高考數(shù)學(xué) 過關(guān)檢測(cè)1 新人教A版選修4-1

【創(chuàng)新設(shè)計(jì)】屆高考數(shù)學(xué)過關(guān)檢測(cè)1新人教A版選修4-1(時(shí)間：90分鐘滿分：120分)一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．若三角形的三條邊之比為3∶5∶7，與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊為21cm，則其余兩邊的長(zhǎng)度之和為()．A．24cmB．21cmC．19cmD．9cm解析設(shè)其余兩邊的長(zhǎng)度分別為xcm，ycm，則eq\f(21,7k)＝eq\f(x,5k)＝eq\f(y,3k)，解得x＝15cm，y＝9cm.故x＋y＝24cm.答案A2．如圖所示，D、E分別是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，DE∥BC，且eq\f(AD,DB)＝2，那么△ADE與四邊形DBCE的面積比是()．A.eq\f(2,3)B.eq\f(2,5)C.eq\f(4,5)D.eq\f(4,9)解析eq\f(AD,DB)＝2，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(2,3)，故eq\f(S△ADE,S△ABC)＝eq\f(4,9)，∴S△ADE∶S四邊形DBCE＝4∶5.答案C3．如圖所示，P、Q分別在BC和AC上，BP∶CP＝2∶5，CQ∶QA＝3∶4，則eq\f(AR,RP)等于()．A．3∶14 B．14∶3C．17∶3 D．17∶14解析過Q點(diǎn)作QM∥AP交BC于M，則eq\f(CM,MP)＝eq\f(CQ,QA)＝eq\f(3,4)，又∵eq\f(BP,PC)＝eq\f(2,5)，∴eq\f(BP,PM)＝eq\f(7,10).又eq\f(RP,QM)＝eq\f(BP,BM)＝eq\f(7,17)，eq\f(QM,AP)＝eq\f(CQ,AC)＝eq\f(3,7)，∴eq\f(RP,AP)＝eq\f(3,17)，∴eq\f(AR,RP)＝eq\f(14,3).答案B4．如圖所示，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且eq\f(AD,AC)＝eq\f(1,3)，AE＝BE，則有()．A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD解析注意到∠A＝∠C＝60°，可設(shè)AD＝a，則AC＝3a，而AB＝AC＝BC＝3a，所以AE＝BE＝eq\f(3,2)a，所以eq\f(AD,AE)＝eq\f(a,\f(3,2)a)＝eq\f(2,3)，又eq\f(CD,BC)＝eq\f(2a,3a)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(AD,AE)＝eq\f(CD,CB)，∠A＝∠C＝60°，故△AED∽△CBD.答案B5．如圖所示，在?ABCD中，AE∶EB＝1∶2，若S△AEF＝6cm2，則S△CDF為()．A．54cm2 B．24cm2C．18cm2 D．12cm2解析∵△AEF∽△CDF，∴eq\f(S△AEF,S△CDF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,CD)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(AE,AB)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(1,9).∴S△CDF＝9S△AEF＝54cm2.答案A6．如圖所示，梯形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，則下列四個(gè)結(jié)論：①△AOB∽△COD；②△AOD∽△ACB；③S△DOC∶S△AOD＝CD∶AB；④S△AOD＝S△BOC.其中正確的個(gè)數(shù)為()．A．1B．2C解析∵DC∥AB，∴△AOB∽△COD，①正確．由①知，eq\f(DC,AB)＝eq\f(OC,OA).利用三角形的面積公式可知S△DOC∶S△AOD＝OC∶OA＝CD∶AB，③正確．∵S△ADC＝S△BCD∴S△ADC－S△COD＝S△BCD－S△COD，∴S△AOD＝S△BOC，④正確．故①③④都正確．答案C7．如圖所示，在△ABC中，M是BC的中點(diǎn)，AN平分∠BAC，BN⊥AN，若AB＝14，AC＝19，則MN的長(zhǎng)為()．A．2 B．2.5C．3 D．3.5解析延長(zhǎng)BN交AC于D，則△ABD為等腰三角形，∴AD＝AB＝14，∴CD＝5.又M、N分別是BC、BD的中點(diǎn)，故MN＝eq\f(1,2)CD＝2.5.答案B8．如圖所示，在?ABCD中，E為CD上一點(diǎn)，DE∶CE＝2∶3，連接AE、BE、BD，且AE、BD交于點(diǎn)F，則S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于()．