北京市東城區(qū)2016屆九年級上期末數(shù)學(xué)試卷含答案解析

北京市東城區(qū)2016屆九年級上期末數(shù)學(xué)試卷含

答案解析

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

1.若關(guān)于的x方程x2+3x+a=0有一個根為-1,則a的值為（）

A.-4B.-2C.2D.-4

2.二次函數(shù)y=-x2+2x+4的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

A.1個B.2個C.3個D.4個

4.一只不透亮的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都

相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必定事件的是（）

A.至少有1個球是黑球B.至少有1個球是白球

C.至少有2個球是黑球D.至少有2個球是白球

5.在RtaABC中，ZC=90°,若BC=1,AC=2,則cosA的值為（

近275_1

A.TB.C.2D.2

6.若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是通過點（2,0）且平行于y

軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為（）

A.xl=0,x2=4B.xl=l,x2=5C.xl=l,x2=-5D.xl=-1,x2

=5

S/kADE

AI^ABC中，DE〃BC,AD=6,DB=3,則S4ABC的值為（

_12^44

A.2B.3C.5D.9

（O\的半徑為3,點P是弦AB延長線上的一點，連接OP,

若（［，則弦AB的長為（）

A.2辰B.273C.V5D.2

kA,B,C在。O上,CO的延長線交AB于點D,ZA=5

則NADC的度數(shù)為（）

A.70°B.90°C.110°D.120°

10.如圖1,在AABC中，AB=AC,NBAC=120°,點O是BC的中

殳點D通過的路徑長為x,圖1

三系的圖象大致如圖2所示，則

A.BDB.ODC.ADD.CD

二、填空題（本題共18分，每小題3分）

11.請你寫出一個一元二次方程，滿足條件：①二次項系數(shù)是1;②方

程有兩個相等的實數(shù)根，此方程能夠是.

12.拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位

長度后，得到的拋物線的解析式為.

OO的一條直徑，延長AB至C點，使AC=3BC,C

D壇若CD=百，則。O半徑的長為

14.如圖，某校數(shù)學(xué)愛好小組利用自制的直角三角形小硬紙板DEF來

周整測量位置，使斜邊DF與地面保持

一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25

米，到旗桿的水平距離DC=20米，則

A弧,2),B(2、巧，1),將AAOB繞著點O逆時

%?BZ,則圖中陰影部分的面積為

---->

16.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下咨詢題:

尺規(guī)作圖，過圓外一點作圓的切線.

已知：。。和點P

求過點P的OO的切線

小涵的要緊作法如下;________________________________

如圖，(1)連結(jié)OP,作線段OP的中點A；

(2)以A為圓心，OA長為半徑作圓，交。O于點B,C；

(3)作直線PB和PC.

因此PB和PC確實是所求的切線

:法正確的

?P到依據(jù)是—

三、解答題(本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分,

第28題7分，第29題8分)

17.運算：4cos45°+tan60°-泥-(-1)2.

18.解方程：x2-6x-1=0.

卜，D為BC上一點，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,

C

20.已知：拋物線y=x2+(2m-1)x+m2-1通過坐標原點，且當x<

0時，y隨x的增大而減小.

(1)求拋物線的解析式；

(2)結(jié)合圖象寫出y<0時，對應(yīng)的x的取值范疇；

(3)設(shè)點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸

的平行線交拋物線于另一點D,再作AB±x軸于點B,DC±x軸于點C.當

BC=1時，直截了當寫出矩形ABCD的周長.

21.列方程或方程組解應(yīng)用題：

某公司在2013年的盈利額為200萬元，估量2015年的盈利額達到24

2萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，求該公司這兩年盈利額

的年平均增長率是多少？

22.如圖，在方格網(wǎng)中已知格點AABC和點O.

(1)畫AA'B'C/和AABC關(guān)于點O成中心對稱；

(2)請在方格網(wǎng)中標出所有使以點A、O、C'、D為頂點的四邊形是

平行四邊形的D點.

23.石頭剪子布，又稱“猜丁殼”，是一種起源于中國流傳多年的猜拳

游戲，游戲時的各方每次用一只手做“石頭”、“剪刀”、“布”三種手勢中

的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭”.兩

人游戲時，若顯現(xiàn)相同手勢，則不分勝負游戲連續(xù)，直到分出勝負，游戲

終止，三人游戲時，若三種手勢都相同或都不相同，則不分勝負游戲連續(xù),

若顯現(xiàn)兩人手勢相同，則視為一種手勢與第三人所出手勢進行對決，現(xiàn)在,

參照兩人游戲規(guī)則，例如甲、乙二人同時出石頭，丙出剪刀，則甲、乙獲

勝，假定甲、乙、丙三人每次差不多上隨機地做這三種手勢，那么：

(1)直截了當寫出一次游戲中甲、乙兩人出第一次手勢時，不分勝負

的概率；

(2)請你畫出樹狀圖求出一次游戲中甲、乙、丙三人出第一次手勢時,

不分勝負的概率.

