2021年高中數(shù)學(xué)第1章空間幾何體學(xué)案 新人教A版必修2

第一章空間幾何體

1.1空間幾何體的結(jié)構(gòu)

1.1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

第1課時(shí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

［目標(biāo)］1.記住棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征；2.理解棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間的

關(guān)系；3.能用棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些簡單的有關(guān)問題.

I重點(diǎn)］棱柱、棱錐、棱臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征.

［難點(diǎn)］棱柱、棱錐、棱臺(tái)之間關(guān)系的理解.

w要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)/.....……本欄目通過課前自主學(xué)習(xí),整合知識(shí)，馀理主T.方基固本

知識(shí)點(diǎn)一空間幾何體

I填一填1

1.空間幾何體的定義

空間中的物體都占據(jù)著空間的一部分，如果只考慮這些物體的形狀和大小,而不考慮

其他因素，那么由這些物體抽象出來的空間圖彩就叫做空間幾何體.

2.空間幾何體的分類

(1)多面體：由若干個(gè)平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體.圍成多面體的各個(gè)多邊形

叫做多面體的面;相鄰兩個(gè)面的公些邊叫做多面體的棱;棱與楂的公某直叫做多面體的頂點(diǎn).

(2)旋轉(zhuǎn)體：由一個(gè)平面圖形繞它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的封閉幾何體叫

做旋轉(zhuǎn)體，這條定電線叫做旋轉(zhuǎn)體的軸.

［答一答］

1.多面體與旋轉(zhuǎn)體的主要區(qū)別是什么？

提示：多面體是由多個(gè)多邊形圍成的幾何體，旋轉(zhuǎn)體是由平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而形成的

幾何體.

2.多面體最少有幾個(gè)面，幾個(gè)頂點(diǎn)，幾條棱？

提示：多面體最少有4個(gè)面、4個(gè)頂點(diǎn)和6條棱.

知識(shí)點(diǎn)二棱柱的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相于

紅，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱.棱柱中，兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡稱

底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面;相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)摟；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)

叫做棱柱的頂點(diǎn).

［答一答］

3.棱柱的各側(cè)核是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？兩個(gè)底面的關(guān)系是怎樣

的？

提示：根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各側(cè)棱互相平行，側(cè)面是平行四邊形，兩個(gè)底面是全

等的多邊形.

4.有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體一定是棱柱嗎？

提示：不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际瞧叫兴倪呅巍辈⒉坏葍r(jià)于“每相鄰兩個(gè)四邊形的

公共邊都互相平行”，如右圖所示.

知識(shí)點(diǎn)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面圍成的多面體

叫做棱錐.這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底;有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面;

各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂直；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的惻棱一

I答一答I

5.棱錐的側(cè)面是什么樣的多邊形？有什么特征？

提示：根據(jù)棱錐的定義，棱錐的側(cè)面一定是三角形，且各個(gè)三角形有公共頂點(diǎn).

6.有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體一定是棱錐嗎？

提示：不一定，因?yàn)椤捌溆喔髅娑际侨切巍辈⒉坏葍r(jià)于“其余各面都是有一個(gè)公共

頂點(diǎn)的三角形”，如圖所示.

AB

知識(shí)點(diǎn)四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面間的部分叫做棱臺(tái).原棱錐的底

面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面.

［答一答］

7.棱臺(tái)的各側(cè)棱是什么關(guān)系？各側(cè)面是什么樣的多邊形？兩個(gè)底面是什么關(guān)系？

提示：棱臺(tái)的各側(cè)棱延長后交于一點(diǎn)，各側(cè)面是梯形，兩個(gè)底面是相似的多邊形.

8.觀察下面的幾何體，思考問題：

圖①是棱臺(tái)嗎？圖②用任意一個(gè)平面去截棱錐，一定能得到棱臺(tái)嗎？

提示：圖①不是棱臺(tái)，因?yàn)楦鱾?cè)棱延長后不交于一點(diǎn)，圖②中只有用平行于底面的平

面去我才能得到棱臺(tái).

J典例講練破題型/........本欄目通過課堂講練互動(dòng),變焦市點(diǎn).剖析難點(diǎn),全線突破

類型一棱柱的結(jié)構(gòu)特征

［例1］下列關(guān)于棱柱的說法：

(1)所有的面都是平行四邊形；

(2)每一個(gè)面都不會(huì)是三角形；

(3)兩底面平行，并且各側(cè)棱也平行；

(4)被平面截成的兩部分可以都是棱柱.

其中正確的序號(hào)是.

［解析］(1)錯(cuò)誤，棱柱的底面不一定是平行四邊形；(2)錯(cuò)誤，枝柱的底面可以是三角

形；(3)正確，由棱柱的定義易知；(4)正確，棱柱可以被平行于底面的平面截成兩個(gè)棱柱，

所以說法正確的序號(hào)是(3)(4).

［答案］(3)(4)

通法提煉4

棱柱的結(jié)構(gòu)特征：(1)兩個(gè)面互相平行；(2)其余各面是四邊形；(3)相鄰兩個(gè)四邊形的

公共邊互相平行.求解時(shí)，首先看是否有兩個(gè)平行的面作為底面，再看是否滿足其他特征.

[變式訓(xùn)練1]

如圖，已知長方體ABCQ-A81Goi.

(1)這個(gè)長方體是棱柱嗎？如果是，是幾棱柱？為什么？

(2)用平面8C尸E把這個(gè)長方體分成兩部分后，各部分形成的幾何體還是棱柱嗎？如果

是，是幾棱柱？如果不是，請說明理由.

解：(1)是棱柱，并且是四棱柱.因?yàn)橐蚤L方體相對(duì)的兩個(gè)面作為底面，則底面都是四

邊形，其余各面都是矩形，矩形當(dāng)然是平行四邊形，并且?guī)缀误w的四條側(cè)棱互相平行.

(2)截面上方的部分是棱柱，且是三棱柱BEBr

CFCi,其中△BE。和△CFG是底面.

