浙教版九年級數(shù)學(xué)上冊3.8 弧長及扇形面積知識點(diǎn)分類訓(xùn)練

3.8弧長及扇形面積知識點(diǎn)分類訓(xùn)練考點(diǎn)一：求弧長例1．如圖，點(diǎn)A,B,C在半徑為3的⊙O上，∠ACB=30°，則AB的長為（

）A．3 B．π2 C．π D．變式1-1．如圖，在扇形紙扇中，若∠AOB=150°，OA=24，則AB的長為（

）A．30π B．25π C．20π變式1-2．如圖，△ABC的頂點(diǎn)B，C落在⊙O上，AB經(jīng)過圓心O，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，已知∠A=20°，∠CBD=50°，BC=2，則CD的長為（）A．5π9 B．10π9 C．考點(diǎn)二：求扇形半徑例2．一個(gè)扇形的圓心角是120°，面積為3πcm2，那么這個(gè)扇形的弧長為（

）A．3π B．2π C．23π D．12變式2-1．如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型．若圓形的半徑為1，扇形的圓心角等于60°，則這個(gè)扇形的半徑R的值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12變式2-2．已知扇形的弧長為6πcm，該所對圓心角為90°，則此扇形的半徑為（

A．3cm B．6cm C．12cm考點(diǎn)三：求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑例3．如圖，已知在△ABC中∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ADE，那么在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C

A．52cm B．54πcm 變式3-1．如圖，半徑為2，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，設(shè)△OPH的三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長是（

）A．π B．22π C．2π變式3-2．如圖，在打開房門時(shí)，將門扇繞著門軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)160°后可以開到最大，若門扇的寬度OA=90cm，則旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為（

A．60πcm B．80πcm C．100考點(diǎn)四：求扇形面積例4．荷花寓意“家庭美滿，生活和諧”，圖1是一幅環(huán)形荷花裝飾掛畫．將其視為如圖2的扇形環(huán)面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB=108°，OC的長度是10cm，OA的長度是30cm，則該環(huán)形荷花裝飾掛畫的面積是（A．160πcm2 B．240πcm2 C．變式4-1．傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中AD長度為13π米，裙長AB為0.6米，圓心角∠AOD=60°，則馬面裙的面積為變式4-2．在源遠(yuǎn)流長的歲月中，扇子除日用外，還孕育著中華文化藝術(shù)的智慧，凝聚了古今工藝美術(shù)之精華．將如圖①所示的扇子完全打開后可近似看成如圖②所示的幾何圖形，外側(cè)兩根竹條OA、OB的夾角∠AOB=120°，點(diǎn)O為AB和CD所在圓的圓心，點(diǎn)C、D分別在OA、OB上，經(jīng)測量，OA=27cm，AC=18cm，則貼紙部分（即圖②中陰影部分）的面積為（A．243πcm2 B．240πcm2 C．考點(diǎn)五：求弓形面積例5．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC=30°，在直徑AB上截取AD=AC，延長CD交⊙O于點(diǎn)E，若CE=2，則圖中陰影部分的面積為（

A．2 B．π2?1 C．π?2 變式5-1．如圖，已知點(diǎn)C、D在⊙O上，直徑AB=6，弦AC、BD相交于點(diǎn)E．若CE=BC，則陰影部分面積為（

）A．π?493 B．94π?9變式5-2．如圖，在四邊形ABCD中，先以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)A．若AB=23，則圖中陰影部分的面積為（

A．4π?63 B．2π?33考點(diǎn)六：求不規(guī)則圖形面積例6．如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD=4，則圖中陰影部分的面積為（

）A．32?8π B．C．32?4π D．變式6-1．如圖，在⊙O中，直徑AB=8，點(diǎn)D為AB上方圓上的一點(diǎn)，∠ABD=30°，OE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是OE上一點(diǎn)，連接DP，Ⅰ：陰影部分的面積隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為83Ⅱ：陰影部分的周長隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為8+4下列判斷正確的是（

）．A．只有Ⅰ正確 B．只有Ⅱ正確 C．Ⅰ、Ⅱ都正確 D．Ⅰ、Ⅱ都不正確變式6-2．如圖，在△ABC中，∠ABC=90°，以點(diǎn)A為圓心，AB的長為半徑畫弧交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)B為圓心，AB的長為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，且這條弧恰好也經(jīng)過點(diǎn)D，若AC=4，則圖中陰影部分的面積為（

）A．2π3?3 B．23?