24.如圖，^ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O與BC相交于點

25.如圖所示，某數(shù)學(xué)活動小組要測量山坡上的電線桿PQ的高度，他

們采取的方法是：先在地面上的點A處測得桿頂端點P的仰角是45。，再

向前走到B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分不是60。和30。，

這/c事曲疝?八。的長度就能通過運算求出電線桿PQ的高度，你同意他

們白/彳同意，畫出運算時的圖形，簡要寫出運算的思路，不

,*

用4響意，提出你的測量方案，并簡要寫出運算思路.

A

26.請閱讀下面材料，并回答所提出的咨詢題.

三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分隊邊所得的兩條線段

和那個角的兩勃對應(yīng)成比例.

ABBD

已知：AC=DC

證明：過C作CE〃DA,交BA的延長線于E.

Z1=ZE,N2=N3.----------①

TAD是角平分線，

AZ1=Z2.

N3=NE.----------②

又…AD〃CE,

ABBD

/.AE=DC-----

ABBD

AAQ=DC.

(1)上述證明過程中，步驟①②③處的理由是什么？(寫出兩條即可)

(2)用三角形內(nèi)角平分線定明白得答，已知，AABC中，AD是角平

分線，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,求BD的長;

E它們面積的比就等于底

的E證明三角形內(nèi)角平分線

定田

B

27.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-8mx+16m-1(m>0)

與x軸的交點分不為A(xl,0),B(x2,0).

(1)求證：拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

(2)若AB=2,求此拋物線的解析式.

(3)已知x軸上兩點C(2,0),D(5,0),若拋物線y=mx2-8mx+

16m-1(m>0)與線段CD有交點，請寫出m的取值范疇.

28.已知，在等邊AABC中，AB=2盯，D,E分不是AB,BC的中點

(如圖1).若將ABDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a

(0°<a<180°),記射線CE1與AD1的交點為P.

(1)判定4BDE的形狀；

(2)在圖2中補全圖形,

29.已知兩個函數(shù)，如果關(guān)于任意的自變量x,這兩個函數(shù)對應(yīng)的函數(shù)

值記為yl,y2,都有點(x,yl)、(x,y2)善于點(x§x)對稱，則稱這

兩個函數(shù)為關(guān)于y=x的對稱函數(shù)，例如，yl=2c和y2=2x為關(guān)于y=x的對

稱函數(shù).

(1)判定：①yl=3x和y2=-x；②yl=x+l和y2=x-1；③yl=x2+l和

y2=x2-l,其中為關(guān)于y=x的對稱函數(shù)的是(填序號)

(2)若yl=3x+2和y2=kx+b(kWO)為關(guān)于y=x的對稱函數(shù).

①求k、b的值.

②關(guān)于任意的實數(shù)x,滿足x>m時，yl>y2恒成立，則m滿足的條

件為.

(3)若yl=ax2+bx+c(a/0)和y2=x2+n為關(guān)于y=x的對稱函數(shù)，且

關(guān)于任意的實數(shù)x,都有yl〈y2,請結(jié)合函數(shù)的圖象，求n的取值范疇.

2015-2016學(xué)年北京市東城區(qū)九年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本題共30分，每小題3分）

1.若關(guān)于的x方程x2+3x+a=0有一個根為-1,則a的值為（）

A.-4B.-2C.2D.-4

【考點】一元二次方程的解.

【分析】按照一元二次方程的解的定義，把x=-l代入方程得到關(guān)于a

的一次方程，然后解此一次方程即可.

【解答】解：把x=-1代入方程x2+3x+a=0得1-3+a=0,

解得a=2.

故選：C.

【點評】本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊

相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解.

2.二次函數(shù)y=-x2+2x+4的最大值為（）

A.3B.4C.5D.6

【考點】二次函數(shù)的最值.

【專題】運算題.

【分析】先利用配方法得到y(tǒng)=-（x-1）2+5,然后按照二次函數(shù)的最

值咨詢題求解.

【解答】解：y=-（x-1）2+5,

Va=-KO,

.,.當x=l時，y有最大值，最大值為5.

故選：C.