微面BCFE下方的部分也是棱柱，且是四棱柱

DCFDi,其中四邊形A8EA和四邊形OC廣功是底面.

類型二棱錐、棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征

[例2](1)

如圖，在三棱臺(tái)A'B'U-ABC中，截去三棱錐A'-ABC,則剩余部分是()

A.三棱錐B.四棱錐

C.三棱柱D.三棱臺(tái)

(2)下列關(guān)于極錐、棱臺(tái)的說法：

①用一個(gè)平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺(tái)；

②棱臺(tái)的側(cè)面一定不會(huì)是平行四邊形；

③棱錐的側(cè)面只能是三角形；

④由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；

⑤棱錐被平面截成的兩部分不可能都是棱錐，其中正確說法的序號(hào)是.

［解析］(1)由題意知，在三枝臺(tái)A'B'C中，截去三棱錐A'-ABC,剩下的部分如

圖所示，故剩余部分是四棱錐A'-8B'CC.故選B.

(1)題圖(2)題圖

(2)①錯(cuò)誤，若平面不與棱錐底面平行，用這個(gè)平面去截棱錐，枝錐底面和截面之間的

部分不是棱臺(tái)；②正確，棱臺(tái)的側(cè)面一定是梯形，而不是平行四邊形；③正確，由棱錐的定

義知棱錐的側(cè)面只能是三角形；④正確，由四個(gè)面圍成的封閉圖形只能是三棱錐；⑤錯(cuò)誤，

如圖所示四棱錐被平面雨。截成的兩部分都是棱錐.

［答案］(1)B(2)②③④

通法提煉

判斷棱錐、棱臺(tái)形狀的兩個(gè)方法

(1)舉反例法：

結(jié)合棱錐、棱臺(tái)的定義舉反例直接判斷關(guān)于棱錐、棱臺(tái)結(jié)構(gòu)特征的某些說法不正確.

(2)直接法：

棱錐棱臺(tái)

定底面只有一個(gè)面是多邊形，此面即為底面兩個(gè)互相平行的面，即為底面

看側(cè)棱相交于一點(diǎn)延長后相交于一點(diǎn)

［變式訓(xùn)練2］如圖，下列幾何體是棱臺(tái)的是④(填序號(hào)).

解析：①③都不是由棱錐裁成的，不符合棱臺(tái)的定義，故①③不滿足題意.②中的截

面不平行于底面，不符合棱臺(tái)的定義，故②不滿足題意.④符合棱臺(tái)的定義.

類型三空間幾何體的展開圖問題

［例3］(I)請畫出如圖所示的幾何體的表面展開圖;

［解］(1)展開圖如圖所示.(答案不唯一)

(2)根據(jù)表面展開圖還原成幾何體，如圖③和④所示，可知①為五棱柱，②為三棱臺(tái).

③④

通法提煉4

(1)解答此類問題要結(jié)合多面體的結(jié)構(gòu)特征發(fā)揮空間想象能力和動(dòng)手能力.

(2)若給出多面體畫其展開圖時(shí)，常常給多面體的頂點(diǎn)標(biāo)上字母，先把多面體的底面畫

出來，然后依次畫出各側(cè)面.

(3)若是給出表面展開圖，則可把上述程序逆推.

［變式訓(xùn)練3］某城市中心廣場主題建筑為一三棱錐，且所有邊長均為10m,如圖所

示，其中E,r分別為AO,BC的中點(diǎn).

A

(1)畫出該幾何體的表面展開圖，并注明字母；

(2)為迎接國慶，城管部門擬對(duì)該建筑實(shí)施亮化工程，現(xiàn)預(yù)備從底邊8c中點(diǎn)尸處分別

過AC,A8上某點(diǎn)向A。中點(diǎn)E處架設(shè)LED燈管，所用燈管長度最短為多少？

解：(1)該幾何體的表面展開圖為

(2)由該幾何體的展開圖知，四邊形ACBD為菱形，四邊形ABCD為菱形.若使由F

向上所架設(shè)燈管長度最短，可由其展開圖中連接線段EE這兩條線段均為10,故所用燈管

最短為20m.

，課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典/........本欄目通過課堂日主達(dá)標(biāo),巧練經(jīng)典.強(qiáng)基提能.全面提升

I.有一個(gè)多面體，共有四個(gè)面圍成，每一個(gè)面都是三角形，則這個(gè)幾何體為(D)

A.四棱柱B,四棱錐

C.三棱柱D.三棱錐

2.關(guān)于空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征，下列說法不正確的是(B)

A.棱柱的側(cè)棱長都相等

B.四棱錐有五個(gè)頂點(diǎn)

C.三棱臺(tái)的上、下底面是相似三角形

D.有的棱臺(tái)的側(cè)棱長都相等

解析：根據(jù)棱錐頂點(diǎn)的定義可知，四棱錐只有一個(gè)頂點(diǎn)，故B不正確.

3.如圖所示，不是正四面體(各棱長都相等的三棱錐)的展開圖的是(C)

C.(3X4)D.

解析：可選擇陰影三角形作為底面進(jìn)行折疊，發(fā)現(xiàn)①②可折成正四面體，③④不論選

哪一個(gè)三角形作底面折疊都不能折成正四面體.

4.下列幾何體中，①@④是棱柱,⑥是棱錐，⑤是棱臺(tái)(僅填相應(yīng)序號(hào)).

P0

①②③

解析：結(jié)合棱柱、棱錐和棱臺(tái)的定義可知①③④是棱柱，⑥是棱錐，⑤是棱臺(tái).

5.畫一個(gè)三棱臺(tái)，再把它分成：

(1)一個(gè)三棱柱和另一個(gè)多面體.

(2)三個(gè)三棱錐，并用字母表示.

解：畫三棱臺(tái)一定要利用三棱錐.

⑴如圖①所示，三棱柱是棱柱A'夕C-AB'fC",另一個(gè)多面體是

B'CBCC"B".

(2)如圖②所示，三個(gè)三棱錐分別是A'-ABC,夕-A'BC,C-A'B'C.

