2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一年級下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、單選題

1.已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z=(3-D(2+i),則z的虛部為()

【正確答案】B

【分析】由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算再結(jié)合復(fù)數(shù)虛部的概念，即可求解.

【詳解】：z=(3-i)(2+i)=7+i的虛部為1.

故選：B.

2.設(shè)平面向量3=(1,2),b=(x,-3),若I//平則％=()

32

A.—6B.—C.—D.6

【正確答案】B

【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】解：因為"〃兀?=(1,2),S=(x,-3),所以lx(-3)=xx2,解得》=_；,

故選：B.

sin(a+萬)+cos(萬一tz)

+sin(2%-a)

【正確答案】D

【分析】先通過誘導(dǎo)公式化簡得到"in"一c°sa=5,再由商數(shù)關(guān)系求tana即可.

cosa-sina

sin(a+?)+cos(-a)_一isna-cosa

,可得一sina-cosa=5(cosa-sina),即

4sina=6cosa，故tana=—.

故選：D.

4.直線y=3與函數(shù)/(》)=1211。X(。＞0)的圖象的交點中，相鄰兩點的距離為々，則/二=()

A.-V3D.也

【正確答案】D

【分析】由題意可得/'(x)的最小正周期r=由/求得。后代入即可得解.

【詳解】由已知可得，/(x)=tanox(0>O)的最小正周期7=:，

3——71=-71-=4

所以T￡，所以/(x)=tan4x,

~4

故選：D.

本題考查了正切函數(shù)最小正周期的應(yīng)用，考查了特殊角三角函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.

5.已知。，6為兩條不同的直線，a,夕為兩個不同的平面，貝1J：

①若a_La,bL(3,且a〃戶，則?！?；②若a_La,b//13,且a〃尸，則a_L6；

③若a〃月，aua,bu§,則?！?；④若a_La,b1/3,且e_L〃，則：,方；

其中真命題的個數(shù)是()

A.4B.3C.2D.1

【正確答案】B

【分析】根據(jù)空間直線與平面平行、垂直，平面與平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判斷,

即可得出結(jié)論.

【詳解】由，，。且a〃夕，可得6La,

而垂直同一個平面的兩條直線相互平行，即。〃6，故①正確；

由于a〃6，ala,所以。_L尸，又因為?！ㄊ?，所以：_L(，故②正確；

若a〃尸，aua,bu/3,則直線。與6平行或異面，故③錯誤；

設(shè)在平面，內(nèi)作直線c，/,

因為a_L〃，則c_La,又a_Le,所以aPc,

又因為6,夕,cu￡,所以從而有，，a,故④正確；

因此，真命題的個數(shù)是3,

故選：B.

6.如圖，為水平放置的“3C的直觀圖，其中48'=2,A'C'=B'C'=^>則在原平面圖形

C.BC=4S2D.S“BC=3也

【正確答案】C

【分析】在直觀圖中，求出的長，得出原圖形中OC,"的長，從而可得原圖形中各線段長,

再計算后判斷各選項.

【詳解】設(shè)O'C'=x,O'A'=y,在A。4c和△O'C的中分別應(yīng)用余弦定理得：

-/+/一省初=1°,解得卜=3后(卜=-3夜舍去)，

*+(y+2)2_缶(>+2)=10[y=2[y=-4

則在原圖形08L0C,OC=3y[2,04=4,48=4,顯然NC>BC,

BC=sj0C2+0B2=7(372)2+82=，

S^ABC=gOC.AB=gx3A/2x4=6A/2.

故選：C.

2萬

7.在“BC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c,B=-b=2^3,b2+c2—a2=y/3bc?若

/3NC的平分線與8C交于點E,則4E=()

A.B.y/jC.2V2D.3

【正確答案】A

根據(jù)從+02一°2=用°,由余弦定理可得/J,再根據(jù)2=]

得到角C,然后利用正弦定理解得

>

邊C,然后根據(jù)ZE為/9C的平分線,在△NEB中，利用正弦定理求解.

