2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一年級上冊冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、單選題

1.設(shè)集合Z={x|14x44},5={^|^=log2x,x&A},則（）

A.（0,1]B.[1,2]C.[1,4]D.[2,4]

【正確答案】B

【分析】先化簡得B=[0,2],再利用交集的定義求解.

【詳解】解：由題得8={y|y=log2X,xe/}=[0,2],

所以/nB=[l,2].

故選：B

2.已知集合工={#2-》一2<0},B=[x\la-\<x<a+3],若“xeN”是“xe8”的充分不必要條件，

則。的取值范圍為（）

A.[-1,0]B.（-1,0）C.[4,+oo）D.（4,-K?）

【正確答案】A

【分析】根據(jù)“xeN”是“xeB”的充分不必要條件，轉(zhuǎn)化為NB,利用集合之間的包含關(guān)系，即可求

出。的取值范圍.

【詳解】解：X2-X-2<0,解得-1<X<2,即工={X|-1<X<2},

若“xeN”是“xe8”的充分不必要條件，則/B,

2a-l<-l

MM且等號不同時成立，解得一國4°，

所以“的取值范圍為[7,0],

故選：A.

3,下列函數(shù)既是奇函數(shù)又在（-口）上是增函數(shù)的是（）

（71\2

A.j^=cosly-xIB.y=--；

C.y=2x+2'xD.y=lg(x+l)

【正確答案】A

【分析】對于A,利用誘導(dǎo)公式化簡，可判斷是否符合條件；對于B,定義域中不含零，可判斷不符

合條件；對于C,根據(jù)其奇偶性可判斷；對于D,判斷該函數(shù)的奇偶性可知是否滿足條件.

【詳解】了=8$（］-》）=5布》是奇函數(shù)，在［-］,］］上單調(diào)遞增，故在（-1』）上是增函數(shù)，故A滿足

條件；

y=-上定義域內(nèi)不能取到零，在（-11）內(nèi)尸0時無意義，故B不滿足條件；

X

對于^=/（耳=2、+27滿足/（-工）=/。）是偶函數(shù)，故C不滿足條件；

對于V=/(x)=lg(x+l),/(-x)+/(x)=lg(-x+l)+lg(x+l)=lg(l-x2),結(jié)果不是恒等于零，故

y=lg（x+l）不是奇函數(shù)，故D不滿足條件,

故選：A.

4.如圖是來自古希騰數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形，此圖由三個半圓構(gòu)成，三個半圓的直徑分

別為直角三角形“席的斜邊院直角邊曲",已知以直角邊”C、/8為直徑的半圓的面積之比為:'

sine-2cos。

記則的值為（)

cossin。

A.-1B.-2C.0D.1

【正確答案】A

【分析】由圓的面積公式及半圓面積比可得箓=；,即有tan6=；,將目標式由弦化切求值即可.

【詳解】以直角邊4C,48為直徑的半圓的面積分別為：（江］二萬?（4」）：，

2I2J8

8

由面積之比為;，得:品4,即令毛

AC1sin0-2cos0tane-2_2

在RtA^SC中，tan^=tan/.ABC=——p則ml際指

AB1+tan0]+1

2

故選：A.

5.已知定義在R上的函數(shù)/(x)在卜1,+s)上單調(diào)遞增，若/(2)=0,且函數(shù)/(x-l)為偶函數(shù)，則不

等式口。)>0的解集為()

A.(2,+oo)B.(-4,—l)^(0,+oo)

C.(-4,+00)D.(-4,0)o(2,+oo)

【正確答案】D

【分析】分析可知函數(shù)/")的圖象關(guān)于直線x=-l對稱，可得出函數(shù)/(x)的單調(diào)性，分析/(x)的符

..[x<0[x>0

號變化，由曠'3>°可得)(x)<0或[/(x)>0'解之即可.

【詳解】因為函數(shù)/(X-1)為偶函數(shù)，則〃T-1)=/(X-1),故函數(shù)“X)的圖象關(guān)于直線x=-l對稱,

因為函數(shù)/(X)在11,位)上單調(diào)遞增，故函數(shù)/(x)在(-8,-1]上單調(diào)遞減，

因為/⑵=0,則"-4)=0,

所以，由/(x)<0可得-4<x<2,由/(x)>0可得x<-4或x>2,

/、fx<0[x>0

解不等式力(x)>0,可得|/口)<0或1/卜)>0，解得-4<x<0或x>2,

故不等式M'(x)>。的解集為(-4,0)。(2，位).

故選：D.

