2023蘇教版新教材高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊同步練習(xí)-3 . 1 橢圓

第3章圓錐曲線與方程

3.1橢圓

?3.1.1橢圓的標準方程

基礎(chǔ)過關(guān)練

題組一橢圓的定義及應(yīng)用

1.（2022山東臨沂期中）設(shè)M是圓P:x2+（y+2）2=36上的一個動點，定點Q（0,2）,線

段MQ的垂直平分線交線段PM于N點，則N點的軌跡方程為（）

A.E+片=1+

9559

c.^+z!=iD.E+"=1

36323236

2.（2021江蘇連云港贛榆智賢中學(xué)月考）已知橢圓裊+1=1上的一點P到左焦點

10036

3的距離為6,點M是線段PR的中點,0為坐標原點，則0M=（）

A.3B.4C.7D.14

3.（2020江蘇無錫青山高級中學(xué)期中）點F1,F2分別為橢圓1十21的左、右焦點,

167

過F1的直線交橢圓于A,B兩點，則AABF2的周長為（）

A.32B.16C.8D.4

題組二橢圓的標準方程及其應(yīng)用

22

4.（2020江蘇揚州邢江期中）“4〈k<10”是“方程三+一丁=1表示焦點在x軸上

k-410-k

的橢圓”的條件.（填“充分不必要”“必要不充

分”“充要”或“既不充分又不必要”）

5.已知點M（4,0）,N（l,0）,若動點P滿足而?MP=6|而則動點P的軌跡C的

方程為

6.（2021江蘇蘇州第一中學(xué)期中）求適合下列條件的橢圓的標準方程:

⑴與橢圓J+y2=l有相同的焦點,且經(jīng)過點

⑵經(jīng)過A（2,-日）,B（-VX-產(chǎn)）兩點.

題組三直線與橢圓的位置關(guān)系

7.（2020江蘇鎮(zhèn)江中學(xué)月考）若直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點，則過點（m,n）

22

的直線與橢圓3+-=1的交點的個數(shù)為（）

94

A.2B.0或1C.1D.0

8.（2020江蘇南京六合大廠高級中學(xué)調(diào)研）直線x+4y+m=0交橢圓孑+yn于A,B兩

16

點,若線段AB中點的橫坐標為1,則m=（）

A.-2B.-lC.1D.2

26

9.（2020江蘇鹽城響水中學(xué)期中）已知橢圓C:v5+y2=l,過右焦點的直線1:y=x-1與

橢圓交于A,B兩點,0為坐標原點，則△AOB的面積為.

能力提升練

題組一橢圓的定義與標準方程及其應(yīng)用

22

1.（2021江蘇南通平潮高級中學(xué)期中）設(shè)FbF2是橢圓C:^+^-=l的兩個焦點,0

為坐標原點，點P在橢圓C上且0P=3,則△PFF2的面積為（）

A.3B.6C.2V3D.2V15

2.（2022湖北部分省級示范高中期中）已知橢圓C：4+*1（a>b>0）的焦距為2,

右頂點為A,過原點且與x軸不重合的直線交C于M,N兩點,線段AM的中點為B,

若直線BN經(jīng)過C的右焦點，則C的方程為（）

A.^+^=iBX+^=1

4365

C.E+片=1D.^+^=l

983632

3.（多選）（2020江蘇南通如皋質(zhì)量調(diào)研）設(shè)F/2分別為橢圓C：1+《=l的左、右

167

焦點,M為橢圓C上一點且在第一象限,若△MFF2為等腰三角形,則下列結(jié)論正確

的是（）

A.MF尸2B.MF2=2C.點M的橫坐標為:D.=V35

4.已知橢圓C:1+g=l（a>b>0）經(jīng)過點FbF2是橢圓C的兩個焦

點,FF2=2VI,P是橢圓C上的一個動點.

（1）求橢圓C的標準方程；

⑵若點P在第一象限,且西?麗忌求點P的橫坐標的取值范圍.

4

題組二直線與橢圓的位置關(guān)系

5.（2021黑龍江哈爾濱第六中學(xué)期中）經(jīng)過橢圓5+y2=l的一個焦點作傾斜角為45°

的直線1,交橢圓于A,B兩點.設(shè)0為坐標原點，則?麗等于（）

A.-3B.--

3

C.」或-3D.±-

33

6.(2020吉林長春實驗中學(xué)期中)已知中心在原點，焦點坐標為(0,±5a)的橢圓

截直線3x-y-2=0所得的弦的中點的橫坐標為也則該橢圓的標準方程

為.

22

7.已知P(m,n)(m>0,n>0)為橢圓J+上一點,Q,R,S分別為P關(guān)于y軸，原點,x

82

軸的對稱點.

⑴求四邊形PQRS的面積的最大值；

⑵當四邊形PQRS的面積最大時,在線段PQ上任取一點M(不與端點重合)，若過M

的直線與橢圓相交于A,B兩點,且AB的中點恰為M,求直線AB的斜率k的取值范

圍.

答案全解全析

基礎(chǔ)過關(guān)練

1.B因為線段MQ的垂直平分線交線段PM于N點,

所以MN=QN,而MN+NP=MP=6,

所以QN+NP=6,又Q(0,2),P(0,-2),即N是到定點Q,P的距離和為定長6的動點,且QP=4<6,所以N點的軌跡

是焦點在y軸上的橢圓,且a=3,c=2,故N點的軌跡方程為9+*1.

2.C由橢圓的定義得PR+PF2=2a=20,：PE=6,，PB=14.

