2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-1.4-基本不等式-專項訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-1.4-基本不等式-專項訓(xùn)練【原卷版】時間：45分鐘一、選擇題1．設(shè)x>0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．3－2eq\r(2)C．－1 D．3－2eq\r(3)2．已知x≥eq\f(5,2)，則y＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有()A．最大值eq\f(5,2) B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1 D．最小值13．若對x>0，y>0，有(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，則m的取值范圍是()A．m≤4 B．m>4C．m<0 D．m≤84．高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，上、下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高，已知當(dāng)教室在第n層樓時，上、下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜聲較小，環(huán)境較好，因此隨著教室所在樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)教室在第n層樓時，環(huán)境不滿意度為eq\f(8,n)，則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室所在的樓層應(yīng)為()A．2 B．3C．4 D．85．已知a，b，c滿足a>b>c時，不等式eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(λ,c－a)>0恒成立，則λ的取值范圍是()A．λ≤0 B．λ<1C．λ<4 D．λ>46．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是()A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D.eq\f(1,2)7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)>m2＋3m＋4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C．(－4,1)D．(－1,4)8．設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，則x2＋y2＋z2的最小值為()A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．1二、填空題9．若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是.10．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是.三、解答題11．已知正常數(shù)a，b和正實(shí)數(shù)x，y滿足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a，b的值．12．某市在建造運(yùn)動會主體育場時需建造隔熱層，并要求隔熱層的使用年限為15年．已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬元，設(shè)每年的能源消耗費(fèi)用為y1萬元，隔熱層的厚度為x厘米，兩者滿足關(guān)系式：y1＝eq\f(k,2x＋5)(0≤x≤10，k為常數(shù))．若無隔熱層，則每年的能源消耗費(fèi)用為6萬元，15年的總維修費(fèi)用為10萬元，記y2為15年的總費(fèi)用．(總費(fèi)用＝隔熱層的建造成本費(fèi)用＋使用15年的能源消耗費(fèi)用＋15年的總維修費(fèi)用)(1)求y2的表達(dá)式；(2)請問當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時，15年的總費(fèi)用y2最小，并求出最小值．13．(多選題)下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>0時，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2B．當(dāng)x>2時，x＋eq\f(1,x)的最小值是2C．當(dāng)x<eq\f(5,4)時，y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最小值為5D．當(dāng)x>0，y>0時，eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥214．已知0<a<1,0<b<1，不等式ax2＋x＋b≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在x0∈R，使bxeq\o\al(2,0)＋x0＋a＝0成立，則eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值為()A.eq\f(10\r(2),3) B．4＋eq\f(4\r(2),3)C．4＋eq\r(2) D．4eq\r(2)15．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/時)與車流速度v(假設(shè)車輛以相同速度v行駛，單位：米/秒)、平均車長l(單位：米)的值有關(guān)，其公式為：F＝eq\f(76000v,v2＋18v＋20l).(1)如果不限定車型，l＝6.05，則最大車流量為輛/時；(2)如果限定車型，l＝5，則最大車流量比(1)中的最大車流量增加輛/時．16．設(shè)a，b為正實(shí)數(shù)，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2eq\r(2).(1)求a2＋b2的最小值；(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值． 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-1.4-基本不等式-專項訓(xùn)練【解析版】時間：45分鐘一、選擇題1．設(shè)x>0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是(D)A．3 B．3－2eq\r(2)C．－1 D．