河北省L16聯(lián)盟2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題（解析版）

河北省L16聯(lián)盟2024年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試模擬演練數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2．答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.一組數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8的極差是（）A. B.5 C.5 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，由極差的定義計算可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，數(shù)據(jù)4，4，2，6，4，1，9，8中，最小的為1，最大的為9，則其極差為．故選：D．2.已知點是直線上相異的三點，為直線外一點，且，則的值是（）A. B.1 C. D.【答案】A【解析】【分析】化簡得，再利用三點共線系數(shù)和為1的結(jié)論即可得到方程，解出即可.【詳解】，即，因為點是直線上相異的三點，則點三點共線，則，解得.故選：A.3.某圓環(huán)的內(nèi)外半徑分別為2和4，將其繞對稱軸旋轉(zhuǎn)一周后得到的幾何體體積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可知，幾何體體積為大球的體積減去小球的體積，再結(jié)合球的體積公式求解．【詳解】解：由題意可知，幾何體體積為大球的體積減去小球的體積，所以幾何體體積為．故選：C．4.已知函數(shù)的定義域為集合，值域為集合，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先令，解出一元二次不等式，即可求出函數(shù)的定義域，從而求出函數(shù)的值域，最后求出補集.【詳解】由，即，解得或，所以函數(shù)定義域為集合，則值域為集合，所以.故選：D5.已知點為平面內(nèi)一動點，設(shè)甲：的運動軌跡為拋物線，乙：到平面內(nèi)一定點的距離與到平面內(nèi)一定直線的距離相等，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合充分條件、必要條件的定義，即可求解．【詳解】解：當(dāng)直線經(jīng)過定點時，點的軌跡是過定點且垂直于該直線的另一條直線，當(dāng)直線不經(jīng)過該定點時，點的軌跡為拋物線，故甲是乙的充分條件但不是必要條件．故選：A．6.設(shè)函數(shù)，若存在使得既是的零點，也是的極值點，則的可能取值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，令導(dǎo)數(shù)為零，討論方程的根，再根據(jù)零點的定義即可求值.【詳解】由，得，令，則或，當(dāng)時，由，得，所以，則當(dāng)時，由，得，由，得或，當(dāng)時，不存在極值點，當(dāng)時，得，綜上，，所以當(dāng)時，.故選：B7.過原點且傾斜角為的直線與圓相切，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由題意寫出直線方程，再由直線與圓相切，可得圓心到直線的距離等于半徑，建立關(guān)系式，再化簡即可求得．【詳解】解：過原點且傾斜角為的直線的方程為，又直線與圓相切，圓心，半徑，可得圓心到直線的距離，即，即，即，即，解得：．故選：B．8.雙曲線的兩焦點分別為，過的直線與其一支交于，兩點，點在第四象限.以為圓心，的實軸長為半徑的圓與線段分別交于M，N兩點，且，則的漸近線方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，則，由已知結(jié)合雙曲線定義，在中由勾股定理求得，在中，利用勾股定理得，進(jìn)而可求答案．【詳解】解：如圖，由題意得：，設(shè)，則，所以，，由雙曲線的定義得：，所以，，則，因為，在中，，即，解得，所以，，在中，，即，可得，所以，所以，即，故雙曲線的漸近線方程為．故選：C．二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.9.已知正方體為中點，為BC中點，則（）A.直線PD與直線平行 B.直線與直線垂直C.直線PQ與直線相交 D.直線PQ與直線異面【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，分析AB，由異面直線的定義分析CD，綜合可得答案．【詳解】根據(jù)題意，設(shè)正方體的棱長為2，以為坐標(biāo)原點，如圖建立坐標(biāo)系，則,0,，,2,，,2,，,0,，,2,，,2,，,0,，,0,，,2,，對于A，,0,，,0,，由于對于任意的都不會成立，則與不平行，則直線與直線不平行，A錯誤；對于B，,2,，,,，則有，則，即直線與直線垂直，B正確；對于C，直線與相交，故平面，直線平面，，所以PQ與直線是異面直線，C錯誤；對于D，,顯然兩直線不平行，假設(shè)直線與直線相交，則在同一平面上，,故存在實數(shù)使得，即，則無解，故與直線既不相交也不平行，是異面直線，D正確．故選：BD．10.已知函數(shù),則下列說法正確的是（）A.的圖像是中心對稱圖形 B.的圖像是軸對稱圖形C.是周期函數(shù) D.