浙教版九年級上冊數(shù)學3.3 垂徑定理知識點分類訓練

3.3垂徑定理知識點分類訓練班級：姓名：考點一：垂徑定理的概念例1．下列說法正確的是（）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的直線平分這條直徑 D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心變式1-1．下列說法正確的是（

）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的弦平分這條直徑D．過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧變式1-2．下列幾個命題：①圓是軸對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④三點確定一個圓．其中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④考點二：垂徑定理的推論例2．《九章算術(shù)》是人類科學史上應(yīng)用數(shù)學的“算經(jīng)之首”，書中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1寸，AB=10寸，則CD的長為（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸變式2-1．如圖，點A，B在⊙O上，直徑MN⊥AB于點C，下列結(jié)論中不一定成立的是（A．AC=CB B．OC=CN C．AN=BN D．AM=BM變式2-2．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論不一定正確的是要（）A．CE=ED B．BC=BD C．OE=BE 考點三：利用垂徑定理求值例3．月亮門是中國古典園林、住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1），因圓形如月而得名．月亮門因其寓意美好且形態(tài)優(yōu)美，被廣泛使用．圖2是小智同學家中的月亮門示意圖，經(jīng)測量，水平跨徑AB為1.8米，水平木條BD和鉛錘木條CD長都為0.3米，點C恰好落在⊙O上，則此月亮門的半徑為（

）A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米變式3-1．日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知AB=CD=7?cm，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，BD=14?cm，⊙O的半徑r=9?cm，則圓盤離桌面BDA．42?cm B．9?42cm C．變式3-2．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB與弦CD互相垂直，垂足為點E，如果AB=CD=8，那么OE的長為（

）A．32 B．3 C．4 D．考點四：垂徑定理的實際應(yīng)用例4．某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB=4cm，CD=3cm

A．4.8cm B．5cm C．5.2cm變式4-1．如圖①，是一個壁掛鐵藝盆栽，花盆外圍為圓形框架．圖②是其截面示意圖，O為圓形框架的圓心，弦AB和AB所圍成的區(qū)域為種植區(qū)．已知AB=30，⊙O的半徑為17，則種植區(qū)的最大深度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9變式4-2．如圖1，平底燒瓶是實驗室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物質(zhì)，可以輕度受熱，如圖2，它的截面圖可以近似看作是由⊙O去掉兩個弓形后與矩形ABCD組合而成的圖形，其中BC∥MN，若⊙O的半徑為25，AB=36，BC=14，A．20 B．40 C．60 D．80

參考答案考點一：垂徑定理的概念例1．下列說法正確的是（）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧 B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的直線平分這條直徑 D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理對選項A、C進行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對B、D選項進行判斷．【詳解】解：A．垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，所以A選項錯誤；B．平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，所以B選項錯誤；C．垂直于直徑的弦被這條直徑平分，所以C選項錯誤；D．弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，所以D選項正確．故選：D．變式1-1．下列說法正確的是（

）A．垂直于弦的直線平分弦所對的兩條弧B．平分弦的直徑垂直于弦C．垂直于直徑的弦平分這條直徑D．過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧【答案】D【分析】根據(jù)垂徑定理及其推論，進行判斷即可．【詳解】解：A、垂直于弦的直徑平分弦所對的兩條弧，選項錯誤；B、平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，選項錯誤；C、垂直于直徑的弦被直徑平分，選項錯誤；D、過弦（不是直徑）的中點的直徑平分弦所對的兩條弧，選項正確．故選D．變式1-2．下列幾個命題：①圓是軸對稱圖形；②垂直于弦的直徑平分這條弦；③平分弦的直徑垂直于這條弦；④三點確定一個圓．其中是真命題的是（

）A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】A【分析】根據(jù)圓周角定理、垂徑定理及確定圓的條件，結(jié)合題意進行判斷即可．【詳解】圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故①正確；垂直于弦的直徑平分這條弦，故②正確；平分弦的直徑垂直于弦，這個弦需要排除直徑，故③錯誤;不在同一直線上的三點確定一個圓，故④錯誤；綜上可得正確的是①②故選A考點二：垂徑定理的推論例2．《九章算術(shù)》是人類科學史上應(yīng)用數(shù)學的“算經(jīng)之首”，書中記載了這樣一個問題：“今有圓材，埋在壁中，不知大小，以鋸鋸之，深一寸，鋸道長一尺，問：徑幾何？”用現(xiàn)在的幾何語言表達即：如圖，CD為⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點E，CE=1寸，AB=10寸，則CD的長為（