3－2eq\r(3)解析：∵x>0，∴3x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(3x·\f(1,x))＝2eq\r(3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(\r(3),3)時取等號，∴－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(1,x)))≤－2eq\r(3)，則y＝3－3x－eq\f(1,x)≤3－2eq\r(3)，故選D.2．已知x≥eq\f(5,2)，則y＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)有(D)A．最大值eq\f(5,2) B．最小值eq\f(5,4)C．最大值1 D．最小值1解析：y＝eq\f(x2－4x＋5,2x－4)＝eq\f(x－22＋1,2x－2)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－2＋\f(1,x－2)))≥1，當(dāng)且僅當(dāng)x－2＝eq\f(1,x－2)，即x＝3時等號成立，故y有最小值1，故選D.3．若對x>0，y>0，有(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))≥m恒成立，則m的取值范圍是(D)A．m≤4 B．m>4C．m<0 D．m≤8解析：由x>0，y>0，得(x＋2y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))＝2＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)＋2≥4＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)2y＝x時取等號，則m≤8，故選D.4．高三學(xué)生在新的學(xué)期里，剛剛搬入新教室，隨著樓層的升高，上、下樓耗費(fèi)的精力增多，因此不滿意度升高，已知當(dāng)教室在第n層樓時，上、下樓造成的不滿意度為n，但高處空氣清新，嘈雜聲較小，環(huán)境較好，因此隨著教室所在樓層的升高，環(huán)境不滿意度降低，設(shè)教室在第n層樓時，環(huán)境不滿意度為eq\f(8,n)，則同學(xué)們認(rèn)為最適宜的教室所在的樓層應(yīng)為(B)A．2 B．3C．4 D．8解析：由題意知，教室在第n層樓時，同學(xué)們總的不滿意度y＝n＋eq\f(8,n)≥4eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)n＝eq\f(8,n)，即n＝2eq\r(2)時，不滿意度最小，又n∈N*，分別把n＝2,3代入y＝n＋eq\f(8,n)，易知n＝3時，y最小，故最適宜的教室應(yīng)在3樓．5．已知a，b，c滿足a>b>c時，不等式eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)＋eq\f(λ,c－a)>0恒成立，則λ的取值范圍是(C)A．λ≤0 B．λ<1C．λ<4 D．λ>4解析：由題意知，原不等式可變形為λ<(a－c)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝[(a－b)＋(b－c)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝1＋eq\f(a－b,b－c)＋eq\f(b－c,a－b)＋1，而1＋eq\f(a－b,b－c)＋eq\f(b－c,a－b)＋1≥4(當(dāng)且僅當(dāng)(a－b)2＝(b－c)2時等號成立)，則λ<4.故選C.6．若0<a1<a2,0<b1<b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，則下列代數(shù)式中值最大的是(A)A．a(chǎn)1b1＋a2b2 B．a(chǎn)1a2＋b1b2C．a(chǎn)1b2＋a2b1 D.eq\f(1,2)解析：由0<a1<a2,0<b1<b2，易知a1a2＋b1b2<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a1＋a2,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b1＋b2,2)))2＝eq\f(1,2).又a1b1＋a2b2－(a1b2＋a2b1)＝(a1－a2)b1＋(a2－a1)b2＝(a2－a1)(b2－b1)>0，所以a1b1＋a2b2>a1b2＋a2b1.注意到1＝(a1＋a2)(b1＋b2)＝a1b1＋a2b2＋a1b2＋a2b1<2(a1b1＋a2b2)，所以a1b1＋a2b2>eq\f(1,2).綜上可知a1b1＋a2b2最大．7．已知x>0，y>0，x＋2y＝1.若eq\f(2,x)＋eq\f(1,y)>m2＋3m＋4恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(C)A．(－∞，－4]∪[－1，＋∞)B．(－∞，－1]∪[4，＋∞)C．(－4,1)D．(－1,4)解析：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))×1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝4＋eq\f(4y,x)＋eq\f(x,y)≥8，即m2＋3m＋4<8恒成立，m2＋3m－4<0的解集為(－4,1)．故選C.8．設(shè)x，y，z∈R，且x＋y＋z＝2，則x2＋y2＋z2的最小值為(A)A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D．1解析：由題意，得(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2(xy＋yz＋zx)≤x2＋y2＋z2＋(x2＋y2)＋(y2＋z2)＋(x2＋z2)＝3(x2＋y2＋z2)，即x2＋y2＋z2≥eq\f(x＋y＋z2,3)＝eq\f(4,3)(當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝eq\f(2,3)時取等號)，所以x2＋y2＋z2的最小值為eq\f(4,3)，故選A.二、填空題9．若對任意x>0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是a≥eq\f(1,5).解析：因?yàn)閤>0，所以x＋eq\f(1,x)≥2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，所以有eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2＋3)＝eq\f(1,5)，即eq\f(x,x2＋3x＋1)的最大值為eq\f(1,5)，故a≥eq\f(1,5).10．若實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋y2＋xy＝1，則x＋y的最大值是eq\f(2\r(3),3).