【點評】本題考查了二次函數(shù)的最值：當a>0時，拋物線在對稱軸左

側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)by隨x藍二;2而增大，因為圖象

有最低點，因此函數(shù)有最小值，當x=-2a時，y=4a；當a<0時，拋

物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)：y隨x廣：2而

減少，因為圖象有最高點，因此函數(shù)有最大值，當x=-2a時，y=4a；

確定一個二次函數(shù)的最值，第一看自變量的取值范疇，當自變量取全體實

數(shù)時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范疇時，要分

不求出頂點和函數(shù)端點處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值.

A.1個B.2個C.3個D.4個

【考點】中心對稱圖形.

【分析】按照中心對稱圖形的概念求解.

【解答】解：第1個、3個圖形是中心對稱圖形，共2個.

故選B.

【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念：中心對稱圖形是要查找對

稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合.

4.一只不透亮的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除顏色外都

相同，從中任意摸出3個球，下列事件為必定事件的是（）

A.至少有1個球是黑球B.至少有1個球是白球

C.至少有2個球是黑球D.至少有2個球是白球

【考點】隨機事件.

【分析】由于只有2個白球，則從中任意摸出3個球中至少有1個球

是黑球，因此按照必定事件的定義可判定A選項正確.

【解答】解：一只不透亮的袋子中裝有4個黑球、2個白球，每個球除

顏色外都相同，從中任意摸出3個球，至少有1個球是黑球是必定事件；

至少有1個球是白球、至少有2個球是黑球和至少有2個球是白球差不多

上隨機事件.

故選A.

【點評】本題考查了隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)

生的事件，稱為隨機事件.事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件）,

確定事件又分為必定事件和不可能事件，

5.在RtZkABC中，ZC=90°,若BC=1,AC=2,則cosA的值為（

）近275_1

A.TB."VC.2D.2

【考點】銳角三角函數(shù)的定義.

【分析】按照題意畫出圖形，進而利用勾股定理求出斜邊長，再利用

銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【解答】解：如圖所示：...NC=90°,BC=1,AC=2,

【點評】此題要緊考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系以及勾股定理，正確把握

銳角三角函數(shù)關(guān)系是解題關(guān)鍵.

6.若二次函數(shù)y=x2+bx的圖象的對稱軸是通過點（2,0）且平行于y

軸的直線，則關(guān)于x的方程x2+bx=5的解為（）

A.xl=0,x2=4B.xl=l,x2=5C.xl=l,x2=-5D.xl=-1,x2

=5

【考點】拋物線與x軸的交點.

【分析】按照對稱軸方程-冬2,得b=-4,解x2-4x=5即可.

【解答】解：.??對稱軸是通過點（2,0）且平行于y軸的直線，

b

,2=2,

解得：b=-4,

解方程x2-4x=5,

解得xl=-l,x2=5,

故選：D.

【點評】本題要緊考查二次函數(shù)的對稱軸和二次函數(shù)與一元二次方程

的關(guān)系，難度不大.

/S/kADE

AI^ABC中，DE〃BC,AD=6,DB=3,則S4ABC的值為(

_12^44

A.2B.3C.5D.9

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】條件能夠求出AD：AB=2；3,再由條件能夠得出aADEs4

ABC,最后由相似三角形的性質(zhì)就能夠得出結(jié)論.

【解答】解:VAD=6,DB=3,

，AB=9,

?「DE〃BC,

,?S^ADE'ES式ABC,24

...SAABC=(AB)2=(3)2=9.

故選D.

【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練把握相似三角形

的面積比是相似比的平方是解題的關(guān)鍵.

的半徑為3,點P是弦AB延長線上的一點，連接OP,

,則弦AB的長為()

QA.2yB.273C.V5D.2

【考點】垂徑定理；含30度角的直角三角形；勾股定理.

【分析】連接OA,作OCLAB于C,按照垂直定理得到AC=BC,按

照直角三角形的性質(zhì)得到OC=2,按照勾股定理求出AC的長即可得到答案.

【解答】解：連接OA,作OCLAB于C,

貝|]AC=BC,

VOP=4,NP=30°,

【點評】本題考查的是垂直定理和直角三角形的性質(zhì)，把握垂直弦的

直徑平分這條弦，同時平分弦所對的兩條弧、在直角三角形中，30°角所

對的直角邊等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

kA,B,C在。O上，CO的延長線交AB于點D,ZA=5

則NADC的度數(shù)為（）

A.70°B.90°C.110°D.120°

【考點】圓周角定理.

【分析】按照圓周角定理求得NBOC=100°,進而按照三角形的外角

的性質(zhì)求得NBDC=70。，然后按照鄰補角求得NADC的度數(shù).

【解答】解：...NA=50°,

NBOC=2NA=100°,

VZB=30°,NBOC=NB+uBDC,

二.NBDC=NBOC-NB=100°-30°=70°,

ZADC=180°-ZBDC=110°,

故選C.

