

教學(xué)過(guò)程：

一、創(chuàng)設(shè)情景,導(dǎo)入新課。

問(wèn)題：直線和圓有幾種位置關(guān)系？你是如何來(lái)判斷這幾種位置關(guān)系的？

在學(xué)生回答后再展示相應(yīng)的位置關(guān)系及判斷的方法：

判斷的方法：(1)根據(jù)直線與圓的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系。

教師強(qiáng)調(diào)：圖（2）中的直線與圓相切，我們可以通過(guò)上述兩種方法來(lái)判

斷它們的位置關(guān)系。但在實(shí)際問(wèn)題中如果我們始終用尋找交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和

圓心到直線的距離來(lái)判斷很不方便，也難于操作，還有沒(méi)有其它的方法

呢？（引導(dǎo)學(xué)生思考）

二，啟發(fā)學(xué)生，探究新知。

1、待學(xué)生思考后，可能沒(méi)有什么發(fā)現(xiàn)。我們可以讓

學(xué)生在觀察剛才的圖（2）,提示學(xué)生可再任作一條半徑。

如圖（4）所示：

教師引導(dǎo)：回顧圖（2）中判斷直線1與圓相

切的方法:利用圓心0到直線1的距離等于圓

的半徑。

2、教師啟發(fā)：

（1）你能否把上面的文字?jǐn)⑹龅臈l件改成數(shù)學(xué)語(yǔ)言呢？

可由學(xué)生積極思考，討論，然后給出參考的答案:

距離0A：改寫(xiě)成OAJ_1;

等于半徑：改寫(xiě)成OA=r;

垂足A在半徑0A上且為半徑的一個(gè)端點(diǎn)。

（2）你能?chē)L試在不改變句子意思的條件下把上面的文字?jǐn)⑹龅拿}

改成意思相同的命題嗎？

學(xué)生改寫(xiě)后交流，然后在集體討論交流的基礎(chǔ)上得出：

經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（這就是我們今天

要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：圓的切線的判定，并板書(shū)課題）

（3）熟悉定理，分析命題的題設(shè)和結(jié)論，并能用幾何語(yǔ)言表示它們。

如圖：題設(shè)兩條件：①經(jīng)過(guò)半徑的外端；②垂直于這條半徑。

幾何語(yǔ)言的表示：?.?直線1，OA,1經(jīng)過(guò)半徑0A的外端

直線1為圓0的切線。

教師強(qiáng)調(diào)：上述兩個(gè)條件缺一不可。

.A

A一

圖（6）圖（5）圖。）

（4）學(xué)生思考：為什么不能缺少條件？能否舉出反例。

圖（6）經(jīng)過(guò)半徑的外端但不與半徑垂直；圖（7）與直線垂直，但沒(méi)有經(jīng)過(guò)

半徑的外端，都不是圓的切線。加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)識(shí)，判斷圓的切線時(shí)，這兩個(gè)條件

缺一不可。

三，互動(dòng)深化。

1、例1,如圖（8）,已知4ABC內(nèi)接于，?0

的直徑AE交BC于點(diǎn)F,點(diǎn)B在BC的延長(zhǎng)線上，且

CAP=ZABC；求證：PA是。。的切線。

分析:依據(jù)題目的條件有半徑0A且PA經(jīng)過(guò)0A

的外端,對(duì)照定理只須證PA±OA就可以了。

證明：連接CE

VAE是。A的直徑

二ZACE=90°

，ZE+ZEAC=90°

VZE=ZABCZABC=ZCAP

.\ZE=ZCAP

ZCAP+ZEAC=ZE+ZEAC=90°

即N0AP=90°

.,.PA_LOA,且PA經(jīng)過(guò)A點(diǎn)

，PA為的。0切線。

教師點(diǎn)評(píng)：依據(jù)定理判斷切線時(shí)對(duì)照定理需要

的條件，看已知條件滿足其中的什么條件，再證明

或查找另一個(gè)條件就可以了。

2、教學(xué)例2,如圖（10）,CD是AABC中AB邊

上的高，以CD為直徑的。0分別交CA,CB于點(diǎn)E、F,點(diǎn)G是AD的中點(diǎn)，求證:

GE是。0的切線。

分析：E是GE上的點(diǎn)又是。0上的一點(diǎn)，連接DE就是。。的半徑，對(duì)照判

定定理只需證明GE10E就行。

證明：連接OE、DE

：CD是。0的直徑

/.ZAED=ZCED=90°

?G是AD的中點(diǎn)

AEG=1/2AD=DG

/.ZDEG=ZEDG

VOE=OD

.?.ZDEO=ZEDO

.,.ZDEG+ZDEO=ZEDG+ZEDO

即NEOG=NCDA

VCD±AB

Z.ZCDA=90°

.,.ZEG0=ZCDA=90o

「DE是。0半徑

，GE是。。的切線。

教師點(diǎn)評(píng)：在已知條件中當(dāng)這條直線過(guò)圓上某一個(gè)點(diǎn)時(shí)，通常情況下，先連

接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)就成為半徑，然后再證明直線與這條半徑垂直。

3、教學(xué)例3,如圖（13）,在AABC中，ADLBC于D,且AD=%BC,E、F分

別是AB、AC的中點(diǎn)，0為EF的中點(diǎn)。

求證：以EF為直徑的圓0與BC相切。

分析：本題對(duì)照切線的判定方法都沒(méi)有可用的條件，既沒(méi)半徑，又沒(méi)垂直,

可過(guò)0作OHLBC于H。

證明：過(guò)0作OH_LBC于H

?E、F是AB、AC的中點(diǎn)

/.EF=l/2BC

M是AD的中點(diǎn)，MD=l/2AD

VAD=1/2BC

/.EF=AD

AMD=1/2EF

VAD1BCOHIBC

.?.OH〃MD

則四邊形OHDM是矩形

.,.OH=MD=l/2EF

，0H為。。的半徑.

XV0H±BC

...以EF為直徑的圓0與BC相切。

教師點(diǎn)評(píng)：證明切線時(shí)，已知條件沒(méi)有直接可用的條件，既沒(méi)有公共點(diǎn)，也

沒(méi)有垂直時(shí)，通常情況下，可以過(guò)圓心作這條直線的垂線，然后再證明這條垂線

段等于半徑。

四，應(yīng)用創(chuàng)新

1.如圖(9),AB是。0的直徑，ZABT=f/I\45°,AT

=ABo求證：AT是OO的切線。I°J

TA

圖(9)人

2,如圖Rt/XABC中，ZABC=90°,以AB為直fI\\

徑的。0交AC于點(diǎn)E、點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)、連接DE。1°j

求證：DE與。0相切。

BDc

圖(11)

3、如圖AABC中，AB=AC,0是BC的中點(diǎn),

OO與AB相切于點(diǎn)D.

五，課堂小結(jié)

1、切線的判定定理。

2、判定一條直線是圓的切線的方法。

(1)定義：直線和圓有唯一公共點(diǎn)。

(2)數(shù)量關(guān)系：直線到圓心的距離等于半徑。

(3)判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端且與這條半徑垂直的直線是圓的切線。

3、輔助線作法：

(1)有公共點(diǎn)：作半徑證垂直。

（2）無(wú)公共點(diǎn)：作垂直證半徑。

六,反饋評(píng)價(jià)。

1、如圖，AB是。。的直徑，ZBAC=30°,M是0A

上一點(diǎn)，過(guò)M作AB垂線交AC于點(diǎn)N,交BC的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E,直線CF交EN于點(diǎn)F,且NECF=NE。

求證：CF是。。的切線。（有公共點(diǎn)的情況）

2、如圖、DB是圓0的直徑，點(diǎn)A在BD的延長(zhǎng)線上AB=OB,ZCAD=30°

求證：AC是。。的切線。（屬于沒(méi)有公共點(diǎn)的

切線長(zhǎng)定理

教學(xué)目標(biāo)：1、了解切線長(zhǎng)定義，掌握切線長(zhǎng)定理，并利用它進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

2、在運(yùn)用切線長(zhǎng)定理的解題過(guò)程中，進(jìn)一步滲透方程的思想，熟悉

用代數(shù)的方法解幾何題。

教學(xué)重點(diǎn)：理解切線長(zhǎng)定理。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用切線長(zhǎng)定理解決問(wèn)題。

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1.切線的判定定理和性質(zhì)定理.

