新高考數(shù)學一輪復習講義第10章　§10.2　排列與組合（原卷版）

§10.2排列與組合考試要求1.理解排列、組合的概念.2.能利用計數(shù)原理推導排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能利用排列、組合解決簡單的實際問題．知識梳理1．排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素按照一定的順序排成一列組合作為一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同排列的個數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)：從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素的所有不同組合的個數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示．3．排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n！,m！n－m！)(n，m∈N*，且m≤n)．特別地，Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)常用結論1．排列數(shù)、組合數(shù)常用公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝(n－m＋1)Aeq\o\al(m－1,n).(2)Aeq\o\al(m,n)＝nAeq\o\al(m－1,n－1).(3)(n＋1)?。璶?。絥·n！.(4)kCeq\o\al(k,n)＝nCeq\o\al(k－1,n－1).(5)Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m,n－1)＋…＋Ceq\o\al(m,m＋1)＋Ceq\o\al(m,m)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1).2．解決排列、組合問題的十種技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排．(2)合理分類與準確分步．(3)排列、組合混合問題要先選后排．(4)相鄰問題捆綁處理．(5)不相鄰問題插空處理．(6)定序問題倍縮法處理．(7)分排問題直排處理．(8)“小集團”排列問題先整體后局部．(9)構造模型．(10)正難則反，等價轉(zhuǎn)化．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)所有元素完全相同的兩個排列為相同排列．()(2)兩個組合相同的充要條件是其中的元素完全相同．()(3)若組合式Ceq\o\al(x,n)＝Ceq\o\al(m,n)，則x＝m成立．()(4)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m)．()教材改編題1．Aeq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,7)等于()A．35B．47C．45D．572．從4名男同學和3名女同學中選出3名參加某項活動，則男、女生都有的選法種數(shù)是()A．18B．24C．30D．363．將4名學生分別安排到甲、乙、丙三地參加社會實踐活動，每個地方至少安排一名學生參加，則不同的安排方案共有________種．題型一排列問題例1(1)中國國家滑雪隊將開展自由式滑雪項目中的空中技巧、雪上技巧、障礙追逐和U型場地技巧四個項目表演，現(xiàn)安排兩名男隊員和兩名女隊員組隊參演，參演選手每人展示其中一個不同的項目，雪上技巧項目必須由女隊員展示，則所有不同出場順序與項目展示方案種數(shù)為()A．576B．288C．144D．48(2)用0,1,2,3,4,5這六個數(shù)字可以組成________個無重復數(shù)字且不大于4310的四位偶數(shù)．思維升華對于有限制條件的排列問題，分析問題時，有位置分析法、元素分析法，在實際進行排列時，一般采用特殊元素優(yōu)先原則，即先安排有限制條件的元素或有限制條件的位置，對于分類過多的問題可以采用間接法．跟蹤訓練1(1)源于探索外太空的渴望，航天事業(yè)在21世紀獲得了長足的發(fā)展．太空中的環(huán)境為某些科學實驗提供了有利條件，宇航員常常在太空旅行中進行科學實驗．在某次太空旅行中，宇航員們負責的科學實驗要經(jīng)過5道程序，其中A，B兩道程序既不能放在最前，也不能放在最后，則該實驗不同程序的順序安排共有()A．18種B．36種C．72種D．108種(2)8人站成前后兩排，每排4人，其中甲、乙兩人必須在前排，丙在后排，則共有________種排法．題型二組合問題例2(1)(多選)從6名男生和4名女生中選出4人去參加一項創(chuàng)新大賽，則下列說法正確的有()A．如果4人全部為男生，那么有30種不同的選法B．如果4人中男生、女生各有2人，那么有30種不同的選法C．如果男生中的甲和女生中的乙必須在內(nèi)，那么有28種不同的選法D．如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在內(nèi)，那么有140種不同的選法(2)在某場新聞發(fā)布會上，主持人要從5名國內(nèi)記者與4名國外記者中依次選出3名來提問，要求3人中既有國內(nèi)記者又有國外記者，且不能連續(xù)選國內(nèi)記者，則不同的選法有()A．80種B．180種C．260種D．420種思維升華組合問題常有以下兩類題型(1)“含有”或“不含有”問題：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選?。?2)“至少”或“最多”問題：用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法，分類復雜時，考慮逆向思維，用間接法處理．跟蹤訓練2(1)從4名男生和3名女生中選派4人去參加課外活動，要求至少有一名女生參加，則不同的選派種數(shù)為()A．12B．24C．34D．60(2)如圖，從上往下讀(不能跳讀，即念完標號為②的國字后只能念下一行標號為③或④的榮字，又如標號為⑤的校字只能接在標號為④的榮字后念)，構成句子“愛國榮校做市西卓越學生”的不同讀法總數(shù)為________．題型三排列與組合的綜合問題命題點1相鄰、相間問題例3(多選)有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，正確的是()A．