存在最大值與最小值【答案】BCD【解析】【分析】A,B,C選項可以根據(jù)函數(shù)對稱性與周期性的定義進(jìn)行驗證.D選項需要換元,求導(dǎo)得出答案.【詳解】,對于A選項,不為常數(shù),故A錯誤.對于B選項,,則函數(shù)關(guān)于對稱.故B正確.對于C選項,,則函數(shù)周期為.故C正確.對于D選項,令由于為偶函數(shù),則只需要考慮部分即可.則.故D正確.故選:BCD.11.外接圓半徑為的滿足，則（）A. B.C.的面積是 D.的周長是【答案】AC【解析】【分析】對三角恒等變換化簡可得，其中角滿足，又，當(dāng)且僅當(dāng)，，可得,,，再結(jié)合三角函數(shù)單調(diào)性和三角形面積公式判斷各選項即可．【詳解】由，有，故，其中角滿足又，當(dāng)且僅當(dāng)，，故,,結(jié)合為三角形的內(nèi)角，而為銳角，故,,故有，所以為鈍角，且，由于為鈍角，故有，則結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性有，故A正確，B錯誤；由，則，則三角形的面積，由，三角形的周長，故C正確，D錯誤．故選：AC．【點睛】關(guān)鍵點點睛：，其中角滿足，由三角函數(shù)的有界性得，進(jìn)而得,是本題的關(guān)鍵.三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.記復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，寫出一個滿足的復(fù)數(shù)：_______________．【答案】（答案不唯一，滿足對即可）【解析】【分析】結(jié)合共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)模公式，即可求解．【詳解】解：令，則，故．故答案為：（答案不唯一，滿足對，即可）．13.已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，各項不等的數(shù)列是首項為2，公比為的等比數(shù)列，且，則______________．【答案】1【解析】【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式即可列式求解．【詳解】解：由已知可得，，，，再由，，得，，聯(lián)立以上兩式可得：，（舍去），或，即．故答案為：1．14.若隨機變量X，Y分別服從成功概率為的兩點分布，則的取值范圍是______________．【答案】【解析】【分析】由兩點分布及期望公式求解即可．【詳解】解：因為隨機變量，分別服從成功概率為，的兩點分布，則，，，，所以或1，所以或或，因為或，且或，所以或，所以或，即的取值范圍是．故答案為：．四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知直線過橢圓右焦點，且交于兩點．（1）求的離心率；（2）設(shè)點，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意，結(jié)合題目所給信息以及，，之間的關(guān)系，可得橢圓的方程，再根據(jù)離心率公式即可求解；（2）先得到直線的方程，將直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長公式、點到直線的距離公式以及三角形面積公式進(jìn)行求解即可．【小問1詳解】由題，，且在上有，解得．故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，離心率．【小問2詳解】因為直線經(jīng)過，兩點，可得直線的方程為，聯(lián)立，解得或，所以直線與橢圓的另一交點為，則，又點到直線的距離．故的面積．16.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若在區(qū)間[0，2]上有且僅有一個零點，求的取值范圍.【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）對求導(dǎo)，再對分類討論，利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可求解；（2）對分類討論，結(jié)合零點存在性定理，即可求解的取值范圍.【小問1詳解】，當(dāng)時，恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得，故上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.綜上，時，在上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增；時，在上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.【小問2詳解】當(dāng)時，在區(qū)間[0，2]上，故不存在零點；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，故在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增，又時，，故在區(qū)間[0，2]上不可能存在零點；當(dāng)時，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；若，即時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，故只能在上有零點，由零點存在性定理有，解得.