6，若“=[癡汨J'6=2021而，C=l°8202O20H，則()

A.a>h>cB.a>c>bC.c>a>bD.b>a>c

【正確答案】D

【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小即可.

12021]

【詳解】由函數(shù)y=,y=2021"歹=log202o”的單調(diào)性可知0<〃=<1"=2021福>1，

20202020

c=log---<0,t^h>a>c.

20202021

故選：D

冗

7.函數(shù)/(x)=2sin(OX4--（。＞0）的圖象在［0,2］上恰有兩個最大值點，則。的取值范圍為（）

4

9萬13zr9兀\7冗

A.［兀，2兀）B.C.D.

"'312288

【正確答案】D

【分析】首先代入求3部勺取值范圍，再根據(jù)三角函數(shù)的圖如列式求。的取值范圍.

乃TT71T兀7T5777T97r

【詳解】當(dāng)工目0,2］時9+六-,2.-，若函數(shù)在此區(qū)間恰取得兩個最大值，則力2。+丁丁

44+4

解得.

88

故選：D

二竄〉設(shè)"XI）額1），且關(guān)于X的方程

8.對于a"wR,定義運算“③Za?b=\

/（x）=&eR）恰有三個互不相等的實數(shù)根%,%玉，則再+超+馬的取值范圍是（）

(5"「5+用

A.,1B.

4、’4,

/

C.9D.(1,2)

【正確答案】A

:二二二‘再結(jié)合函數(shù)圖像可知個毛=1，再求出西的范圍,

由題設(shè)寫出的解析式，/W=

即可求得結(jié)果.

(2x—1)"—(2x—l)(x—1),2x—]?x—]

【詳解】由題設(shè)知/（x）=（2x—l）區(qū)（x—l）=

(x—I)2—(2x—l)(x~1),2x—1>1

二:：：’畫出函數(shù)的圖像,如下圖

化簡整理得：/（外二

由/（；）=；，當(dāng)關(guān)于X的方程/（x）='（feR）恰有三個互不相等的實數(shù)根時，，的取值范圍是

設(shè)X1<0<9<W，則是-x2+X=/的兩個根，關(guān)于X=；對稱，故%+毛=1，

下面求玉的范圍：［2XJ-X解得：上2叵

%）<014

.-.l+8?e(l,3),:A-yJ\+8te(1-75,0),故占e陛，。］

I4）

所以X1+x2+x3e

故選：A.

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法:

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍;

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決;

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)的圖

像，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

二、多選題

9.下列說法正確的是（）

A.若x+y=^（x>0,j>0）,則x+y的最小值為4

B.扇形的半徑為1,圓心角的弧度數(shù)為TT則面積為丁TT

36

C.若logs3=p,log?5=夕,，則lg5=3

D.定義在R上的函數(shù)/(》)=3卜/-1為偶函數(shù)，記4=/(logo33),6=/(log25),c=/(2M,貝ija〈Xc

【正確答案】ABC

【分析】對于4直接利用基本不等式求解即可；對于8,直接根據(jù)扇形的面積公式求解；

對于C,利用對數(shù)的性質(zhì)、運算法則、換底公式直接求解；對于。，利用偶函數(shù)/(-x)=/(x),可得

\x+fn\=\x-m\,解得機=0,可得/(x),再利用函數(shù)的性質(zhì)即可比較大小.

【詳解】對于A：因為x+y==>x+”4(x>0,y>0),當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時取等號，貝(Jx+y

的最小值為4,故正確；

TT

對于3,扇形的半徑為1,圓心角的弧度數(shù)為a=§,面積為S,

C1\n,7t

S=—ar—x——x1=—

2236

..?該扇形的面積為mTT，故正確;

6

3二lg3

對于C：???logs3=

；.lg3=3plg2.

館3

:.lg5=qlg3=3pqlg2=3pq(l-lg5),

???恁5=苦一，故正確；

l+3p夕

對于。：定義在R上的函數(shù)/(幻=3?_1(而為實數(shù))為偶函數(shù),

?**f(-x)=/(x),/.|x+mHx一機L...〃？=().

/./W=3W-1.所以函數(shù)fM在［0,+司上單增,

???。=/(logos3)=f(-log23)=f(log23),又0<log23<log25

所以c=/(0)<a=f(log23)<b=f(log25)；

：.c<a<h,故錯誤.

故選：ABC.

10.設(shè)。、b、。為實數(shù)且。>6,則下列不等式一定成立的是()

11C…

A.—>"B.In。>Infe

ah

C.2022(O-6)>1D.a(c2+l)>/?(c2+1)

【正確答案】CD

【分析】取a>6>0,可判斷A選項；利用對數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷B選項；利用指數(shù)函數(shù)的單

調(diào)性可判斷C選項：利用不等式的基本性質(zhì)可判斷D選項.