2.過(guò)圓上一點(diǎn)可作圓的幾條切線？過(guò)圓外一點(diǎn)呢？過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)呢？

二、合作探究

1、切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這

點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

2、切線長(zhǎng)定理

（1）操作：紙上一個(gè)。0,PA是。。的切線，連結(jié)P0,沿著直線P0將紙對(duì)折,

設(shè)與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為Bo0B是。0的半徑嗎？PB是。0的切線嗎？猜一猜PA

與PB的關(guān)系？NAP0與NBP0呢？

從上面的操作及圓的對(duì)稱(chēng)性可得：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平

分兩條切線的夾角.

(2)幾何證明.

如圖，已知PA、PB是的兩條切線.求證：PA=PB,NAPO=NBPO.

證明：

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)

和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

3、三角形的內(nèi)切圓

思考：如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的鐵片，并且使圓

的面積盡可能大呢？

三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心即三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做一一

(1)圖中共有幾對(duì)相等的線段

(2)若AF=4、BD=5、CE=9,則aABC周長(zhǎng)為

例如圖，AABC的內(nèi)切圓。。與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F,且AB=9cm

BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長(zhǎng)。若SAABC=18VTo,求00的半徑。

三、鞏固練習(xí)

1、如圖1,PA、PB是。0的兩條切線、A、B為切點(diǎn)。P0交。0于E點(diǎn)

(1)若PB=12,P0=13,則A0=___

(2)若P0=10,A0=6,則PB=

(3)若PA=4,A0=3,則P0=____；PE=.

(4)若PA=4,PE=2,則A0=____.

于C、D兩點(diǎn)。

(1)若PA=12,則4PCD周長(zhǎng)為

(2)若Z\PCD周長(zhǎng)=10,則PA=

(3)若NAPB=30°,則NA0B=_____,M是。0上一動(dòng)點(diǎn)，貝|NAMB=_

3、如圖RtAABC的內(nèi)切圓分別與AB、AC、BC、相切于點(diǎn)E、D、F,且NACB=90°,

AC=3、BC=4,求00的半徑。

C

B

E

A

4、如圖RtZ\ABC中，ZACB=90°,AC=6、BC=8,0為BC上一點(diǎn)，以0為圓心,

0C為半徑作圓與AB切于D點(diǎn)，求。。的半徑。

5、如圖，。。與4ADE各邊所在直線都相切，切點(diǎn)分別為M、P、N,且DE_LAE,

AE=8,AD=10,求。0的半徑

6、如圖，AB是。0的直徑，AE、BF切。0于A、B,EF切。0于C.

求證：0E10F

F

B

7、如圖，00的直徑AB=12cm,AM、BN是切線，DC切。0于E,交AM于D,交

BN于C,設(shè)AD=x,BC=y.

(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明是什么函數(shù)？

(2)若x、y是方程2t2-30t+m=0的兩根，求x,y的值.

(3)求△(：(?的面積.

四、小結(jié)歸納

1.圓的切線長(zhǎng)概念和定理

2.三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念

五、作業(yè)設(shè)計(jì)

三角形的內(nèi)切圓

教學(xué)目標(biāo)

1、使學(xué)生學(xué)會(huì)作三角形的內(nèi)切圓.

2、理解三角形內(nèi)切圓的有關(guān)概念.

3、掌握三角形的內(nèi)心、外心的位置、數(shù)量特征.

4、會(huì)關(guān)于內(nèi)心的一些角度的計(jì)算.

教學(xué)重點(diǎn)：

掌握三角形內(nèi)切圓的畫(huà)法、理解三角形內(nèi)切圓的有關(guān)概念.同三角形的外接圓一

樣，務(wù)必使學(xué)生準(zhǔn)確掌握三角形內(nèi)切圓的畫(huà)法.

