2023-2024學年深圳市北師大南山某中學九年級下學期開學考數(shù)學試題及答案

北師大南山附屬學校中學部2023-2024學年第二學期

九年級開學考數(shù)學試題

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）

LZ1

2.方程爐=3%的解是（）

A.x=3B.X=0

C.Xj=3,%2=0D.x.=-3,Xo=0

3.在平面直角坐標系中，將拋物線y=N向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度,

得到的拋物線的解析式是（）

A.y=（x-1）2+2B.y=（x-1）2-2C.y=（x+1）2-2D.y=

（x+1）2+2

z、Lk

4.已知（-1,4）是反比例函數(shù)y=2（Z*0）上一點，下列各點不在y=一上的是（）

XX

A.f—3,—jB.（2,2）C.（4,-1）D.

5.如圖，和△A與G是以點O為位似中心的位似三角形，若G為OC的中點,

4G=3,則.一ABC的面積為（）

c/

A.15B.12C.9D.6

6.如圖，在工ABC中，AD平分NB4C,按如下步驟作圖：

第一步，分別以點4、力為圓心，以大于的長為半徑在AO兩側作弧，交于兩點M、

2

N；

第二步，連接MN分別交A3、AC于點E、F；

第三步，連接?！?、DF.

若BD=6,CD=3,CF=2,則AE的長是（）

A.3B.4C.5D.6

7.下列說法正確的是（）

A.對角線垂直的平行四邊形是矩形

B.方程x2+4x+16=0有兩個相等的實數(shù)根

C.拋物線y=-X2+2X+3頂點為（1,4）

2

D.函數(shù)y=-一，y隨x的增大而增大

x

8.某棉簽生產工廠2022年十月棉簽產值達100萬元，第四季度總產值達331萬元，問十一、

十二月份月平均增長率是多少？設月平均增長率的百分數(shù)是x,則由題意可得方程為

()

A.100(%+1)2=331B.100(X+1)+100(X+1)2=331

C.100+100(X+1)2=331D.

100+100(x+l)+100(x+l)2=331

ab

9.已知反比例函數(shù)），=絲的圖象如圖所示,則二次函數(shù)），=辦2-力:和一次函數(shù)y=bx+a

x

在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）

A.

10.如圖，在正方形A3CD中，點E在邊CO上，點”在邊A。上，CE=DH,CH交BE

于點F,交BD于點、G,連接GE.下列結論：①CH=BE；②CHLBE；③SACC￡=SCDH；

GF4

④當E是C。的中點時，-=?：⑤當比=2小時，S止小“6%形..其中

正確結論的序號是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①③④⑤D.②④⑤

二.填空題(每題3分，共15分)

x32x-y

11.已知一==,則----

V5y

12.若關于x的一元二次方程/一2“+〃2=0有實數(shù)解，則m的取值范圍是

13.如圖，EF過矩形ABCD對角線的交點。，且分別交AB、CD于E、F,矩形A8CQ

內的一個動點尸落在陰影部分的概率是.

14.如圖，在正方形網格中，小正方形的邊長為1,點A、B、C、。都在格點上，48與CD

相交于點0,則N40C的正弦值是

15.如圖，矩形ABC0的頂點3(10,8),點人，C在坐標軸上，E是邊上一點，將

k

沿AE折疊，點B剛好與0C邊上點。重合，過點E的反比例函數(shù)y=—的圖象與邊A3交

x

于點F,則線段M的長為一.

三.解答題（共55分）

16.解方程:

(1)X(X+4)=2X+8；

(2)3/—4x-l=0；

（3）2cos600-sin245°+（-tan450）2022.

17.某中學為了解九年級學生的體能狀況，從九年級學生中隨機抽取部分學生進行體能測

試，測試結果分為AB,C,。四個等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖（不完整）中的信息回答下

（2）“C等級”在扇形圖中圓心角度數(shù)為

（3）若該中學九年級共有700名學生，請你估計該中學九年級學生中體能測試結果為。等

級學生人數(shù)；

（4）若從體能測試結果為A等級的2名男生和2名女生中隨機抽取2名學生，作為該校培

養(yǎng)運動員的重點對象，請用列表或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.