典式課堂小結(jié)

—本課須掌握的四大問題

1.對(duì)于多面體概念的理解，注意以下兩個(gè)方面：

(1)多面體是由平面多邊形圍成的，圍成一個(gè)多面體至少要四個(gè)面.

(2)多面體是一個(gè)“封閉”的幾何體.

2.對(duì)于棱柱的定義注意以下三個(gè)方面：

(1)有兩個(gè)面平行，各側(cè)棱都平行，各側(cè)面都是平行四邊形.

(2)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體不一定是棱柱.

（3）從運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)看，棱柱可以看成是一個(gè)平面多邊形，從一個(gè)位置沿一條不與其共面

的直線運(yùn)動(dòng)到另一位置時(shí)，形成的幾何體.

3.對(duì)于棱錐要注意有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體不一定是棱錐,

必須強(qiáng)調(diào)其余各面是共頂點(diǎn)的三角形.

4.棱臺(tái)中各側(cè)棱延長后必相交于一點(diǎn)，否則不是棱臺(tái).

?溫馨提示

學(xué)習(xí)至此，請完成課時(shí)作業(yè)1

學(xué)科素養(yǎng)培優(yōu)精品微課堂

柱、錐、臺(tái)結(jié)構(gòu)特征判斷中的誤區(qū)

?;開講啦（1）解答過程中易忽視側(cè)棱的延長線不能交于一點(diǎn)，直觀感覺是梭臺(tái)，而

不注意邏輯推理.

（2）解答空間幾何體概念的判斷題時(shí)，要注意緊扣定義，切忌只憑圖形主觀臆斷.

［典例］如圖所示，幾何體的正確說法的序號(hào)為.

（1）這是一個(gè)六面體；（2）這是一個(gè)四棱臺(tái)；（3）這是一個(gè)四棱柱；（4）此幾何體可由三棱

柱截去一個(gè)三棱柱得到；（5）此幾何體可由四棱柱截去一個(gè)三棱柱得到.

［解析］（1）正確，因?yàn)橛辛鶄€(gè)面，屬于六面體的范圍：（2）錯(cuò)誤，因?yàn)閭?cè)棱的延長線不

能交于一點(diǎn)，所以不正確：（3）正確，如果把幾何體放倒就會(huì)發(fā)現(xiàn)是一個(gè)四棱柱；（4）（5）都正

確，如圖所示.

［答案］（1）（3）⑷⑸

［對(duì)應(yīng)訓(xùn)練］如圖，將裝有水的長方體水槽固定底面一邊后傾斜一個(gè)小角度，則傾斜

后水槽中的水形成的幾何體是（A）

A.棱柱B.棱臺(tái)

C.棱柱與棱錐的組合體D.不能確定

解析：符合棱柱的定義.

第2課時(shí)圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的結(jié)構(gòu)特征

［目標(biāo)］1.記住圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及它們的結(jié)構(gòu)特征；2.能用圓柱、圓錐、

圓臺(tái)的定義及結(jié)構(gòu)特征解答一些相關(guān)問題.

［重點(diǎn)］圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的定義及結(jié)構(gòu)特征.

［難點(diǎn)］圓柱、圓錐、圓臺(tái)之間關(guān)系的理解.

，要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)/.....……本欄目通過課前自主學(xué)習(xí),整合知識(shí).飾理主干.夯基固本

知識(shí)點(diǎn)一圓柱

［填一填］

以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的施4維叫做圓柱.

旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊

旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面;無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的

母線.

棱柱和圓柱統(tǒng)稱為柱體.

［答一答1

1.①在圓柱中，圓柱的任意兩條母線是什么關(guān)系？過兩條母線的截面是怎樣的圖形？

②在圓柱中，過軸的截面是軸截面，圓柱的軸截面是什么圖形？軸截面含有哪些重要

的量？

③圓柱上底面圓周上任一點(diǎn)與下底面圓周上任一點(diǎn)的連線是圓柱的母線嗎？

提示：①圓柱的任意兩條母線平行，過兩條母線的橫面是矩形.

②圓柱的軸截面是矩形，軸截面中含有圓柱的底面直徑與圓柱的母線.

③不一定.圓柱的母線與軸是平行的.

知識(shí)點(diǎn)二圓錐

［填一填］

以直一三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)

隹叫做圓錐.

棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體.

［答一答］

2.直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐嗎？

提示：不是.當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體

不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底面圓錐組成的幾何體.

知識(shí)點(diǎn)三圓臺(tái)

［填一填］

用平行于圓錐底面的平面去截圓錐,底面與截面之間的部分叫做圓臺(tái).

棱臺(tái)與圓臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體.

［答一答1

3.類比圓柱、圓錐的形成過程，圓臺(tái)可以由平面圖形旋轉(zhuǎn)而成嗎？

提示：(1)圓臺(tái)可以看作是直角梯形以垂直底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其他三邊旋

轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圉成的幾何體.

(2)圓臺(tái)也可以看作是等腰梯形以其兩底邊的中點(diǎn)連線為軸，各邊旋轉(zhuǎn)半周形成的曲面

所圍成的幾何體.

知識(shí)點(diǎn)四球體

［填一填］

以生圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體,簡稱為球.

半圓的圓心叫做球的里如半圓的半徑叫做球的半徑,半圓的直徑叫做球的直徑.

［答一答］

4.半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成什么？它與球有區(qū)別嗎？

提示：半圓或圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球面.球面是一曲面，它只能度量

面積而不能度量體積，球是由球面圍成的幾何體，它不僅可以度量球的表面積，還可以度量

其體積.

5.用一個(gè)平面去截球，得到的是一個(gè)圓嗎？

提示：不是，得到的是一個(gè)圓面，球是一個(gè)幾何體，包括表面及其內(nèi)部.

.................本欄目通過課堂講練互動(dòng)，密焦叔點(diǎn).剖析難點(diǎn),全線突破

類型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征

［例1］(1)下列敘述中，正確的個(gè)數(shù)是()

①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐.

