全國(guó)統(tǒng)考高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第11章概率第2講古典概型與幾何概型1備考試題文含解析

一輪復(fù)習(xí)精品資料(高中)PAGEPAGE1第十一章概率第二講古典概型與幾何概型練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.〖2020全國(guó)卷Ⅰ,4,5分〗〖文〗設(shè)O為正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),則取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為()A.15 B.25 C.12.〖2020貴陽(yáng)高三摸底考試〗某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請(qǐng)假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機(jī)到達(dá)教室,則他聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率為()A.15 B.14 C.13.〖2018全國(guó)卷Ⅰ,10,5分〗圖11-2-1來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3圖11-2-14.〖2021武漢高三質(zhì)檢〗我國(guó)古人認(rèn)為宇宙萬(wàn)物是由金、木、水、火、土這五種元素構(gòu)成的,歷史文獻(xiàn)《尚書(shū)·洪范》提出了五行的說(shuō)法,到戰(zhàn)國(guó)晚期,五行相生相克的思想被正式提出.這五種物質(zhì)屬性的相生相克關(guān)系如圖11-2-2所示,若從這五種物質(zhì)中隨機(jī)選取三種,則取出的三種物質(zhì)中,彼此間恰好有一個(gè)相生關(guān)系和兩個(gè)相克關(guān)系的概率為()A.35 B.12 C.2圖11-2-25.〖2020江蘇,4,5分〗將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

拓展變式1.〖2021福建南平質(zhì)檢〗由共青團(tuán)中央宣傳部、中共山東省委宣傳部、共青團(tuán)山東省委、山東廣播電視臺(tái)聯(lián)合出品的《國(guó)學(xué)小名士》第三季于2019年11月24日在山東衛(wèi)視首播.首期最精彩的節(jié)目片段是π的飛花令:出題者依次給出π所含數(shù)字3,1,4,1,5,9,2,6,5,3……答題者則需要說(shuō)出含有此數(shù)字的詩(shī)句.雷海為、楊強(qiáng)、馬博文、張益銘與飛花令少女賀莉然同場(chǎng)PK,賽況激烈,最終π的飛花令突破204位.某校某班級(jí)開(kāi)聯(lián)歡會(huì),同學(xué)們也舉行了一場(chǎng)π的飛花令,為了增加趣味性,他們的規(guī)則如下:答題者先擲兩個(gè)骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別記為(x,y)(1≤x≤6,1≤y≤6,x∈N*,y∈N*),再取出π的小數(shù)點(diǎn)后第x位和第y位的數(shù)字,然后說(shuō)出含有這兩個(gè)數(shù)字的一個(gè)詩(shī)句,若能說(shuō)出則可獲得獎(jiǎng)品.按照這個(gè)規(guī)則,取出的兩個(gè)數(shù)字相同的概率為()A.118 B.1C.736 D.2.(1)〖2020湖北武漢模擬〗〖與向量交匯〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(3,0),B(1,2),D(3,2),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=λOA+μO(píng)B,其中λ∈〖0,1〗,μ∈〖0,2〗,λ+μ∈〖1,2〗,則點(diǎn)P落在三角形ABD內(nèi)的概率為()A.12 B.3C.32 D.(2)〖2017江蘇,7,5分〗〖與函數(shù)交匯〗記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間〖-4,5〗上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈3.采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊擊中目標(biāo)的概率,先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2,3表示沒(méi)有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為.