【詳解】對于A,若a>6>0,則工<\,所以A錯誤；

ab

對于B,函數(shù)N=lnx的定義域為(0,+s),而。、b不一定是正數(shù)，所以B錯誤；

對于C,因為“一6>0,所以2022”“)>1，所以C正確；

對于D,因為/+1>0,所以+所以D正確.

故選：CD

11.設(shè)函數(shù)f(x)=sin(2x-：)的圖象為曲線E,則下列結(jié)論中正確的是()

1T

A.(-五,0)是曲線E的一個對稱中心

7T

B.若工尸匕，且/(再)=/。2)=0,則|占-三1的最小值為,

C.將曲線N=sin2x向右平移g個單位長度，與曲線￡重合

D.將曲線y=sin(x-1)上各點的橫坐標縮短到原來的g,縱坐標不變，與曲線E重合

【正確答案】BD

【分析】由題意利用函數(shù)￥=%皿0、+0)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論.

【詳解】函數(shù)/(x)=sin"￡j的圖象為曲線E,

令”-專，求得〃x)=-l，為最小值，故"X)的圖象關(guān)于直線x=4對稱，故A錯誤；

若X尸Z，且〃為)=/。2)=0,則|x「zI的最小值為種=],故B正確；

將曲線)=sin2x向右平移g個單位長度，可得的圖象，故C錯誤；

將曲線y=sin(x-g)上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，可得y=sin(2x-?的圖象，與

曲線E重合，故D正確，

故選：BD.

12.已知函數(shù)/(x)=e'+x-4和g(x)=lnr+x-4的零點分別是。和尸，則下列結(jié)論正確的有()

A.a+/7=4B.p-a<2

C.M<eD.alnp+p\na<41n2

【正確答案】ABD

【分析】根據(jù)函數(shù)的零點、函數(shù)圖象的對稱性化簡已知條件，結(jié)合圖象、零點存在性定理、不等式的

性質(zhì)等知識求得正確答案.

【詳解】由/(x)=e、+x-4=0得e，=r+4：

由g(x)=[nx+x_4=0得lnx=r+4,

,=^和了=111》的圖象關(guān)于直線歹=》對稱，

直線y=-x+4和直線y=x垂直，也即直線y=-x+4的圖象關(guān)于y=x對稱.

由J尸X解得1=2'設(shè)C(2,2)?

設(shè)直線y=-x+4與y=e"的圖象交于點/(a,e"),e"=-a+4①，

設(shè)直線N=-x+4與y=lnx的圖象交于點8(Rn"),1“=-4+4②，

則a+￡=2x2=4,A選項正確.

ea+In/?=4,而①-②得,_a=e"_lnp=(4_ln')_ln,=4_21n￡,

對于函數(shù)g(x)=lnx+x-4,g(于在(0,+■?)上遞增,

g(e)=lne+e-4=e-3<0,g(3)=ln3-l>0,e<^<3,

所以I<ln/?<ln3,2<21n〃<21n3,所以4-a=4-21n￡<2,B選項正確.

對于函數(shù)/(x)=e*+x-4,/(x)在(0,+8)上遞增，

/(l)=e-3<0,/(2)=e2-2>0,所以1<々<2,

所以a[3>e,C選項錯誤.

/(1.3)=el3+1.3-4=el3-2.7>0,

則l<a<L3,

所以aln￡<1.3xln3=ln3",

對于產(chǎn)和6,兩者分別平方得(3歲=33=27,62=36,所以In3「3<ln6.

而夕Ina<3xIn1.3=In1.3;In2.197,

a\n/3+(3\na<In6+In2.197=In(6x2.197)<In16=4In2,D選項正確.

故選：ABD

本題解題的突破口在于數(shù)形結(jié)合的思想方法，首先要注意觀察題目所給已知條件間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化后畫

出相應(yīng)函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象分析對稱性、零點等，從而達到解題的目標.

三、填空題

13.已知sin“g+a)=|,則sin2a的值是

43------

【正確答案】1

【分析】直接按照兩角和正弦公式展開，再平方即得結(jié)果.

【詳解】Qsin2(■^-+?)=(^-cosa+^y-sina)2=—(l+sin2a)

1.?、2.-1

/.-(14-sin2a)=—sin2a=—

故3

本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.

14.已知/(x)=alog2(>2i(Ji+M+^-ftsinx-8(a,。為常實數(shù))，若/(-5)=4,貝iJ/(5)=.