【詳解】因為。2+°2一/=6左，

所以cos//*①,

2bc2

因為/￡（0,?）,

所以N=g，

又QB弋,

：,c=~,

6

c2>/32>/31,

?___________z>—___x__）

….冗.24，貝！J02.

sin—sin————

632

又?.?AE為NBAC的平分線，

7T

:.NAEB=—,

4

.c_AE

sinNAEBsinB'

/廠c.n2.2TI

：.AE=--------------sinB=--------sin——二

sinZ.AEBsm—e2

4~T

故選：A

—*,__I?1I__.—?—?—*,

8.已知4勺為單位向量，且H+2e21V2,右非零向量〃滿足e,Vaq,則的最大值是

()

3G「3A/6

A.B.空V/.-----D,巫

4224

【正確答案】D

cosa,sina),由11+2與卜2,計算可得cosa?-；,設(shè)a=(rcos/?/sin/?),r>0,

設(shè)S=(1,0)，?2=(

由計算可得cos/?Wcos（a—，），可推出2，=a+2E（左EZ）時，等號成立，計算可得

a-12^+e2\i

—------=2cosy5+cos(cr-/?)<3cos(cr-y0)=3cos>0,結(jié)合cosa=cos2,=2co$13-\<—,可求

H4

出一"VCOS￡WY6,從而可求出叱的最大值.

44忖

【詳解】由題意，可設(shè),=（1,0）,1=（

cosa,sina),貝[jex+2e2=(1+2cosa,2sina),

2

由11+262卜2,可得(l+2cosa『+4sina<4f整理得cosa?

設(shè)〃=(rcos/?,rsin/?),r>0,

由,可得(rcos尸jsin6)?(l,0)K&cos"/sin夕)?(cosa,sina),

即rcos夕<rcos/3cosa+rsin/3sma,所以cos/?<cos(cr-/?),

當(dāng)cos'=cos(戊一/?)時，0=a-0+2kjt(kSZJ)或0=-a+J3+2kji^kGZ),

即2〃=a+2kn(k￡Z)或戊=2kn(kGZ),

因為cosaK-；,所以a=2E(左EZ)不符合題意,

故cos力=cos(a-,)時，2[3=a+2kjt{keZ).

a-(2q+$)2rcos/3+rcosPcosa+csin尸sina

而一=2cos/34cos(a-0\,

同r

因為cos￡?cos(a—/7),所以43cos(a-0),

當(dāng)2,=a+2后i（左￡Z）時，等號成立，此時3cos（a-,）=3cos（,一2析）=3cos',

2

因為cosa=cos(2￡-2砌=cos2/7=2cos》-lW-；,所以cos64鼻，BP<cosyj<—,

Q?(2q+4)o77

所以----p|------<3cos(cr-￡)=3cos(3.

故選：D.

關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量與三角函數(shù)的綜合問題，解題的關(guān)鍵是設(shè)出題中向量的坐標(biāo)，利用平

面向量的坐標(biāo)運(yùn)算及三角函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),將所求不等式轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出最大值.

考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能力.屬于難題.

二、多選題

9.下列兩個向量，不能作為基底向量的是

A.ex=(0,0),e2=(1,2)B.e,=(2,-l),e2=(1,2)

C.^=(-1,-2),^=(1,2)

D.￡1=(l,l),e2=(1,2)

【正確答案】AC

【分析】根據(jù)兩個向量不平行能作為基底確定正確選項.

【詳解】A選項，零向量和任意向量平行，所以耳晟不能作為基底.

B選項，耳最不平行，可以作為基底.

C選項，,所以平行，不能作為基底.

D選項，￡尾不平行，可以作為基底.

故選：AC

10.如圖所示，點是函數(shù)/(力=285(5：+0)(0＞0,-|"＜夕＜|^的圖象與X軸的交點，點P在

之間的圖象上運(yùn)動，若且當(dāng)△MPN的面積最大時，PM1PN,貝!!()

A./(0)=V2

B.G+夕=0

C./(x)的單調(diào)增區(qū)間為［-1+甌1+8司ReZ)

D.f(x)的圖象關(guān)于直線x=5對稱

【正確答案】ABD

【分析】通過給出的△MW的最大面積，和已知點M(T,O),求出函數(shù)的表達(dá)式，即可得出

結(jié)論.

【詳解】由題意，

(兀兀)

在/(x)=2cos(ox+o)［勿中，

當(dāng)點尸(x0,九)位于曲線最高點(此時＞=2)時,面積最大，且W_L/W,

???ZiMW為等腰直角三角形，

設(shè)的中點為。，

則尸且陷=%=:兒W|,即九W|=2,

|ACV|=4,

i2萬

又口〉0,pW|=—x——=4,

2CD

.兀

??(f)=—.