18.如圖所示，無人機在生活中的使用越來越廣泛，小明用無人機測量大樓的高度.無人機

懸停在空中E處，測得樓樓頂A的俯角是60。，樓C。的樓頂C的俯角是45°,已知

兩樓間的距離5。=100百米，樓A8的高為10米，從樓的A處測得樓C。的C處的

仰角是30°.(A、B、C、D、E在同一平面內).

BD

(1)求樓CD的高；

(2)小明發(fā)現(xiàn)無人機電量不足，僅能維持60秒的飛行時間，為了避免無人機掉落砸傷人，

站在A點的小明馬上控制無人機從E處勻速以5米/秒的速度沿E4方向返航，無人機能安

全返航嗎？

19.如圖，在ABCD中，對角線AC,BD交于點O,過點B作BE_LCD于點E,延長CD

到點F,使DF=CE,連接AF.

(1)求證:四邊形ABEF是矩形；

(2)連接OF,若AB=6,DE=2,ZADF=45°,求OF長度.

20.某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：售價

在40元至60元范圍內，這種臺燈的售價每上漲I元，其銷售量就將減少10個，設該商場

決定把售價上漲x(0<X<20)元.

(1)售價上漲x元后，該商場平均每月可售出_____________個臺燈(用含x的代數(shù)式表示);

(2)為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？這時應進臺

燈多少個？

(3)臺燈售價定為多少元時，每月銷售利潤最大？

21.探究函數(shù)性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括

函數(shù)性質的過程.以下是我們研究函數(shù)y=x+|-2x+6|+機性質及其應用的部分過程，請

按要求完成下列各小題.

X???-2-1012345???

y.??654a21b7???

（1）寫出函數(shù)關系式中，W及表格中a,b的值："2=,a=,

b=；

（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出該

函數(shù)的一條性質：；

（3）已知函數(shù)y=3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

X

1-2,x+61+根>—的解集.

x

22.（1）證明推斷：如圖（1）,在正方形A3CO中，點Q分別在邊8C,A3上，DQ1AE

于點。，點G,尸分別在邊。，A3上，GFA.AE.

圖⑴

①求證：DQ-AE；

GF

②推斷：V-的值為；

AE

（2）類比探究：如圖（2）,在矩形A8C。中，變=攵（左為常數(shù)）.將矩形A8CD沿Gb

AB

折疊，使點A落在邊上的點E處，得到四邊形fEPG,EP交CD于點、H,連接AE

交GF于點、0.試探究Gb與AE之間的數(shù)量關系，并說明理由；

圖⑵

27

（3）拓展應用：在（2）的條件下，連接CP,當女=§時，若tanNCGP=GF=2弧，

求CP的長.

北師大南山附屬學校中學部2023-2024學年第二學期

九年級開學考數(shù)學試題

一.選擇題（每題3分，共30分）

1.如圖所示的幾何體的主視圖是（）

D.

【答案】B

【解析】

【分析】找到從正面看所得到的圖形即可，注意所有的看到的棱都應表現(xiàn)在主視圖中.

【詳解】從幾何體的正面看可得圖形:

故選B.

【點睛】本題考查三視圖的知識，解決此類圖的關鍵是由三視圖得到相應的立體圖形.從正

面看到的圖是正視圖，從上面看到的圖形是俯視圖，從左面看到的圖形是左視圖，能看到的

線畫實線，被遮擋的線畫虛線.

2.方程犬=3彳的解是（）

A.x=3B.%=0

C.&=3,%=°D.玉=—3,X,=0

【答案】C

【解析】

【分析】此題考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接開平方法，配

方法，公式法，因式分解法，根據(jù)方程的特點靈活選用合適的方法是解題的關鍵.

【詳解】/—3兀=0,

x(x-3)=0,

..占=0,%2=3,

故選：C.

3.在平面直角坐標系中，將拋物線丫=尤2向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度,

得到的拋物線的解析式是()

A.y—(x-1)2+2B.y=(x-1)2-2C.y=(x+1)2-2D.y=

(x+1)2+2

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)圖象的平移規(guī)律，可得答案.

【詳解】解：將拋物線y=Y向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，得到的拋

物線的解析式是y=(x-l『+2.

故選:A.

【點睛】本題主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律:左加右減，上加下減.并

用規(guī)律求函數(shù)解析式是解題的關鍵.