【點評】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等

弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)

鍵.

10.如圖1,在AABC中，AB=AC,NBAC=120。，點O是BC的中

點，點D沿B-A-C方向從B運動到C.設(shè)點D通過的路徑長為x,圖1

之系的圖象大致如圖2所示，則

X

【考點】動點咨詢題的函數(shù)圖象.

【分析】按照圖象，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，分點當點D在AB上，

當點D在AC上以及勾股定理分析得出答案即可.

【解答】解：當點D在AB上，則線段BD表示為y=x,線段AD表示

為y=AB-x為一次函數(shù)，不符合圖象；

不符合圖象;

作OE±AB,

,點OfBC騎，設(shè)A掂AC=a,3ZBAC=120°.

.\AO=2,BO=Ta,OE=Ta,BE=4a,

設(shè)BD=x,OD=y,AB=AC=a,

3

/.DE=4a-x,

在RtAODE中，

DE2+OE1-OD2,0

.?.y2=(4a-x)2+(4a)2

33

整理得：y2=x2-2ax+4a9,

33

當OVxWa時，y2=x2-2ax+4a2,函數(shù)的圖象呈拋物線并開口向上，

由此得出這條線段可能是圖1中的OD.

故選：B.

【點評】本題考查了動點咨詢題的函數(shù)圖象，按照圖形運用數(shù)形結(jié)合

列出函數(shù)表達式是解決咨詢題的關(guān)鍵.

二、填空題(本題共18分，每小題3分)

11.請你寫出一個一元二次方程，滿足條件：①二次項系數(shù)是1;②方

程有兩個相等的實數(shù)根，此方程能夠是x2+2x+l=0.

【考點】根的判不式.

【專題】開放型.

【分析】一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，判不式等于0.答案不唯

獨.

【解答】解：..?一元二次方程ax2+bx+c=0(ar0)有兩個相等的實數(shù)

根，

b2-4ac=0,

符合條件的一元二次方程能夠為x2+2x+l=0(答案不唯獨).

故答案是：x2+2x+l=0.

【點評】此題考查了根的判不式.一元二次方程ax2+bx+c=0(aWO)

的根與△=b2-4ac的關(guān)系為：

①當△>0時，方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根；

②當△=()時，方程有兩個相等的兩個實數(shù)根；

③當AVO時，方程無實數(shù)根.

上面的結(jié)論反過來也成立.

12.拋物線y=x2-2x+3向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位

長度后，得到的拋物線的解析式為y=x2-8x+20.

【考點】二次函數(shù)圖象與幾何變換.

【分析】按照題意易得新拋物線的頂點，按照頂點式及平移前后二次

項的系數(shù)不變可得新拋物線的解析式.

【解答】解：y=x2-2x+3=(x-1)2+2,其頂點坐標為(1,2).

向上平移2個單位長度，再向右平移3個單位長度后的頂點坐標為(4,

4),得到的拋物線的解析式是y=(x-4)2+4=x2-8x+20,

故答案為：y=x2-8x+20.

【點評】此題要緊考查了次函數(shù)圖象與幾何變換，要求熟練把握平移

的規(guī)律：左加右減，上加下減.

,OO的一條直徑，延長AB至C點，使AC=3BC,C

D上*―j---若CD=V3,則（DO半徑的長為1.

【考點】切線的性質(zhì).

【分析】如圖，連接DO,第一按照切線的性質(zhì)能夠得到NODC=90。，

又AC=3BC,O為符的中點，由此能夠得到NC=30°,利用銳角三角函

數(shù)的定義可得OD=》CD,可得結(jié)果.

【解答】解：如圖，連接DO,

.「CD是。O切線，

AODICD,

二.NODC=90°,

?「AB是。O的一條直徑，AC=3BC,

二.AB=2BC=OC=2OD,

???/c遛,

.'.OD=3CD,

【點評】本題考查了圓的切線性質(zhì)及解直角三角形的知識，常通過作

輔助線連接圓心和切點，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)咨詢題是解答

本題的關(guān)鍵.

14.如圖，某校數(shù)學(xué)愛好小組利用自制的直角三角形小硬紙板DEF來

測量操場旗桿AB的高度，他們通過調(diào)整測量位置，使斜邊DF與地面保持

平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25

米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，則

旗桿的高度為11.5米.

、、、鏟、、、、、、、、、、、、、、

【考點】相似三角形的應(yīng)用.

【分析】按照題意證出△DEFS^DCA,進而利用相似三角形的性質(zhì)

得出AC的長，即可得出答案.

