新高考數(shù)學一輪復習講義第8章　§8.5　橢　圓（原卷版）

§8.5橢圓考試要求1.理解橢圓的定義、幾何圖形、標準方程.2.掌握橢圓的簡單幾何性質(范圍、對稱性、頂點、離心率).3.掌握橢圓的簡單應用．知識梳理1．橢圓的定義把平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距．2．橢圓的簡單幾何性質焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上圖形標準方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范圍－a≤x≤a且－b≤y≤b－b≤x≤b且－a≤y≤a頂點A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b,0)，B2(b,0)軸長短軸長為2b，長軸長為2a焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c)焦距|F1F2|＝2c對稱性對稱軸：x軸和y軸，對稱中心：原點離心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的關系a2＝b2＋c2常用結論橢圓的焦點三角形橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫做焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.(1)當P為短軸端點時，θ最大，SKIPIF1<0最大．(2)SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cosθ.(6)焦點三角形的周長為2(a＋c)．思考辨析判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)的點的軌跡是橢圓．()(2)橢圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形．()(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦點在y軸上的橢圓．()(4)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．()教材改編題1．橢圓eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,25)＝1上點P到上焦點的距離為4，則點P到下焦點的距離為()A．6B．3C．4D．22．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1的一個焦點為(2,0)，則C的離心率為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(2\r(2),3)3．若橢圓C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，則該橢圓上的點到焦點距離的最大值為()A．3 B．2＋eq\r(3)C．2 D.eq\r(3)＋1題型一橢圓的定義及其應用例1(1)(2022·麗江模擬)一動圓P與圓A：(x＋1)2＋y2＝1外切，而與圓B：(x－1)2＋y2＝64內切，那么動圓的圓心P的軌跡是()A．橢圓 B．雙曲線C．拋物線 D．雙曲線的一支(2)設點P為橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為C的左、右焦點，且∠F1PF2＝60°，則△PF1F2的面積為________．延伸探究若將本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面積．思維升華橢圓定義的應用技巧(1)橢圓定義的應用主要有：求橢圓的標準方程、求焦點三角形的周長、面積及求弦長、最值和離心率等．(2)通常將定義和余弦定理結合使用求解關于焦點三角形的周長和面積問題．跟蹤訓練1(1)已知△ABC的周長為12，B(0，－2)，C(0,2)，則頂點A的軌跡方程為()A.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(x≠0)B.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(x≠0)D.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1(y≠0)(2)若F為橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1的右焦點，A，B為C上兩動點，則△ABF周長的最大值為()A．4B．8C．10D．20題型二橢圓的標準方程命題點1定義法例2已知橢圓的兩個焦點分別為F1(0,2),F2(0，－2)，P為橢圓上任意一點，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中項，則此橢圓的標準方程為()A.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,60)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,60)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1命題點2待定系數(shù)法例3已知橢圓的中心在原點，以坐標軸為對稱軸，且經過兩點P1(eq\r(6)，1)，P2(－eq\r(3)，－eq\r(2))，則該橢圓的方程為________．思維升華根據(jù)條件求橢圓方程的主要方法(1)定義法：根據(jù)題目所給條件確定動點的軌跡滿足橢圓的定義．(2)待定系數(shù)法：根據(jù)題目所給的條件確定橢圓中的a，b.當不知焦點在哪一個坐標軸上時，一般可設所求橢圓的方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考慮焦點位置，用待定系數(shù)法求出m，n的值即可．跟蹤訓練2(1)“1<k<5”是方程“eq\f(x2,k－1)＋eq\f(y2,5－k)＝1表示橢圓”的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件(2)已知過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦點F1(－1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點A，B，與y軸交于點C，點C，F(xiàn)1是線段AB的三等分點，則該橢圓的標準方程是()A.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,5)＝1 B.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1題型三橢圓的幾何性質命題點1離心率例4(1)設F1，F(xiàn)2是橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點，過點F1且斜率為eq\f(\r(3),3)的直線交橢圓于點P，若2∠PF1F2＝∠PF2F1，則橢圓E的離心率為()A.eq\r(3)＋1 B.eq\r(3)－1C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(\r(2),2)(2)橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左頂點為A，點P，Q均在C上，且關于y軸對稱．