2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-7.4-空間直線、平面的垂直-專項訓(xùn)練【含解析】

7.4-空間直線、平面的垂直-專項訓(xùn)練【原卷版】基礎(chǔ)鞏固練1.下面四個說法：①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；③垂直于同一平面的兩條直線互相平行；④經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直.其中正確的說法個數(shù)是（）.A.1 B.2 C.3 D.42.已知m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列條件能使n⊥A.α⊥β，n?β B.α//β，n⊥β C.3.如圖，在三棱錐D?ABC中，若AB=CB,AD=A.平面ABC⊥平面B.平面ABC⊥平面C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥4.[2024·濟南摸底]若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心5.（改編）閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)論是（）.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是線段PC上的任意一點，求證：平面PAC證明：因為PO⊥底面ABCD，所以PO又因為AC⊥BD，且AC∩又因為BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD C.BD⊥平面PAC D.6.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1A.45° B.60° C.30°7.（改編）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1A.直線A1D與直線D1BB.直線A1D與直線D1BC.直線A1D與直線D1BD.直線A1D與直線D1B8.(2024·九省適應(yīng)性測試)設(shè)α,β是兩個平面,m,l是兩條直線,則下列命題為真命題的是().A.若α⊥β,m∥α,l∥β,則m⊥lB.若m?α,l?β,m∥l,則α∥βC.若α∩β=m,l∥α,l∥β,則m∥lD.若m⊥α,l⊥β,m∥l,則α⊥β綜合提升練9.（多選題）下列說法中正確的是（）.A.夾在兩個平行平面間的平行線段相等B.三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直C.如果直線a//平面α，P∈α，那么過點P且平行于直線aD.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α10.（多選題）在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑P?ABC中，PA⊥底面ABC,∠ABC=π2，作AEA.BC⊥平面PAB B.AF⊥C.三棱錐A?BCE是鱉臑 D.三棱錐11.已知在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為線段CD上任意一點,現(xiàn)將△AED沿AE折起，使得平面ABD⊥12.在三棱錐P?ABC中，能證明AP①AP⊥PB，②AP⊥PB，③平面BCP⊥平面PAC，BC④PB=PC應(yīng)用情境練13.如圖，四邊形ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB//CD，∠DAB=60°，AB=AD=4dm.現(xiàn)將△BCD沿.14.廡殿頂是中國古代建筑的一種屋頂樣式，它的屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一條正脊，兩山屋面全等與前后屋面相交成四條垂脊，由于屋頂四面斜坡，也稱“四阿頂”.廡殿頂?shù)捻斏w幾何模型圖如圖所示，底面ABCD是矩形，若四個側(cè)面與底面所成的角均相等，且BC=2,EF=創(chuàng)新拓展練15.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D16.如圖，五邊形SBADC中的四邊形ABCD是矩形，BC=2AB，SB=SC，沿BC折疊成四棱錐S?ABCD，（1）在四棱錐S?ABCD中，可以滿足條件①SA=6，②cos∠SBM=（2）在（1）的條件下,求點M到平面SAD的距離.7.4-空間直線、平面的垂直-專項訓(xùn)練【解析版】基礎(chǔ)鞏固練1.下面四個說法：①如果一條直線垂直于一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線，那么這條直線和這個平面垂直；②過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直；③垂直于同一平面的兩條直線互相平行；④經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直.