【解答】解：由題意得：ZDEF=ZDCA=90°,NEDF=NCDA,

ADPFC^ADCA.

DE_EF0.5=0.25

則由化即20=AC,

解得：AC=1O,

故AB=AC+BC=10+1.5=11.5(m),

即旗桿的高度為11.5m；

故答案為：11.5.

【點評】此題要緊考查了相似三角形的應(yīng)用；由三角形相似得出對應(yīng)

邊成卬物星好穎關(guān)轆

V3,2),B(2遮，1),將△AOR繞著點O逆時

過九

>B',則圖中陰影部分的面積為4.

0X

【考點】扇形面積的運算；坐標與圖形變化-旋轉(zhuǎn).

【分析】按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知胃段部分的面積=5扇形A'OA-S扇形

n兀R

B'OB,按照扇形的面積公式S="^^運算即可.

【解答】解：...點A的坐標為(273,2),

，OA=4,

?.?點B的坐標為(2遙，1),

.*.OB=V13,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，SAAZOB'=SAAOB,

.?一陽當都分的面和=S扇形A'OA-S扇形B，OB

90—X1690冗義13

=-360--360-

4冗

二4'3

—JT

故答案為：4.

【點髭題考查的是扇形的面積運算和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，把握扇形的面

n兀R

積公式s=短"、正確按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)表示出陰影部分的面積是解題的關(guān)

鍵.

16.閱讀下面材料：在數(shù)學(xué)課上，老師提出如下咨詢題：

尺規(guī)作圖，過圓外一點作圓的切線.

己知：。。和點P

求過點P的。o的切線

_小涵的要緊作法如下：________________________________________

如圖，(1)連結(jié)0P,作線段0P的中點A；

(2)以A為圓心，0A長為半徑作圓，交。O于點B,C；

(3)作直線PB和PC.

因此PB和PC確實是所求的切紙.

:法正確的

?圖依據(jù)是直徑所對的圓周角是直角.

O【考點】切線的判定；作圖一復(fù)雜作圖.

【分析】按照圓周角定理得出NPBO=NPCO=90°,即OBJ_PB,OC

1PC,即可證得PB、PC是。。的切線.

【解答】解：TOP是。A的直徑，

AZPBO=ZPCO=90°,

.;OB±PB,OC±PC,

VOB,OC是。O的半徑，

/.PB,PC是。。的切線；

則小涵的作圖依據(jù)是：直徑所對的圓周角是直角.

故答案為：直徑所對的圓周角是直角.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種差不多作圖

的基礎(chǔ)上進行作圖，一樣是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和差不多作圖方法.解

決此類題目的關(guān)鍵是熟悉差不多幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的差不多

性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成差不多作圖，逐步操作.也考查了切線的判定.

三、解答題(本題共72分，第17-26題，每小題5分，第27題7分，

第28題7分，第29題8分)

17.運算：4cos45°+tan60°一圾-(-1)2.

【考點】實數(shù)的運算；專門角的三角函數(shù)值.

【分析】分不進行專門角的三角函數(shù)值、二次根式的化簡、乘方等運

算，然后合并.

【解答】解：原式=2&+正-2&-1

=Vs-1.

【點評】本題考查了實數(shù)的運算，涉及了專門角的三角函數(shù)值、二次

根式的化簡、乘方等知識，屬于基礎(chǔ)題.

18.解方程：x2-6x-1=0.

【考點】解一元二次方程-配方法.

【分析】將方程的常數(shù)項移動方程右邊，兩邊都加上9,左邊化為完全

平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即

可得到原方程的解.

【解答】解:x2-6x-1=0,

移項得：x2-6x=l,

配方得：x2-6x+9=10,即(x-3)2=10,

開方得：x-3=±V10,

貝(Jxl=3+VIo,X2=3-VTo.

【點評】此題考查了解一元二次方程-配方法，利用此方法解方程時,

第一將二次項系數(shù)化為1,常數(shù)項移動方程右邊，然后兩邊都加上一次項系

數(shù)一半的平方，左邊化為完全平方式，右邊合并，開方轉(zhuǎn)化為兩個一元一

次方程來求解.

A

卜，D為BC上一點，ZBAD=ZC,AB=6,BD=4,

求(

B，----------D---------------4c

【考點】相似三角形的判定與性質(zhì).

【分析】易證△BADs^BCA,然后運用相似三角形的性質(zhì)可求出B

C,從而可得到CD的值.

【解答】解：VZBAD=ZC,NB=NB,

...ABAD^ABCA,

BABD

ABC=BC.

VAB=6,BD=4,

64

，BC=9,

，CD=BC-BD=9-4=5.