若直線AP，AQ的斜率之積為eq\f(1,4)，則C的離心率為()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,3)思維升華求橢圓離心率或其范圍的方法(1)直接求出a，c，利用離心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a與b的關系求離心率，利用變形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)構造a，c的方程．可以不求出a，c的具體值，而是得出a與c的關系，從而求得e.命題點2與橢圓有關的范圍(最值)問題例5(1)已知F1，F(xiàn)2為橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點，橢圓的離心率為eq\f(1,2)，M為橢圓上一動點，則∠F1MF2的最大值為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,2)C.eq\f(2π,3)D.eq\f(3π,4)(2)如圖，焦點在x軸上的橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的離心率e＝eq\f(1,2)，F(xiàn)，A分別是橢圓的左焦點和右頂點，P是橢圓上任意一點，則eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值為________．思維升華與橢圓有關的最值或范圍問題的求解方法(1)利用數(shù)形結合、幾何意義，尤其是橢圓的性質．(2)利用函數(shù)，尤其是二次函數(shù)．(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟蹤訓練3(1)已知橢圓E：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為A，射線AF1交橢圓E于點B，以AB為直徑的圓過F2，則橢圓E的離心率是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(5),5)(2)已知橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦點為F(c,0)，上頂點為A(0，b)，直線x＝eq\f(a2,c)上存在一點P滿足(eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，則橢圓的離心率的取值范圍為()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))課時精練1．已知橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，過F2的直線交橢圓于M，N兩點，則△F1MN的周長為()A．2B．4C．6D．82．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的離心率為eq\f(1,3)，A1，A2分別為C的左、右頂點，B為C的上頂點．若eq\o(BA1,\s\up6(→))·eq\o(BA2,\s\up6(→))＝－1，則C的方程為()A.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,8)＝1C.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)＋y2＝13．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C的兩個焦點，P是C上一點，且∠F1PF2＝30°，|PF1|＝eq\r(3)|PF2|，則橢圓C的離心率為()A.eq\f(\r(3)－1,4)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(3)＋1,4)D.eq\f(\r(3)＋1,3)4．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，直線y＝kx(k>0)與C交于M，N兩點(其中M在第一象限)，若M，F(xiàn)1，N，F(xiàn)2四點共圓，則C的離心率e的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3)－1,2)，1)) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))5．(多選)如圖所示，用一個與圓柱底面成θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ<\f(π,2)))角的平面截圓柱，截面是一個橢圓．若圓柱的底面圓半徑為2，θ＝eq\f(π,3)，則下列結論正確的是()A．橢圓的長軸長等于4B．橢圓的離心率為eq\f(\r(2),2)C．橢圓的標準方程可以是eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,4)＝1D．橢圓上的點到一個焦點的距離的最小值為4－2eq\r(3)6．(多選)橢圓C：eq\f(x2,4)＋y2＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，O為坐標原點，以下四個命題中正確的是()A．若過點F2的直線與橢圓C交于A，B兩點，則△ABF1的周長為8B．橢圓C上存在點P，使得eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0C．橢圓C的離心率為eq\f(1,2)D．若P為橢圓eq\f(x2,4)＋y2＝1上一點，Q為圓x2＋y2＝1上一點，則點P，Q的最大距離為37．已知B(－eq\r(3)，0)是圓A：(x－eq\r(3))2＋y2＝16內一點，點C是圓A上任意一點，線段BC的垂直平分線與AC相交于點D.則動點D的軌跡方程為________________．8．已知橢圓C的一個焦點為F(0,1)，橢圓C上的點到F的距離的最小值為1，則橢圓C的標準方程為____________；若P為橢圓C上一動點，M(3,3)，則|PM|－|PF|的最小值為________．9．已知橢圓C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦點F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，左頂點為A，點E的坐標為(0，c)，A到直線EF2的距離為eq\f(\r(6),2)b.(1)求橢圓C的離心率；(2)若P為橢圓C上的一點，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面積為eq\r(3)，求橢圓C的標準方程．10．已知F1，F(xiàn)2是橢圓的兩個焦點，P為橢圓上一點，∠F1PF2＝60°.(1)求橢圓的離心率的取值范圍；(2)求證：△F1PF2的面積只與橢圓的短軸長有關．11．(多選)(2023·長沙模擬)人造地球衛(wèi)星繞地球運行遵循開普勒行星運動定律：衛(wèi)星在以地球為焦點的橢圓軌道上繞地球運行時，其運行速度是變化的，速度的變化服從面積守恒定律，即衛(wèi)星的向徑(衛(wèi)星與地球的連線)在相同的時間內掃過的面積相等．設橢圓的長軸長、焦距分別為2a,2c，下列結論正確的是()A．衛(wèi)星向徑的取值范圍是[a－c，a＋c]B．衛(wèi)星運行速