全體站成一排，女生必須站在一起有144種排法B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種排法C．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種排法命題點2定序問題例4有4名男生，3名女生，其中3名女生高矮各不相同，將7名學生排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列(不一定相鄰)，不同的排法共有________種.命題點3分組、分配問題例5(1)中國書法歷史悠久，源遠流長，書法作為一門藝術，以文字為載體，不斷地反映著和豐富著華夏民族的自然觀、宇宙觀和人生觀，談到書法藝術，就離不開漢字，漢字是書法藝術的精髓，漢字本身具有豐富的意象和可塑的規(guī)律性，使?jié)h字書寫成為一門獨特的藝術，我國書法大體可分為篆、隸、楷、行、草五種書體，如圖，以“國”字為例，現(xiàn)有5張分別寫有一種書體的臨摹紙，將其全部分給3名書法愛好者，每人至少1張，則不同的分法種數(shù)為()A．60B．90C．120D．150(2)中國空間站的主體結構包括天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙．假設中國空間站要安排6名航天員開展實驗，其中每個艙安排2人．若甲、乙兩人不被安排在同一個艙內(nèi)做實驗，則不同的安排方案共有()A．20種 B．36種C．72種 D．84種思維升華求解排列、組合應用問題的常用方法捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對于不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中定序問題對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列跟蹤訓練3(1)(多選)已知A，B，C，D，E五個人并排站在一起，則下列說法正確的有()A．若A，B不相鄰，共有72種排法B．若A不站在最左邊，B不站在最右邊，有72種排法C．若A在B右邊有60種排法D．若A，B兩人站在一起有48種排法(2)某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目，2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演出順序，同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是()A．72B．120C．144D．168(3)將9名大學生志愿者安排在星期五、星期六及星期日3天參加社區(qū)公益活動，每天分別安排3人，每人參加一次，則不同的安排方案共有________種．(用數(shù)字作答)課時精練1．若Aeq\o\al(3,m)＝6Ceq\o\al(4,m)，則m等于()A．9B．8C．7D．62．將5名學生分配到甲、乙兩個宿舍，每個宿舍至少安排2名學生，那么互不相同的安排方法的種數(shù)為()A．10B．20C．30D．403．記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有()A．1440種 B．960種C．720種 D．480種4．由0,1,2，…，9這十個數(shù)字組成的無重復數(shù)字的四位數(shù)中，個位數(shù)字與百位數(shù)字之差的絕對值等于8的有()A．98個B．105個C．112個D．210個5．將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號為1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A．15B．20C．30D．426．2022年7月19日，亞奧理事會宣布將于2023年9月23日至10月8日在杭州舉辦第19屆亞運會，為了辦好這屆體育文化盛會，杭州亞運會組委會決定進行賽前志愿者招募，此舉得到在杭大學生的積極參與．某高校3位男同學和2位女同學通過篩選加入志愿者服務，通過培訓，擬安排在游泳、籃球、射擊、體操四個項目進行志愿者服務，這四個項目都有人參加，要求2位女同學不安排在一起，且男同學小王、女同學大雅由于專業(yè)需要必須分開，則不同的安排方法種數(shù)為()A．144B．150C．168D．1927.如圖是由6個正方形拼成的矩形圖案，從圖中的12個頂點中任取3個點作為一組．其中可以構成三角形的組數(shù)為()A．208B．204C．200D．1968．(多選)現(xiàn)有4個編號為1,2,3,4的不同的球和4個編號為1,2,3,4的不同的盒子，把球全部放入盒子內(nèi)．則下列說法正確的是()A．恰有1個盒子不放球，共有72種放法B．每個盒子內(nèi)只放一個球，且球的編號和盒子的編號不同的放法有9種C．有2個盒子內(nèi)不放球，另外兩個盒子內(nèi)各放2個球的放法有36種D．恰有2個盒子不放球，共有84種放法9．在5G，AI，MR等技術的支持下，新聞媒體推出諸多創(chuàng)新融媒產(chǎn)品，將5G技術引入新聞生產(chǎn)，有效擴展了新聞的應用場景，云采訪、云訪談、云直播等云端對話成為報道的新常態(tài)．現(xiàn)有4名新聞媒體記者采用云采訪、云訪談、云直播三種方式進行報道，每種方式至少有一名記者采用，則不同的安排方法種數(shù)為________．10．某小區(qū)共有3個核酸檢測點同時進行檢測，有6名志愿者被分配到這3個檢測點參加服務，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”進行檢測工作的傳授，每個檢測點至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一個檢測點，則不同的分配方案種數(shù)是________．11．陽春三月，草長鶯飛；絲絳拂堤，盡飄香玉．三個家庭的3位媽媽帶著3名女孩和2名男孩共8人踏春．在沿行一條小溪時，為了安全起見，他們排隊前進，三位母親互不相鄰照顧孩子；3名女孩相鄰且不排最前面也不排最后面；為了防止2名男孩打鬧，2人不相鄰，且不排最前面也不排最后面．則不同的排法共有()A．144種 B．216種C．288種 D．432種12．把座位編號為1,2,3,4,5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個人，每人至少一張，至多兩張，且分得的