A．4∶10∶25 B．4∶9∶25C．2∶3∶5 D．2∶5∶25解析因?yàn)锳B∥CD，所以△ABF∽△EDF，所以eq\f(DE,AB)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5)，所以eq\f(S△DEF,S△ABF)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))2＝eq\f(4,25)，又△DEF與△BEF等高，所以eq\f(S△DEF,S△EBF)＝eq\f(DF,FB)＝eq\f(2,5)＝eq\f(4,10).故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.答案A9．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，下列條件：(1)∠B＋∠DAC＝90°；(2)∠B＝∠DAC；(3)eq\f(CD,AD)＝eq\f(AC,AB)；(4)AB2＝BD·BC.其中一定能夠判定△ABC是直角三角形的共有()．A．3個(gè)B．2個(gè)C．1個(gè)D．0個(gè)解析驗(yàn)證法：(1)不能判定△ABC為直角三角形，因?yàn)椤螧＋∠DAC＝90°，而∠B＋∠DAB＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，同理∠B＝∠C不能判定∠BAD＋∠DAC＝90°；而(2)中∠B＝∠DAC，∠C為公共角，∴△ABC∽△DAC，∵△DAC為直角三角形，∴△ABC為直角三角形；在(3)中，eq\f(CD,AD)＝eq\f(AC,AB)可得△ACD∽△BAD，所以∠BAD＝∠C，∠B＝∠DAC，∴∠BAD＋∠DAC＝90°；而(4)中AB2＝BD·BC，即eq\f(BD,AB)＝eq\f(AB,BC)，∠B為公共角，∴△ABC∽△DBA，即△ABC為直角三角形．∴正確命題有3個(gè)．答案A10．如圖所示，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3.如果邊AB上的點(diǎn)P使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形和以P、B、C為頂點(diǎn)的三角形相似，那么這樣的點(diǎn)P有()．A．1個(gè) B．2個(gè)C．3個(gè) D．4個(gè)解析假設(shè)有一點(diǎn)P，設(shè)AP＝x，則PB＝7－x.(1)若△PAD∽△PBC，則eq\f(PA,AD)＝eq\f(PB,BC)，即eq\f(x,2)＝eq\f(7－x,3)，得x＝eq\f(14,5)<7，符合條件．(2)若△PAD∽△CBP，即eq\f(x,2)＝eq\f(3,7－x)，x2－7x＋6＝0，解得x1＝1，x2＝6也符合條件，故滿足條件的點(diǎn)P有3個(gè)．答案C二、填空題(本大題共6小題，每小題4分，共24分，把正確答案填在題中橫線上)11．如圖所示，設(shè)l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，則DE＝________.解析EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，∴eq\f(DE,DF)＝eq\f(2,5)，又DF＝20，∴DE＝8.答案812．如圖，在△ABC中，M、N分別是AB、BC的中點(diǎn)，AN、CM交于點(diǎn)O，那么△MON與△AOC面積的比是________．解析∵M(jìn)N是△ABC的中位線，∴△MON∽△COA，且eq\f(MN,AC)＝eq\f(1,2)，∴S△MON∶S△COA＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).答案eq\f(1,4)13．在△ABC中，D是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E，若DE＝4，則BC＝________.解析∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.∴DE∶BC＝AD∶AB＝1∶2.∴BC＝2DE＝8.答案814．若兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比為2∶3，且周長(zhǎng)的和為50cm，則這兩個(gè)相似三角形的周長(zhǎng)分別為________．解析設(shè)較大的三角形的周長(zhǎng)為xcm，則較小的三角形的周長(zhǎng)為(50－x)cm.由題意，得eq\f(50－x,x)＝eq\f(2,3)，解得x＝30,50－x＝50－30＝20.答案20cm,30cm15．