2025高考數(shù)學一輪復習-第52講-隨機變量及其概率分布、期望與方差-專項訓練【含解析】

第52講-隨機變量及其概率分布、期望與方差-專項訓練【原卷版】[A級基礎(chǔ)達標]1.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且PX=0=3A.23 B.12 C.13 2.[2023·黑龍江哈爾濱模擬]（多選）袋中有6個大小相同的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是()A.取出的最大號碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布C.取出2個白球的概率為114D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為1143.[2023·黑龍江齊齊哈爾模擬]在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了4個小球，其中3個是白球，1個是黑球，用兩種方法讓同學們來摸球.方法一：在20個箱子中各任意摸出一個小球；方法二：在10個箱子中各任意摸出兩個小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為p1和p2A.p1=p2C.p1<p4.（多選）設(shè)隨機變量ξ的分布列為Pξ=A.15a=1 B.C.P0.1<ξ<0.65.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ,已知Pξ=1=16A.10% B.20% C.30% 6.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為：X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為.7.[2023·福建龍巖模擬]袋中裝有一些大小相同的球，其中標號為1號的球1個，標號為2號的球2個，標號為3號的球3個，……，標號為n號的球n個.現(xiàn)從袋中任取一球，所得號數(shù)為隨機變量X，若PX=n=0.28.[2023·天津耀華中學模擬]袋中裝有4只紅球和4只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得3分，取到1只黑球得1分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則ξ≥8的概率為9.[2023·山東濱州模擬]某小組共10人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（1）設(shè)事件A為“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列.[B級綜合運用]10.[2023·江蘇無錫模擬]（多選）口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球，n個白球，每次從中摸一個球，摸后再放回口袋中，摸到紅球記2分，摸到白球記1分，共摸球3次.設(shè)所得分數(shù)為隨機變量ξ，若Pξ=3=27A.2 B.3 C.4 D.511.（多選）設(shè)隨機變量X表示從1到n這n個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，Y表示從1到X這X個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，記PX=a,Y=bA.當n=3時，B.當n=4時，C.當n=k（k≥2且kD.當n=2時，12.[2023·河南三門峽模擬]已知集合A={1,2,3,4}，B={1,2,3,4,5}，從集合13.袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個球都是紅球的概率為16，一紅一黃的概率為13，則m?14.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,1（1）記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列；（2）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.[C級素養(yǎng)提升]15.[2023·湖北武漢模擬]某學校進行排球測試的規(guī)則是：每名學生最多發(fā)4次球，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則直到發(fā)完4次為止.設(shè)學生一次發(fā)球成功的概率為p，且p∈[16,56]，發(fā)球次數(shù)為X16.一顆擁有完美正八面體晶形的鉆石的示意圖如圖.設(shè)ξ為隨機變量，從棱長為1的正八面體的12條棱中任取2條，當2條棱相交時，ξ=0；當2條棱平行時，ξ的值為2條棱之間的距離；當2條棱異面時，ξ（1）求Pξ=（2）求ξ的分布列.第52講-隨機變量及其概率分布、期望與方差-專項訓練【解析版】[A級基礎(chǔ)達標]1.已知離散型隨機變量X服從兩點分布，且PX=0=3?4PA.23 B.12 C.13 [解析]選C.因為X服從兩點分布，所以PX=0+PX=1=12.[2023·黑龍江哈爾濱模擬]（多選）袋中有6個大小相同的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10，現(xiàn)從中任取4個球，則下列結(jié)論中正確的是(BD)A.取出的最大號碼X服從超幾何分布B.取出的黑球個數(shù)Y服從超幾何分布C.取出2個白球的概率為114D.若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則總得分最大的概率為114[解析]選BD.對于A，根據(jù)超幾何分布的定義，要把總體分為兩類，再依次選取，由此可知取出的最大號碼X不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故A錯誤；對于B，取出的黑球個數(shù)Y符合超幾何分布的定義，將黑球視作第一類，白球視作第二類，可以用超幾何分布的數(shù)學模型計算概率，故B正確；對于C，取出2個白球的概率為C62對于D，若取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，則取出四個黑球的總得分最大，所以總得分最大的概率為C643.