4.〖2020湖南衡陽(yáng)三?！铰鍟?shū),古稱(chēng)龜書(shū),是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源.其結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四隅黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖11-2-7所示,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中各隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率為()A.110 B.C.15 D.3答案第十一章概率第二講古典概型與幾何概型1.A根據(jù)題意作出圖形,如圖D11-2-1所示,在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),有10種可能情況,分別為(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中取到的3點(diǎn)共線(xiàn)有(OAC)和(OBD)2種可能情況,所以在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),則取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為210=152.B隨機(jī)到達(dá)教室總的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘,第二節(jié)課8:40開(kāi)始,9:20結(jié)束,聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘,必須在9:00前到達(dá)教室,即8:50~9:00到達(dá)即可,時(shí)間長(zhǎng)度為10分鐘,由幾何概型的概率計(jì)算公式知他聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率P=1040=13.A解法一設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積,為S1=12bc,區(qū)域Ⅱ的面積S2=12π×(c2)2+12π×(b2)2-〖π×(a2)22-12bc〗=18π(c2+b2-a2)+12bc=1解法二不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=2,則BC=22,所以區(qū)域Ⅰ的面積(即△ABC的面積)為S1=12×2×2=2,區(qū)域Ⅱ的面積S2=π×12-〖π×(2)22-2〗=2,區(qū)域Ⅲ的面積S3=π×(2)22-2=π-2.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p〖試題評(píng)析〗本題以古希臘數(shù)學(xué)家研究的幾何圖形為背景,考查幾何概型.4.B依題意,三種物質(zhì)間相生相克關(guān)系如下表,×√√√×××√×√所以彼此間恰好有一個(gè)相生關(guān)系和兩個(gè)相克關(guān)系的概率P=510=5.19將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,向上的點(diǎn)數(shù)共有36種情況,其中點(diǎn)數(shù)和為5的情況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,則所求概率為41.D取出π的小數(shù)點(diǎn)后第x位和第y位的數(shù)字,基本事件共有36個(gè),如下表所示:1415921(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)4(4,1)(4,4)(4,1)(4,5)(4,9)(4,2)1(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)5(5,1)(5,4)(5,1)(5,5)(5,9)(5,2)9(9,1)(9,4)(9,1)(9,5)(9,9)(9,2)2(2,1)(2,4)(2,1)(2,5)(2,9)(2,2)由表中數(shù)據(jù)可知取出的兩個(gè)數(shù)字相同的基本事件共有8個(gè),所以取出的兩個(gè)數(shù)字相同的概率為P=836=2.(1)A由題意得OP=λOA+μO(píng)B=λ(3,0)+μ(1,2)=(3λ+μ,2μ).設(shè)P(x,y),則x=3因?yàn)棣恕省?,1〗,μ∈〖0,2〗,λ+μ∈〖1,2〗,所以0≤圖D11-2-2化簡(jiǎn)得0≤2作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖D11-2-2中陰影部分所示,點(diǎn)P位于平行四邊形ABEC的內(nèi)部(包含邊界).記事件M為點(diǎn)P落在三角形ABD內(nèi),則由幾何概型的概率計(jì)算公式可得所求概率為P(M)=S△ABCS〖試題評(píng)析〗本題將平面幾何與線(xiàn)性規(guī)劃、平面向量有機(jī)結(jié)合,側(cè)重考查了三角形面積公式及以面積為測(cè)度的幾何概型的概率的求解.(2)59由6+x-x2≥0,解得-2≤x≤3,則D=〖-2,3〗,則所求概率為3-(-2)3.0.4根據(jù)數(shù)據(jù)得該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的數(shù)據(jù)分別為75279857863669474698804595977424,所以該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為820=0.44.C由題意可知,陰數(shù)為2,4,6,8,陽(yáng)數(shù)為1,3,5,7,9.從陰數(shù)、陽(yáng)數(shù)中各選一個(gè)數(shù),所含的基本事件有{2,1},{2,3},{2,5},{2,7},{2,9},{4,1},{4,3},{4,5},{4,7},{4,9},{6,1},{6,3},{6,5},{6,7},{6,9},{8,1},{8,3},{8,5},{8,7},{8,9},共20個(gè).兩數(shù)之和能被5整除的組合為{2,3},{4,1},{6,9},{8,7},共4種情況,所以選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率P=420=1第十一章概率第二講古典概型與幾何概型練好題·考點(diǎn)自測(cè)1.〖2020全國(guó)卷Ⅰ,4,5分〗〖文〗設(shè)O為正方形ABCD的中心,在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),則取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為()A.15 B.25 C.12.〖2020貴陽(yáng)高三摸底考試〗某學(xué)校星期一至星期五每天上午共安排五節(jié)課,每節(jié)課的時(shí)間為40分鐘,第一節(jié)課上課的時(shí)間為7:50~8:30,課間休息10分鐘.某同學(xué)請(qǐng)假后返校,若他在8:50~9:30之間隨機(jī)到達(dá)教室,則他聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率為()A.15 B.14 C.13.〖2018全國(guó)卷Ⅰ,10,5分〗圖11-2-1來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn),此點(diǎn)取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則()A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3圖11-2-14.〖2021武漢高三質(zhì)檢〗我國(guó)古人認(rèn)為宇宙萬(wàn)物是由金、木、水、火、土這五種元素構(gòu)成的,歷史文獻(xiàn)《尚書(shū)·洪范》提出了五行的說(shuō)法,到戰(zhàn)國(guó)晚期,五行相生相克的思想被正式提出.這五種物質(zhì)屬性的相生相克關(guān)系如圖11-2-2所示,若從這五種物質(zhì)中隨機(jī)選取三種,則取出的三種物質(zhì)中,彼此間恰好有一個(gè)相生關(guān)系和兩個(gè)相克關(guān)系的概率為()A.35 B.12 C.2圖11-2-25.〖2020江蘇,4,5分〗將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,觀察向上的點(diǎn)數(shù),則點(diǎn)數(shù)和為5的概率是.

