2022屆湖北省鋼城第四中學(xué)高三第二次調(diào)研數(shù)學(xué)試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)時(shí)，.設(shè)在上的最大值為（），且數(shù)列的前項(xiàng)的和為.若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在雙曲線的右支上，且點(diǎn)不共線.若的周長(zhǎng)的最小值為，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．4．已知某超市2018年12個(gè)月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．該超市2018年的12個(gè)月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個(gè)月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長(zhǎng)了90萬(wàn)元5．已知為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為，則()A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．7．執(zhí)行程序框圖，則輸出的數(shù)值為（）A． B． C． D．8．已知命題：是“直線和直線互相垂直”的充要條件；命題：函數(shù)的最小值為4.給出下列命題：①；②；③；④，其中真命題的個(gè)數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．49．過(guò)拋物線的焦點(diǎn)的直線交該拋物線于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn).若，則直線的斜率為()A． B． C． D．10．我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下問(wèn)題：“今有蒲生一日，長(zhǎng)三尺莞生一日，長(zhǎng)一尺蒲生日自半，莞生日自倍.問(wèn)幾何日而長(zhǎng)倍？”意思是：“今有蒲草第天長(zhǎng)高尺，蕪草第天長(zhǎng)高尺以后，蒲草每天長(zhǎng)高前一天的一半，蕪草每天長(zhǎng)高前一天的倍.問(wèn)第幾天莞草是蒲草的二倍？”你認(rèn)為莞草是蒲草的二倍長(zhǎng)所需要的天數(shù)是（）（結(jié)果采取“只入不舍”的原則取整數(shù)，相關(guān)數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．11．等差數(shù)列中，已知，且，則數(shù)列的前項(xiàng)和中最小的是（）A．或 B． C． D．12．古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在公元前六世紀(jì)發(fā)現(xiàn)了第一、二個(gè)“完全數(shù)”6和28，進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)后續(xù)三個(gè)“完全數(shù)”分別為496，8128，33550336，現(xiàn)將這五個(gè)“完全數(shù)”隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，則6和28恰好在同一組的概率為A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設(shè)為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，且，，成等差數(shù)列，則.14．已知，若的展開(kāi)式中的系數(shù)比x的系數(shù)大30，則______．15．袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_(kāi)_________．16．在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_______.(用數(shù)字作答)三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量，在進(jìn)場(chǎng)購(gòu)物的顧客中隨機(jī)抽取了人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查．調(diào)查后，就顧客“購(gòu)物體驗(yàn)”的滿(mǎn)意度統(tǒng)計(jì)如下：滿(mǎn)意不滿(mǎn)意男女是否有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)？若在購(gòu)物體驗(yàn)滿(mǎn)意的問(wèn)卷顧客中按照性別分層抽取了人發(fā)放價(jià)值元的購(gòu)物券．若在獲得了元購(gòu)物券的人中隨機(jī)抽取人贈(zèng)其紀(jì)念品，求獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．附表及公式：．18．（12分）在中，、、的對(duì)應(yīng)邊分別為、、，已知，，.（1）求；（2）設(shè)為中點(diǎn)，求的長(zhǎng).19．（12分）如圖在四邊形中，，，為中點(diǎn)，.（1）求；（2）若，求面積的最大值.20．（12分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).21．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓的離心率為，以橢圓C左頂點(diǎn)T為圓心作圓，設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M與點(diǎn)N.（1）求橢圓C的方程；（2）求的最小值，并求此時(shí)圓T的方程；（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M，N的任意一點(diǎn)，且直線MP，NP分別與x軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.22．（10分）已知函數(shù)（1）已知直線：，：.若直線與關(guān)于對(duì)稱(chēng)，又函數(shù)在處的切線與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)，則當(dāng)，時(shí)，求證：①；②.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．C【解析】

由已知先求出，即，進(jìn)一步可得，再將所求問(wèn)題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，只需找到數(shù)列的最大值即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，則，，所以，，顯然當(dāng)時(shí)，，故，，若對(duì)于任意正整數(shù)不等式恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，即對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，設(shè)，，令，解得，令，解得，考慮到，故有當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，有單調(diào)遞減，故數(shù)列的最大值為，所以.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列中的不等式恒成立問(wèn)題，涉及到求函數(shù)解析、等比數(shù)列前n項(xiàng)和、數(shù)列單調(diào)性的判斷等知識(shí)，是一道較為綜合的數(shù)列題.2．A【解析】