【點評】本題要緊考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，由角等聯(lián)想到

三角形相似是解決本題的關(guān)鍵.

20.已知：拋物線y=x2+(2m-1)x+m2-1通過坐標原點，且當x<

0時，y隨x的增大而減小.

(1)求拋物線的解析式；

(2)結(jié)合圖象寫出y<0時，對應(yīng)的x的取值范疇；

(3)設(shè)點A是該拋物線上位于x軸下方的一個動點，過點A作x軸

的平行線交拋物線于另一點D,再作AB±x軸于點B,DC±x軸于點C.當

BC=1時，直截了當寫出矩形ABCD的周長.

【考點】二次函數(shù)綜合題.

【分析】(1)按照圖象過原點，可得關(guān)于m的方程，按照解方程，可

得答案；

(2)按照函數(shù)與不等式的關(guān)系：圖象位于x軸下方部分是不等式的解

集，可得答案；

(3)按照平行于x軸的直線與拋物線的交點關(guān)于對稱軸對稱，可得A、

D點關(guān)于對稱軸對稱，按照AB_Lx軸于點B,DC_Lx軸于點C,可得B點

坐標，按照自變量與函數(shù)值的對應(yīng)關(guān)系，可得A點坐標，按照矩形的周長

公式，可得答案.

【解答】解：一'一■'x+m2-1通過坐標原點，得

m2-1=0,解彳；\I

當xvo時，y,

得m=_1.\/

拋物線的解)\/

(2)由圖象_______—(L____>得

位于x軸下;。\/x

y<0時，對D；

(3)如圖2圖2,

由AD〃x軸，得

A、D關(guān)于對稱軸x=1.5對稱，

B、C關(guān)于對稱軸x=1.5對稱，且BC=1,得

1.5-0.5=1,即B(1,0).

當x=l時，y=l-3=-2,

即A(1,-2).

矩形ABCD的周長為2(AB+BC)=2X(2+1)=6.

【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,

利用函數(shù)與不等式的關(guān)系：圖象位于x軸下方部分是不等式的解集；利用

平行于x軸的直線與拋物線的交點關(guān)于對稱軸對稱得出A、D關(guān)于對稱軸

對稱是解題關(guān)鍵.

21.列方程或方程組解應(yīng)用題：

某公司在2013年的盈利額為200萬元，估量2015年的盈利額達到24

2萬元，若每年比上一年盈利額增長的百分率相同，求該公司這兩年盈利額

的年平均增長率是多少？

【考點】一元二次方程的應(yīng)用.

【專題】增長率咨詢題.

【分析】設(shè)該公司這兩年盈利額的年平均增長率是x,按照題意可得,

2013年的盈利額X(1+增長率)2=2015年的盈利額，據(jù)此列方程求解.

【解答】解：設(shè)該公司這兩年盈利額的年平均增長率是x,

由題意得，200X(1+x)2=242,

解得：x=0.1.

答：該公司這兩年盈利額的年平均增長率是0.1.

【點評】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是讀明白

【考點】作圖-旋轉(zhuǎn)變換；平行四邊形的判定.

即可畫出圖形，

C'、D為頂點的四

D

【點評】此題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，用到的知識點是旋轉(zhuǎn)、中心對

稱、平行四邊形的判定，關(guān)鍵是把握中心對稱的作法，作平行四邊形時注

意畫出所有符合要求的圖形.

23.石頭剪子布，又稱“猜丁殼”，是一種起源于中國流傳多年的猜拳

游戲，游戲時的各方每次用一只手做“石頭”、“剪刀”、“布”三種手勢中

的一種，規(guī)定“石頭”勝“剪刀”、“剪刀”勝“布”、“布”勝“石頭兩

人游戲時，若顯現(xiàn)相同手勢，則不分勝負游戲連續(xù)，直到分出勝負，游戲

終止，三人游戲時，若三種手勢都相同或都不相同，則不分勝負游戲連續(xù),

若顯現(xiàn)兩人手勢相同，則視為一種手勢與第三人所出手勢進行對決，現(xiàn)在,

參照兩人游戲規(guī)則，例如甲、乙二人同時出石頭，丙出剪刀，則甲、乙獲

勝，假定甲、乙、丙三人每次差不多上隨機地做這三種手勢，那么：

(1)直截了當寫出一次游戲中甲、乙兩人出第一次手勢時，不分勝負

的概率；

(2)請你畫出樹狀圖求出一次游戲中甲、乙、丙三人出第一次手勢時,

不分勝負的概率.

【考點】列表法與樹狀圖法.

【專題】運算題.