45

f(x)=2cos%+可,

VM(-1,O),

貝ij2cos(—l)x：+9=0,即(一l)x；+/=左兀+左￡Z,

3兀

^^(p=kn+—,kGZ,

V所以夕=一3，所以/(x)=2cos(Bx_Wj.

.?./(0)=2cos^0-^=V2,A正確.

7T71?〒紅

①+(p=-------=0,B正確.

44

令—x——G[2ATT—7t,2析],左eZ,解得xe[8左—3,8k+1],左eZ,

故圖-3,8左+1］,后eZ是/■("的單調(diào)遞增區(qū)間，C錯誤.

TTTT

令點了一；=祈，左eZ,解得x=4左+1,左eZ,

令％=1得x=5,故f（x）的圖象關(guān)于直線x=5對稱，D正確.

故選：ABD.

11.在三角形48c中，下列說法亞麗的有（）

A.若/=30。,6=4,0=5,則三角形/BC有兩解

B.若0<tan/tan8<l,則“3C一定是鈍角三角形

C.cos（A-5）cos（5-C）cos（C-A）=l,則。8c一定是等邊三角形

D.若a-6=ocos3-ocos/,則“BC一定是等腰三角形

【正確答案】BC

【分析】題目考察解三角形的綜合應(yīng)用，A選項是多解問題，B選項是切化弦，然后用和差角公式;

C選項考察角的余弦小于等于1的應(yīng)用；D選項是解三角形的邊角轉(zhuǎn)化，逐一計算即可

【詳解】選項A中，因為4=30。,6=4,。=5,所以由正弦定理得sin5=8-=匚，因為

a5

所以只有一個解，故A錯誤.

選項B中，由0<tanZ,tan5<l,得0<sin"sin'<1,

cosZcos5

所以cosAcos8-sin/sin5〉0,即cos（4+B）>0,所以/+

jr

所以C=%—4—B>二,故"5。一定是鈍角三角形，故B正確.

2

選項C中，因為cos（4—B）cos（8—C）cos（C—，）=l,

所以cos（4_5）=cos（3_C）=cos（C_，）=l,

所以4=g=C=60。，故C正確.

選項D中，因為Q-6=LCOS3-C,COS/,

所以sin/—sin3=sinCcos5-sinCcosA,

所以sin4-sinCeos8=sin5-sinCcosA,

因為sin4=sin（B+C）=sinBcosC+cos8sinC,sin5=sin（4+C）=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinBcosC=sinAcosC,

所以COSC=0或sinZ=sin5,

所以C='或/=3,所以小BC的形狀是等腰或直角三角形.D錯誤

故選：BC

題目比較綜合，考察到了較多是知識點：

（1）正弦定理判斷三角形的多解問題

（2）切化弦的應(yīng)

（3）兩角和的余弦公式

（4）余弦一定小于等于1

（5）利用正弦定理的邊角互換，化簡判斷三角形形狀

12.如圖，在棱長為2的正方體48co-44GA中，M,N,尸分別是“4，cc;,G2的中點，。

是線段A4上的動點，則（）

A.存在點。，使瓦N,P,。四點共面

B.存在點。，使尸?！ㄆ矫?BN

C.過0,M,N三點的平面截正方體43co-44GA所得截面面積的取值范圍為[2指,3g]

9兀

D.經(jīng)過C,M,B,N四點的球的表面積為工

2

【正確答案】AB

【分析】作出過瓦的截面判斷選項A；取4A中點為。，證明其滿足選項B；當(dāng)。在49運(yùn)動

時，確定截面的形狀，引入?yún)?shù)（如4Q=x）計算出面積后可得取值范圍，判斷選項C,過與底面

平行的平面截正方體得出的下半部分為長方體，其外接球也是過C,M,B,N四點的球，由此求得

球半徑，得表面積，判斷選項D.