依題意可得即可得到，從而求出雙曲線的離心率的取值范圍；【詳解】解：依題意可得如下圖象，所以則所以所以所以，即故選：A【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，屬于中檔題.3．D【解析】

通過(guò)分析函數(shù)與的圖象，得到兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，解方程組即得解.【詳解】如圖所示，函數(shù)與的圖象，因?yàn)闀r(shí)，恒成立，于是兩函數(shù)必須有相同的零點(diǎn)，所以，解得．故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用和函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題，考查不等式的恒成立問(wèn)題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.4．D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析，由此判斷出說(shuō)法錯(cuò)誤的選項(xiàng).【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬(wàn)元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項(xiàng)說(shuō)法正確；月收益最低，B選項(xiàng)說(shuō)法正確；月總收益萬(wàn)元，月總收益萬(wàn)元，所以前個(gè)月收益低于后六個(gè)月收益，C選項(xiàng)說(shuō)法正確，后個(gè)月收益比前個(gè)月收益增長(zhǎng)萬(wàn)元，所以D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題.5．C【解析】

求得點(diǎn)坐標(biāo)，由此求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和拋物線的方程，求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得【詳解】拋物線焦點(diǎn)為，令，，解得，不妨設(shè)，則直線的方程為，由，解得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的弦長(zhǎng)的求法，屬于基礎(chǔ)題.6．A【解析】

根據(jù)分段函數(shù)解析式，先求得的值，再求得的值.【詳解】依題意，.故選：A【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)分段函數(shù)解析式求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題.7．C【解析】

由題知：該程序框圖是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計(jì)算并輸出變量的值，計(jì)算程序框圖的運(yùn)行結(jié)果即可得到答案.【詳解】，，，，，滿(mǎn)足條件，，，，，滿(mǎn)足條件，，，，，滿(mǎn)足條件，，，，，滿(mǎn)足條件，，，，，不滿(mǎn)足條件，輸出.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)，屬于簡(jiǎn)單題.8．A【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題q的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而判斷復(fù)合命題的真假，可得出選項(xiàng).【詳解】已知對(duì)于命題，由得，所以命題為假命題；關(guān)于命題，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，取等號(hào)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有最小值，所以命題為假命題.所以和是真命題，所以為假命題，為假命題，為假命題，為真命題，所以真命題的個(gè)數(shù)為1個(gè).故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應(yīng)用，以及復(fù)合命題的真假的判斷，注意運(yùn)用基本不等式時(shí)，滿(mǎn)足所需的條件，屬于基礎(chǔ)題.9．D【解析】

根據(jù)拋物線的定義，結(jié)合，求出的坐標(biāo)，然后求出的斜率即可．【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，則，故，此時(shí)，即．則直線的斜率．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的定義，直線斜率公式，屬于中檔題．10．C【解析】

由題意可利用等比數(shù)列的求和公式得莞草與蒲草n天后長(zhǎng)度，進(jìn)而可得：，解出即可得出．【詳解】由題意可得莞草與蒲草第n天的長(zhǎng)度分別為據(jù)題意得：，解得2n＝12，∴n21．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．11．C【解析】

設(shè)公差為，則由題意可得，解得，可得.令

，可得

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，由此可得數(shù)列前項(xiàng)和中最小的.【詳解】解：等差數(shù)列中，已知，且，設(shè)公差為，

則，解得

，.