[2023·黑龍江齊齊哈爾模擬]在一次“概率”相關(guān)的研究性活動中，老師在每個箱子中裝了4個小球，其中3個是白球，1個是黑球，用兩種方法讓同學們來摸球.方法一：在20個箱子中各任意摸出一個小球；方法二：在10個箱子中各任意摸出兩個小球.將方法一、二至少能摸出一個黑球的概率分別記為p1和p2，則(A.p1=p2C.p1<p[解析]選C.對于方法一：每箱中的黑球被選中的概率為14，所以至少摸出一個黑球的概率p1對于方法二：每箱中的黑球被選中的概率為C31C11C42=124.（多選）設(shè)隨機變量ξ的分布列為Pξ=k5A.15a=1 B.C.P0.1<ξ<0.6[解析]選ABC.由已知可得，a+2a+3a+4a+5a=1，即15a=5.已知在10件產(chǎn)品中可能存在次品，從中抽取2件檢查，其次品數(shù)為ξ,已知Pξ=1=1645A.10% B.20% C.30% [解析]選B.設(shè)10件產(chǎn)品中有x件次品，則Pξ=1=Cx1?C10?x1C102=6.某射擊選手射擊環(huán)數(shù)的分布列為：X78910P0.30.3ab若射擊不小于9環(huán)為優(yōu)秀，其射擊一次的優(yōu)秀率為40%[解析]由分布列的性質(zhì)得a+b=1?7.[2023·福建龍巖模擬]袋中裝有一些大小相同的球，其中標號為1號的球1個，標號為2號的球2個，標號為3號的球3個，……，標號為n號的球n個.現(xiàn)從袋中任取一球，所得號數(shù)為隨機變量X，若PX=n=0.2[解析]由題意可知，所有球的個數(shù)為1+2由古典概型的概率公式可得PX=n=n8.[2023·天津耀華中學模擬]袋中裝有4只紅球和4只黑球，從袋中任取4只球，取到1只紅球得3分，取到1只黑球得1分，設(shè)得分為隨機變量ξ，則ξ≥8的概率為53[解析]依題意，ξ≥8的事件是ξ=8，ξ=ξ=8的事件是取出2只紅球、2只黑球，Pξ=10的事件是取出3只紅球、1只黑球，Pξ=12的事件是取出4只紅球，P因此Pξ≥8=Pξ=89.[2023·山東濱州模擬]某小組共10人，利用假期參加義工活動.已知參加義工活動次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4.現(xiàn)從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.（1）設(shè)事件A為“選出的2人參加義工活動次數(shù)之和為4”，求事件A發(fā)生的概率；[答案]解：4=1+3=（2）設(shè)X為選出的2人參加義工活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量X的分布列.[答案]X的可能取值為0，1，2，PX=0=C32+所以隨機變量X的分布列為：X012P415715415[B級綜合運用]10.[2023·江蘇無錫模擬]（多選）口袋中有大小、形狀都相同的4個紅球，n個白球，每次從中摸一個球，摸后再放回口袋中，摸到紅球記2分，摸到白球記1分，共摸球3次.設(shè)所得分數(shù)為隨機變量ξ，若Pξ=3=27343A.2 B.3 C.4 D.5[解析]選BCD.由題意得摸到紅球的概率是p1=4n+4，白球的概率是p2=nn+4，而ξ=3即得3分，表示這3次摸的都是白球且Pξ=3=2734311.（多選）設(shè)隨機變量X表示從1到n這n個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，Y表示從1到X這X個整數(shù)中隨機抽取的一個整數(shù)，記PX=a,Y=b表示XA.當n=3時，B.當n=4時，C.當n=k（k≥2且kD.當n=2時，[解析]選BCD.對于A，當n=3時，PX=2=13,PY=1|X=2=12，則PX=2,Y=1=PX=2?PY=1|X=2=13×12=16,選項A錯誤；對于B，當n=4時，由X+Y=4，X≥Y，可得X=312.[2023·河南三門峽模擬]已知集合A={1,2,3,4}，B={1,2,3,4,5}，從集合[解析]根據(jù)題意，從集合A中任取3個不同的元素有4種結(jié)果：1,2,3，1,2,4，1,3,從集合B中任取3個不同的元素有10種結(jié)果：1,2,3，1,2,4，1,2,5，1,3,4，1,3,5，1,4,由X=b?a，得隨機變量X的可能取值為1,2,3,4，故X=所以PX=13.袋中有4個紅球，m個黃球，n個綠球.現(xiàn)從中任取兩個球，記取出的紅球數(shù)為ξ，若取出的兩個球都是紅球的概率為16，一紅一黃的概率為13，則m?[解析]由題意可得，Pξ=2=C42C4+m+n2=124+m+14.從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為12,13,1（1）記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列；[答案]解：隨機變量X的可能取值為0，1，2，3，則PX=PX=PX=PX=所以隨機變量X的分布列為X01232）若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.[答案]設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為PY+所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為1148[C級素養(yǎng)提升]15.[2023·湖北武漢模擬]某學校進行排球測試的規(guī)則是：每名學生最多發(fā)4次球，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則直到發(fā)完4次為止.設(shè)學生一次發(fā)球成功的概率為p，且p∈[16,56]，發(fā)球次數(shù)為X[解析]由題意，PX=令fx=1?x則f′x當16<x<13時f′x所以fx在16,13所以fxmax即PX=16.一顆擁有完美正八面體晶形的鉆石的示意圖如圖.設(shè)ξ為