4.已知,(一1,4)是反比例函數(shù)y=k、(ZwO)上一點，下列各點不在y=k生上的是()

A.f-3>—JB.(2,2)C.(4,-1)D.

【答案】B

【解析】

【分析】先求出k的值，再分別判斷即可.

k

【詳解】(一1，4)是反比例函數(shù)y=N0)上一點,

左二—1x4=—4；

4k

A.-3x—=-4=攵，故在）=一上；

3x

k

B.2x2=4wZ，故不在y=一上；

x

k

C.4x（-1）=-4=A:,故在y=一上；

x

ik

D.一一x8=-4，故在y=一上；

2x

故選B.

【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質，熟記孫二攵是解題的關鍵.

5.如圖，ABC和4G是以點。為位似中心的位似三角形，若G為0C的中點,

S△A[B]G3,則一ABC的面積為（）

A.15B.12C.9D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)G為。。的中點，則位似比為史Ln」，再根據(jù)相似比等于位似比，面積比

0C2

等于相似比的平方便可求解.

【詳解】???和△AgG是以點。為位似中心位似三角形，G為OC的中點，

△A/iG面積是3,

.0G_1

??----=一，

0C2

1G_]

q-4

3=1

==3

解得：SAABC=12?

故選B.

【點睛】本題考查位似比等于相似比，同時面積比是相似比的平方，掌握知識點是關鍵.

6.如圖，在中，A。平分NB4C,按如下步驟作圖：

第一步，分別以點A、。為圓心，以大于的長為半徑在AO兩側作弧，交于兩點例、

2

N；

第二步，連接MN分別交AB、AC于點&F；

第三步，連接DE、DF.

若BD=6,CD=3,CF=2,則AE的長是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知得出"N是線段的垂直平分線，推出A￡=OE，AF=DF，求出

DE//AC,DF//AE，得出四邊形AEO尸是菱形，根據(jù)菱形的性質得出AE=OE，

通過一BDEs二DCF,得到迎=匹，代入求出即可.

CDCF

【詳解】解：???根據(jù)作法可知：MN是線段AD的垂直平分線,

：?AE=DE，AF=DF，

???ZEAD=ZEDA，

???AD平分/B4C，

ABADACAD,

：.ZEDA=ZCAD,

：.DE//AC,

同理￡＞尸〃人后，

..?四邊形方是菱形，

；?AE=DE，

'：DE//AC,DF//AE，

：./FDC=ZB,ABED=ABAC=ZDFC,

:?-BDE^^ADCF，

..粵=匹，即”匹

CDCF32

解得DE=4，

AE=DE=4

故選:B.

【點睛】本題考查了平行線的性質，菱形的性質和判定，相似三角形的判定與性質，垂直平

分線的性質，能根據(jù)定理判四邊形AEDF是菱形是解此題的關鍵.

7.下列說法正確的是()

A.對角線垂直的平行四邊形是矩形

B.方程x2+4x+16=0有兩個相等的實數(shù)根

C.拋物線y=-x2+2x+3的頂點為(1,4)

2

D.函數(shù)y=-一，y隨x的增大而增大

x

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函數(shù)的性質及反比例函數(shù)的性質分

別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A、對角線垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯誤，不符合題意：

B、方程x2+4x+16=0沒有實數(shù)根，故說法錯誤，不符合題意；

C、拋物線y=-X2+2X+3的頂點為(1,4),正確，符合題意；

2

D、函數(shù)y=--,在每一象限內y隨x的增大而增大，錯誤，不符合題意，

x

故選：C.

【點睛】本題考查了矩形的判定方法、一元二次方程的解、二次函數(shù)的性質及反比例函數(shù)的

性質，屬于基礎題，解題的關鍵是了解有關的定義及性質，難度不大.

8.某棉簽生產工廠2022年十月棉簽產值達100萬元，第四季度總產值達331萬元，問十一、

十二月份的月平均增長率是多少？設月平均增長率的百分數(shù)是x,則由題意可得方程為

()

A.100U+D2=331B.100(X+1)+100(X+1)2=331

C.100+100(x+l)2=331D.

100+100(x+l)+100(x+l)2=331

【答案】D

【解析】

【分析】設月平均增長率的百分數(shù)為x,根據(jù)棉簽生產工廠2022年十月棉簽產值達100萬

元，第四季度總產值達331萬元，可列方程求解.

