專題03一元二次函數(shù)方程和不等式（14大考點知識串講熱考題型專題訓(xùn)練）

專題03一元二次函數(shù)、方程和不等式知識點1不等式關(guān)系與不等式1、不等式的概念用數(shù)學(xué)符號“”“”“”“”“”連接兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等式關(guān)系，含有這些不等式號的式子，叫作不等式。2、不等式中文字語言與符號語言之間的轉(zhuǎn)換文字語言大于、高于、超過小于、低于、少于大于或等于、至少、不低于小于或等于、至多、不多于、不超過符號語言知識點2等式與不等式的的性質(zhì)1、等式的性質(zhì)性質(zhì)文字表述性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性可逆2傳遞性同向3可加、減性可逆4可乘性同向5可除性同向2、不等式的性質(zhì)性質(zhì)別名性質(zhì)內(nèi)容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c同向3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性a>b，c>0?ac>bca>b，c<0?ac<bcc的符號5同向可加性a>b，c>d?a＋c>b＋d同向6正數(shù)同向可乘性a>b>0，c>d>0?ac>bd同向7正數(shù)乘方性a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)同正知識點3基本不等式1、兩個不等式重要不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.常見變形公式：、基本不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.常見變形公式：；【注意】（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時取等號”.（3）我們稱為的算術(shù)平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù).因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).2、由基本不等式引申出的常用結(jié)論①（同號）；②（異號）；③或3、利用基本不等式求最值（1）在用基本不等式求函數(shù)的最值時，要滿足三個條件：一正二定三取等.①一正：各項均為正數(shù)；②二定：含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：含變數(shù)的各項均相等，取得最值.（2）積定和最小，和定積最大=1\*GB3①設(shè)x,y為正實數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x=y時，積xy有最大值，且這個值為eq\f(s2,4).=2\*GB3②設(shè)x，y為正實數(shù)，若xy＝p(積p為定值),則當(dāng)x=y時，和x＋y有最小值,且這個值為2eq\r(p).知識點4一元二次函數(shù)、方程和不等式1、一元二次不等式的相關(guān)概念（1）定義：一般地，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式.（2）一般形式：ax2＋bx＋c>0（≥0），ax2＋bx＋c<0（≤0），（其中a≠0，a，b，c均為常數(shù)）（3）一元二次不等式的解與解集使某一個一元二次不等式成立的x的值，叫作這個一元二次不等式的解；一元二次不等式的所有解組成的集合，叫作這個一元二次不等式的解集；將一個不等式轉(zhuǎn)化為另一個與它解集相同的不等式，叫作不等式的同解變形。2、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對應(yīng)關(guān)系對于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況.因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集.判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??3、解一元二次不等式的一般步驟（1）判號：檢查二次項的系數(shù)是否為正值，若是負(fù)值，則利用不等式的性質(zhì)將二次項系數(shù)化為正值；（2）求根：計算判別式，求出相應(yīng)方程的實數(shù)根；①時，求出兩根，且（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）；②時，求根；③時，方程無解（3）標(biāo)根：將所求得的實數(shù)根標(biāo)在數(shù)軸上（注意兩實數(shù)根的大小順序，尤其是當(dāng)實數(shù)根中含有字母時），并畫出開口向上的拋物線示意圖；（4）寫解集：根據(jù)示意圖以及一元二次不等式解集的幾何意義，寫出解集?？谠E：大于零?。ǜ﹥蛇?，小于零取（根）中間知識點5其他不等式的解法1、分式不等式的解法：解分式不等式的實質(zhì)就是講分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式。設(shè)A、B均為含x的多項式（1）（2）（3）（4）【注意】當(dāng)分式右側(cè)不為0時，可過移項、通分合并的手段將右側(cè)變?yōu)?；當(dāng)分母符號確定時，可利用不等式的形式直接去分母。