教學(xué)難點(diǎn)：

畫(huà)鈍角三角形的內(nèi)切圓，學(xué)生極有可能畫(huà)出與三角形的邊相交或相離的情形.

教學(xué)過(guò)程：

一、新課引入：

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)三角形的外接圓的畫(huà)法及有關(guān)概念，現(xiàn)在我們用同樣的思想方法

來(lái)研究三角形的內(nèi)切圓的畫(huà)法及有關(guān)概念.

二、新課講解：

在一塊三角形的紙片上，怎樣才能剪下一個(gè)面積最大的圓呢？實(shí)際上它就是作圖

問(wèn)題：

例1作圓，使它和已知三角形的各邊都相切.

已知：Z\ABC.

求作：和AABC的三邊都相切的圓.

讓學(xué)生展開(kāi)討論，教師指導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，作圓的關(guān)鍵是確定圓心，因?yàn)樗髨A與△

ABC的三邊都相切，所以圓心到三邊的距離相等，顯然這個(gè)點(diǎn)既要在NB的平分

線上，又要在/C的平分線上.那它就應(yīng)該是兩條角平分線的交點(diǎn)，而交點(diǎn)到任

何一邊的垂線段長(zhǎng)就是該圓的半徑.

學(xué)生動(dòng)手畫(huà)，教師巡視.當(dāng)所有學(xué)生把銳角三角形的內(nèi)切圓畫(huà)出來(lái)時(shí)，教師可打

開(kāi)計(jì)算機(jī)或幻燈機(jī)給同學(xué)們作演示，演示的過(guò)程一定要分步驟進(jìn)行.然后學(xué)生按

左右分別畫(huà)直角三角形和鈍角三角形的內(nèi)切圓.這時(shí)學(xué)生在畫(huà)鈍角三角形的內(nèi)切

圓時(shí)，可能出現(xiàn)與邊相交或相離的情形，這很正常，教師要幫助學(xué)生加以糾正，

并最終指導(dǎo)學(xué)生完成下列問(wèn)題：

1.三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心、圓的外切三角形：

和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)

心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形.

2.多邊形的內(nèi)切圓、圓的外切多邊形：

和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內(nèi)切圓，這個(gè)多邊形叫做圓的外切多邊

形.

3.內(nèi)心是什么的交點(diǎn)？

內(nèi)心是三角形三個(gè)角的平分線的交點(diǎn).

4.內(nèi)心有什么數(shù)量特征？

內(nèi)心到三角形各邊的距離相等.

5.內(nèi)心的位置：三角形的內(nèi)心都在三角形的內(nèi)部.

（三）重點(diǎn)、難點(diǎn)的學(xué)習(xí)與目標(biāo)完成過(guò)程.

關(guān)于三角形內(nèi)切圓的有關(guān)概念，與三角形的外接圓類(lèi)似，三角形的內(nèi)切圓是直線

和圓的位置關(guān)系中的一個(gè)非常重要的位置.待學(xué)生理解了有關(guān)概念后，可在黑板

上采取對(duì)比的方式.如：

三角形的外接圓

三角形的內(nèi)切圓

練習(xí)一，0是aABC的內(nèi)心，則0A平分NBAC對(duì)不對(duì)？為什么？

練習(xí)二，0是4ABC的內(nèi)心，ZBAC=100°,則N0AC=50°,對(duì)不對(duì)？

練習(xí)三，Z0AC=40°,則NB+/C等于多少度？

這是一組強(qiáng)化三角形內(nèi)心性質(zhì)的習(xí)題，逐題增加了靈活度，教學(xué)中也可就不同班

級(jí)選用.

三、課堂小結(jié)：

學(xué)生閱讀教材后總結(jié)出本課的主要內(nèi)容：

1.會(huì)作各種三角形的內(nèi)切圓.

2.定義三角形的內(nèi)切圓、內(nèi)心及圓的外切三角形.

3.內(nèi)心是誰(shuí)的交點(diǎn)：位置如何？它有什么位置關(guān)系？

四、布置作業(yè)