【詳解】選項A,連接484「，CD、,正方體中易知CA//48,

2雙分別是6口《。中點，則尸N〃C〃，所以尸N〃43,即4，P,N,3四點共面，當(dāng)。與4重合時

滿足8,N,P,0四點共面，A正確;

5

選項B,如圖，取49中點為。，連接P0,。河，4G，

因為M,N分別是/&CG中點，則4M與GN平行且相等，4GM0是平行四邊形,

所以九W//4G，又p是GA中點，所以P0〃4G，所以尸。//初八

MNu平面8AW,尸。O平面8AW,所以尸。//平面B正確；

選項C,正方體中，MN分別是74，CG中點，則四V///C///C,

。在4,上，如圖，作QE〃4cl交C01于E,連接EN,延長交DC延長線于點K,連接QM延長交

D4延長線于點T,連接7X交于點G,交BC于點F,。瓦VFGM為所過M,N,0三點的截面，

由正方體的對稱性可知梯形。硒M與梯形廠GMN全等，

由面面平行的性質(zhì)定理，TK//QE,從而有7X〃/C,由正方體性質(zhì)，

設(shè)口。=x,0<x<2,則。］￡=2。=x,C\E=2-x,

N是cq中點，CANHCK,貝UCK=QE=2-x,所以CF=CK=2-x,同理/6=2-》,36=5尸=》，

QE=瓜,MN=2s/2>EN=淤+(2-4=J/-4x+5,

梯形QENM是等腰梯形，高為〃=-(^-^7=jgQ-2x+3,

截面面積5=2義5(”+兒W)〃=J/_6/+8X+24，

15/(x)=VX4-6X2+8X+24-xe[0,2],f\x)=4x3-12x+8=4(x-1)2(x+2)>0,

/(x)在[0,2]上遞增，/(x)max=/(2)=32,"xLn=/(0)=24,

所以Se[2m,40],C錯；

選項D,

取中點U,中點％,連接MV,MU,NV,NU,則MUN/-48CD是正四棱柱（也是長方體）,

它的外接球就是過B,C,M,N四點的球，所以球直徑為療377=3,半徑為尺=5,表面積為

S=4nH=9兀,D錯.

故選：AB.

三、填空題

13.復(fù)數(shù)罟（i為虛數(shù)單位）的共輒復(fù)數(shù)是

13

【正確答案】-?

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)罟表示為一般形式，由此可得出復(fù)數(shù)罟的共輾復(fù)數(shù).

【詳解】Qg(1+')(1+2，)1+31+2,213.

(l-2z)(l+2z)~—5--55-Z

因此，復(fù)數(shù)胃的共甄復(fù)數(shù)為故答案為-!-3二

1-2/5555

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算以及共輾復(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般

形式，考查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.已知3=(1,5=(cos"sin0),則卜+2囚的取值范圍是.

【正確答案】[0,4]

【分析】將向量進(jìn)行線性運(yùn)算后，按照向量的求模公式，結(jié)合輔助角公式求最值即可.

【詳解】,+2?

=|(1,A/3)+2(cos"sin0)|

=卜1+2cos/V5+2sin6]|

=7(1+2cos61)2+(V3+2sin<9)2

=7(1+2cos6?)2+(V3+2sin61)2

=J1+4cos8+4cos28+3+46sin8+4sin29

=J4cos8+46sin6+8

=,8sin(e+令+8

TT

因為-1<sin(6+—)?1,

6

所以O(shè)W,皿6?+2)+8WA=4,

故答案為.[0,4]

15.如圖，E,尸分別是正方形/8CD的邊,ND的中點，把△/￡1〃，ACBE,△CFD折起構(gòu)成

一個三棱錐P-CE尸(A,B,。重合于尸點)，則三棱錐尸-CE尸的外接球與內(nèi)切球的半徑之比是

DC

【正確答案】2而

【分析】根據(jù)PC尸￡,尸尸兩兩垂直可知，三棱錐尸-CE尸的外接球也是以尸C,尸E,尸尸為長，寬，高的

長方體的外接球，即可求出其外接球半徑，再根據(jù)等積法可求出其內(nèi)切球的半徑，從而得解.

【詳解】因為尸CPE,尸尸兩兩垂直，所以三棱錐尸-CE廠的外接球也是以尸。,尸瓦尸尸為長，寬,高的

長方體的外接球，設(shè)其外接球半徑為尺,正方形邊長為2,所以PC=2,PE=PF=1,

即27?=，12+1+22,解得尺=半?