【正確答案】-20

【分析】由/(-x)+〃x)=-16得出/(-5)+/(5)=-16,進而得出〃5).

【詳解】/(-X)=alog202i(J1+(-@、-X)-\sin(-8,

f(-,r)=-tzlog202lIv1+x)+/>sinx-8,

.-./(-x)+/(x)=-16,/(-5)+〃5)=-16,

?.?/(-5)=4,"(5)=-20.

故-20

15.若直線>=2a與函數(shù)卜=|/-1](。>0,。31)的圖象有兩個公共點，則。的取值范圍是.

【正確答案】0<a<|

【分析】就。的取值分類討論后可得a的取值范圍.

【詳解】直線y=2a與夕=尸-1](。>0,。")的圖象有兩個公共點，

故K'-1|=2a有兩個不同的解，

ax>1

故和:?共有兩個不同的解,

ax=2〃+1ax=-2a+\

av>1

因為24+3,故優(yōu)~+1有且只有一個實數(shù)解.

<1ax>\

若a>l,則1-2"0,故<a』2a+l無解'而'八只有一個解，

故2-1卜2〃有且只有一個實數(shù)解，與題設(shè)矛盾，舍;

若因為“產(chǎn)1，只有一個解，故；，需有一解，

ax=2a+1=-2。+1

故0<l-2a<l,故0<々<」.

2

故答案為.0<。7

2

16.如下圖，△048是邊長為2的正三角形，記△048位于直線x=f(O</<2)左側(cè)的圖形的面積為/(f),

現(xiàn)給出函數(shù)/⑺的四個性質(zhì)，其中說法正確的是.

>

x

②/⑺在(0,2)上單調(diào)遞增

③當(dāng)f=l時，/(f)取得最大值

④對于任意的”(0,2),都有/(f)+/(2-f)=6

【正確答案】②④

—?2,0</<1

2

【分析】先分析出/{)={r，再根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)依次判斷即可

--Z2+2^-^,1<Z<2

2

【詳解】由題可知,08所在直線為歹=岳，”所在直線為y=2百-后

則當(dāng)0<E時,/()=5.6=爭；

當(dāng)l<f<2時,/?)=/乂22-；(27)(20-后)=一日『+2后-百；

—?2,0</<1

則/(。=2,

----/2+2y/it—>/3,1</<2

②易知J(f)在(05上單調(diào)遞增，在(1,2)上單調(diào)遞增，且￥xl2=￥=_*xl2+2百xl-6,則/⑺在

(0,2)上單調(diào)遞增，故②正確；

③因為了。)在(0,2)上單調(diào)遞增，則無最大值，故③錯誤；

④由題，當(dāng)l<f<2時,/?)=-等?+2.一若=-*?-2)2+百，

當(dāng)0<f<l時,1<2-/<2廁/(/)+〃2T)=日/一向［(27)_27+百=百，

當(dāng)l<f<2時,0<2-f<l廁〃2T)+〃t)=等(27)2_曰(?2)2+道=百，

當(dāng)f=l時,2—=1,則/(f)+/(2T)=2〃l)=2x#xl2=W，故④正確；

故答案為②④

本題考查分段函數(shù)的應(yīng)用，考查二次函數(shù)單調(diào)性與最值問題，考查求函數(shù)值,考查運算能力

四、解答題

17.已知集合4=卜=J-x?+10x-16卜8={x|--x-6<0},C={x|x<a},全集。=R

(1)求⑹S)cB；

(2)若NcCx0,求實數(shù)。的取值范圍.

【正確答案】⑴/U8=(-2,8］；(1辦8=(-2,2)

⑵(2,+8)

【分析】(1)根據(jù)偶次根式被開方數(shù)大于等于零，進而解一元二次不等式分別求得集合48,由并集、

補集和交集的定義可得結(jié)果；

(2)由ZcC=0可得。的范圍，取補集即可得到ZcCx0時a的范圍.

【詳解】(1)由-x2+I0x-1620得：24x48,即4=［2,8］；

由/-x-6<0得：—2<x<3,即5=(-2,3),;./118=(-2,8］；

???=(?,2)U(8,+8),；.(務(wù)⑷(18=(-2,2).

(2)由題意知：C=(-oo,a).

若ZcC=0,則a42,.?.“nc#0時，。的取值范圍為(2,+8).

sin("9)cos(;r+")tan(3;r-e)/7、

18.⑴已知八一陪一可,求《后)的值

sin(-34-a)+cos(24+a)

(2)已知sina+cos*-9恭a<兀，求sin(-a)+sin(|+a)的值?