）A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸【答案】A【分析】此題考查了學生對垂徑定理的運用與掌握，注意利用圓的半徑，弦的一半及弦心距所構(gòu)成的直角三角形來解決實際問題，連接OA構(gòu)成直角三角形，先根據(jù)垂徑定理，由DE垂直AB得到點E為AB的中點，由AB=10可求出AE的長，再設(shè)出設(shè)圓O的半徑OA的長為x，表示出OE，根據(jù)勾股定理建立關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即為圓的半徑，把求出的半徑代入即可得到答案．【詳解】解：連接OA，∵AB⊥CD∴AE=BE=5，設(shè)圓O的半徑OA的長為x，則OC=OD=x，∵CE=1，∴OE=x?1，在直角三角形AOE中，根據(jù)勾股定理得：x2?x?1即2x=26，解得：x=13，∴CD=26（寸）．故選：A．變式2-1．如圖，點A，B在⊙O上，直徑MN⊥AB于點C，下列結(jié)論中不一定成立的是（A．AC=CB B．OC=CN C．AN=BN D．AM=BM【答案】B【分析】本題主要考查的是垂徑定理．由題意可知MN為垂直于弦的直徑，根據(jù)垂徑定理即可做出正確的判斷．【詳解】解：根據(jù)MN為⊙O的直徑，且MN⊥AB，垂足為C，則MN是垂直于弦AB的直徑，滿足垂徑定理．所以MN是AB的垂直平分線，因而AC=CB，AN=BN，AM=BM，都是正確的．所以選項B、OC=CN不一定成立．故選：B．變式2-2．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，AB⊥CD于點E，則下列結(jié)論不一定正確的是要（）A．CE=ED B．BC=BD C．OE=BE 【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理.解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂徑定理的內(nèi)容．由于AB⊥CD，根據(jù)垂徑定理有CE=ED，BC=BD，因為OA、OB都為圓的半徑，可得OA=OB，不能得出【詳解】解：∵AB⊥CD，∴CE=ED，BC=只有當CD垂直平分OB時，OE=BE，所以C選項符合題意；∵OA、OB都為圓的半徑，∴OA=OB，所以D選項正確，不符合題意．故選：C．考點三：利用垂徑定理求值例3．月亮門是中國古典園林、住宅中常見的圓弧形洞門（如圖1），因圓形如月而得名．月亮門因其寓意美好且形態(tài)優(yōu)美，被廣泛使用．圖2是小智同學家中的月亮門示意圖，經(jīng)測量，水平跨徑AB為1.8米，水平木條BD和鉛錘木條CD長都為0.3米，點C恰好落在⊙O上，則此月亮門的半徑為（

）A．1.8米 B．1.6米 C．1.5米 D．1.4米【答案】C【分析】本題考查了垂徑定理，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線．過點O作ON⊥AB于點N，過點C作CM⊥ON于點M，由垂徑定理得AN=NB=12AB=0.9，證明四邊形CDNM是矩形，得到MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2【詳解】解：如圖，過點O作ON⊥AB于點N，過點C作CM⊥ON于點M，則AN=NB=12AB=0.9∵CD⊥AB，∴∠CDN=90°，∴四邊形CDNM是矩形，∴MN=CD=0.3米，CM=DN=BD+BN=0.3+0.9=1.2米，設(shè)該圓的半徑為r米，根據(jù)題意得：ON解得：ON=1.2r=1.5即此月亮門的半徑為1.5米，故選：C．變式3-1．日常生活中常見的裝飾盤由圓盤和支架組成（如圖1），它可以看作如圖2所示的幾何圖形．已知AB=CD=7?cm，AB⊥BD于點B，CD⊥BD于點D，BD=14?cm，⊙O的半徑r=9?cm，則圓盤離桌面BDA．42?cm B．9?42cm C．【答案】C【分析】本題主要考查了垂徑定理、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．連接OA、AC，過點O作OE⊥BD，交BD于點E，交AC于點F，交⊙O于點G，易得四邊形ABDC、四邊形ABEF均為矩形，由垂徑定理可得AF=7cm，在Rt△AOF中，由勾股定理可解得OF的長度，進而可計算OE的長度，然后計算圓盤離桌面【詳解】解：連接OA、AC，過點O作OE⊥BD，交BD于點E，交AC于點F，交⊙O于點G，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴AB∥∵AB=CD=7?cm∴四邊形ABDC為平行四邊形，又∵AB⊥BD，∴∠ABD=90°，∴四邊形ABDC為矩形，∴AC∥BD，∠CAB=∠ABD=90°，∵OE⊥BD，∴OE⊥AC，∴AF=CF=1由∵OA=OG=r=9cm∴在Rt△AOF中，OF=∵OE⊥BD，∴∠BEF=∠CAB=∠ABD=90°，∴四邊形ABEF為矩形，∴FE=AB=7cm∴OE=OF+FE=4∴GE=OE?OG=42即圓盤離桌面BD最近的距離是42故選：C．變式3-2．如圖，在半徑為5的⊙O中，弦AB與弦CD互相垂直，垂足為點E，如果AB=CD=8，那么OE的長為（