②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的幾何體是圓臺(tái).

③用一個(gè)平面去截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái).

④圓面繞它的任一直徑旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是球.

A.0個(gè)B.1個(gè)

C.2個(gè)D.3個(gè)

(2)給出下列命題：

①圓柱的母線與它的軸可以不平行；

②圓錐的頂點(diǎn)、底面圓的圓心與圓錐底面圓周上任意一點(diǎn)這三點(diǎn)的連線都可以構(gòu)成直

角三角形；

③在圓臺(tái)的上、下兩底面圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓臺(tái)的母線；

④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的.

其中正確的是()

A.??B.②③

C.@@D.②④

［解析］(1)以直角三角形的斜邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓錐，故①錯(cuò)；以直

角梯形的一斜腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，故②錯(cuò)；當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，得

到的兩個(gè)幾何體不是圓錐和圓臺(tái)，故③錯(cuò).故只有④是正確的.故選B.

(2)由圓柱、圓錐、圓臺(tái)的定義及母線的性質(zhì)可知②④正確，①③錯(cuò)誤.

［答案〕(1)B(2)D

通法提煉

簡單旋轉(zhuǎn)體判斷問題的解題策略

(1)準(zhǔn)確掌握圓柱、圓錐、圓臺(tái)和球的生成過程及其特征性質(zhì)是解決此類概念問題的關(guān)

鍵.

(2)解題時(shí)要注意兩個(gè)明確：

①明確由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)而成；

②明確旋轉(zhuǎn)軸是哪條直線.

［變式訓(xùn)練1］以下說法中：

①圓臺(tái)上底面的面積與下底面的面積之比一定不等于1;

②矩形繞任意一條直線旋轉(zhuǎn)都可以圍成圓柱；

③圓錐側(cè)面的母線長一定大于圓錐底面圓直徑；

④圓臺(tái)的上下底面不一定平行，但過圓臺(tái)側(cè)面上每一點(diǎn)的母線都相等.

其中正確的序號(hào)為①.

解析：圓臺(tái)上、下底面不等，所以面積比不等于1,所以①正確：矩形繞其一邊所在

直線旋轉(zhuǎn)才可以圍成圓柱，所以②不正確；圓錐母線不一定大于底面直徑，所以③不正確；

圓臺(tái)的上、下底面一定平行，所以④不正確.

類型二旋轉(zhuǎn)體的有關(guān)計(jì)算

命題視角1:圓柱、圓錐、圓臺(tái)的計(jì)算問題

［例2］已知一個(gè)圓臺(tái)的母線長為12cm,兩底面的面積分別為4兀cm?和25兀cm\求:

(1)圓臺(tái)的高；

(2)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長.

［分析］在解答有關(guān)臺(tái)體的問題時(shí)，一般要把臺(tái)體還原成錐體，這就是常應(yīng)用的“還

臺(tái)為錐”的思想，不僅在作圖時(shí)應(yīng)用，而且在計(jì)算時(shí)也常應(yīng)用此思想尋求元素間的關(guān)系，以

便解決問題.

解(1)

設(shè)圓臺(tái)的軸微面為等腰梯形A3CD(如圖所示).

由邈意可得上底的一半0M=2cm,下底的一半05=5cm,腰長A8=12cm,所以

圓臺(tái)的高12?—(5—2)2=3、瘴(5).

(2)如圖，延長84,0。1,CD,交于點(diǎn)S,設(shè)截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為/cm,

/—122

則由△S45sZ^S80,得—=亍

解得；=20.

故截得此圓臺(tái)的圓錐的母線長為20cm.

通法提煉

旋轉(zhuǎn)體中有關(guān)底面半徑、母線、高的計(jì)算，可利用軸截面求解，即將立體問題平面化.

對(duì)于圓臺(tái)的軸截面，可將兩腰延長相交后在三角形中求解.這是解答圓臺(tái)問題常用的方法.

［變式訓(xùn)練2］用一個(gè)平行于圓錐底面的平面截該圓錐，截得圓臺(tái)的上、下底面半徑

之比是14,截去的小圓錐的母線長是3cm,則圓臺(tái)的母線長9cm.

解析：

如右圖，設(shè)圓臺(tái)的母線長為y,小圓錐底面與被截的圓錐底面半徑分別是x,4x.根據(jù)相

3x

似三角形的性質(zhì)得解此方程得y=9.所以圓臺(tái)的母線長為9cm.

命題視角2：球的截面問題

［例3］已知半徑為10的球的兩個(gè)平行截面的周長分別是12兀知16兀，求這兩個(gè)截面

間的距離.

［分析］畫出球的截面圖，球心與截面圓心連線垂直于棧面所在的平面，構(gòu)造直角三

南形解決.對(duì)于球的兩個(gè)平行截面要注意討論它們在球心同側(cè)還是異側(cè)，否則容易漏解.

［解］設(shè)球的大圓為圓O,C,。兩點(diǎn)為兩極面圓的圓心，A3為經(jīng)過C,O,。三點(diǎn)的

直徑且兩極面圓的半徑分別是6和8.

當(dāng)兩截面在球心同側(cè)時(shí)，如圖（I）,此時(shí)CD=OD=7OF-AC2°-D盧=8

-6=2.

當(dāng)兩截面在球心兩側(cè)時(shí)，如圖（2）,此時(shí)CD=OC+OD=70￡—Ed0產(chǎn)一DF2=8

+6=14.

戰(zhàn)兩截面間的距離為2或14.

通法提煉

利用球的截面，將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題是解決球的有關(guān)問題的關(guān)鍵.

［變式訓(xùn)練3］已知正方體的棱長為〃，求它的外接球的半徑.