【分析】(1)甲、乙兩人出第一次手勢時，共有9種等可能的結(jié)果數(shù),

其中顯現(xiàn)相同手勢的結(jié)果數(shù)為3,因此按照概率公式可運算出不分勝負的概

率；

(2)畫樹狀圖展現(xiàn)所有27種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出三種手勢都相

同或都不相同的結(jié)果數(shù)，然后按照概率公式求解.

—兩人出第一次手勢時，不分勝負

獻一4^

石頭布剪刀

石頭畬

a頭m剪刀石頭布剪刀石頭布剪刀

共有27種等可能的結(jié)果數(shù)，其中三種手勢都相同或都不相同的結(jié)果數(shù)

因此甲、乙、丙三人出第一次手勢時，不分勝負的概率=旗至

【點評】本題考查了列表法或樹狀圖法：通過列表法或樹狀圖法展現(xiàn)

所有等可能的結(jié)果求出n,再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m,然

后按照概率公式求出事件A或B的概率.

24.如圖，AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。O與BC相交于點

【考點】切線的判定.

【分析】（1）連接OD,按照等邊對等角得出NB=NODB,ZB=ZC,

得出NODB=NC,證得OD〃AC,證得OD_LDF,從而證得DF是OO的

切線；

（2）連接BE,AD,AB是直徑，ZAEB=ZADB=90°,按照等腰三

角形的性質(zhì)得出NABC=NC,BD=DC,通過解直角三角形求得AD,按照

勾股定理得出BD,進而求得BC,解直角三角形BCE求得BE,然后按照

勾股定理即可求得AE.

【解答】（1）證明：連接OD,

VOB=OD,

二.ZB=ZODB,

VAB=AC,

二.NB=NC,

二.NODB=NC,

，OD〃AC,

VDF±AC,

.;OD±DF,

?.DF是。O的切線；

(2)解：連接BE,AD,

「AB是直徑，

二NAEB=NADB=90°,

/AB=AC,

?.NABBNC,BD=DC,

V3

.*sinC=3,f-

ADV3

sinZABC=AB^3,

「AB=2OA=6,

，.AD=2遙，

?.BD=VAB2-AD2=2V6,

?.BC=2BD=4"0

BEV3

C=BC3,

472,___________

JAB2-BE2=V62-（472）2=2.

【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，切線

的判定，勾股定理的應(yīng)用以及直角三角函數(shù)等，是一道綜合題，難度中等.

25.如圖所示，某數(shù)學(xué)活動小組要測量山坡上的電線桿PQ的高度，他

們采取的方法是：先在地面上的點A處測得桿頂端點P的仰角是45。，再

向前走到B點，測得桿頂端點P和桿底端點Q的仰角分不是60°和30。，

這曲伽？入。的長度就能通過運算求出電線桿PQ的高度，你同意他

們白彳同意，畫出運算時的圖形，簡要寫出運算的思路，不

用力///?'.?]01同意，提出你的測量方案，并簡要寫出運算思路.

【考點】解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角咨詢題.

【分析】延長PQ交直線AB于點E,設(shè)測出AB的長度為m米，在直

角4APE和直角4BPE中，按照三角函數(shù)利用PE表示出AE和BE,按照

AB=AE-BE即可列出方程求得PE的值，再在直角4BQE中利用三角函數(shù)

求得QE的長，則PQ的長度即可求解.

【解答】解：同意他們的測量方案；

延長PQ交直線AB于點E,

設(shè)測出AB的長度為m米.

在直角4APE中，NA=45°,

貝（］AE=PE；

,/ZPBE=60°

NBPE=30°r

在直角ABPE中，BE=3PE,

；AB=A&-BE=m,

M+3

6m.

【點評】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，注意把握當兩個直角三角形

有公共邊時，先求出這條公共邊的長是解答此類題的一樣思路.

26.請閱讀下面材料，并回答所提出的咨詢題.

三角形內(nèi)角平分線定理：三角形的內(nèi)角平分線分隊邊所得的兩條線段

和那個角的兩勃對應(yīng)成比例.

ABBD

已知：AC=DC

證明：過C作CE〃DA,交BA的延長線于E.

Z1=ZE,N2=N3.----------①

「AD是角平分線，

二.N1=N2.

二.N3=NE.----------②

又…AD〃CE,

ABBD

AFi=nc--------(3)

ABBD

AAC=DC.