【詳解】解：設月平均增長率的百分數(shù)是x,則

100+100(尤+1)+1000+1)2=331.

故選：D.

【點睛】本題考查一元二次方程的應用，是增長率問題，關鍵找出等量關系列出方程.

9.已知反比例函數(shù)尸藝的圖象如圖所示，則二次函數(shù)y=or2—2x和一次函數(shù)y=6x+a

X

在同一平面直角坐標系中的圖象可能是()

A.

【解析】

【分析】先根據(jù)拋物線廣以2一〃過原點排除4再由反比例函數(shù)圖象確定m的符號，再由

。、人的符號和拋物線對稱軸確定拋物線與直線廣法+。的位置關系，進而得解.

【詳解】解：；當k0時，y=ax2-2x=0,即拋物線產"2一2%經過原點，故A錯誤；

?反比例函數(shù)產收的圖象在第一、三象限，

X

ab>0,即a、1同號,

當〃V0時，拋物線產以2_合的對稱軸尸,V0,對稱軸在〉軸左邊，故D錯誤；

a

當。>0時，b>0,直線尸bx+a經過第一、二、三象限，故B錯誤；

C正確.

故選C.

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質，根據(jù)函數(shù)圖象與

系數(shù)的關系進行判斷是解題的關鍵，同時考查了數(shù)形結合的思想.

10.如圖，在正方形A8CO中，點E在邊8上，點”在邊上，CE=DH,CH交BE

于點、F,交BD于點、G,連接GE.下列結論：①CH=BE；②CH上BE；③SAGCE=SGDH；

GF4

④當￡是8的中點時，—=-；⑤當EC=2Z）E時，S正方形A8s=6S四邊形其中

GE5

正確結論的序號是（）

B.①②③⑤C.①③④⑤D.②④⑤

【答案】A

【解析】

【分析】通過證明,EBC絲A”C￡）推出C"=3E,NDCH=NCBE即可判斷①；再證

明/BFC=90°,即可判斷②；利用角平分的性質可證oGO"中?！斑叺母吲c&GCE中

CE邊的高相等，通過“等底等高”證明S&GCE=，即可判斷③；證明

△HGDs/\GCB,ECBsAECF,求出相關線段長度，可知當E是。。的中點時，

5GF=4GE,即可判斷④；利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，兩個等高的三角

形面積比等于底長的比，可證3正方形ASCD=5S四邊形OEGH，即可判斷⑤.

【詳解】解：四邊形A8CD是正方形，

.ZADC=NOCB=90。，AD=DC=CB=BA.

?：CE=DH,

..,EB"(SAS),

CH=BE,故①正確；

由①得NE5C=NHC。，

■■ZBCF+ZECF=90°,

：./EBC+/BCH=9Q°,

：.ZBFC=90°,

BE_LC”，故②正確；

之

BC

四邊形ABC。是正方形，

ZADB=NCDB=45°,即DB是ZADC的角平分線，

???點G到AO邊與CO邊的距離相等，

即二GDH中OH邊的高與-GCE中CE邊的高相等，

又EC=HD,

'''S&GCE=S&GDH，故③正確；

設正方形ABCO邊長為4a,

當E是。。的中點時，BC=CD=4a,EC=HD=2a,

由勾股定理得：BE=y]BC2+CE2=2y[5a-CH7cbi+HD，=2亞a,

NHDG=NCBG=45。,ZHGD=NCGB,

/\HGDs.CGB,

HGHD2a\

~CG~~BC~^a~2,

.”2??46

??GC=—CH=-----a?

33

NBEC=ZCEF,ZECB=NEFC=90°,

IECB^.EFC,

EFCE

?-=,

CEBE

EF2a

2a2y/5a

?后

??EeF=-2----a，

5

CF=yjCE1-EF2=半。，

QR

?GF=GC—CF=±a，

15

GE=VCF2+EF2=-cz，

2-

GE亍a5

-----a

15

，當E是。。的中點時，5GF=4GE,故④正確;

CE2

當EC=2OE時，——=一，

CD3

DH=CE,DC=BC,

DH2

-----=-,

BC3

FHGDSMGB,

DHDH2

GDH中DH邊的高與DGC中CD邊的高相等,

CD-^C3*

S2

.?.----nH-U-rD-n—一―,

°DGCJ

設SHGD=4b,則scGB=9b,SDGC=6b,

SBCD=9b+6b=l5b,

?,S正方形Ago=2sBs=30b,

EC=2DE,

DE1

-----=一,

CD3

q

.uDEG_i

S°DCG―J3'

,?0DEG—乙,

??S四邊形DEGH=2b+4b=6b,

…S正方形ABCD=5s四邊形DEGH，故⑤錯誤.