其中正確的說法個數(shù)是（C）.A.1 B.2 C.3 D.4[解析]如果一條直線與一個平面內(nèi)的無數(shù)條平行線垂直，那么這條直線可能在平面內(nèi)，可能與平面平行，也可能與平面斜交，故①錯誤；由線面垂直的性質(zhì)可知，過空間一定點有且只有一條直線和已知平面垂直，故②正確；由線面垂直的性質(zhì)可知，垂直于同一平面的兩條直線互相平行，故③正確；由面面垂直的判定定理可知，經(jīng)過一個平面的垂線的平面與這個平面垂直，故④正確.故選C.2.已知m，n是不同的直線，α，β是不同的平面，則下列條件能使n⊥α成立的是（A.α⊥β，n?β B.α//β，n⊥β C.[解析]由α⊥β，n?β，不能說明n與α的關(guān)系，A錯誤；由α//β，n⊥β能夠推出n⊥α，B正確；由α⊥β，n//β可以得到n與平面α平行、相交或在平面α內(nèi)，C錯誤；m//α，3.如圖，在三棱錐D?ABC中，若AB=CB,AD=CD，A.平面ABC⊥平面B.平面ABC⊥平面C.平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥D.平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥[解析]對于C，因為AB=CB,AD=CD，E是AC的中點，所以DE⊥AC,BE⊥AC，因為DE∩BE=E，DE?平面BDE,BE?平面BDE，所以AC⊥平面BDE，因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE，同理，平面ACD⊥平面BDE，C正確；對于A，B，由于平面ABC⊥平面BDE，而平面BDE∩平面ABD=BD，故平面ABC與平面ABD不垂直，同理可得，平面ABC與平面BCD不垂直，4.[2024·濟南摸底]若P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC，PB⊥AC，則點P在△ABC所在平面內(nèi)的射影A.內(nèi)心 B.外心 C.重心 D.垂心[解析]如圖所示，因為PA⊥BC,PO⊥BC，且PA∩PO=P所以BC⊥平面PAO，所以BC同理，OB⊥AC，所以O(shè)是△ABC的垂心.5.（改編）閱讀下面題目及其證明過程，在橫線處應(yīng)填寫的正確結(jié)論是（C）.如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形ABCD的中心，PO⊥底面ABCD，E是線段PC上的任意一點，求證：平面PAC證明：因為PO⊥底面ABCD，所以PO又因為AC⊥BD，且AC∩又因為BD?平面BDE，所以平面PAC⊥平面A.BD⊥平面PBC B.AC⊥平面PBD C.BD⊥平面PAC D.[解析]因為PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD.又因為AC⊥BD，且AC∩PO=O，AC?平面PAC,PO?平面PAC，所以BD⊥平面PAC.又因為BD?6.如圖，在正三棱柱ABC?A1B1C1中，若ABA.45° B.60° C.30°[解析]如圖，取BC的中點D，連接AD，B1∵AD⊥BC且AD⊥BB1，BC∩BB1∴AD⊥平面∴∠AB1D為AB1設(shè)AB=2，則AA1=∴sin∠AB1即AB1與平面BB1C1C7.（改編）如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1，MA.直線A1D與直線D1BB.直線A1D與直線D1BC.直線A1D與直線D1BD.直線A1D與直線D1B[解析]如圖，連接AD1，易知A1D與AD1互相平分，即M是AD1的中點，又N是D1B的中點，所以MN//AB，而MN?平面ABCD，AB?平面ABCD，故MN//平面ABCD，又四邊形ADD1A1是正方形8.(2024·九省適應(yīng)性測試)設(shè)α,β是兩個平面,m,l是兩條直線,則下列命題為真命題的是(C).A.若α⊥β,m∥α,l∥β,則m⊥lB.若m?α,l?β,m∥l,則α∥βC.若α∩β=m,l∥α,l∥β,則m∥lD.若m⊥α,l⊥β,m∥l,則α⊥β[解析]對于A,m,l可能平行、相交或異面,故A錯誤;對于B,α,β可能相交或平行,故B錯誤;對于D,α,β平行,故D錯誤.由線面平行的性質(zhì)可知C正確.故選C.綜合提升練9.（多選題）下列說法中正確的是（ABD）.A.夾在兩個平行平面間的平行線段相等B.三個兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直C.如果直線a//平面α，P∈α，那么過點P且平行于直線aD.已知m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，若直線l滿足l⊥m，l⊥n，l?α[解析]如圖1，α//β,AB//CD,且A∈α,C∈α,因為AB//CD,所以過AB,CD可作平面γ，且平面γ與平面α和β分別相交于AC和因為α//β，所以BD//AC，所以四邊形ABDC是平行四邊形，所以AB=CD如圖2，平面α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，在平面α內(nèi)作異于a的直線m⊥b，因為α⊥γ，α因為β⊥γ，所以m//β，m?