2、高次不等式的解法如果將分式不等式轉(zhuǎn)化為正式不等式后，未知數(shù)的次數(shù)大于2，一般采用“穿針引線法”，步驟如下：（1）標(biāo)準(zhǔn)化：通過移項、通分等方法將不等式左側(cè)化為未知數(shù)的正式，右側(cè)化為0的形式；（2）分解因式：將標(biāo)準(zhǔn)化的不等式左側(cè)化為若干個因式（一次因式或高次因式不可約因式）的乘積，如的形式，其中各因式中未知數(shù)的系數(shù)為正；（3）求根：求如的根，并在數(shù)軸上表示出來（按照從小到大的順序標(biāo)注）（4）穿線：從右上方穿線，經(jīng)過數(shù)軸上表示各根的點，（奇穿偶回：經(jīng)過偶次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)仍回到這一側(cè)，經(jīng)過奇數(shù)次根時應(yīng)從數(shù)軸的一側(cè)穿過到達(dá)數(shù)軸的另一側(cè)）（5）得解集：若不等式“>0”，則找“線”在數(shù)軸上方的區(qū)間；若不等式“<0”，則找“線”在數(shù)軸下方的區(qū)間3、含絕對值不等式（1）絕對值的代數(shù)意義正數(shù)的絕對值是它的本身，負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即（2）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值，是數(shù)軸上表示它的點到原點的距離．（3）兩個數(shù)的差的絕對值的幾何意義：表示在數(shù)軸上，數(shù)和數(shù)之間的距離．（4）絕對值不等式：=1\*GB3①的解集是，如圖1．=2\*GB3②的解集是，如圖2．=3\*GB3③．=4\*GB3④或考點1不等式的性質(zhì)及判斷【例1】（2023秋·湖北襄陽·高一?？茧A段練習(xí)）若，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，A錯誤，B正確；由已知取.對于C：，，C錯誤；對于D：，，D錯誤.故選：B【變式11】（2022秋·山東棗莊·高一校考階段練習(xí)）如果，那么下列不等式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時，對于A，，故A錯誤；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C錯誤；對于D，，所以，即，則，故D正確.故選：D.【變式12】（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）若，，則下列不等式成立的是（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】對于A，因為，所以，故A正確；對于B，因為，所以，所以，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，故C正確；對于D，因為，，所以，所以，故D正確.故選：ACD.【變式13】（2023·江蘇泰州·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，那么下列結(jié)論正確的是（）A．若，，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】選項A，∵，∴，，∴，故A正確；選項B，取，，滿足，但，故B錯誤；選項C，∵，∴.又∵，由成立，則∴，則有，∴，故C正確；選項D，∵，∴，∴，故D正確；故選：ACD.【變式14】（2023秋·陜西·高一?？茧A段練習(xí)）（多選）已知，則下列不等式中錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【解析】在兩邊同除以負(fù)數(shù)得，即，與A項矛盾.由，，得，與B項矛盾.由，，，故不一定小于0，故C不正確.由得，又，兩式相乘得，兩邊同除以負(fù)數(shù)，可得，故D正確.故選：ABC.考點2求代數(shù)式的取值范圍【例2】（2023秋·湖北襄陽·高一宜城市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是．【答案】【解析】由，得，而，則.所以的取值范圍是.故答案為：【變式21】（2023秋·四川南充·高一校考階段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是．【答案】【解析】∵，∴，又∵，∴．故答案為．【變式22】（2022秋·青海海東·高一校考階段練習(xí)）（多選）已知，則的取值可以為（）A．1B．C．3D．4【答案】BC【解析】因為，兩式相加可得，所以，故選：BC．【變式23】（2023秋·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）已知，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，，令，則，解得，所以，又，所以，即.故選：B【變式24】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知實數(shù)，滿足，，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因為，由，所以，由，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B.考點3作差法與作商法比大小【例3】（2023秋·湖北襄陽·高一校考階段練習(xí)）已知，若，，則A與B的大小關(guān)系是（）A．A<BB．A>BC．A＝BD．不確定【答案】A【解析】，即，因為，所以，又因為，所以，即.故選：A.【變式31】（2023秋·四川南充·高一?？茧A段練習(xí)）已知，設(shè)，，則有（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，因為，所以，∴．故選：B【變式32】（2023秋·四川南充·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)，則（填“”?“”?“”或“”）.【答案】【解析】因為，所以，故答案為：【變式33】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，則、、、中最小的是.