解：

正方體的外接球與正方體相連接的點(diǎn)為正方體的各個(gè)頂點(diǎn)，故應(yīng)作正方體的對(duì)角面，

則球的軸截面為對(duì)角面矩形的外接圓，如圖所示，設(shè)球的半徑為七，則（2/?2尸=（啦。尸+/

今&=坐@

類型三旋轉(zhuǎn)體的展開圖問題

［例4］如圖，底面半徑為1,高為2的圓柱，在點(diǎn)A處有一只螞蟻，現(xiàn)在這只螞蟻要

圍繞圓柱由點(diǎn)4爬到點(diǎn)8，問螞蟻爬行的最短距離是多少？

題圖答圖

［解］把圓柱的側(cè)面沿A8剪開，然后展開成為平面圖形——矩杉，如圖，連接A8',

則A8'即為螞蟻爬行的最短距離.

yAB=A'B'=2,AAr為底面圓的周長，

：.AAf=2TCX1=2TC,

：.AB'B'2+W2=山+（2兀）2=2、1+兀2,

故螞蟻爬行的最短距離為25+/.

通法提煉4

求旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般轉(zhuǎn)化為側(cè)面展開圖上該點(diǎn)間的距離進(jìn)行求解.

［變式訓(xùn)練4］

若本例中螞蟻圍繞圓柱轉(zhuǎn)兩圈，如圖，則它爬行的最短距離是多少？

解:

?.?AB=2,BB'=2X2冗X1=4幾，

：.AB'6+842=耳4+16兀2=2@+4儲(chǔ).

故螞蟻爬行的最短距離為25+4d.

J課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典］........本欄目通過課堂日主達(dá)標(biāo),巧練經(jīng)典,強(qiáng)基提能.全面提升

1.下圖是由哪個(gè)平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的（D）

解析：組合體上半部分是圓錐，下半部分是一個(gè)圓臺(tái)，因此應(yīng)該是由上半部分為三角

形，下半部分為梯形的平面圖形旋轉(zhuǎn)而成的，觀察四個(gè)選項(xiàng)得D正確.

2.下列說法正確的是（C）

A.用一平面去截圓臺(tái)，截面一定是圓面

B.通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，有無數(shù)條母線

C.圓臺(tái)的任意兩條母線延長后相交于同一點(diǎn)

D.圓錐的母線可能平行

解析：對(duì)于A,用一平面去假圓臺(tái)，當(dāng)截面與底面不平行時(shí)，截面不是圓面：對(duì)于B,

通過圓臺(tái)側(cè)面上一點(diǎn)，只有一條母線：對(duì)于D,圓錐的母線延長后交于頂點(diǎn)，因此不可能平

行.

3.若4,8為球面上相異的兩點(diǎn)，則通過4,8兩點(diǎn)可作球的大圓有（D）

A.一個(gè)B.無窮多個(gè)

C.零個(gè)D.一個(gè)或無窮多個(gè)

解析：若A,B為一條直徑的兩端點(diǎn)，則經(jīng)過A,B兩點(diǎn)可作無數(shù)個(gè)大圓.若A,B與

球心0不在同一直線上，只能作一個(gè)大圓.故選D.

4.一個(gè)圓錐的母線長為20cm,母線與軸的夾角為30。，則圓錐的高為10\份cm.

解析：/Z=20COS300=1GV3（cm）.

5.已知圓錐底面半徑r=lcm,母線/=6cm,現(xiàn)有一只螞蟻，從圓錐底面圓周上的

點(diǎn)4沿側(cè)面爬一周后又回到點(diǎn)A,求它至少要爬的路程.

解：

/?I

如圖，將圓錐側(cè)面沿母線用展開，所得扇形的圓心角。=了36。。=不乂360。=60。.

連接A4',則4A'的長度就是螞蟻爬的最短距離.

因?yàn)镻是等邊三角形，

所以AA'=AP=6cm,

即螞蟻至少要爬6cm.

國》??課堂小結(jié)

本課須掌握的三大問題

圓柱、圓錐、圓臺(tái)的關(guān)系如圖所示.

上底縮小1

工底擴(kuò)大至頂點(diǎn)拓展為/:\

與下底面全等與心面平行

留柱

2.處理臺(tái)體問題常采用還臺(tái)為錐的補(bǔ)體思想.

3.重視圓柱、圓錐、圓臺(tái)的軸截面在解決幾何量中的特殊作用，切實(shí)體會(huì)空間幾何

平面化的思想.

?溫馨提示

1.1.2簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［目標(biāo)］1.了解組合體的概念；2.會(huì)用柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征描述簡單組合體的結(jié)

構(gòu)特征.

［重點(diǎn)1對(duì)簡單組合體兩種基本形式的認(rèn)識(shí).

［難點(diǎn)］把簡單組合體分解大簡單幾何體.

J要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)-本欄目通過課前自主學(xué)習(xí)，整合知識(shí),梳理主干.夯基固本

知識(shí)點(diǎn)一簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［填一填］

1.定義：由簡單幾何體組合而成的幾何體叫做簡單組合體.

2.簡單組合體的兩種基本形式：

［由簡單幾何體拼接而成；

簡單組合體〈----

I由簡單幾何體截去或挖去一部分而成.

1答一答1

I.組合體的形式有哪些？

提示：(1)多面體與多面體的組合體.

(2)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

(3)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合體.

2.如圖是一暖瓶，不考慮提手，其主要的結(jié)構(gòu)特征是什么？

提示：把暖瓶看作一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，它是一個(gè)簡單組合體，是由兩個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)拼接

而成的.

J典例講練破題型;本欄目通過課堂講練互動(dòng).孌焦節(jié)點(diǎn).剖析難點(diǎn),全線突破

類型一簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征

［例I］(1)如圖①所示的物體為燕尾槽工件，請說明該物體是由哪些幾何體構(gòu)成的.

(2)指出圖②中三個(gè)幾何體的主要結(jié)構(gòu)特征.

［解］(1)圖①中的幾何體可以看做是一個(gè)長方體割去一個(gè)四棱柱所得的幾何體，也可

以看成是一個(gè)長方體與兩個(gè)四棱柱組合而成的幾何體(如圖所示).