,.?OF1=OF2,MFI=PM,.'-OM為△EPF2的中位線，...OM=￥F2=7.

3.B由q+gl得a=4,由橢圓的定義得AFi+AF2=BFl+BF2=2a,所以△ABF?的周長為

AB+AF2+BF2=AFi+AF2+BFi+BF2=4a=16,故選B.

4.答案必耍不充分條件

22伍?4>0,2

解析方程三+41表示焦點在X軸上的橢圓o10-k>0,=7<k<10,故"4<k〈10”是“方程3+

k-410-kk-4

U-4>10-fc

-f-=l表示焦點在X軸上的橢圓”的必要不充分條件.

10-k

V2y,2

5.答案

43

解析設(shè)P(X,y),又M(4,0),N(1,0),故而=(-3,0),MP=(x-4,y),NP=(x-1,y).

由題意可得-3(x-4)=6V(x-l)2+y2,

化簡得3x2+4y2=12,即9+?=1,

22

...動點P的軌跡C的方程為—+5=1.

43

6.解析(1)橢圓9+y2=l的焦點坐標為(土1,0),所以c=l,

因為橢圓過點所以2a=J(l+l)2+(|丫+J(1-iy+(|)2=4,

所以a=2,b=V3,所以橢圓的標準方程為9+?=1.

(2)設(shè)所求的橢圓方程為mx2+ny2=l(m>0,n>0,mWn).

4zn+；n=Lf-1

把A(2,-4),B(?企,■當)的坐標代入,得；解得1m8，

2m+-n=1,(n=1,

4

所以橢圓的標準方程為1+yJl.

o

7.A?.?直線mx+ny=4和圓x2+y2=4沒有交點，，,：>2,???0〈0?+1?<4,???點P(m,n)在以原點為圓心，2為半

Vm2+n2

222222

徑的圓內(nèi)，又g...點P(m,n)在橢圓內(nèi)，.?.過點(m,n)的直線與橢圓？+-=1的交點的個數(shù)為

944494

2.

笠+y2=i

8.A???x+4y+m=0,.'.y二—x—1，設(shè)A（xi,y1），B（X2,y2）,貝I1'兩式相減并整理,得紅及

工+通=1，e

-1O

一送信=一卜.線段AB中點的橫坐標為1，?.垓段AB中點的縱坐標為；將(廿)代入y=-ix解得

9.答案|

解析由題意可知橢圓的右焦點為（1,0）,又直線1的方程為y=x-l,將其代入?+y2=l中，消去x,整理可得

3y2+2y-l=0,解得y=T或y=i,

所以S&WBJXI-1--IX1=-.

2I3l3

能力提升練

222222

1.A由橢圓的標準方程可知a=12,b=3,/.c=a-b=9,.,.c=3,VOP=3,/.PF1±PF2）.'.PF^+PF2=F1F2.

222

VPFi+PFrfaMVS,APFi+PF2+2PF,?PFz=48,即4C+2PFI?PFz=48,即36+2PF,?PF2=48,解得PFi?PF2=6,

故S3F1F2=j?PFi-PF*3.故選A.

2.C由題知c=l,設(shè)點M（xo,yo）,N（-x。,-y。），則B（雪，酬，

記右焦點為F,則F（l,0）,且直線BN經(jīng)過點F,所以歌〃而，

又加=（1一竿，吟），和=（l+x°,y。），所以（1一竿）?y0=（l+xo）?（吟）

解得a=3,所以bM,所以橢圓方程為?+?=L

3.BCD因為橢圓C:三+弓=1,所以a=4,b=V7,c=3,因為M為橢圓C上一點且在第一象限,ZWE為等腰三

167

角形，所以MF,>MF2,MR=FF2=2C=6,MF2=2,在△MFR中，由余弦定理得cosN陽F?=嗎警:野=學(xué)名=

2MF],F1F22X6X6

17

18，

所以點M的橫坐標為MF.?COSZMF!F2-C=6X^-3=*sinNMFR=J1-e了=尊

所以SZSM&FZ=jxMF,XFlF2XsinZMF1F2=iX6X6X等=曲，故選BCD.

(2c=2V3,e=2,

4.解析(1)由題意可得1,b=1,

Ia24b2

U2=b2+c2,*=73,

橢圓C的標準方程為1+y：L

⑵設(shè)P(x,y)(x>0,y>0),Vc=V3,

???不妨令Fi(S,O),F2(V3,0),

??.耐=(-V3-x,-y),銀=(V3-x,-y),

=(-V3-x,-y)?(V3-x,-y)=x2+y2-3,

又?+y2=l,即y』與

：.7F\?際=x2+y2-3=x2+l-=-3=J(3x2-8)〈，解得遮，

Vx>0,/.0<x^V3,

點p的橫坐標的取值范圍是(0,b].

5.B由9+，=l,得a、2,b=l,c2=a2-b2=l,則橢圓的焦點為(T,0),(1,0),

若直線1過右焦點,則直線1的方程為y=x-l,

2

代入春+y』，整理得x"+2(xT)"2=0,即3x"-4x=0.設(shè)A(xi,yO,B(x2,y2),

貝ijxix2=0,xi+x2=|,貝ijyiy2=(x-1)(x2-l)=xix2-(X1+X2)=-p

故瓦？?OB=xlx2+yly2=0-1=-j.

6.答案火+近1

7525

解析設(shè)橢圓方程為1+§=l(a>b>0),則a2=b2+c2=b2+50.①

a%

+

設(shè)直線3x-y-2=0與橢圓相交的弦的端點為A(xi,yi),B(x2,y2),則