因為三棱錐P-CE尸的表面積S即為正方形的面積，5=2x2=4,設(shè)其內(nèi)切球的半徑為「，

所以/,即=!x1xPEx尸尸xPC=Jx，xlxlx2=，，VPrFF=-Sr=-r=~,BPr=-.

P-CEF323233334

屈

因此，"?=*—=2&.

r

4

故2布.

本題主要考查三棱錐的外接球和內(nèi)切球的半徑的求法，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

16.在銳角4BC中，角/、B、。對應(yīng)的邊分別為a、b、c,4BC的面積$=音（片+62一02）,若

24（bc-a）=btanB,貝|c的最小值是.

【正確答案】-y/3/^H

33

【分析】由面積公式和余弦定理得到。=2,化簡得到c=*+^^+@,由基本不等式求出最

6242tanfi2

小直

【詳解】由面積公式得;仍sinC=^|（a2+62—，），

BPsinC=-a———,所以sinC=^^cosC,tanC=,

3lab33

因為所以0=^,

24(be-Q)=6tan8變形得到

sin/+gV3sin5+〈os8

tan8atanBsinAtanBtan822

c=-----------1——=--------1-----------=------

24b24sinB24sin824sin3

tan51

---------1---------------1-------，

242tanB2

兀

因為BE0,，所以以n5＞0,

2

由基本不等式得-臂+高+￡力

蟲_!_出2c

242扣1523

tan51

當(dāng)且僅當(dāng),即tan8=26時，等號成立,

242tanB

故§百

四、解答題

17.當(dāng)實數(shù)加取什么值時，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z=（毋-5機(jī)+6）+（療-3機(jī)+2）i的點分別滿足下列條件:

（1）與原點重合；

⑵位于直線＞=2x上；

（3）位于第一象限或者第三象限.

【正確答案】（1）皿=2

（2）加=2或加=5

⑶加＜1或加〉3.

【分析】（1）（2）（3）根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，結(jié)合表示的點所處位置，列出相應(yīng)的方程或不等式，即

可求得答案.

T14—5+6=0

【詳解】（1）由題意得復(fù)數(shù)Z滿足2、。一八時，表示的點與原點重合,

m-3m+2=0

解得m=2.

（2）當(dāng)加之一3加+2=2（加之一5加+6）時，表示復(fù)數(shù)z=（加2一5冽+6）+（加2一3加+2）i的點位于直線y=2x

上，

角畢得加=2或加=5.

m2-5m+6>0\m2-5m+6<0

（3）方法一:由題意可得

m2-3m+2>0[m2-3m+2<0

m2-5m+6>0m2-5m+6<0

解得用＜1或加＞3，解,解集為0,

m2-3m+2〉0'm2-3m+2<0

故加＜1或冽〉3.

方法二：由題意得(/-5m+6)(m2一3加+2)＞0,，加＜1或加〉3.

18.已知向量小瓦工在同一平面上,且3=(-2,1).

(1)若Z//3，且卜卜25,求向量，的坐標(biāo)；

(2)若3=(3,2),且后-石與J+2石垂直,求2的值.

【正確答案】(1)C=(-10由,5百)或｝=Q0曲,-5加);(2)k=_y.

(1)由條件設(shè)工=%=(-22,/1),則，(山丫+抬=25,求出彳，即可得出答案.

⑵由條件可得筋與=(-2月-3#-2),￡+25=(4,5),則胸-今(￡+2可=0,由此可得答案.

【詳解】(1)?:aJ1c，設(shè)c=2a=(-24,4)

?.■|c|=25,即&一2肛+〃=25,則石囚=25.

|2|=5A/5,A=±5\/5

c=(-10括,5兩或Z=(10V5,-5V5).

(2)ka-b=(-2k-3,k-2),a+2^=(4,5)

+方)，.[(〃一3)?@+蘇)=0,即4(-2左一3)+5(后一2)=0

22

即-3k=22,則上=一三

3

19.已知向量a=(sinx,-2cosx),3=(2百cosx,cosx),函數(shù)/(x)=。石+1.

⑴求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)把/'(x)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的女，縱坐標(biāo)不變，再向左平移巳個單位長度，得到函

數(shù)g(x)的圖象，求g(x)在上的值域.