或，解得；故此時滿足條件；若，即時，在上單調(diào)遞減，則，此時均滿足題意，故滿足條件.綜上，.17.機器模型預(yù)測常常用于只有正確與錯誤兩種結(jié)果的問題.表1為根據(jù)模型預(yù)測結(jié)果與真實情況的差距的情形表格，定義真正例率，假正例率.概率閾值為自行設(shè)定的用于判別正(反)例的值，若分類器(分類模型)對該樣例的預(yù)測正例概率大于等于設(shè)定的概率閾值，則記分類器預(yù)測為正例，反之預(yù)測為反例.總例預(yù)測結(jié)果正例反例真實情況正例真正例假反例反例假正例真反例表1分類結(jié)果樣例劃分利用這些指標(biāo)繪制出的ROC曲線可衡量模型的評價效果：將各樣例的預(yù)測正例概率與從大到小排序并依次作為概率閾值，分別計算相應(yīng)概率閾值下的與.以為橫坐標(biāo)，為縱坐標(biāo)，得到標(biāo)記點.依次連接各標(biāo)記點得到的折線就是ROC曲線.圖1為甲分類器對于8個樣例的ROC曲線，表2為甲，乙分類器對于相同8個樣例的預(yù)測數(shù)據(jù).樣例數(shù)據(jù)甲分類器乙分類器樣例標(biāo)號樣例屬性預(yù)測正例概率預(yù)測正例概率1正例0.230.342正例0.580.533反例0.150.134反例0620.395正例0.470.876反例0.470.537反例0.330.118正例0.770.63表2甲，乙分類器對于相同8個樣例的預(yù)測數(shù)據(jù)（1）當(dāng)概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應(yīng)點；（2）在圖2中繪制乙分類器對應(yīng)的ROC曲線(無需說明繪圖過程)，并直接寫出甲，乙兩分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積；（3）按照上述思路，比較甲，乙兩分類器的預(yù)測效果，并直接寫出理想分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為1的充要條件.【答案】（1）（2）答案見解析，，（3）乙分類器的預(yù)測效果更好，答案見解析【解析】【分析】（1）由已知數(shù)據(jù)得真正例、假反例、假正例、真反例的個數(shù)，再由已知公式計算可得；（2）由已知數(shù)據(jù)分別計算概率閾值為時的真正例、假反例、假正例、真反例個數(shù)，并求出相應(yīng)值，描點作圖；再根據(jù)已知甲曲線與乙曲線分別求出所圍面積即可；（3）先比較面積大小分析預(yù)測結(jié)果；再根據(jù)面積為，轉(zhuǎn)化為標(biāo)記點橫坐標(biāo)為或縱坐標(biāo)為即或可得充要條件.【小問1詳解】概率閾值為0.47時，真正例為，假反例為，假正例為，真反例為，則.所以橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)，故當(dāng)概率閾值為0.47時，求甲分類器的ROC曲線中的對應(yīng)點對應(yīng)點為.【小問2詳解】乙分類器對應(yīng)的ROC曲線如下圖所示.由已知題意可得，甲、乙分類器的ROC曲線都經(jīng)過，作如下圖所示的輔助線，每個小直角三角形的面積都等于，大直角三角形的面積都等于，故所求面積為.所以，甲分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.作如下圖所示的輔助線，同理可得所求面積為.所以，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積為.【小問3詳解】乙分類器的預(yù)測效果更好.由（2）分析可知，乙分類器的ROC曲線與軸，直線所圍封閉圖形的面積較甲的大些，故可認(rèn)為乙分類器的預(yù)測效果更好.充要條件：所有真實屬性為正例的樣例的預(yù)測正例概率的最小值大于所有真實屬性為反例的樣例的預(yù)測正例概率的最大值.18.如圖，四棱錐中，平面平面，．設(shè)中點為，過點的平面同時垂直于平面與平面．（1）求（2）求平面與平面夾角的正弦值；（3）求平面截四棱錐所得多邊形的周長．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）設(shè)，由題意和余弦定理可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角；（3）先根據(jù)空間點線面的位置關(guān)系找出截面，然后求周長即可．【小問1詳解】設(shè)，，，則，在中，，整理得，由題意得，則，即，解得，因此，即．【小問2詳解】作中點，連接，，因為為中點，，所以，，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，而，，平面，故，，，因為，，所以四邊形、四邊形都是平行四邊形，故，，而，所以，又因為為中點，所以，在平面中也有，由于，故，，，，由勾股定理得：，，故以為原點，，，為，，軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，，，設(shè)平面，平面，平面，平面的法向量分別為，，，則，即，取，則，同理可得，因為平面同時垂直于平面，平面，所以，，即，取，則，平面的法向量是，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則，故，因此平面與平面夾角的正弦值為．【小問3詳解】設(shè)是平面上一點，因為平面過點，則可以設(shè)，這是因為此時，因此可設(shè)，因為當(dāng)平面與平面相交時，其交線必為直線且唯一，故只需討論平面與四棱錐的公共部分，當(dāng)時，