解析：注意到消元有難度，而目標(biāo)式為x＋y，且條件可以構(gòu)造出x＋y的平方，于是1＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(eq\f(x＋y,2))2＝eq\f(3,4)(x＋y)2，所以eq\f(4,3)≥(x＋y)2，所以－eq\f(2\r(3),3)≤x＋y≤eq\f(2\r(3),3)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(\r(3),3)時取最大值eq\f(2\r(3),3).三、解答題11．已知正常數(shù)a，b和正實(shí)數(shù)x，y滿足a＋b＝10，eq\f(a,x)＋eq\f(b,y)＝1，x＋y的最小值為18，求a，b的值．解：因?yàn)閤＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,x)＋\f(b,y)))＝a＋b＋eq\f(ay,x)＋eq\f(bx,y)≥a＋b＋2eq\r(ab)＝(eq\r(a)＋eq\r(b))2，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(ay,x)＝eq\f(bx,y)，即eq\f(y,x)＝eq\r(\f(b,a))時，等號成立，所以x＋y的最小值為(eq\r(a)＋eq\r(b))2＝18，又a＋b＝10，所以ab＝16.所以a，b是方程x2－10x＋16＝0的兩根，所以a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.12．某市在建造運(yùn)動會主體育場時需建造隔熱層，并要求隔熱層的使用年限為15年．已知每厘米厚的隔熱層建造成本是4萬元，設(shè)每年的能源消耗費(fèi)用為y1萬元，隔熱層的厚度為x厘米，兩者滿足關(guān)系式：y1＝eq\f(k,2x＋5)(0≤x≤10，k為常數(shù))．若無隔熱層，則每年的能源消耗費(fèi)用為6萬元，15年的總維修費(fèi)用為10萬元，記y2為15年的總費(fèi)用．(總費(fèi)用＝隔熱層的建造成本費(fèi)用＋使用15年的能源消耗費(fèi)用＋15年的總維修費(fèi)用)(1)求y2的表達(dá)式；(2)請問當(dāng)隔熱層的厚度為多少厘米時，15年的總費(fèi)用y2最小，并求出最小值．解：(1)依題意，當(dāng)x＝0時，y1＝6，∴6＝eq\f(k,5)，∴k＝30.故y1＝eq\f(30,2x＋5)，y2＝4x＋eq\f(30,2x＋5)·15＋10＝4x＋eq\f(450,2x＋5)＋10(0≤x≤10)．(2)y2＝4x＋eq\f(450,2x＋5)＋10＝(4x＋10)＋eq\f(450,2x＋5)＝2(2x＋5)＋eq\f(450,2x＋5)≥2eq\r(22x＋5·\f(450,2x＋5))＝60，當(dāng)且僅當(dāng)2(2x＋5)＝eq\f(450,2x＋5)，即x＝5時，y2取得最小值，最小值為60，∴隔熱層的厚度為5厘米時，15年的總費(fèi)用達(dá)到最小值，最小值為60萬元．13．(多選題)下列結(jié)論正確的是(AD)A．當(dāng)x>0時，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2B．當(dāng)x>2時，x＋eq\f(1,x)的最小值是2C．當(dāng)x<eq\f(5,4)時，y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最小值為5D．當(dāng)x>0，y>0時，eq\f(x,y)＋eq\f(y,x)≥2解析：在A中，當(dāng)x>0時，eq\r(x)>0，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，結(jié)論成立；在B中，當(dāng)x>2時，x＋eq\f(1,x)≥2eq\r(x·\f(1,x))＝2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時取等號，但x>2取不到1，因此x＋eq\f(1,x)的最小值不是2，結(jié)論錯誤；在C中，因?yàn)閤<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，則y＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2×eq\r(5－4x·\f(1,5－4x))＋3＝1，當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1時取等號，結(jié)論錯誤；顯然D正確，故選AD.14．已知0<a<1,0<b<1，不等式ax2＋x＋b≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，又存在x0∈R，使bxeq\o\al(2,0)＋x0＋a＝0成立，則eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值為(B)A.eq\f(10\r(2),3) B．4＋eq\f(4\r(2),3)C．4＋eq\r(2) D．4eq\r(2)解析：因?yàn)椴坏仁絘x2＋x＋b≥0對于一切實(shí)數(shù)x恒成立，所以對應(yīng)方程的根的判別式Δ1＝1－4ab≤0，即4ab≥1.又存在x0∈R，使bxeq\o\al(2,0)＋x0＋a＝0成立，所以Δ2＝1－4ab≥0，即4ab≤1，所以4ab＝1，即b＝eq\f(1,4a)(1<4a<4)．所以eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)＝eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－\f(1,4a))＝eq\f(4,4－4a)＋eq\f(2,4a－1)＋2＝eq\f(4,4－4a)(4－4a＋4a－1)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,4a－1)(4－4a＋4a－1)×eq\f(1,3)＋2＝2＋eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(44a－1,4－4a)＋\f(24－4a,4a－1)))＋2≥4＋eq\f(1,3)×2eq\r(8)＝4＋eq\f(4\r(2),3)(當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(44a－1,4－4a)＝eq\f(24－4a,4a－1)時，等號成立)．所以eq\f(1,1－a)＋eq\f(2,1－b)的最小值為4＋eq\f(4\r(2),3).15．某項研究表明：在考慮行車安全的情況下，某路段車流量F(單位時間內(nèi)經(jīng)過測量點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/