令

，可得，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

故數(shù)列前項(xiàng)和中最小的是.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.12．B【解析】

推導(dǎo)出基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出6和28恰好在同一組的概率．【詳解】解：將五個(gè)“完全數(shù)”6，28，496，8128，33550336，隨機(jī)分為兩組，一組2個(gè)，另一組3個(gè)，基本事件總數(shù)，6和28恰好在同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)，∴6和28恰好在同一組的概率．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】試題分析：∵，，成等差數(shù)列，∴，又∵等比數(shù)列，∴.考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì).【名師點(diǎn)睛】本題主要考查等差與等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于容易題，在解題過(guò)程中，需要建立關(guān)于等比數(shù)列基本量的方程即可求解，考查學(xué)生等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想與方程思想.14．2【解析】

利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，求得的值．【詳解】展開(kāi)式通項(xiàng)為：且的展開(kāi)式中的系數(shù)比的系數(shù)大，即：解得：（舍去）或本題正確結(jié)果：【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．15．【解析】試題分析：根據(jù)題意，記白球?yàn)锳，紅球?yàn)锽，黃球?yàn)?，則一次取出2只球，基本事件為、、、、、共6種，其中2只球的顏色不同的是、、、、共5種；所以所求的概率是．考點(diǎn)：古典概型概率16．【解析】

的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，取計(jì)算得到答案.【詳解】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，取得到常數(shù)項(xiàng).故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)；.【解析】

由題得，根據(jù)數(shù)據(jù)判斷出顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)；獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有個(gè)，其中僅有1人是女顧客的基本事件有個(gè)，進(jìn)而求出獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率.【詳解】解析：由題得所以，有的把握認(rèn)為顧客購(gòu)物體驗(yàn)的滿(mǎn)意度與性別有關(guān)．獲得了元購(gòu)物券的人中男顧客有人，記為，；女顧客有人，記為，，，．從中隨機(jī)抽取人，所有基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，共個(gè)．其中僅有1人是女顧客的基本事件有：，，，，，，，，共個(gè)．所以獲得紀(jì)念品的人中僅有人是女顧客的概率．【點(diǎn)睛】本小題主要考查統(tǒng)計(jì)案例、卡方分布、概率等基本知識(shí)，考查概率統(tǒng)計(jì)基本思想以及抽象概括等能力和應(yīng)用意識(shí)，屬于中檔題．18．（1）；（2）.【解析】

（1）直接根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出，結(jié)合正弦定理求出；（2）結(jié)合第一問(wèn)的結(jié)論以及余弦定理即可求解．【詳解】解：（1）∵，且，∴，由正弦定理，∴，∵∴銳角，∴（2）∵，∴∴∴在中，由余弦定理得∴【點(diǎn)睛】本題主要考查了正弦定理和余弦定理的運(yùn)用．考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．19．（1）1；（2）【解析】

（1），在和中分別運(yùn)用余弦定理可表示出，運(yùn)用算兩次的思想即可求得，進(jìn)而求出；（2）在中，根據(jù)余弦定理和基本不等式，可求得，再由三角形的面積公式以及正弦函數(shù)的有界性，求出的面積的最大值．【詳解】（1）由題設(shè)，則在和中由余弦定理得：，即解得，∴（2）在中由余弦定理得，即，∴所以面積的最大值為，此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，以及三角形面積公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．20．（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）答案見(jiàn)解析【解析】

（1）設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，可求得，，利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求得答案；（2）由（Ⅰ）知，，分時(shí)，，三類(lèi)討論，即可求得各種情況下的的單調(diào)區(qū)間為；（3）分與兩類(lèi)討論，即可判斷函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【詳解】（1），，設(shè)曲線在點(diǎn)，處的切線的斜率為，則，又，曲線在點(diǎn)，處的切線方程為：，即；（2）由（1）知，，故當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，；，，；的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，同理可得的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；綜上所述，時(shí)，單調(diào)遞增為，無(wú)遞減區(qū)間；當(dāng)時(shí)，的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，；（3）當(dāng)時(shí)，恒成立，所以無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，由，得：，只有一個(gè)零點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查分類(lèi)討論思想與推理、運(yùn)算能力，屬于中檔題．21．（1）；（2）；（3）【解析】

（1）依題意，得，，由此能求出橢圓C的方程.（2）點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，設(shè)，，設(shè)，由于點(diǎn)在橢圓C上，故，由，知，由此能求出圓T的方程.（3）設(shè)，則直線MP的方程為：，令，得，同理：，由此能證明為定值.【詳解】（1）依題意，得，，，故橢圓C的方程為