【正確答案】(1)—:(2)

27

【分析】(1)利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)基本關(guān)系化簡/(。)，然后再代值計算即可.

(2)利用同角三角函數(shù)間的關(guān)系，將sina+cosa=-：平方求出sinacosa的值，從而求出cosa-sina

的值，再由誘導(dǎo)公式將所求式子化簡，即可得出答案.

,asin(萬一9)cos(;r+e)tan(3)一。)_sin。?(一cos。)?(一tan。)_.

［詳解］(1)“)=(3小/=^0="Sm

cos------0

I2)

所以《用=_"4卜in,3)=嗚當(dāng)

1124

(2)由sina+cosa=-1,則l+2sinacosa=石，所以2sinocosa=一石

71.

由一<a<兀，則sina>0,cosa<0

2

)2449

設(shè)，=<：05。一5畝二<0,貝=l-2coscrsintz=l+—=—

2525

7

由，=cosa-sina<0,所以cos。-sina=

sin(-3〃一a)+cos(27r+a)_sina+cosa_5_1

.,、.(7t、-sina+cosa77

sin(-a)4-sinl—+a\--

關(guān)鍵點睛：本題考查利用誘導(dǎo)公式化簡，利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值，解答本題關(guān)鍵是由同角三角函

124

數(shù)的關(guān)系根據(jù)sina+cosa=-二，先求出2sinacosa=-力，結(jié)合角的范圍求出cos。-sina的值，屬

525

于中檔題.

19.比亞迪是我國乃至全世界新能源電動車的排頭兵，新能源電動車汽車主要采用電能作為動力來源,

目前比較常見的主要有兩種：混合動力汽車、純電動汽車.有關(guān)部門在國道上對比亞迪某型號純電動

汽車進行測試，國道限速60km/h.經(jīng)數(shù)次測試，得到該純電動汽車每小時耗電量。(單位：wh)與

速度x(單位：km/h)的數(shù)據(jù)如下表所示：

X0104060

Q0142044806720

為了描述該純電動汽車國道上行駛時每小時耗電量。與速度R的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種函數(shù)模型供選擇:

①一2/+“；②0(工)=1-［：］；03(x)=3OOlogax+^.

(1)當(dāng)04xW60時，請選出你認為最符合表格中所列數(shù)據(jù)的函數(shù)模型(需說明理由)，并求出相應(yīng)的函

數(shù)表達式；

(2)現(xiàn)有一輛同型號純電動汽車從重慶育才中學(xué)行駛到成都七中，其中，國道上行駛50km,高速上行駛

300km.假設(shè)該電動汽車在國道和高速上均做勻速運動，國道上每小時的耗電量。與速度x的關(guān)系滿

足（1）中的函數(shù)表達式；高速路上車速X（單位：km/h）滿足xe[80,120],且每小時耗電量N（單

位：wh）與速度x（單位：km/h）的關(guān)系滿足N（x）=2d-10x+200（804120））.則當(dāng)國道和高

速上的車速分別為多少時，該車輛的總耗電量最少，最少總耗電量為多少？

【正確答案】⑴選①。I（X）=^/-2X2+CX,0（X）=^?-2X2+16OX

（2）當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為50km/h最少，最少為51250wh.

【分析】（1）利用表格中數(shù)據(jù)進行排除即可得解；（2）在分段函數(shù)中分別利用均值不等式和二次函數(shù)

求出最值即可得解.

【詳解】（1）解：對于③。式x）=3001og“x+b,當(dāng)x=0時，它無意義，故不符合題意，

所以0（10）=1-1|）<1,故不符合題意，故選①?？冢?*-2/+次,

由表中的數(shù)據(jù)可得，^X103-2X102+CX!0=1420,解得C=160

/.0(x)=—X3-2X2+160X.

50

(2)解：高速上行駛300km,所用時間為史°h,

X

則所耗電量為/(X)=—?N(x)=—?(2x2-10x+200)=600卜+-3000,

由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知，/（x）在[80,120]上單調(diào)遞增,

=7(80)=600x^80+黑)-3000=

而n45750wh,

國道上行駛50km,所用時間為一h,

x

則所耗電量為g(x)=—-Q(x)=—?[—x3-2x2+160x|=x2-100x+8000,

xx)

V0<X<60,?,?當(dāng)x=50時，g(x)min=g(50)=5500wh,

???當(dāng)這輛車在高速上的行駛速度為80km/h,在國道上的行駛速度為501<1田11時?，

該車從重慶育才中學(xué)行駛到成都七中的總耗電量最少，最少為45750+5500=51250wh.

20.已知函數(shù)/(x)=sin'+VJsinxcosx.