_12X_

【正確答案】(1)三+kji,￡~+k兀,(keZ)

⑵[T2]

【分析】(1)先求出“X)的解析式，利用整體代入法求/'(X)的單調(diào)遞減區(qū)間;

(2)先根據(jù)圖象變換求出g(x)的解析式，再求g(x)在一三三上的值域.

12o

【詳解】(1)因為向量。=(sinx,-2cosx),3=(2百cosx,cos%,函數(shù)/(x)=q-B+l.

所以/(X)=￡Z+1=26sinxcosx-2cos2x+l=&in2x-cos2x=2sin

要求/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需g+2k兀<2x-^<^+2kM左e。

262

77-i7T

解得：——\-k7i<2x<——+knikGZ),

36

即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為-+k7i,—+k7T,(^eZ).

_5o

(2)把/'(X)圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的/縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=2sin14x-f|的圖象,

再向左平移個單位長度，得到k2sii14x+菅71的圖象，即g(x)=2sin14x+7.

6

._,、r7171|.T7C1|T7C1

因為xe,所以以+二q--7

12ovo6)L6’3r

._.、r?71，三71上單增，在g,與上單減，且/=￡71時最小，尸2x171

因為y=2smf在/e,一j=5

622366

時，y=2x1=2

所以了=2sinle[-l,2],即g(x)=2sin4x+g在-上的值域為

\6)128

20.如圖，在三棱柱中，側(cè)棱垂直于底面，/8,8C,4<=/C=2,BC=1,瓦尸分別是4G，3c

的中點.

(1)求證：平面平面用BCG；

(2)求證:G尸〃平面NBE;

(3)求三棱錐E-/2C體積.

【正確答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）&.

3

【詳解】試題分析：（1）由直線與平面垂直證明直線與平行的垂直；（2）證明直線與平面平行；（3）

求三棱錐的體積就用體積公式.

（1）在三棱柱481cl中，底面ABC,所以581_LAB,

又因為AB_LBC,所以AB_L平面48CC],因為ABu平面/BE,所以平面1平面.

（2）取AB中點G,連結(jié)EG,FG,

因為E,F分別是4。、3c的中點，所以FG/7AC,且FG=gAC,

因為AC〃4G，且AC=4G，所以FG〃EC],且FG=EC1,

所以四邊形FGEG為平行四邊形，所以C/V/EG,

又因為EGu平面ABE,C/U平面ABE,

所以G尸〃平面43E.

（3）因為回=AC=2,BC=1,AB±BC,所以AB=J/c?-叱=出，

所以三棱錐E-/8C的體積為：憶尸;x；x百xlx2=@.

本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直與平行的證明；考查幾何體的體積的求

解等基礎(chǔ)知識，考查同學(xué)們的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力、邏輯推理能力，考查數(shù)

形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.

21.已知。、b、c分別是“BC三個內(nèi)角A、B、C的對邊，且acosB+-c=0.

⑴求A；

（2）若銳角AABC的面積為百，求6的取值范圍.

【正確答案】（1）4=1

⑵（亞,2拒）

【分析】（1）利用正弦定理可得出sin^cosB+百siiL4sin5-sinB-sinC=0,再利用兩角和的正弦公式

以及輔助角公式可得出sin1/-1^|=g,結(jié)合角A的取值范圍可求得角A的值；

（2）法一：由三角形的面積公式可求得6c=4,利用余弦定理可得出"+02-%再由cos8>0,

cosC>0可求得6的取值范圍；

法二：由三角形的面積公式可求得慶=4,利用正弦定理結(jié)合三角恒等變換可得出〃=2+2叵，根

tanC

據(jù)"3C為銳角三角形求出C的取值范圍，再利用正切函數(shù)的基本性質(zhì)可求得6的取值范圍.

【詳解】(1)解：因為acosB+Qasin5-6-。=0,

由正弦定理可得sin4cos5+gsirL4sin5-sinS-sinC=0①,

又因為。=兀一4—JB,

所以sinC=sin（Z+3）=siiL4cos3+cos^sin5.

代入①得JJsiMsirLS-sin5-cos4sin5=0,即（GsirU-1-cos/卜inB=0.