如圖，在△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD與CE相交于點(diǎn)F，則eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)的值為________．解析過D作DG∥CE交AB于G，則eq\f(BG,GE)＝eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,1)，又∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(1,3)，∴AE＝EG.∴eq\f(AF,FD)＝eq\f(AE,EG)＝1.又∵eq\f(DG,CE)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,3)，EF＝eq\f(1,2)DG，∴eq\f(EF,CE)＝eq\f(1,3).∴eq\f(EF,FC)＝eq\f(1,2).∴eq\f(EF,FC)＋eq\f(AF,FD)＝eq\f(3,2).答案eq\f(3,2)16．在四邊形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠D＝90°，BC＝2eq\r(3)，AD＝2，則四邊形ABCD的面積是______．解析因∠B＝∠D＝90°，于是設(shè)想構(gòu)造直角三角形，延長(zhǎng)BA與CD的延長(zhǎng)線交于E，則得到Rt△BCE和Rt△ADE，由題目條件知，△ADE為等腰直角三角形，所以DE＝AD＝2，所以S△ADE＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又可證Rt△EBC∽R(shí)t△EDA，所以eq\f(S△EBC,S△EDA)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(BC,AD)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),2)))2＝3.∴S△EBC＝3S△EDA，∴S四邊形ABCD＝S△EBC－S△ADE＝4.答案4三、解答題(本大題共5小題，共56分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟)17．(10分)已知：如圖所示，AB∥CD，OD2＝OB·OE.求證：AD∥CE.證明∵AB∥CD，∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD).∵OD2＝OB·OE，∴eq\f(OB,OD)＝eq\f(OD,OE).∴eq\f(OA,OC)＝eq\f(OD,OE).∴AD∥CE.18．(10分)如圖，已知BE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12cm，求BE，DG的長(zhǎng)．解∵BE∥CF，∴eq\f(BE,CF)＝eq\f(AE,AF)，∵AB∶BC＝1∶2，∴AE∶AF＝1∶3.∵CF＝12cm，∴BE＝12×eq\f(1,3)＝4(cm)．∵CF∥DG，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(CF,DG).又∵AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，∴eq\f(AC,AD)＝eq\f(1,2).∴DG＝eq\f(AD,AC)·CF＝24(cm)．19．(12分)如圖所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足AB2＝DB·CE.(1)求證：△ADB∽△EAC；(2)若∠BAC＝40°，求∠DAE的度數(shù)．(1)證明∵AB2＝DB·CE，AB＝AC，∴eq\f(AB,CE)＝eq\f(DB,AC).∵∠ABC＝∠ACB，∴∠ABD＝∠ACE.∴△ADB∽△EAC.(2)解∵△ADB∽△EAC，∴∠DAB＝∠E.∴△ADB∽△EDA.∴∠DAE＝∠ABD.∴∠ABC＝eq\f(180°－40°,2)＝70°，∴∠DAE＝∠ABD＝180°－70°＝110°.20．(12分)如圖所示，D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，∠CAD＝∠B，若AD＝6，AB＝8，BD＝7，求DC的長(zhǎng)．解∵∠CAD＝∠B，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CBA.∴eq\f(AD,BA)＝eq\f(CD,CA)＝eq\f(AC,BC).∴AC＝eq\f(AB·CD,AD)，AC＝eq\f(AD·BC,AB).∴eq\f(AB·CD,AD)＝eq\f(AD·BC,AB).設(shè)CD＝x，則eq\f(8x,6)＝eq\f(6x＋7,8)，解得x＝9.故DC＝9.21．(12分)如圖所示，CD為Rt△ABC斜邊AB邊上的中線，CE⊥CD，CE＝eq\f(10,3)，連接DE交BC于點(diǎn)F，AC＝4，BC＝3.求證：(1)△ABC∽△EDC；(2)DF＝EF.證明(1