故選A.

【點睛】本題考查正方形的性質，全等三角形的判定與性質，角平分線的性質，三角形面積

公式，勾股定理，相似三角形的判定與性質等，綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是從圖

形中找出全等三角形和相似三角形.

二.填空題（每題3分，共15分）

r’x32x-y

11.已知一=z，貝ij-----=____________.

y5y

【答案】-##0.2

5

【解析】

3

【分析】由比例的基本性質得：x=-y,把x的代數(shù)式代入即可求得值.

【詳解】解：由條件得：x=3y,則2x-y_2義5）'1

一

一-

5.5

yy

故答案為：—.

【點睛】本題考查了比例的基本性質及求代數(shù)式的值，運用比例的基本性質是關鍵.

12.若關于x的一元二次方程召一2%+加=0有實數(shù)解，則m的取值范圍是.

【答案】m<l

【解析】

【分析】由一元二次方程有實數(shù)根，得到根的判別式大于等于0,列出關于m的不等式，求

出不等式的解集即可得到m的取值范圍.

【詳解】解：???一元二次方程x2-2x+m=0有實數(shù)解，

b2-4ac=22-4m>0,

解得：m<l,

則m的取值范圍是m<l.

故答案為：m<l.

【點睛】此題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a翔）的解與b2-4ac

有關，當b2-4ac>0時;方程有兩個不相等的實數(shù)根；當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實

數(shù)根；當b2-4acV0時，方程無解.

13.如圖，過矩形ABC。對角線的交點。，且分別交AB、CD于E、F,矩形ABCQ

內的一個動點尸落在陰影部分的概率是

【解析】

(分析］根據(jù)矩形的性質可得OB=OD=OA=OC,利用ASA可證明△￡80也△EDO,

可得陰影部分的面積=S"印+S\KBO=S&AOB，根據(jù)等底等高的兩個三角形面積相等可得

1

S-S=S即可得出S=；S距形ABCD，利用概率公式即可得答案.

42-AOB

05co

【詳解】?.?四邊形為矩形，

OB=OD=OA=OC,ABIICD,

：.NEBO=NFDO,

NEOB=ZDOF

在與△EDO中，,

NEBO=ZFDO

：.aEBgnFDO(ASA),

?..陰影部分的面積=S&AEO+SAEBO=S^AOB，

???_AOB與MOB等底等高，

,,sAOB—sCOB=5sABC,

SABC=-S矩形ABC。，

?c_J.C

,?OAOB-W」距形ABC。?

矩形ABCD內的一個動點P落在陰影部分的概率是--

4

故答案為：一

4

【點睛】本題考查了幾何概率、矩形的性質及全等三角形的判定與性質，熟練掌握矩形當性

質并熟練掌握概率公式是解題關鍵.

14.如圖，在正方形網格中，小正方形的邊長為1,點A、B、C、。都在格點上，AB與CD

相交于點0,則NA0C的正弦值是

【答案】|3

【解析】

【分析】如圖，連接8E,過點E作EFLAB于點凡證明NABE=NAOC,再利用勾股定

理及等面積法求解BE,瓦從而可得答案.

【詳解】解：如圖，連接BE,過點E作于點F.

\'BD//CE.BD=CE.

四邊形Q8EC是平行四邊形.

：.BE//DC.

：.NABE=ZAOC.

,,AB=V22+42=2-75，

：.SARF^-AB.EF^-x2y/5xEF^-x3x2.

ABE222

?S3也

??Er=------

5

在心△8EF中，

,*BE—A/12+22=5/5,

375

./.,EF53

sinAABDEC==-^?=-=-

BE亞5

3

.*?sinZAOC=—.

5

3

故答案為：一

5

【點睛】本題考查的是勾股定理的應用，求解銳角的正弦，掌握構造直角三角形求解銳角的

正弦是解題的關鍵.