因為8￡(0,兀)，則sinB>0,所以J^sirU-l-cos4=0,貝!]25足[/一1)=1,

即

因為“￡(0,兀)，則一5<4一5<"，則=所以％=

666663

(2)解：法一：題意得SAB。=Lbcsin4bc=J5，所以bc=4,

在“BC中，由余弦定理得：b1+c2-a2=2Z?ccos/=2bcx；=4②，

->0

cosB=

2ac

又因為是銳角三角形，所以,

a2+b2-c2

cosC=

2ab

即/+02—/>0③，且〃2+/_°2〉0④,

4I—

由②③得02>2,解得C>VL即7>逝，解得6<2亞.

b

由②④得〃>2,即6>也,

綜上，6的取值范圍是("2⑹.

法二：由題意得：S.—bcsmA=-^-bc=V3,所以6c=4,

Z-XAzBizjCv24

4sin|C+—j—sinC+^-cosC

貝||6=?！?生4sinB_I31彳222jT

CCsinCsinCsinCtanC

7

TT

0<C<-z、

又因為“BC是銳角三角形，貝"2=>Ce

?！肛?lt;62J

—<C+一<兀)7

123

貝hanC>走，所以，則〃=2+史1_€(2,8),故2<6<20，

3tanCtanC''

即6的取值范圍是(也,2拒).

22.如圖所示，在平行四邊形/BCD中，AB=2BC=84,NDAB=三,￡為邊的中點，將V/DE

沿直線翻折為A/'DE,若尸為線段HC的中點.在V/DE翻折過程中，

⑴求證：3/〃平面

(2)若二面角A'-DE-C=60°,求HC與面A'ED所成角的正弦值.

【正確答案】(1)證明見解析

63M

10

【分析】(1)取C。的中點G,通過證平面4DE〃平面3尸G,可得昉〃面4DE.

(2)利用二面角的平面角的定義先找出二面角H-DE-C的平面角即為N4OG,再利用面面垂直的

性質(zhì)定理找到平面的垂線，從而作出HC與面所成的角，計算可得答案.

【詳解】(1)證明：取C。的中點G,連接FG,BG,

???■^.平面/少后，4￡)<=平面/0石，.16尸〃平面/7)￡,

又DGHBE,DG=B￡,.?.四邊形8EDG為平行四邊形，貝1JBG〃。區(qū)

8G0平面4OE,可得BG〃平面/DE,

又BGClGF=G,BG,GFu平面8FG,

可得平面A'DE//平面BFG,8尸U平面BFG,

貝IjBFII面A'DE.

(2)取DC中點G,中點0,連接。G,A'O,A'G,

由/3=23C=84，NDAB=(,￡為邊的中點，

得AE=AD=46所以V/DE為等邊三角形，從而?！?46，ZEDC=60°,

又DG=4百，。為。E的中點所以O(shè)GLDE,又是等邊三角形，

所以4O_LZ)E,所以N4OG為二面角4-DE-C的平面角，所以N4OG=60°,

過點￡作/0〃。/，，過4作4M〃OE交于連接C",

是等邊三角形，所以可求得4。=6,OE=2C，所以EM=6,A'M=143,

■：DE1A'O,DELOG,OGIICE,EMI/A'O,

所以DELEC,又ECCEM=E,EC,EAfu面EMC,

所以DE上面EMC,又AMHDE,所以4M_1面￡河。，

???A'Mu平面ADE,所以面A'DE1面EMC,

由ME=6,在△CAE■中易求得CE=12,又NMEC=NA，OG=60°,

所以MCLEN,MC=6B

\^A'DE^EMC=EM,MCu面EMC,

所以MC_L面ADE,所以ZMA'C為AC與平面A'DE所成的角，

在RtA4MC中可求得A'C=2A/30,所以sinZMA'C=-^=,

273010

,-.A'C與面A'ED所成角的正弦值為題

10

2023-2024學(xué)年浙江省寧波市高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、單選題

1.已知復(fù)數(shù)z滿足z=4+3i,則目=()

A.V7B.1C.5D.V5

【正確答案】C

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】由于z=4+3i,所以忖="2+32=5.

故選：C.

2.設(shè)國,可是平面內(nèi)的一個基底，則下面的四組向量不熊作為基底的是()

A.G+R和9-4B.ex和,+4

C.6+3?2和4+3,D.3,-24和44一6,

【正確答案】D

【分析】判斷每個選項中的向量是否共線，即可判斷出答案.