(1)上述證明過程中，步驟①②③處的理由是什么？(寫出兩條即可)

(2)用三角形內(nèi)角平分線定明白得答，已知，^ABC中，AD是角平

分線，AB=7cm,AC=4cm,BC=6cm,求BD的長;

E

它們面積的比就等于底

的E證明三角形內(nèi)角平分線

定理

B

【考點】相似形綜合題姻以

【分析】(1)由比例式屜而，想到作平行線,用到了平行線的性質(zhì)定

理；只要證照AE=AC即可，用到了等腰三角形的判定定理；由CE〃AD,

ABBD

寫出比例式星云，用到了平行線分線段成比例定理(推論)；

(2)利用三角形內(nèi)角平分線性質(zhì)定理，列出比例式，代入數(shù)據(jù)運算出

結(jié)果.

(3)按照三角形的面積公式進行證明即可.

【解答】解：(1)證明過程中用到的定理有:

①平行線的性質(zhì)定理；

②等腰三角形的判定定理；

③平行線分線段成比例定理；

(21二AD是角平分線，

BD_AB

ADC=AC,

D-cm

X**ODUn7?AC=4cm,BC=6cm,

42

BD=11(cm).ii

票DXh-^ABXh

(3),?AABD和△ACD的高相等----J三-----獸

yLDC,AC

可得：AARD和AACD面積的比=?‘h=2ACXh

BDAB

可得：DC-AC.

【點評】此題是一道材料題，按照材料推得的結(jié)果進行解題，要緊考

查平行線分線段成比例定理的明白得及運用.

27.在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=mx2-8mx+l6m-1(m>0)

與x軸的交點分不為A(xl,0),B(x2,0).

(1)求證：拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

(2)若AB=2,求此拋物線的解析式.

(3)已知x軸上兩點C(2,0),D(5,0),若拋物線y=mx2-8mx+

16m-1(m>0)與線段CD有交點，請寫出m的取值范疇.

【考點】拋物線與x軸的交點；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式.

【專題】運算題.

【分析】(1)證明△>()即可；

利用拋物線與軸的交點咨詢題，貝、為方程

(2)xUxlx2ny■LRbm-一J￥.mx+

16m-1=0的兩根，利用根與系數(shù)的關(guān)系得到xl+x2=8,xl?m,再

變形|xl-x2|=2得到(xl+x2)2-4x1,x2=4,因此82-4?m=4,然后

解出m即可得到拋物線解析式；

(3)先求出拋物線的對稱軸為直線x=4,利用函數(shù)圖象，由于拋物線

開口向上，則只要當x=2,y20時，拋物線與線段CD有交點，因此得到4

m-16m+16m-1^0,然后解不等式即可.

【解答】(1)證明：△=64m2-4m?(16m-1)

=4m,

Vm>0,

???拋物線總與x軸有兩個不同的交點；

按照題汽，、為方雪的兩根,

(2)-oirxiblin-xi2-8mx+16m-1=0

xl+x2=-m=8,xl?x2=m,

V|xl-x2|=2,

(x1+x2\°4x1?x2=4,

1d6m-1

二.82-4?~=4,

m=1,

二.拋物線的解析式為y=x2-8x+15-81r

(3)拋物線的對稱軸為直線x=-2m=4,

...拋物線開口向上，

...當x=2,y與0時，拋物線與線段CD有交點,

4m-16m+16m-120,

1

二.mN4.

【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點：把求二次函數(shù)y=ax2+bx+c

(a,b,c是常數(shù)，aWO)與x軸的交點坐標咨詢題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元

二次方程.也考查了根與系數(shù)的關(guān)系.

28.已知，在等邊AABC中，AB=2依，D,E分不是AB,BC的中點

(如圖1).若將4BDE繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)，得到△BD1E1,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為a

(0°<a<180°),記射線CE1與AD1的交點為P.

(1)判定4BDE的形狀；

7AD1的數(shù)量關(guān)系并證明;

C勺最大值為2.(直截了當填寫結(jié)果)

【考點】作圖■■旋轉(zhuǎn)變換.

【專題】作圖題.1

【分析】(1)由D,E分不是AB,BC的中點得到DE=攵BC,BD=2B

A,加上AABC為等邊三角形，則NB=60。，BA=BC,因此BD=BE,因

此可判定4BDE為等邊三角形；

(2)①按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得ABDIEI為等邊三角形，貝UBD1=BE1,Z

D1BE1=6O°,而NABC=60°,因此NABD1=NCBE1,則路旋轉(zhuǎn)的定義,

△ABD1可由ACBEl繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到，然后按照旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CE

1=AD1；

②由于aABDl可由ACBEl繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)得到NBAD1=NBCE1,

然后按照三角形內(nèi)角和定理和得NAPC=NABC=60。；、

(3)由于NAPC=ND1BE1=6O°,則可判定點P、DI、B、E1共圓，

因此可判定當BP±BC時，點P到BC所在