【答案】【解析】因為，所以，，因為，，所以，即故答案為：【變式34】（2020·高一課時練習(xí)）若實數(shù)，，滿足，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因為實數(shù)，，滿足，，，所以，∴；又，∴；∴．故選：A．考點4基本不等式成立的條件【例4】（2022秋·廣東珠海·高一校考階段練習(xí)）對于，y取最小值時x的值為．【答案】【解析】因為，所以由均值不等式可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取得最小值.故答案為：.【變式41】（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，，則當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．【答案】【解析】因為，所以，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故答案為：．【變式42】（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式中等號成立的條件是．【答案】【解析】由題知，，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，所以等號成立的條件是，故答案為：【變式43】（2023·全國·高一專題練習(xí)）下列不等式中等號可以取到的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】對于A，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故A不符合；對于B，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故B不符合；對于C，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，故C符合；對于D，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故等號不成立，故D不符合.故選：C.【變式44】（2023秋·廣東廣州·高一?？计谀ǘ噙x）下列命題中正確的是（）A．時，的最小值是2B．存在實數(shù)，使得不等式成立C．若，則D．若，且，則【答案】BCD【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故時，取不到最小值2，故A錯誤；當(dāng)時，,故B正確；,故，故C正確；，，則,解得，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確.故選:BCD.考點5無條件型不等式求最值【例5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知，則的最小值為（）A．2B．4C．D．【答案】B【解析】由，則，僅當(dāng)時等號成立，所以函數(shù)最小值為4.故選：B【變式51】（2023秋·貴州黔西·高三校考階段練習(xí)）的最小值為（）A．4B．7C．11D．24【答案】B【解析】，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，故選：B．【變式52】（2023秋·天津·高三?？计谀┮阎瑒t的最小值是．【答案】【解析】，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以的最小值是.故答案為：.【變式53】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知，，則的最小值為．【答案】【解析】，因為，所以當(dāng)，，上述等號在時成立．故答案為：【變式54】（2023秋·四川·高一?？茧A段練習(xí)）已知，則的最小值為（）A．4B．6C．D．10【答案】D【解析】∵∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，∴的最小值為10．故選：D.考點6有條件型不等式求最值【例6】（2023秋·廣東佛山·高一?？奸_學(xué)考試）已知，，且，則的最大值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，（當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號），的最大值為.故選：B.【變式61】（2023秋·河北邢臺·高三聯(lián)考9月月考）已知正數(shù)a，b滿足，則的最小值為（）A．13B．16C．9D．12【答案】B【解析】因為正數(shù)a，b滿足，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以的最小值為.故選：B.【變式62】（2023秋·上海松江·高三上海市松江二中?？茧A段練習(xí)）設(shè)正實數(shù)x、y、z滿足，則的最大值為.【答案】【解析】因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以的最大值為1.故答案為：.【變式63】（2023秋·安徽亳州·高一?？茧A段練習(xí)）設(shè)均為正數(shù)且，則的最小值為（）A．1B．3C．D．2【答案】C【解析】由，得，由基本不等式知：當(dāng)，，均為正數(shù)時，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時，上述不等式等號均成立，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；故選：C【變式64】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知且，則的最小值為（）A．10B．9C．8D．