（I）求/（X）的最小正周期;

(ID若/(x)在區(qū)間加上的最大值為:，求機的最小值.

【正確答案】(I)兀；(H)

【分析】(I)將分初化簡整理成〃x)=4sin(0x+⑼的形式,利用公式7=工可求最小正周期；(II)

根據(jù)xe〃力，可求2x-g的范圍，結(jié)合函數(shù)圖象的性質(zhì)，可得參數(shù)”的取值范圍.

36

【詳解】(I)/(x)=-~^^-+—sin2x=—sin2x--cos2x+—=sinf2x-—^+―,

22222{62

所以〃x)的最小正周期為7=:=九

(II)由(I)知/(x)=sin(2x-e)+；.

因為xe-~~,m,所以2x-^e

3J666

jrQ

要使得〃X)在-號加上的最大值為:，

即sin(2x-￡)在-；，”?上的最大值為1.

所以2〃?—烏2巴，即加

623

所以加的最小值為:.

點睛：本題主要考查三角函數(shù)的有關(guān)知識，解題時要注意利用二倍角公式及輔助角公式將函數(shù)化簡,

化簡時要注意特殊角三角函數(shù)值記憶的準確性，及公式中符號的正負.

21.已知函數(shù)/(x)=log3(9"+l)+履是偶函數(shù).

(1)當(dāng)xNO,函數(shù)y=/(x)-x+。存在零點，求實數(shù)。的取值范圍;

(2)設(shè)函數(shù)〃(外=1%(團3'-2")，若函數(shù)/⑶與〃(x)的圖象只有一個公共點，求實數(shù)〃，的取值范圍.

【正確答案】(D[-bg32,O)

⑵U(1,-KO)

【分析】(1)利用偶數(shù)數(shù)的定義/(-x)=/(x),即可求出實數(shù)左的值，從而得到/(X)的解析式；令

f(x)-x+a=0,得-a=/(x)-x,構(gòu)造函數(shù)g(x)=/(x)-x,將問題轉(zhuǎn)化為直線＞=與函數(shù)y=g(x)的圖

象有交點，從而求出實數(shù)。的取值范圍；

(2)依題意等價于關(guān)于x的方程log式*3,-2M=k>gj3,+3-，)只有一個解，令f=3、，討論

-2而-1=0的正根即可.

【詳解】(1)解：???/⑴是偶函數(shù)，..J(-x)=〃x),

即嘎式歹+1)-Ax=log3(9,+1)+Ax對任意xeR恒成立,

x

Q-+1

2kx=log,(9-'+1)-log,(9x+1)=log,=log,3-2*=-2x,

k=—l.

即/(X)=log3(9"+l)-X,

因為當(dāng)x20,函數(shù)夕=/(x)-x+a有零點，即方程10&(9，+l)-2x=-a有實數(shù)根.

令g(x)=log3(9'+l)-2x,則函數(shù)N=g(x)與直線，=-a有交點，

g(x)=log,(9I+l)-2x=log^y+l)-log,9'

i9X+1,八1、

=唾3=1%(1+3)，

又,.?.g(x)=k)g3(l+J)?0,log32],

所以〃的取值范圍是[—bg32,0),

QV<1)

r

⑵解：因為/(X)=log3伊+1)-X=log,(9+l)-log33,=logJ=log3(3'+3-，)，

又函數(shù)〃x)與力(x)的圖象只有一個公共點，

則關(guān)于x的方程1。&(加-3*-2m)=噫(3，+3一，)只有一個解，

所以"八3'-2m=3'+3'',

令f=3%f>0),得(m-l)*-2加-1=0,

①當(dāng)加-1=0,即加=1時，此方程的解為￡=-)，不滿足題意，

②當(dāng)—即勿>1時，此時A=4/%2+4(〃?-1)=4(〃/+加一1)〉0,又［+'=->0,=———<0,

m-\tn—\

所以此方程有一正一負根，故滿足題意，

4〃/-4(/77-l)x(-1)=0

③當(dāng)〃7-1<0,即加<1時，由方程(6-1)*-2儂-1=0只有一正根，則需，-2m，

-------->0

2(^-1)

解得m=—―,

2

綜合①②③得，實數(shù)加的取值范圍為：j二洋ju(i,+?o.

22.對于函數(shù)/(x),若〃x)的圖象上存在關(guān)于原點對稱的點，則稱/(x)為定義域上的“偽奇函數(shù)”.