拓展變式1.〖2021福建南平質(zhì)檢〗由共青團(tuán)中央宣傳部、中共山東省委宣傳部、共青團(tuán)山東省委、山東廣播電視臺(tái)聯(lián)合出品的《國(guó)學(xué)小名士》第三季于2019年11月24日在山東衛(wèi)視首播.首期最精彩的節(jié)目片段是π的飛花令:出題者依次給出π所含數(shù)字3,1,4,1,5,9,2,6,5,3……答題者則需要說(shuō)出含有此數(shù)字的詩(shī)句.雷海為、楊強(qiáng)、馬博文、張益銘與飛花令少女賀莉然同場(chǎng)PK,賽況激烈,最終π的飛花令突破204位.某校某班級(jí)開(kāi)聯(lián)歡會(huì),同學(xué)們也舉行了一場(chǎng)π的飛花令,為了增加趣味性,他們的規(guī)則如下:答題者先擲兩個(gè)骰子,得到的點(diǎn)數(shù)分別記為(x,y)(1≤x≤6,1≤y≤6,x∈N*,y∈N*),再取出π的小數(shù)點(diǎn)后第x位和第y位的數(shù)字,然后說(shuō)出含有這兩個(gè)數(shù)字的一個(gè)詩(shī)句,若能說(shuō)出則可獲得獎(jiǎng)品.按照這個(gè)規(guī)則,取出的兩個(gè)數(shù)字相同的概率為()A.118 B.1C.736 D.2.(1)〖2020湖北武漢模擬〗〖與向量交匯〗在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(3,0),B(1,2),D(3,2),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足OP=λOA+μO(píng)B,其中λ∈〖0,1〗,μ∈〖0,2〗,λ+μ∈〖1,2〗,則點(diǎn)P落在三角形ABD內(nèi)的概率為()A.12 B.3C.32 D.(2)〖2017江蘇,7,5分〗〖與函數(shù)交匯〗記函數(shù)f(x)=6+x-x2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間〖-4,5〗上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則x∈3.采用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)某運(yùn)動(dòng)員射擊擊中目標(biāo)的概率,先由計(jì)算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù),指定0,1,2,3表示沒(méi)有擊中目標(biāo),4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo),4個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組,代表射擊4次的結(jié)果,經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù):75270293714098570347437386366947141746980371623326168045601136619597742476104281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計(jì)該運(yùn)動(dòng)員射擊4次至少擊中3次的概率為.

4.〖2020湖南衡陽(yáng)三模〗洛書(shū),古稱(chēng)龜書(shū),是陰陽(yáng)五行術(shù)數(shù)之源.其結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽(yáng)數(shù),四隅黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖11-2-7所示,若從四個(gè)陰數(shù)和五個(gè)陽(yáng)數(shù)中各隨機(jī)選取1個(gè)數(shù),則選取的兩數(shù)之和能被5整除的概率為()A.110 B.C.15 D.3答案第十一章概率第二講古典概型與幾何概型1.A根據(jù)題意作出圖形,如圖D11-2-1所示,在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),有10種可能情況,分別為(OAB),(OAC),(OAD),(OBC),(OBD),(OCD),(ABC),(ABD),(ACD),(BCD),其中取到的3點(diǎn)共線(xiàn)有(OAC)和(OBD)2種可能情況,所以在O,A,B,C,D中任取3點(diǎn),則取到的3點(diǎn)共線(xiàn)的概率為210=152.B隨機(jī)到達(dá)教室總的時(shí)間長(zhǎng)度為40分鐘,第二節(jié)課8:40開(kāi)始,9:20結(jié)束,聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘,必須在9:00前到達(dá)教室,即8:50~9:00到達(dá)即可,時(shí)間長(zhǎng)度為10分鐘,由幾何概型的概率計(jì)算公式知他聽(tīng)第二節(jié)課的時(shí)間不少于20分鐘的概率P=1040=13.A解法一設(shè)直角三角形ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,則區(qū)域Ⅰ的面積即△ABC的面積,為S1=12bc,區(qū)域Ⅱ的面積S2=12π×(c2)2+12π×(b2)2-〖π×(a2)22-12bc〗=18π(c2+b2-a2)+12bc=1解法二不妨設(shè)△ABC為等腰直角三角形,AB=AC=2,則BC=22,所以區(qū)域Ⅰ的面積(即△ABC的面積)為S1=12×2×2=2,區(qū)域Ⅱ的面積S2=π×12-〖π×(2)22-2〗=2,區(qū)域Ⅲ的面積S3=π×(2)22-2=π-2.根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式,得p1=p2=2π+2,p3=π-2π+2,所以p1≠p3,p〖試題評(píng)析〗本題以古希臘數(shù)學(xué)家研究的幾何圖形為背景,考查幾何概型.4.B依題意,三種物質(zhì)間相生相克關(guān)系如下表,×√√√×××√×√所以彼此間恰好有一個(gè)相生關(guān)系和兩個(gè)相克關(guān)系的概率P=510=5.19將一顆質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲2次,向上的點(diǎn)數(shù)共有36種情況,其中點(diǎn)數(shù)和為5的情況有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4種,則所求概率為41.D取出π的小數(shù)點(diǎn)后第x位和第y位的數(shù)字,基本事件共有36個(gè),如下表所示:1415921(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)4(4,1)(4,4)(4,1)(4,5)(4,9)(4,2)1(1,1)(1,4)(1,1)(1,5)(1,9)(1,2)5(5,1)(5,4)(5,1)(5,5)(5,9)(5,2)9(9,1)(9,4)(9,1)(9,5)(9,9)(9,2)2(2,1)(2,4)(2,1)(2,5)(2,9)(2,2)由表中數(shù)據(jù)可知取出的兩個(gè)數(shù)字相同的基本