7【答案】B【解析】由題意得，，令，則，由得，故，當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，即時取等號，也即，即時，等號成立，故的最小值為9，故選：B考點7基本不等式恒成立問題【例7】（2023秋·廣西南寧·高二?？奸_學(xué)考試）若，，且，恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．或C．D．或【答案】A【解析】因為，，，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為8，由題可知，，即，解得，故選：A.【變式71】（2023秋·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）正實數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍（）A．B．C．D．【答案】C【解析】正實數(shù)滿足，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即且時，等號成立，則時，取到最小值4，要使不等式恒成立，即，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式72】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知且，若恒成立，則實數(shù)的范圍是．【答案】【解析】因為且，若恒成立，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，所以，即實數(shù)的取值范圍是．故答案為：．【變式73】（2023秋·河北邢臺·高三上9月月考）不等式對所有的正實數(shù),恒成立，則的最大值為（）A．2B．C．D．1【答案】D【解析】因為,為正數(shù)，所以，所以，則有，令，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，，又，所以，即，所以的最小值為1，所以，即的最大值為1.故選：D.考點8基本不等式的實際應(yīng)用【例8】（2023·全國·高一專題練習(xí)）在實驗課上，小明和小芳利用一個不等臂的天平秤稱取藥品.實驗一：小明將克的砝碼放在天平左盤，取出一些藥品放在右盤中使天平平衡；實驗二：小芳將克的砝碼放在右盤，取出一些藥品放在天平左盤中使天平平衡，則在這兩個實驗中小明和小芳共秤得的藥品（）A．大于克B．小于克C．大于等于克D．小于等于克【答案】C【解析】設(shè)天平左、右兩邊臂長分別為，小明、小芳放入的藥品的克數(shù)分別為，，則由杠桿原理得：，于是，故，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C.【變式81】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某社區(qū)計劃在一塊空地上種植花卉，已知這塊空地是面積為1800平方米的矩形，為了方便居民觀賞，在這塊空地中間修了如圖所示的三條寬度為2米的人行通道，則種植花卉區(qū)域的面積的最大值是（）A．1208平方米B．1448平方米C．1568平方米D．1698平方米【答案】C【解析】設(shè)米,，則種植花卉區(qū)域的面積．因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，則，即當(dāng)米，米時，種植花卉區(qū)域的面積取得最大值，最大值是1568平方米,故選：C【變式82】（2023·全國·高一專題練習(xí)）奮進(jìn)新征程，建功新時代．某單位為提升服務(wù)質(zhì)量，花費(fèi)萬元購進(jìn)了一套先進(jìn)設(shè)備，該設(shè)備每年管理費(fèi)用為萬元，已知使用年的維修總費(fèi)用為萬元，則該設(shè)備年平均費(fèi)用最少時的年限為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)該設(shè)備年平均費(fèi)用為萬元，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，該設(shè)備年平均費(fèi)用最少.故選：C.【變式83】（2023·全國·高一專題練習(xí)）某企業(yè)一個月生產(chǎn)某種商品萬件時的生產(chǎn)成本為（萬元），每件商品售價為元，假設(shè)每月所生產(chǎn)的產(chǎn)品能全部售完．當(dāng)月所獲得的總利潤用（萬元）表示，用表示當(dāng)月生產(chǎn)商品的單件平均利潤，則下列說法正確的是（）A．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元B．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元C．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元D．當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元【答案】D【解析】由題意可得，故當(dāng)時，取得最大值，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得最大總利潤萬元，當(dāng)生產(chǎn)萬件時，當(dāng)月能獲得單件平均利潤最大為元.故選：D.【變式84】（2023秋·高一單元測試）某工廠利用不超過64000元的預(yù)算資金擬建一長方體狀的倉庫，為節(jié)省成本，倉庫依墻角而建（即倉庫有兩個相鄰的側(cè)面為墻面，無需材料），由于要求該倉庫高度恒定，不靠墻的兩個側(cè)面按照其底邊的長度來計算造價，造價為每米1600元，倉庫頂部按面積計算造價，造價為每平方米600元．在預(yù)算允許的范圍內(nèi)，倉庫占地面積最大為（）．A．36平方米B．48平方米C．64平方米D．72平方米【答案】C【解析】設(shè)不靠墻的兩個側(cè)面的長度分別為，由題有.令，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號.