α，α∩又因為α∩γ=b，β∩γ=c，所以b同理可得，b⊥c，所以a⊥b,a⊥c,b若直線a//平面α，P∈α，在平面α內(nèi)過點P且平行于直線a的直線有且只有一條，故C因為m，n為異面直線，m⊥平面α，n⊥平面β，所以α與β相交，但未必垂直，且交線垂直于直線m，又直線l滿足l⊥m，l⊥n，所以交線平行于l，故D正確10.（多選題）在《九章算術(shù)》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑.如圖，在鱉臑P?ABC中，PA⊥底面ABC,∠ABC=π2，作AE⊥PBA.BC⊥平面PAB B.AF⊥C.三棱錐A?BCE是鱉臑 D.三棱錐[解析]對于A，因為PA⊥平面ABC，且BC?平面ABC，所以PA⊥BC，由∠ABC=π2，可得AB⊥BC，因為AB∩PA=A且AB?平面PAB,PA對于B，因為BC⊥平面PAB，AE?平面PAB，所以AE⊥BC，又因為AE⊥PB，且PB∩BC=B，PB?平面PBC,BC?平面PBC，所以AE⊥平面PBC，對于C，因為AE⊥平面PBC，且CE?平面PBC,BE?平面PBC，所以AE⊥CE,AE⊥BE，所以△AEC,△ABE都為直角三角形，又∠ABC=π2，所以△ABC為直角三角形，因為BC⊥平面PAB，BE?平面PAB，所以BC⊥BE對于D，因為AE⊥平面PBC，且CE?平面PBC,EF?平面PBC，所以AE⊥CE,AE⊥EF，所以△AEC,△AEF都為直角三角形，因為AF⊥PC，所以△ACF為直角三角形，因為AE⊥平面PBC，CF?平面PBC，所以AE⊥CF，因為CF⊥AF，且AE∩AF=A，AE?平面AEF,AF?平面AEF，所以CF⊥平面AEF，又因為EF?11.已知在長方形ABCD中，AB=2,BC=1,E為線段CD上任意一點,現(xiàn)將△AED沿AE折起，使得平面ABD⊥平面ABCE[解析]當(dāng)平面ABD⊥平面ABCE時，點D恰好在直線AB的正上方，則當(dāng)△ADE沿AE翻折到平面ABCE上時，點D一定在直線AB的下方，當(dāng)E為CD的中點時，∠EAD=45°，所以∠EAD>45所以CE的取值范圍是[012.在三棱錐P?ABC中，能證明AP⊥①AP⊥PB，②AP⊥PB，③平面BCP⊥平面PAC，BC④PB=PC[解析]對于①，因為AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC=P，PB?平面PBC,PC?平面PBC，所以AP⊥平面PBC，因為BC?平面PBC，所以AP⊥BC，①滿足條件；對于②，AP⊥PB，BC⊥PB，無法證明AP⊥BC，②不滿足條件；對于③，因為平面BCP⊥平面PAC，平面BCP∩平面PAC=PC，BC⊥PC，BC?平面BCP，所以BC⊥平面PAC，又AP?平面PAC，所以AP⊥BC，③滿足條件；對于④，如圖，取BC的中點D，連接AD,PD，因為PB=PC，D為BC的中點，所以BC⊥應(yīng)用情境練13.如圖，四邊形ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB//CD，∠DAB=60°，AB=AD=4dm.現(xiàn)將△BCD沿[解析]∵四邊形ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB//CD，∠DAB=60°，AB=AD=4dm，∴△DAB為等邊三角形，BC=23dm,DC=2dm，如圖，∴AE⊥平面BCD，CE?平面BCD，∴AE⊥CE，又14.廡殿頂是中國古代建筑的一種屋頂樣式，它的屋面有四面坡，前后坡屋面全等且相交成一條正脊，兩山屋面全等與前后屋面相交成四條垂脊，由于屋頂四面斜坡，也稱“四阿頂”.廡殿頂?shù)捻斏w幾何模型圖如圖所示，底面ABCD是矩形，若四個側(cè)面與底面所成的角均相等，且BC=2,EF=1[解析]如圖，取AD,BC的中點G,M，連接GM，過點F作FO⊥平面ABCD于點O，過點E作EL⊥平面ABCD于點L，作OH⊥AB于點H，連接FG,FH，因為底面ABCD是矩形，所以AB//CD，又因為CD?平面CDFE，AB?平面CDFE，所以AB//平面CDFE，又因為AB?平面ABEF，平面CDFE∩平面ABEF=EF，所以AB//EF，因為平面ABEF，平面CDFE與底面ABCD所成的角相等，所以點O,L在直線GM上，且OL=EF=1，OH=12BC=1，根據(jù)三垂線定理可得，∠FGO為平面FAD與平面ABCD所成的角，∠FHO為平面創(chuàng)新拓展練15.如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1[解析]由已知得△A1B1C1是等腰直角三角形，A1B1∵平面A1B1C1⊥平面A1ACC1，平面又CF?平面A1AC若CF⊥平面B1DF，設(shè)AF=x0≤DF2=∴10解得x=a或16.如圖，五邊形SBADC中的四邊形ABCD是矩形，BC=2AB，SB=SC，沿BC折疊成四棱錐S?ABCD，（1）在四棱錐S?ABCD中，可以滿足條件①SA=6，②cos∠SBM=（2）在（1）的條件下,求