15.如圖，矩形ABCO的頂點8(10,8),點人，C在坐標軸上，E是8c邊上一點，將.ABE

k

沿AE折疊，點B剛好與0C邊上點。重合，過點￡的反比例函數(shù)y=—的圖象與邊A3交

x

【答案】—

4

【解析】

【分析】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的綜合應用，根據(jù)翻折的性質結合勾股定理求出

。。的長，進而求出CO的長，設點E的坐標是(10力)，勾股定理求出〃的值，進而求出反

比例函數(shù)的解析式，進而求出尸點的坐標，進一步計算即可.

【詳解】解：,工人班沿AE折疊，點B剛好與OC邊上點。重合，

：.AD=AB=IO,DE=BE，

AO=8,AD=10,

.??OD=Vl02-82=6>

..8=10—6=4,

設點E的坐標是(10力)，

則CE=8,￡>￡=10-6,

QCU+CE?=DE°，

42+b2=(8-6)2,

解得b=3,

，點E的坐標是(10,3),

設反比例函數(shù)〉二",

X

k=10x3=30,

30

..?反比例函數(shù)解析式為y=——，

x

F點縱坐標為8,

.?30

??O—,

X

解得X——，即AF=—,

44

1525

:.BF=AB-AF=10一一-=—,

44

25

故答案為：—.

4

三.解答題（共55分）

16.解方程：

（1）x（x+4）=2x4-8；

（2）3X2-4X-1=0；

（3）2cos60°-sin245°+（-tan450）2022.

【答案】（1）%=-4,4=2

、_2+V?_2—V7

（2）X,=----------，=----------

133

⑶3

2

【解析】

【分析】本題考查解一元二次方程，特殊角的三角函數(shù)值的混合運算，掌握一元二次方程的

解法，熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關鍵.

（1）因式分解法解方程即可；

（2）公式法解方程即可；

（3）將特殊角的三角函數(shù)值代入后，計算即可.

【小問1詳解】

解：x(x+4)=2x+8,

x(x+4)-2(x+4)=0,

(x+4)(x-2)=0,

%+4=0或x-2=0,

解得玉=—4,凡=2;

【小問2詳解】

3X2-4X-1=0，

。=3,b=-4,c=—1,

b2-4ac=(-4『-4x3x(-l)=28>0,

-b+ylb2-4ac4±V282±V7

?,x=------------------=----------=---------

2a63

2+V72-V7

133

【小問3詳解】

原式=2、」一(正］+(_1).2=1_'+1=3.

212J22

17.某中學為了解九年級學生的體能狀況，從九年級學生中隨機抽取部分學生進行體能測

試，測試結果分為AB,C,。四個等級.請根據(jù)兩幅統(tǒng)計圖(不完整)中的信息回答下

列問題:

0人數(shù)20

-8

-

16

1

14

1

12

1

10

1

8

6

4

2

0

ABCD測試等級

(1)本次抽樣調查共抽取了名學生，并補全條形統(tǒng)計圖;

(2)“C等級”在扇形圖中的圓心角度數(shù)為

(3)若該中學九年級共有700名學生，請你估計該中學九年級學生中體能測試結果為。等

級的學生人數(shù);

(4)若從體能測試結果為A等級的2名男生和2名女生中隨機抽取2名學生，作為該校培

養(yǎng)運動員的重點對象，請用列表或畫樹狀圖的方法求所抽取的兩人恰好都是男生的概率.

【答案】(1)50(2)115.2°

.1

(3)56名(4)-

6

【解析】

【分析】(1)用4等級的頻數(shù)除以它所占的百分比即可得到樣本容量；

(2)求出C等級的人數(shù)，進而求出C等級所占的百分比，進而求出相應的圓心角的度數(shù)；

(3)用700乘以。等級的百分比可估計該中學八年級學生中體能測試結果為。等級的學生

數(shù)；

(4)用列表法表示12種等可能的結果數(shù)，再找出抽取的兩人恰好都是男生的結果數(shù)，然后

根據(jù)概率公式求解.

【小問1詳解】

解：10?20%=50(名)，

答：本次抽樣調查共抽取了50名學生.

故答案為：50

【小問2詳解】

解：測試結果為C等級的學生數(shù)為：

50-10-20-4=16(名)，

360°x—=115.2°,

50

故答案為：115.2°

【小問3詳解】

4

解：一x700=56(名)

50

答：該中學九年級學生中體能測試結果為。等級學生人數(shù)是56名.