故選：C考點9解不含參的一元二次不等式【例9】（2023秋·寧夏銀川·高一?？茧A段練習(xí)）一元二次不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】.故選：A【變式91】（2022秋·天津·高一統(tǒng)考期中）不等式的解集是（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因為，所以或，即不等式的解集為或，故選：D.【變式92】（2022秋·廣東茂名·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧牵敬鸢浮炕颉窘馕觥坑桑傻?，即，令，解得，所以不等式的解集為或，即不等的解集為或.故答案為：或.【變式93】（2023春·云南曲靖·高一?？茧A段練習(xí)）解下列一元二次不等式．（1）；（2）.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因為，解得或，所以不等式的解集為或.（2）因為，整理得，解得，所以不等式的解集為.【變式94】（2023秋·湖北宜昌·高一校考階段練習(xí)）解下列不等式（1）（2）【答案】（1）；（2）{或}【解析】（1）由題意可得，即不等式的解集為；（2）由題意可得或，即不等式的解集為{或}.考點10解含參一元二次不等式【例10】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】原不等式可以轉(zhuǎn)化為：，當(dāng)時，可知，對應(yīng)的方程的兩根為1，，所以不等式的解集為：.故選：A.【變式101】（2023秋·湖北荊州·高一?？茧A段練習(xí)）若，則關(guān)于的不等式的解集為．【答案】【解析】，，則，，或．故答案為：．【變式102】（2023·全國·高一專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式：().【答案】答案見解析.【解析】不等式化為：，當(dāng)，原不等式化為，解得，當(dāng)，原不等式化為，解得或，當(dāng)，原不等式化為，當(dāng)時，解得，當(dāng)時，不等式無解，當(dāng)時，解得，所以當(dāng)，原不等式的解集為，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為.【變式103】（2022秋·高一單元測試）解關(guān)于x的不等式，．【答案】分類討論，答案見解析.【解析】由得，．因為，所以①當(dāng)，即時，不等式的解集為：；②當(dāng)，即時，，不等式無解；③當(dāng)時，即時，不等式的解集為：．綜上所述，當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為；當(dāng)時，解集為．考點11解分式不等式與高次不等式【例11】（2023秋·河北保定·高一?？奸_學(xué)考試）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】等價于，解得.故選：B【變式111】（2023秋·北京石景山·高一統(tǒng)考期末）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，得，得，得，所以不等式的解集為.故選：A【變式112】（2022秋·河北張家口·高一?？计谥校┎坏仁降慕饧牵ǎ〢．B．C．D．【答案】B【解析】因為，所以不等式等價于，即，解得：或，所以不等式的解集是或.故選：B【變式113】（2022秋·陜西寶雞·高二統(tǒng)考期中）不等式解集為（）A．或B．或C．或D．或或【答案】D【解析】根據(jù)高次不等式的解法，使用穿根法，如圖所示。不等式的解集為或或故選：D.【變式114】（2023·全國·高一專題練習(xí)）不等式的解集為.【答案】【解析】原不等式式轉(zhuǎn)化為，即，根據(jù)數(shù)軸標(biāo)根法，畫出符號曲線圖，不等式的解集為或，故答案為：.考點12解含絕對值的不等式【例12】（2023秋·四川雅安·高一校考開學(xué)考試）不等式的解集為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因為，故，故，故，故選：D.【變式121】（2023春·浙江杭州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）不等式的解集是（）A．或B．或C．D．【答案】B【解析】不等式，即，所以，即，解得或，故不等式的解集為或.故選：B【變式122】（2023秋·江蘇南京·高一校考階段練習(xí)）不等式的解為.【答案】【解析】不等式，即，即，解得，所以不等式的解集為.故答案為：【變式123】（2023·上海虹口·高三?？寄M預(yù)測）不等式的解集為.【答案】【解析】，當(dāng)時，，解得，故解集為，當(dāng)時，，解集為，當(dāng)時，，解得，故解集為，綜上：不等式的解集為.故答案為：【變式124】（2023秋·福建寧德·高一?？奸_學(xué)考試）解不等式：（1）；（2）；【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因為，所以，即，所以或.（2）不等式等價于或或即或或，即.故原不等式的解為：.考點13由一元二次不等式的解集求參【例13】（2023春·新疆喀什·高一?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集為，則實數(shù)（）A．2B．C．3D．【答案】B【解析】由題意可知和是方程的兩個根，且，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得.故選：B.【變式131】（2023·高一課時練習(xí)）已知不等式的解集為，則下列說法錯誤的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由不等式的解集為可知：且和是方程的兩個根，所以由韋達(dá)定理可得，解得，故ACD正確，B錯誤，故選：B.