參考答案考點(diǎn)一：求弧長例1．如圖，點(diǎn)A,B,C在半徑為3的⊙O上，∠ACB=30°，則AB的長為（

）A．3 B．π2 C．π D．【答案】C【分析】本題考查圓周角定理，弧長的計(jì)算．根據(jù)∠ACB=30°，先計(jì)算∠AOB=2∠ACB=60°，再用弧長公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠ACB=30°∴∠AOB=2∠ACB=60°∴AB?故選：C．變式1-1．如圖，在扇形紙扇中，若∠AOB=150°，OA=24，則AB的長為（

）A．30π B．25π C．20π【答案】C【分析】本題考查了弧長，根據(jù)弧長公式∶l=nπr【詳解】解∵∠AOB=150°，OA=24，∴AB的長為150π×24180故選∶C．變式1-2．如圖，△ABC的頂點(diǎn)B，C落在⊙O上，AB經(jīng)過圓心O，AC與⊙O相交于點(diǎn)D，已知∠A=20°，∠CBD=50°，BC=2，則CD的長為（）A．5π9 B．10π9 C．【答案】B【分析】連接OC，OD，有圓周角定理得出∠COD=100°，由等邊對等角結(jié)合三角形內(nèi)角和定理得出∠ODC=∠OCD=40°，由三角形外角的定義及性質(zhì)得出∠A=∠DOA=20°，證明△OBC是等邊三角形，得出OC=BC=2，最后再由弧長公式計(jì)算即可得出答案．【詳解】解：連接OC，OD，∵∠CBD=50°，∴∠COD=100°，∵OC=OD，∴∠ODC=∠OCD=180°?∠COD∵∠A+∠DOA=∠ODC，∠A=20°，∴∠A=∠DOA=20°，∴∠BOC=180°?∠DOA?∠COD=180°?100°?20°=60°，∵OC=OB，∴△OBC是等邊三角形，∴OC=BC=2，∴CD的長為：100π×2180故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、弧長公式、等腰三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的定義及性質(zhì)，熟練掌握以上知識點(diǎn)并靈活運(yùn)用，添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：求扇形半徑例2．一個(gè)扇形的圓心角是120°，面積為3πcm2，那么這個(gè)扇形的弧長為（

）A．3π B．2π C．23π D．12【答案】B【分析】根據(jù)扇形的面積求出半徑，再利用弧長公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為r，則：nπr∴r=3（負(fù)值已舍掉）；∴這個(gè)扇形的弧長為=120故選B．【點(diǎn)睛】本題考查求弧長．熟練掌握扇形的面積公式和弧長公式，是解題的關(guān)鍵．變式2-1．如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型．若圓形的半徑為1，扇形的圓心角等于60°，則這個(gè)扇形的半徑R的值是（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】B【分析】根據(jù)扇形的弧長與圓的周長相等，列方程求解即可．【詳解】解：由題意可得：2π=60πR180，解得故選：B【點(diǎn)睛】本題考查扇形弧長公式，圓的周長，掌握扇形弧長公式，圓的周長公式，抓住扇形弧長與圓的周長相等構(gòu)造等式是解題關(guān)鍵．變式2-2．已知扇形的弧長為6πcm，該所對圓心角為90°，則此扇形的半徑為（

A．3cm B．6cm C．12cm【答案】C【分析】本題考查了用弧長公式計(jì)算扇形半徑，扇形的半徑為rcm，然后用弧長公式l=nπr180即可求解，熟記弧長公式【詳解】設(shè)扇形的半徑為rcm，∴6π=90πr解得：r=12cm故選：C．考點(diǎn)三：求某點(diǎn)的弧形運(yùn)動(dòng)路徑例3．如圖，已知在△ABC中∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm，現(xiàn)將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到△ADE，那么在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)C

A．52cm B．54πcm 【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，弧長公式，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可．【詳解】根據(jù)題意，得∠B=90°,AB=3cm,BC=4cm，故AC=A又∠CAE=90°，故CE=故選C．變式3-1．如圖，半徑為2，圓心角為90°的扇形OAB的弧AB上有一動(dòng)點(diǎn)P，從點(diǎn)P作PH⊥OA于點(diǎn)H，設(shè)△OPH的三個(gè)內(nèi)角平分線交于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P在弧AB上從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長是（