【小問4詳解】

解：用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果如下：

人

第2三\男男女女

男男男女男女男

男男男女男女男

女男女男女女女

女男女男女女女

共有12種等可能的結果數(shù)，其中抽取的兩人恰好都是男生的結果數(shù)為2,

所以抽取的兩人恰好都是男生的概率=最=5.

【點睛】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結果”，

再從中選出符合事件A或B的結果數(shù)目肛然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率.也

考查了統(tǒng)計圖.

18.如圖所示，無人機在生活中的使用越來越廣泛，小明用無人機測量大樓的高度.無人機

懸停在空中E處，測得樓樓頂A的俯角是60。，樓8的樓頂C的俯角是45°,已知

兩樓間的距離8。=1006米，樓的高為10米，從樓的A處測得樓CO的C處的

仰角是30°.（A、B、C、D、￡在同一平面內）.

（2）小明發(fā)現(xiàn)無人機電量不足，僅能維持60秒的飛行時間，為了避免無人機掉落砸傷人，

站在A點的小明馬上控制無人機從E處勻速以5米/秒的速度沿E4方向返航，無人機能安

全返航嗎？

【答案】（1）110m

（2）無人機能安全返航

【解析】

【分析】（1）過點A做AF//BD,交CO于點F,則

ZAFC=ZBDC=90°,A尸=3￡>=100Gm,然后解直角三角形AC尸即可求出CO的

長，進一步即可求出結果；

(2)根據(jù)圖中的角度轉換可得到A￡=AC=200,然后計算出無人機返回時可飛行的路程,

比較即可得出結論.

【小問1詳解】

如圖所示,

過點A做AE〃即，交于點F,

二ZAFC=ZBDC=90°,AF=5。=100Gm

在RtAAFC中，ZCAF=30°,

???CF=AFtan300=100^x—=100m,AC=2Cb=200m,

3

C￡>=CF+F￡>=100+10=110m,

答：樓CO高110m；

【小問2詳解】

依題意可知，ZAEC=180°-60°-45°=75°,ZE4F=60°,

NC4F=30°,

；?ZE4C=ZEAF-ZCAF=60°-30°=30°,

在EAC中，ZECA=180°-ZE4C-ZAEC=180°-30°-75°=75°,

/.ZECA^ZAEC,

AE=AC=200m,

無人機可飛行距離：s=w=5x60=300m

300>200

A無人機能安全返航

【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，屬于?？碱}型，正確理解題意、熟練掌握銳角三

角函數(shù)的知識是解題的關鍵.

19.如圖，在.ABCD中，對角線AC,BD交于點O,過點B作BELCD于點E,延長CD

到點F,使DF=CE,連接AF.

(1)求證:四邊形ABEF是矩形；

(2)連接OF,若AB=6,DE=2,/ADF=45。，求OF的長度.

【答案】⑴見解析；(2)OF=V29.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)菱形的性質得到AD〃BC且AD=BC,等量代換得到BC=EF,推出四邊

形AEFD是平行四邊形，根據(jù)矩形的判定定理即可得到結論；

(2)根據(jù)直角三角形斜邊中線可得：OF=^AC,利用勾股定理計算AC的長，可得結論.

【詳解】(1)證明:???四邊形ABCD是平行四邊形

；.AB=CD,AB/7CD.

VDF=CE,

，DF+DE=CE+ED,

即:FE=CD.

?.?點F、E直線CD上

；.AB=FE,AB//FE.

...四邊形ABEF是平行四邊形

又,.?BE_LCD,垂足是E,

ZBEF=90°.

四邊形ABEF是矩形.

⑵解:：四邊形ABEF是矩形O,

/AFC=90°,AB=FE.

VAB=6,DE=2,

，F(xiàn)D=4.

VFD=CE,

.\CE=4.

；.FC=10.

在RSAFD中，ZAFD=90°.

VZADF=45°,

.".AF=FD=4.

在RtZkAFC中，ZAFC=90°.

?*-AC=VAF2+FC2=2V29-

V點O是平行四邊形ABCD對角線的交點，

.?.0為AC中點

在RtAAFC中，ZAFC=90°.O為AC中點.