(1)試判斷/(x)=|cosx|是否為“偽奇函數(shù)”,簡要說明理由;

(2)若〃x)=log2(sinx+M+l是定義在區(qū)間局為上的“偽奇函數(shù)”，求實數(shù)切的取值范圍；

(3)試討論/(x)=4*-加4-+4附2_3在&上是否為“偽奇函數(shù)，，?并說明理由.

【正確答案】(1)是“偽奇函數(shù)”，理由見解析；(2)更＜加41；(3)答案見解析.

2

【分析】(1)由“偽奇函數(shù)”的定義判斷即可；

(2)由題意可知,log2(sinx+m)+1+log2(-sinx+m)+1=0,

即m2-sin2x=J在有解，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

433

(3)由題意可知，4'+4-'-4川2'+2-')+8加2-6=0在R上有解，

令/=2'+2>則此2,4'+4T=』-2,從而「一4〃”+8〃?2-8=0在［2,+=o)有解,

再分類討論即可得出結(jié)果

【詳解】⑴???/(-y)=0=/(y)

Tl7T

.??/(-y)+/(y)=0.

.?./(X)=|cosx|是“偽奇函數(shù)”.

(2)；/(x)為“偽奇函數(shù)”,

f(x)+f(-x)=O,

BPlog2(sinx+7w)+1+log2(-sinx+zn)+1=0,

即］在［一”有解.

,/sinxG

2,21rl

m=sinx+—￡［—,1］.

44

TTTT

又「m+sinx>0在［一百，］］恒成立,

.-./?>(-smx)mx=

6<1

/.——<W?<1.

2

(3)當(dāng)/(x)=4~47+4m2_3為定義域及上的“偽奇函數(shù)”時，

則/(-x)=-/(x)在&上有解，

可化為4,+4一，-4〃?(2、+2-')+8加J6=0在R上有.解，

令/=2、+2,則八2,4，+4T=產(chǎn)-2,

從而f2-4mt+8m2-8=0在［2,+00)有解，

即可保證/(x)為“偽奇函數(shù)”，

令尸(1)=t2-4mt+8/n2-8,

則①當(dāng)尸(2)40時，，_4加+8癡一8=0在［2,田)有解,

即2m2-2m-\<0,

解得及4機4匹.

22

②當(dāng)尸⑵>0時，f2_4皿+8%2_8=0在2內(nèi))有解等價于

A=16/n2-4(8m2-8)>0,

,2m>2,

尸⑵>0,

解得［+"<九y/2,

2

綜上，當(dāng)上正4加40時，f(x)=4'-〃?0+2+4加2-3為定義域A上的“偽奇函數(shù)”，否則不是.

2

2023-2024學(xué)年廣東省廣州市高一上冊期末數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測

模擬試題

一、單選題

1.“C是第四象限角''是是第二或第四象限角”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】A

【分析】由象限角的知識結(jié)合充分和必要條件的定義作出判斷.

【詳解】當(dāng)夕是第四象限角時.，—+2k7r<a<27r+2k^,keZ,則也+版■〈里〈萬+左萬,％eZ,即烏是

2422

第二或第四象限角.當(dāng)]=若為第二象限角，但。=苧不是第四象限角，故是第四象限角”是“三是

2422

第二或第四象限角”的充分不必要條件.

故選：A

2.已知集合”={用-1|>2},集合8=卜|3+1<0},若=則機的取值范圍是（）

A.--,0B.--,1C.[0,1]D.-3,0）U（0,l]

【正確答案】B

【分析】將集合A化簡，根據(jù)條件可得然后分〃,=0,加<0,〃?>0討論，化簡集合8,列出

不等式求解，即可得到結(jié)果.

【詳解】因為|x-l|>2=x-l>2或》一1<一2,解得x>3或x<-l

即A=>3或x<-11,

因為=所以4=4

當(dāng)〃7=0時，B=0,滿足要求.

當(dāng)機>0時，則加x+l<0=>x<——,由

m

可得一，工一1=>用41,即

m

當(dāng)〃？<0時，貝IJ/HX+1v0=x>―-,由804,

m

可得一■->3=>/n>—-,EP--<m<0

m33

綜上所述，加e-1,1

故選:B.

3.周期為%的函數(shù)卜=3$（0》+9）。＞00＜9＜萬的部分圖像如圖所示，則夕=（）

【正確答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)周期求得。=2,結(jié)合圖像知〃令=cos《+0）=0,從而求得心

【詳解】函數(shù)周期為萬，則0=2,/（^）=COS（y+^）=0,

則0=二+k),kwZ,又

則e=g

6

故選：C

4.設(shè)函數(shù)/(x)=x+log2X-"?,若函數(shù)”X)在(1,8

上存在零點，則，”的取值范圍是（

【正確答案】B

【分析】由/（x）在上單調(diào)遞增，結(jié)合零點存在性定理，函數(shù)/（X）在（；,8］上存在零點，需

＜/（4）＜（）,求解即可.