）A．π B．22π C．2π【答案】B【分析】本題考查了弧長的計(jì)算公式：l=nπR180，其中l(wèi)表示弧長，n表示弧所對的圓心角的度數(shù)．同時(shí)考查了三角形內(nèi)心的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)、圓周角定理和圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)．如圖，連接AM，由△OPH的內(nèi)心為M，可得到∠PMO=135°，并且易證△OPM≌△OAMSAS，得到∠AIO=∠PIO=135°，所以點(diǎn)M在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過A、M、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連O′A，O′O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)N，連接NA，NO【詳解】解：如圖，連接AM，∵△OPH的內(nèi)心為M，∴∠MOP=∠MOA，∠MPO=∠MPH，∴∠PMO=180°?∠MPO?∠MOP=180°?1∵PH⊥OA，∴∠PHO=90°，∴∠PMO=180°?1又∵OP=OA，OM為公共邊，而∠MOP=∠MOA，∴△OPM≌△OAMSAS∴∠AMO=∠PMO=135°，所以點(diǎn)M在以O(shè)A為弦，并且所對的圓周角為135°的一段劣弧上；過A、M、O三點(diǎn)作⊙O′，如圖，連接O′A，O′O，在優(yōu)弧AO取點(diǎn)∵∠AMO=135°，∴∠ANO=180°?135°=45°，∴∠AO∵OA=2，∴O∴弧OA的長=90×π×所以內(nèi)心M所經(jīng)過的路徑長為2π故選：B．變式3-2．如圖，在打開房門時(shí)，將門扇繞著門軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)160°后可以開到最大，若門扇的寬度OA=90cm，則旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為（

A．60πcm B．80πcm C．100【答案】B【分析】本題考查弧長的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握弧長公式，據(jù)此解答即可．【詳解】解：旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A經(jīng)過的路徑長為：160π×90180故選：B．考點(diǎn)四：求扇形面積例4．荷花寓意“家庭美滿，生活和諧”，圖1是一幅環(huán)形荷花裝飾掛畫．將其視為如圖2的扇形環(huán)面（由扇形OAB挖去扇形OCD），∠AOB=108°，OC的長度是10cm，OA的長度是30cm，則該環(huán)形荷花裝飾掛畫的面積是（A．160πcm2 B．240πcm2 C．【答案】B【分析】此題考查了扇形面積，利用較大扇形面積減去較小扇形面積即可得到答案．【詳解】解：由題意可得，該環(huán)形荷花裝飾掛畫的面積是：108π×30故選：B變式4-1．傳統(tǒng)服飾日益受到關(guān)注，如圖1為明清時(shí)期女子主要裙式之一的馬面裙，如圖2馬面裙可以近似的看作扇環(huán)，其中AD長度為13π米，裙長AB為0.6米，圓心角∠AOD=60°，則馬面裙的面積為【答案】13【分析】本題考查了弧長公式，扇形的面積公式．由題意知，lAD=60π?OA180=13【詳解】解：由題意知，lAD解得OA=1，∵裙長AB為0.6米，∴OB=8∴馬面裙的面積S=S故答案為：1350變式4-2．在源遠(yuǎn)流長的歲月中，扇子除日用外，還孕育著中華文化藝術(shù)的智慧，凝聚了古今工藝美術(shù)之精華．將如圖①所示的扇子完全打開后可近似看成如圖②所示的幾何圖形，外側(cè)兩根竹條OA、OB的夾角∠AOB=120°，點(diǎn)O為AB和CD所在圓的圓心，點(diǎn)C、D分別在OA、OB上，經(jīng)測量，OA=27cm，AC=18cm，則貼紙部分（即圖②中陰影部分）的面積為（A．243πcm2 B．240πcm2 C．【答案】C【分析】本題主要考查了扇形面積的計(jì)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握扇形的面積公式．先根據(jù)已知條件求出OC，然后根據(jù)陰影部分的面積=扇形AOB的面積?扇形COD的面積，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意可知：∠AOB=∠COD=120°，∵OA=27cm，AC=18(cm)，∴OC=OA?AC=27?18=9(cm)，∴陰影部分的面積=扇形AOB的面積?扇形COD的面積==243π?27π=216π(cm∴貼紙部分（即圖②中陰影部分）的面積為216πcm故選：C．考點(diǎn)五：求弓形面積例5．如圖，AB是⊙O的直徑，AC是弦，∠BAC=30°，在直徑AB上截取AD=AC，延長CD交⊙O于點(diǎn)E，若CE=2，則圖中陰影部分的面積為（