補(bǔ)上兩個(gè)，

四核柱K-------K

(2)(A)中的幾何體由一個(gè)三凌柱挖去一個(gè)圓柱后剩余部分組合而成，其中圓柱內(nèi)切亍

三棱柱.

(B)中的幾何體由一個(gè)圓錐挖去一個(gè)四棱柱后剩余部分組合而成，其中四棱柱內(nèi)接于圓

(C)中的幾何體由一個(gè)球挖去一個(gè)三棱錐后剩余部分組合而成.其中三棱錐內(nèi)接于球.

4

會(huì)識(shí)別較復(fù)雜的圖形是學(xué)好立體幾何的第一步，我們應(yīng)注意觀察周圍的物體，然后將

它們“分拆”成幾個(gè)簡單的幾何體，進(jìn)而培養(yǎng)我們的空間想象能力和識(shí)圖能力.

［變式訓(xùn)練1］請描述如圖所示的組合體的結(jié)構(gòu)特征.

解：①是由一個(gè)圓臺(tái)挖去一個(gè)圓錐后剩下的部分得到的組合體：

②是由一個(gè)四棱柱和一個(gè)四棱錐組合而成的組合體.

類型二平面圖形旋轉(zhuǎn)形成的組合體

［例2］已知AB是直角梯形A8CO中與底邊垂直的一腰，如圖.分別以48,BC,CD,

D4為軸旋轉(zhuǎn)，試說明所得幾何體的結(jié)構(gòu)特征.

［解］(1)以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái).如圖①所示.

(2)以BC為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是一組合體：下部為圓柱，上部為圓錐.如圖②所示.

(3)以。。為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體為一組合體：上部為圓錐，下部為圓臺(tái)，再挖去一個(gè)

小圓錐.如圖③所示.

(4)以A。為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體為一組合體：一個(gè)圓柱上部挖去一個(gè)圓錐.如圖④所

示.

④

通法提煉

對(duì)于不規(guī)則的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的問題，要對(duì)原平面的圖形通過向軸作垂線，作適當(dāng)

的分割，再根據(jù)圓柱、圓錐、圓臺(tái)的特征進(jìn)行判斷.

［變式訓(xùn)練2］如圖所示的平面中陰影部分繞中間軸旋轉(zhuǎn)一周，形成的幾何體形狀為

(B)

A.一個(gè)球體

B.一個(gè)球體中間挖去一個(gè)圓柱

C.一個(gè)圓柱

D.1個(gè)球體中間挖去一個(gè)長方體

類型三與球有關(guān)的“切”與“接”問題

［例3］已知正方體的棱長為小分別求出它的內(nèi)切球及與各棱都相切的球半徑.

［分析］解決此題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)軸截面，建立半徑與棱長的關(guān)系.

［解］(1)正方體的內(nèi)切球與各面的切點(diǎn)為正方體各面的中心，故作出經(jīng)過正方體相對(duì)

兩面的中心且與棱平行的截面，則球的一個(gè)大圓是其正方形截面的底切圓，如圖(1)所示，

設(shè)球的半徑為品，易得品=?

(2)與正方體的各棱均相切的球與正方體相連接的點(diǎn)是正方體各棱的中點(diǎn)，故應(yīng)作出經(jīng)

過正方體一組平行棱中點(diǎn)的截面，則球的軸截面是其正方形截面的外接圓，如圖(2)所示，

設(shè)球的半徑為/?3,易求得球的半徑/?3=乎。

通法提煉

組合體問題應(yīng)分清各部分之間是如何組合起來的，以便轉(zhuǎn)化為平面圖形進(jìn)行計(jì)算.正

方體的內(nèi)切球直徑等于正方體的棱長；外接球直徑等于其體對(duì)角線的長；球與正方體各棱都

相切，則球的直徑等于正方體面對(duì)角線的長.

［變式訓(xùn)練3］一個(gè)正方體內(nèi)接于一個(gè)球，過球心作一截面，如下圖所示，則截面可

能是(C)

@?0O

①②③。

A.B.②④C.D.???

解析：考慮過球心的正方體板面位置的可能情形.當(dāng)截面平行于正方體的一個(gè)側(cè)面時(shí)

得③，當(dāng)截面過正方體的體對(duì)角線時(shí)得②，當(dāng)截面不平行于任何側(cè)面，也不過對(duì)角線時(shí)得①,

但無論如何都不能截出④.故選C.

J課堂達(dá)標(biāo)練經(jīng)典;本欄目通過課堂日主達(dá)標(biāo),巧練經(jīng)典.強(qiáng)基提能.全面提升

1.如圖所示為一個(gè)空間幾何體的豎直截面圖形，那么這個(gè)空間幾何體自上而下可能

是（C）

A.梯形、正方形B.圓臺(tái)、正方形

C.圓臺(tái)、圓柱D.梯形、圓柱

解析：空間幾何體不是平面幾何圖形，所以應(yīng)該排除A、B、D,所以選C.

2.如圖，將陰影部分圖形繞圖示直線/旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體是（D）

A.圓錐

B.圓錐和球組成的簡單幾何體

C.球

D.一個(gè)圓錐內(nèi)部挖去一個(gè)球后組成的簡單幾何體

解析：三角形繞軸旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是圓錐，圓繞直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周后形

成的幾何體是球，故陰影部分旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是一個(gè)圓錐內(nèi)部挖去一個(gè)球后組成的

簡單幾何體.

3.圖中的幾何體由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)以圓柱的上底面為底面，下底面圓心為頂點(diǎn)的

圓錐而得.現(xiàn)用一個(gè)豎直的平面去截這個(gè)幾何體，則截面圖形可能是（D）

(3)(4)⑸

A.⑴⑵B.⑴⑶

C.⑴⑷D.(1)(5)

解析：當(dāng)截面不過旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，截面圖形是(5),故選D.

4.已知一個(gè)棱長為6cm的正方體塑料盒子(無上蓋)，上口放著一個(gè)半徑為5cm的鋼

球，則球心到盒底的距離為迎cm.