.".OF=1AC=V29.

【點睛】本題考查了矩形的判定和性質，平行四邊形的性質，勾股定理，正確的識別圖形是

解題的關鍵.

20.某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個，調查表明：售價

在40元至60元范圍內，這種臺燈的售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個，設該商場

決定把售價上漲x（0<X<20）元.

（1）售價上漲x元后，該商場平均每月可售出____________個臺燈（用含x的代數(shù)式表示）;

（2）為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定為多少元？這時應進臺

燈多少個？

（3）臺燈售價定為多少元時，每月銷售利潤最大？

【答案】（1）（600-1Ox）

（2）這種臺燈的售價應定50元，這時應進臺燈500個

（3）臺燈售價定為60元時，每月銷售利潤最大

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“售價每上漲1元，其銷售量就將減少10個”，即可解答；

（2）根據(jù)總利潤=單件利潤X數(shù)量，列出方程求解即可；

（3）設每月銷售利潤為W,根據(jù)總利潤=單件利潤X數(shù)量，列出函數(shù)表達式，化為頂點式,

根據(jù)二次函數(shù)的增減性，即可解答.

【小問1詳解】

解：售價上漲X元后，該商場平均每月可售出（600-10x）個臺燈，

故答案為：（600—10x）：

【小問2詳解】

解：（40+x-30）（600-10x）=10000,

整理得：%2-50%+400=0，

解得：M=10,%=40（舍去），

???這種臺燈的售價為40+x=40+10=50（元），

銷售數(shù)量為600—l（）x=6（X）—10x10=500（個），

答：這種臺燈售價應定50元，這時應進臺燈500個.

【小問3詳解】

解：設每月銷售利潤為W,

W=（40+x-30）（600-10x）

=-10x2+500x+6000

=-10（x-25）2+12250,

V-10<0,

當x<25時，W隨x的增大而增大，

V0<x<20.

當x=20時，售價為40+x=60（元），卬取最大值，此時W=12000,

答：臺燈售價定為60元時，每月銷售利潤最大.

【點睛】本題主要考查了一元二次方程的實際應用，二次函數(shù)的實際應用，解題的關鍵是正

確理解題意，根據(jù)題意找出等量關系，列出方程和函數(shù)表達式，熟練掌握二次函數(shù)性質.

21.探究函數(shù)性質時，我們經歷了列表、描點、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括

函數(shù)性質的過程.以下是我們研究函數(shù)丁=1+|-2彳+6|+根性質及其應用的部分過程，請

按要求完成下列各小題.

X???-2-1012345???

y.??654a21b7???

（1）寫出函數(shù)關系式中，W及表格中a,匕的值：,a=,

b=；

（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標系中畫出該函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象寫出該

函數(shù)的一條性質：;

（3）已知函數(shù)y=3的圖象如圖所示，結合你所畫的函數(shù)圖象，直接寫出不等式

X

x+1—lx+61+m>—的解集.

x

【答案】（1）-2；3；4；（2）作圖見解析；當x<3時，y隨x的增大而減小，當x>3時，

y隨x的增大而增大；（3）x<0或第>4

【解析】

【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出“，然后得到完

整解析式，再根據(jù)表格代入求解其余參數(shù)即可；

（2）根據(jù)作函數(shù)圖象的基本步驟，在網格中準確作圖，然后根據(jù)圖象寫出一條性質即可；

(3)結合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，用函數(shù)的思想求解即可.

【詳解】(1)由表格可知，點(3,1)在該函數(shù)圖象上，

???將點(3,1)代入函數(shù)解析式可得：1=3+|—2x3+6|+m,

解得：m=-2,

???原函數(shù)的解析式為：y=%+|—2元+6]-2；

當x=l時，y=3；

當％=4時，y=4；

故答案為：—2;3；4；

(2)通過列表-描點-連線的方法作圖，如圖所示；

根據(jù)圖像可知：當x<3時，y隨x的增大而減小，當尢>3時，y隨x的增大而增大；

故答案為：當x<3時，y隨]的增大而減小，當x>3時，y隨x的增大而增大；

(3)要求不等式?￥+|-2%+6|+加>3的解集，

X

實際上求出函數(shù)y=x+|-2x+6|+機的圖象位于函數(shù)y=3圖象上方的自變量的范圍,