）A．32 B．3 C．4 D．【答案】A【分析】本題考查的是正方形的判定與性質(zhì)，垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，熟練的應(yīng)用垂徑定理求值是解本題的關(guān)鍵．如圖，連接OC,OA,過O作OH⊥AB于H,過O作OQ⊥CD于Q,再利用垂徑定理求解OQ=OH=3,再證明四邊形OQEH是正方形，再利用勾股定理可得答案．【詳解】解：如圖，連接OC,OA,過O作OH⊥AB于H,過O作OQ⊥CD于Q,∵AB=CD=8,∴CQ=1∵OC=OA=5,∴OQ=O∴OQ=OH,∴AB⊥CD,OQ⊥CD,OH⊥AB,∴四邊形OQEH是正方形，∴OH=EH=3,∴OE=3故選A．考點四：垂徑定理的實際應(yīng)用例4．某項目化研究小組只用一張矩形紙條和刻度尺，來測量一次性紙杯杯底的直徑．小敏同學想到了如下方法：如圖，將紙條拉直并緊貼杯底，紙條的上下邊沿分別與杯底相交于A、B、C、D四點，然后利用刻度尺量得該紙條的寬為3.5cm，AB=4cm，CD=3cm

A．4.8cm B．5cm C．5.2cm【答案】B【分析】本題考查垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理．由垂徑定理求出BN，CM的長，設(shè)ON=x，由勾股定理得到x2+22=(3.5?x)2【詳解】解：如圖，MN⊥AB，MN過圓心O，連接OD，OB，

∴MN=3.5cm，∵AB∥∴MN⊥CD，∴CM=12CD=設(shè)ON=xcm∴OM=MN?ON=3.5?x∵OM2+M∴OM∴(3.5?x)∴x=1.5，∴ON=1.5cm∴OB=O∴紙杯的直徑為2.5×2=5cm故選：B．變式4-1．如圖①，是一個壁掛鐵藝盆栽，花盆外圍為圓形框架．圖②是其截面示意圖，O為圓形框架的圓心，弦AB和AB所圍成的區(qū)域為種植區(qū)．已知AB=30，⊙O的半徑為17，則種植區(qū)的最大深度為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】本題考查了圓的相關(guān)知識以及垂徑定理，如圖，作OC⊥AB交AB于點C，交⊙O于點D，連接OA，然后利用勾股定理求出CO，最終可求得CD的長，根據(jù)垂徑定理正確的利用輔助線構(gòu)造出直角三角形解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：如圖，作OC⊥AB交AB于點C，交⊙O于點D，連接OA在⊙O中，∵OC⊥AB∴AC=BC=∵AO=17∴CO=∴CD=OD?CO=17?8=9則種植區(qū)的最大深度為9故選：D．變式4-2．如圖1，平底燒瓶是實驗室中使用的一種燒瓶類玻璃器皿，主要用來盛液體物質(zhì)，可以輕度受熱，如圖2，它的截面圖可以近似看作是由⊙O去掉兩個弓形后與矩形AB