,/（8）＞0

【詳解】函數(shù)/。）=工+1鳴段機在］；,8）上遞增，

則函數(shù)/（x）在上存在零點，

需卜》=1嘎（-加＜。，

/（8）=8+log28-zw＞0

7

解得一二

故選：B.

5.設(shè)函數(shù)/(x)=加/-加x-1,若對于xe[l,3],/(x)>-/n恒成立，則實數(shù)機的取值范圍是()

A.[8,；)B.(1,+8)C.(-℃,1)D.("，+8)

【正確答案】B

【分析】將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上的最值問題，故只需研究“X)在xe[l,3]的單調(diào)性并求出其

最小值，再解不等式即可.

【詳解】當(dāng)機=0時，/?=-1,由-1>-加，得m>1,不符合題意；

當(dāng)機W0時，函數(shù)/&)的對稱軸為x=；,

當(dāng)冽>0時，函數(shù)/(x)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增，此時函數(shù)f(x)中=/(1)=一1,

要使xe[l,3],/(x)>-加恒成立，只需一1>-機，解得R>1,所以加>1；

當(dāng)〃，<0時，函數(shù)“X)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減，此時函數(shù)//函,1,=/(3)=6加-1,

要使xe[l,3],〃x)>-加恒成立，只需解得用>；,不符合題意；

綜上：實數(shù)〃，的取值范圍是(1,+?>).

故選：B

6.牛頓冷卻定律描述一個物體在常溫環(huán)境下的溫度變化：如果物體初始溫度為"，則經(jīng)過一定時間t

(單位：分鐘)后的溫度T滿足T_7；=(_1：(1_?；)，其中方是環(huán)境溫度，〃為常數(shù)，現(xiàn)有一杯80℃

的熱水用來泡茶，研究表明，此茶的最佳飲用口感會出現(xiàn)在55c.經(jīng)測量室溫為25℃,茶水降至75℃

大約用時一分鐘，那么為了獲得最佳飲用口感，從泡茶開始大約需要等待(參考數(shù)據(jù)：1g2*0.30,

lg3?0.50,lg5?0.70,lgll?1.04.)()

A.4分鐘B.5分鐘C.6分鐘D.7分鐘

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知條件求出參數(shù)％的值，進而轉(zhuǎn)化為解指數(shù)方程，利用對數(shù)的運算以及換底公式即可求

出結(jié)果.

【詳解】根據(jù)題意可知北=25。(2,7^=80℃,

因為茶水降至75℃大約用時一分鐘，即f=l,T=75℃,

x、-1?50]0h_]

所以75-25=(1"(80-25)，解得%=唾1瓦=嚏1打，則一抽也

e

所以要使得該茶降至55。(2,即7=55汽，則有55-25=(1)(80-25)，得;=^，

log1—|A

故,二嚙k7=g1=嶼地二虻吟幽」3+。5-13=6,

;H?10IgiO-Igll1-Igll1-1.04

logl11&11

e

所以大約需要等待6分鐘.

故選：C.

115

7.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,且/(x+l)+/(x-l)=2,/(x+2)為偶函數(shù)，若/(0)=2,貝1」2/(左)=

*=1

()

A.116B.115C.114D.113

【正確答案】C

【分析】由〃X+1)+/(》-1)=2可得函數(shù)/口)的周期為4，

再結(jié)合/(x+2)為偶函數(shù)，可得/(x)也為偶函數(shù)，通過周期性與對稱性即可求解.

【詳解】由/(x+l)+/(x_l)=2,得/(x+2)+/(x)=2,

即〃x+2)=2-f(x),

所以〃x+4)=2-〃x+2)=2-[2-/(x)]=/(x),

所以函數(shù)/(x)的周期為4,

又/(x+2)為偶函數(shù)，

則/(-x+2)=/(x+2),

所以/(x)=/(4-x)=/(-x),

所以函數(shù)/(x)也為偶函數(shù)，

又/(x+l)+〃xT)=2,

所以/⑴+f(3)=2,/(2)+/(4)=2,

所以〃1）+/（2）+〃3）+〃4）=4,

又/（1）+/（T）=2,即2/（1）=2,所以=

又〃0）+/（2）=2,/（0）=2,

.??/(2)=0,

115

所以￡/")=[/(1)+〃2)+/(3)+/(4)]X28+〃1)+〃2)+/(3)=4X