A．2 B．π2?1 C．π?2 【答案】B【分析】如圖，連接OE，OC，過點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，求出∠ADC=∠ACD=75°，由圓周角定理得∠AOE=150°，得∠EOD=30°，由三角形外角的性質(zhì)得∠OEC=45°,∠FOC=90°，由垂徑定理得EF=1，根據(jù)勾股定理得OE=2，根據(jù)S【詳解】解：如圖，連接OE，OC，過點(diǎn)O作OF⊥CE于點(diǎn)F，

則EF=1∵AC=AD，∴∠ADC=∠ACD，∵∠A=30°，∴∠ADC=∠ACD=1∴∠AOE=2∠ACD=150°，∴∠EOD=30°，又∠OED+∠EOD=∠ODC=75°，∴∠OED=75°?∠EOD=75°?30°=45°，∴∠EOF=∠OEF=45°，∴OF=EF=1，∴OE=O∵OE=OC，∴∠OEC=∠OFE=45°，∴∠EOC=90°，∴S陰影故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，勾股定理，扇形面積等知識，求出扇形的半徑和圓心角是解答本題的關(guān)鍵．變式5-1．如圖，已知點(diǎn)C、D在⊙O上，直徑AB=6，弦AC、BD相交于點(diǎn)E．若CE=BC，則陰影部分面積為（

）A．π?493 B．94π?9【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理和弧之間的關(guān)系，扇形的面積等．連接OD，OC，根據(jù)CE=BC，得出∠DBC=∠CEB=45°，進(jìn)而得到∠DOC=90°，利用S陰影【詳解】解：連接OD，OC，∵AB是直徑，∴∠ACB=90°，∵CE=BC，∴∠DBC=∠CEB=45°，∴∠DOC=90°，∴S陰影=S故選：B．變式5-2．如圖，在四邊形ABCD中，先以點(diǎn)A為圓心，AB長為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)C，再以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，此弧恰好經(jīng)過點(diǎn)A．若AB=23，則圖中陰影部分的面積為（

A．4π?63 B．2π?33【答案】A【分析】本題考查了扇形的面積、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握扇形的面積公式是解題關(guān)鍵．連接AC，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，先證出△ABC是等邊三角形，再根據(jù)圖中陰影部分的面積等于S扇形ABC【詳解】解：如圖，連接AC，過點(diǎn)B作BE⊥AC于點(diǎn)E，

由題意可知，AB=AC,BC=AC=23∴AB=AC=BC=23∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°,AE=1∴BE=A∴S△ABC則圖中陰影部分的面積為S==4π?63故選：A．考點(diǎn)六：求不規(guī)則圖形面積例6．如圖，在矩形ABCD中，分別以點(diǎn)A和C為圓心，AD長為半徑畫弧，兩弧有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．若AD=4，則圖中陰影部分的面積為（

）A．32?8π B．C．32?4π D．【答案】D【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，勾股定理等知識．根據(jù)題意可得AC=2AD=8，由勾股定理得出AB=43【詳解】解：連接AC，根據(jù)題意可得AC=2AD=8，∵矩形ABCD，∴AD=BC=4，∠ABC=90°，在Rt△ABC中，AB=A∴圖中陰影部分的面積=4×43故選：D．變式6-1．如圖，在⊙O中，直徑AB=8，點(diǎn)D為AB上方圓上的一點(diǎn)，∠ABD=30°，OE⊥BD于點(diǎn)E，點(diǎn)P是OE上一點(diǎn)，連接DP，Ⅰ：陰影部分的面積隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為83Ⅱ：陰影部分的周長隨著點(diǎn)P的位置的改變而改變，其最小值為8+4下列判斷正確的是（

）．A．只有Ⅰ正確 B．只有Ⅱ正確 C．Ⅰ、Ⅱ都正確 D．Ⅰ、Ⅱ都不正確【答案】B【分析】此題考查了扇形面積和弧長、垂徑定理、圓周角定理等知識，連接OD、AD、PB，證明S△AOD=S△PAD，得到陰影部分的面積為S扇形AOD=60π×42【