解析：由題意知求球心到底面的距離，實(shí)際上是求兩個(gè)簡單的紐合體的上頂點(diǎn)到下底

面的距離，可以看作下面是一個(gè)正方體，正方體的楂長是6cm,上面是一個(gè)四棱錐，四棱

錐的底面是一個(gè)邊長為6的正方形，斜高是5,則四棱錐的高是，？^=m=4,J球心

到盒底的距離為6+4=10(cm).

5.下列組合體是由哪幾種簡單幾何體組成的？

(1)(2)(3)

解：(1)是由一個(gè)圓柱和一個(gè)六棱柱組成的；(2)是由一個(gè)圓錐、一個(gè)圓柱和一個(gè)長方體

組成的；(3)是由一個(gè)球和一個(gè)圓臺(tái)組成的.

—課堂小結(jié)

—本課須掌握的問題

簡單組合體的構(gòu)成有兩種基本形式：一種是拼接而成；一種是日簡單幾何體截去或挖

去一部分而成.具體可以分為以下三類：

(1)多面體與多面體的組合

由兩個(gè)或兩個(gè)以上的多面體組合而成，如圖(1)是一個(gè)正方體截去一個(gè)三棱錐的組合

體.

(2)多面體與旋轉(zhuǎn)體的組合

由多面體和旋轉(zhuǎn)體組合而成，如圖(2)是一個(gè)六棱柱與一個(gè)圓柱的組合體.

(3)旋轉(zhuǎn)體與旋轉(zhuǎn)體的組合

由兩個(gè)或兩個(gè)以上的旋轉(zhuǎn)體組合而成，如圖(3)是一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐的組合體.

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1.2.1中心投影與平行投影

1.2.2空間幾何體的三視圖

I目標(biāo)］1.了解中心投影與平行投影；2.能畫出簡單空間圖形的三視圖；3.能識(shí)別三視圖

所表示的立體模型.

［重點(diǎn)］畫簡單空間圖形的三視圖.

［難點(diǎn)1識(shí)別三視圖所表示的立體模型.

，要點(diǎn)整合夯基礎(chǔ)/.....……本欄目通過課前自主學(xué)習(xí),整合知識(shí)，飾理主干.夯基固本

知識(shí)點(diǎn)一投影的有關(guān)概念

［填一填］

1.概念：由于光的照射，在不透明物體后面的屏幕上可以留下這個(gè)物體的影子的現(xiàn)

象.

2.投影線與投影面：投影線是比線，投影面是留下物體影子的屏幕.

3.分類：

敢［中心投影：光由一點(diǎn)向外散射形成的投影.

(1)投影］平行投影：在一束壬后光線照射下形成的投影.

［正投影：投影線正對(duì)著投影面.

“僅花斜投影：投影線沒有正對(duì)著投影面.

［答一答］

1.平行投影和中心投影有什么區(qū)別和聯(lián)系？

提示：平行投影和中心投影都是空間圖形的一種畫法，但二者又有區(qū)別：

①中心投影的投影線交于一點(diǎn)，平行投影的投影線互相平行.

②平行投影下，與投影面平行的平面圖形留下的影子，與這個(gè)R面圖形的形狀和大小

完全相同；而中心投影則不同.

③畫實(shí)際效果圖時(shí)，一般用中心投影法，畫立體幾何中的圖形時(shí)，一般用平行投影法.

2.正投影與平行投影之間有什么關(guān)系？

提示：正投影是平行投影的特例，即投射線和投射面垂直的平行投影，所以正投影也

具有平行投影的性質(zhì).

3.已知△A8C,選定的投影面與△ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得的三

角形與△ABC(B)

A.全等B.相似

C.不相似D.以上都不對(duì)

知識(shí)點(diǎn)二空間幾何體的三視圖

［填一填］

I.三視圖的概念：

(I)正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影，得到的投影圖.

(2)側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向方面正投影，得到的投影圖.

(3)俯視圖：光線從幾何體的上面向工ffi正投影，得到的投影圖.

2.三視圖表達(dá)的意義和畫法規(guī)則：

(1)正、俯視圖都反映物體的長度—“長對(duì)正”；

(2)正、側(cè)視圖都反映物體的高度一“高平齊”；

(3)俯、側(cè)視圖都反映物體的寬度——“寬相等”；

(4)能看見的輪廓線和棱用實(shí)線表示,不能看見的輪廓和棱用虛線表示.

［答一答］

4.三視圖是平行投影還是中心投影所成的？

提示：平行投影.

5.如圖，該幾何體的俯視圖是②.(填序號(hào))

於△HEO口

正視方向①②③④

J典例講練破題型/........本欄目通過課堂講練互動(dòng),變焦市點(diǎn).剖析難點(diǎn),全線突破

類型一中心投影與平行投影

［例1］下列說法中：

①平行投影的投影線互相平行，中心投影的投影線相交于一點(diǎn)；

②空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線;

③兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線.

其中正確的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1

C.2D.3

I解析］

序號(hào)正誤原因分析

①4由平行投影和中心投影的定義可知

空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線可能變成直線，也可能變成一個(gè)點(diǎn)，如當(dāng)投影中心

②X在直線上時(shí)，投影為點(diǎn)；平行線有可能變成相交線，如照片中由近到遠(yuǎn)物體之間的

距離越來越近，最后相交于一點(diǎn)

③X兩條相交直線的平行投影是兩條相交直線或一條直線

［答案］B

通法提煉

空間圖形在平行投影和中心投影下，大多情況下得到的圖形是不同的，但是也有相同

的情況，如直線經(jīng)過兩種投影，都有可能成為一個(gè)點(diǎn).

［變式訓(xùn)練1］E,產(chǎn)分別是正方體的平面AODiA和平面8CG卅的中心，則四邊形

BFDXE在該正方體的面上的投影f即本節(jié)所指的正投影）可能是圖中的②③（要求把可能的序

號(hào)都填上）.

解析：如圖所示，四邊形BFDIE在平面CGn。上的正投影如②，在平面上

的正投影如③，在平面ABCD上的正投影如②，故可能的是②③.