【變式132】（2023·全國·高一專題練習(xí)）關(guān)于的不等式的解集中，恰有2個整數(shù)，則的取值范圍是（）A．B．C．或D．或【答案】C【解析】由不等式，可得，當(dāng)時，即時，可得，即不等式的解集為，若滿足解集中恰好有2個整數(shù)，則，解得；當(dāng)時，即時，可得，即不等式的解集為，若滿足解集中恰好有2個整數(shù)，則，解得；當(dāng)時，即時，即不等式的解集為，顯然不成立，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【變式133】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）（多選）若關(guān)于的不等式的解集為，則的值不可以是（）A．B．C．D．【答案】AD【解析】因為，則二次函數(shù)的圖象開口向上，且關(guān)于的不等式的解集為，所以，不等式的解集為，且，所以，關(guān)于的二次方程的兩根分別為、，由韋達(dá)定理可得，則，則，又因為，所以，，所以，，故選：AD.【變式134】（2022秋·全國·高一期中）（多選）已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A．B．C．不等式的解集為D．不等式的解集為【答案】ABD【解析】由于不等式的解集為，所以和是的兩個實數(shù)根，所以，故，，故AB正確，對于C,不等式為，故，故C錯誤，對于D,不等式可變形為，解得，故D正確，故選：ABD考點14一元二次不等式恒成立問題【例14】（2022秋·江西南昌·高一?？茧A段練習(xí)）若不等式的解集為，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意知，不等式的解集為，即為不等式在上恒成立，當(dāng)時，即時，不等式恒成立，滿足題意；當(dāng)時，即時，則滿足，即，解得，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.故選：B.【變式141】（2023秋·上海靜安·高三?？奸_學(xué)考試）設(shè)不等式對一切都成立，則的取值范圍是.【答案】【解析】時，不等式不滿足對一切都成立，則，不等式對一切都成立，則有，解得，所以的取值范圍是.故答案為：【變式142】（2023秋·四川雅安·高一?？奸_學(xué)考）（多選）當(dāng)時，不等式恒成立，則m的范圍可以是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】因為時，不等式恒成立，所以時，不等式恒成立，令，由對勾函數(shù)的性質(zhì)得在上遞減，所以，則，所以，所以m的范圍可以是，，故選：AB【變式143】（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）不等式，對于任意及恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，則不等式兩邊同時乘以不等式可化為：，令，則不等式轉(zhuǎn)化為：，在上恒成立，由可得即，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以當(dāng)時，取得最小值，故可得.故選：A．【變式144】（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知對一切，，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，，則，∴，又∵，且，可得，令，則原題意等價于對一切，恒成立，∵的開口向下，對稱軸，則當(dāng)時，取到最大值，故實數(shù)的取值范圍是.故選：C.1．（2023秋·全國·高一專題練習(xí)）已知，下列選項中正確的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】對于選項A，因為，滿足，但不滿足，所以選項A錯誤；對于選項B，因為，由不等性質(zhì)，同向可加性知成立，所以選項B正確；對于選項C，因為，滿足，但不滿足，所以選項C錯誤；對于選項D，因為，滿足，但不滿足，所以選項D錯誤，故選：B.2．（2023·全國·高一專題練習(xí)）設(shè)，則有（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故.故選：A3．（2022秋·河北·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若，且，則下列不等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，即，故A恒成立，取，此時，故B不恒成立，因為，所以，所以，故C恒成立，因為，所以，所以，故D恒成立，故選：B4．（2022秋·安徽宣城·高一校考階段練習(xí)）已知為正實數(shù)且，則的最小值為（）A．B．C．D．3【答案】D【解析】因為為正實數(shù)且，所以，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；故選：D5．（2022秋·高一單元測試）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（）A．36B．42C．49D．6【答案】C【解析】正數(shù)滿足，則有，∴，當(dāng)且僅當(dāng)且，即時取等號，即的最小值為49.故選：C6．（2022秋·全國·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若，則關(guān)于x的不等式的解集是（）A．B．或C．或D．【答案】C【解析】因為，所以，由，得，解得或，所以不等式的解集為或，故選：C7．（2022秋·全國·高一階段練習(xí)）（多選）下列函數(shù)最小值為2的是（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】A選項：