【詳解】由于｛?,￡｝是平面內(nèi)的一個基底，故最E不共線，

根據(jù)向量的加減法法則可知和不共線，1和1W不共線，

?2+3q=3(q+§e?)和q+3e?不共線，故A,B,C中向量熊作為平面的基底，

4e2-6et=-2(3cj-2e2),故3q-2e?和4e2-6q共線，不熊作為平面的基底，D錯誤，

故選：D

3.若一個正棱錐的各棱長和底面邊長均相等，則該棱錐一定不呈()

A.正三棱錐B.正四棱錐C.正五棱錐D.正六棱錐

【正確答案】D

【分析】對于選項A,考慮正四面體.對于B,C,D選項，畫出滿足部分條件的幾何體，通過證明來

說明是否存在滿足題意的圖形.

【詳解】對于選項A,正四面體為滿足條件的正三棱錐，故排除A；

對于選項B,考慮如圖所示的正四棱錐.

滿足AB=BC=CD=DA=EA=EB,

。為底面正方形中心，￡O_L平面/BCD

因底面為正方形，故。4=O8=OC=OD,

則AEOB,XEOC,△EC?兩兩全等，得EA=EB=EC=ED.

故存在滿足條件的正四棱錐，排除B；

對于選項C,考慮如圖所示的五棱錐.

滿足AB=BC=CD=DE=EA=FA=FB,

。為底面正五邊形中心，F(xiàn)O_L平面/BCDE.

因底面為正五邊形，故OA=OB=OC=OD=OE,

則△尸。/,/XFOB,AFOC,AFOD,YFOE兩兩全等.得FA=FB=FC=FD=FE.

故存在滿足條件的正五棱錐，排除C；

對于選項D,考慮如圖所示的正六棱錐.

AB=BC=CD=DE=EF=FA=GA=GB,

O為底面正六邊形中心.GO_L平面ABCDEF.

但注意到OA=AB,GOLAO,則有GA>AO=AB.

這與所設(shè)滿足的條件矛盾，故不存在滿足條件的正六棱錐，故D正確.

G

X一

4.已知向量a=（l,2）,b=（4,3）,則向量Z在向量B方向上的投影向量為（）

86‘8加6亞''撞

A.B.C.D.（8技6碼

5553三

【正確答案】A

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合投影向量的定義運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得：:/=1x4+2x3=10,,+3?=5,

故向量Z在向量B方向上的投影向量為

r7r

(”cos(b=-b

5

故選：A.

5.如圖所示，為測量某不可到達(dá)的豎直建筑物。。的高度，在此建筑物的同一側(cè)且與此建筑物底部

在同一水平面上選擇相距60米的43兩個觀測點，并在，，8兩點處測得建筑物頂部的仰角分別為

45。和30。，且cos/C4B=-二，則此建筑物的高度為（）

A.45mB.60mC.45A/2mD.606m

【正確答案】B

【分析】由題意分析可得/C=&CO，BC=2CO,在28c中利用余弦定理運(yùn)算求解.

【詳解】由題意可得："=60,在RtaO/C中，由/。。=45。可得4C=0CO;

在RtZiOBC中，由/C8O=30。可得BC=2CO；

在“BC中，由余弦定理BO?=ZC2+/82—2NC./B.COS/G<8,

即4CO2=2CO2+602-2xy[2COx60整理得CO2-30CO-1800=0,

解得CO=60或。。=-30（舍去），

所以此建筑物的高度為60m.

故選：B.

6.已知斜二側(cè)畫法下的直觀圖是邊長為2的正三角形HB'C（如圖所示），則NC=（）

A.728-2>/3B.710-273C.36D.4

【正確答案】A

【分析】過C'作C'N7/￡軸，與了軸交于點N',由正弦定理可求出HN'和C'N'的值，再在平面直角

坐標(biāo)系中得出/N與CN,利用勾股定理可得/C.

【詳解】如圖所示，

過C'作CM〃（軸，與了軸交于點M,

則ZC'A'N'=60°-45°=15°,ZA'C'N'=120°,ZA'N'C=45°,

CN'ANA'C'

由正弦定理得

sin/C'/W'sinZC'A'N'~sinZA'N'C

CN