類型二畫空間幾何體的三視圖

［例2］（1）若一個(gè)長方體欲去兩個(gè)三棱錐，得到的幾何體如圖，則該幾何體的三視圖

為（）

ZN2H

r正^視圖i側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖

便視圖俯視圖

AB

NN20

正視網(wǎng)側(cè)視圖正視圖側(cè)視圖

俯視圖俯視圖

(2)畫出下圖中正四棱錐和圓臺(tái)的三視圖.(尺寸不作嚴(yán)格要求)

［解析］(1)從該幾何體可以看出，正視圖是一個(gè)矩形內(nèi)有一斜向上的對(duì)角線；俯視圖

是一個(gè)矩形內(nèi)有一斜向下的對(duì)角線，沒有斜?向上的對(duì)角線，故排除R,D；側(cè)視圖是一個(gè)矩

形內(nèi)有一斜向下的對(duì)角線，且都是實(shí)線，因?yàn)闆]有看不到的輪廓線，所以排除A.

(2)解：正四棱錐的三視圖如圖所示:

正視圖便I視圖

俯視圖

圓臺(tái)的三視圖如圖所示:

正視圖側(cè)視圖

俯視圖

［答案］(1)C(2)見解析

通法提煉

觀察立體圖形時(shí)，要選擇在某個(gè)方向上“平視”，用目光將立體圖形“壓縮”成平面

圖形，這樣就得到了三視圖.注意三視圖的排列規(guī)則和虛、實(shí)線的確定.一般地，幾何體的

輪廓線中能看到的畫成實(shí)線，不能看到的畫成虛線.

［變式訓(xùn)練2］（1）一根鋼管如圖所示，則它的三視圖為（B）

（2）—幾何體的直觀圖如圖，下列給出的四個(gè)俯視圖中正確的是（B）

解析：（1）該幾何體是由圓柱中挖去一個(gè)圓柱形成的幾何體，三視圖為B.

（2）幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見愛段，所以C、D不正

確：幾何體的上部的棱與正視圖方向垂直，所以A不正確.故選B.

類型三由三視圖還原幾何體

［例3］已知以下三視圖中有三個(gè)同時(shí)表示某一個(gè)三棱錐，則不是該三棱錐的三視圖

是（）

［解析I三棱錐的三視圖均為三角形，四個(gè)答案均滿足，且四個(gè)三視圖均表示一個(gè)高

為3,底面為兩直角邊分別為1,2的棱錐，A與C中俯視圖正好旋轉(zhuǎn)180。，故應(yīng)是從相反方

向進(jìn)行觀察；而其正視圖和側(cè)視圖中三角形斜邊傾斜方向相反，滿足實(shí)際情況，故A,C表

示同一棱錐；設(shè)A中觀察的正方向?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)正方向，所以C表示從后面觀察該棱錐；B與D

中俯視圖正好旋轉(zhuǎn)180°,故應(yīng)是從相反方向進(jìn)行觀察，但側(cè)視圖中三角形斜邊傾斜方向相

同，不滿足實(shí)際情況，故B,D中有一個(gè)不與其他三個(gè)一樣表示同一個(gè)棱錐，根據(jù)B中正

視圖與A中側(cè)視圖相同，側(cè)視圖與C中正視圖相同，可判斷B是從左邊觀察該棱錐.故選

D.

［答案］D

通法提煉

（1）根據(jù)三視圖還原幾何體，要仔細(xì)分析和認(rèn)真觀察三視圖并進(jìn)行充分的想象，然后綜

合三視圖的形狀，從不同的角度去還原.

（2）通常要根據(jù)俯視圖判斷幾何體是多面體還是旋轉(zhuǎn)體，再結(jié)合E視圖和側(cè)視圖確定具

體的幾何結(jié)構(gòu)特征，最終確定是簡單幾何體還是簡單組合體.

［變式訓(xùn)練3］根據(jù)三視圖（如圖）想象物體原形，并畫出物體的實(shí)物草圖.

題圖

解：此幾何體上面可以為圓臺(tái)，下面可以為圓柱，所以實(shí)物草圖可以如圖.

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1.下列說法正確的是（C）

A.任何物體的三視圖都與物體的擺放位置有關(guān)

B.任何物體的三視圖都與物體的擺放位置無關(guān)

C.有的物體的三視圖與物體的擺放位置無關(guān)

D.正方體的三視圖一定是三個(gè)全等的正方形

解析：對(duì)于A,球的三視圖與物體擺放位置無關(guān)，故A錯(cuò)；對(duì)于B,D,正方體的三

視圖與擺放位置有關(guān)，故B,D錯(cuò)；故選C.

2.一個(gè)幾何體的三視圖形狀都相同，大小均相等，那么這個(gè)幾何體不可以是（D）

A.球B.三棱錐

C.正方體D.圓柱

解析：不論圓柱如何放置，其三視圖的形狀都不會(huì)完全相同，故選D.

3.一圖形的投影是一條線段，這個(gè)圖形不可能是遜.

①線段；②直線；③圓；④梯形：⑤長方體.

解析：線段、圓、梯形都是平面圖形，且在有限范圍內(nèi)，投影都可能為線段；長方體

是三維空間圖形，其投影不可能是線段；直線的投影，只能是直線或點(diǎn).

4.已知正方體的棱長為1,其俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，側(cè)視圖是一個(gè)面積為

也的矩形，則該正方體的正視圖的面積等于41

解析：由題意正方體的側(cè)視圖與正視圖是全等的矩形，則正視圖的面積也等于41

5.根據(jù)三視圖(如圖所示)想象物體原形，指出其結(jié)構(gòu)特征，并畫出物體的實(shí)物草圖.

俯視圖

題圖答圖

解：由俯視圖知，該幾何體的底面是一直角梯形：由正視圖知，該幾何體是一四棱錐，

且有一側(cè)棱與底面垂直，所以該幾何體如圖所示.

題式課