數(shù)學-山東省（新高考Ⅰ卷）2025屆新高三開學摸底考試卷（第一套）試題和答案

2025屆新高三開學摸底考試卷（新高考通用）01（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知集合，則A∩B=2．已知復(fù)數(shù)z滿足=—2i，則z的虛部為()A．iB．iC．D.3．已知α∈,3sin2α=cos2α+1，則tan2α=() A.·i2B．s3 4．若命題：“彐a，b∈R，使得a—cosb≤b—cosa”為假命題5．黃地綠彩云龍紋盤是收藏于中國國家博物館的一件明代國寶級瓷器．該龍紋盤敞口，弧壁，廣底，圈足．器內(nèi)施白釉，外壁以黃釉為地，刻云龍紋并填綠彩，美不勝收．黃地綠彩云龍紋盤可近似看作是圓臺和圓柱的組合體，其口徑22.5cm，足徑14.4cm，高3.8cm，其中底部圓柱高0.8cm，則黃地綠彩云龍紋盤的側(cè)面積約為附：π的值取3，y25.4025≈5）A．311.31cm2B．300.88cm2C．322.24cm2D．332.52cm26．某校開展數(shù)學建?；顒?，有建模課題組的學生選擇測量某山峰的高度，為此，他們設(shè)計了測量方案．如圖，在山腳A測得山頂P的仰角為45°,沿傾斜角為15°的斜坡向上走了90米到達B點（A，B，P，Q在同一個平面內(nèi)），在B處測得山頂P的仰角為60°,則山高PQ為米A．45(J6+、)B．45(6-、)C．90(F-1)7．已知雙曲線一的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F2的直線與E的右支交于A，B兩點，且BF2l=2AF2i，若則雙曲線E的離心率為()B.D.8．已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(y)=f(x+y)一2xy+2,f(1)=2，則下列結(jié)A．f(4)=12B．方程f(x)=x有解C．是偶函數(shù)是偶函數(shù)二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．某次數(shù)學考試后，為分析學生的學習情況，某校從某年級中隨機抽取了100名學生的成績，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.為進一步分析高分學生的成績分布情況，計算得到這100名學生中，成績位于[80,90)內(nèi)的學生成績方差為12，成績位于[90,100)內(nèi)的同學成績方差為10.則() 參考公式：樣本劃分為2層，各層的容量、平均數(shù)和方差分別為：m、x、s；n、y、s.記樣本平均數(shù)為w，樣本方差為s2，s2=B．估計該年級學生成績的中位數(shù)約為77.14C．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的平均數(shù)為87.50D．估計該年級成績在80分及以上的學生成績的方差為30.2510．已知函數(shù)f(x)=sin下列說法正確的是()A．f(x)的最小正周期為為f(x)圖象的一個對稱中心C．若f上有兩個實數(shù)根，則3≤a<1D．若f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f,(x)，則函數(shù)y=f(x)+f,(x)的最大值為vio11．已知x1是函數(shù)f(x)=x3+mx+n(m<0)的極值點，若f(x2)=f(x1)(x1≠x2)，則下列A．f(x)的對稱中心為(0,n)B．f(一x1)>f(x1)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知非零向量,b滿足2a=Ibl，且a丄(a一5)，則a，b的夾角大小為13．一個不透明的袋子裝有5個完全相同的小球，球上分別標有數(shù)字1，2，3，4，4．現(xiàn)甲從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字后放回，乙再從中隨機摸出一個球記下所標數(shù)字，若摸出的球上所標數(shù)字大即獲勝（若所標數(shù)字相同則為平局），則在甲獲勝的條件下，乙摸到2號球的概率為.14．已知a,b為實數(shù)，若不等式i2ax2+(4a+b)x+4a+b≤2ix+1對任意恒成立，則3a+b的最大值是.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。1513分）如圖，在四棱錐P一ABCD中，平面PAB丄平面ABCD,PA丄AB,AB∥CD，(1)證明：平面PAC丄平面PBC；(2)求平面PAD與平面PBC夾角的正弦值.1615分）地區(qū)生產(chǎn)總值(地區(qū)GDP)是衡量一個地區(qū)經(jīng)濟發(fā)展的重要指標，在過去五年(2019年-2023年)中，某地區(qū)的地區(qū)生產(chǎn)總值實現(xiàn)了“翻一番”的飛躍，從1464億元增長到了3008億元，若該地區(qū)在這五年中的年份編號x(2019年對應(yīng)的x值為1，2020年對應(yīng)的x值為2，以此類推)與地區(qū)生產(chǎn)總值y(百億元)的對應(yīng)數(shù)據(jù)如下表：年份編號x12345地區(qū)生產(chǎn)總值y(百億元)14.6417.4220.7225.2030.08(1)該地區(qū)2023年的人均生產(chǎn)總值為9.39萬元，若2023年全國的人均生產(chǎn)總值X(萬元)服從正態(tài)分布X~N(8.57,0.822)，那么在全國其他城市或地區(qū)中隨機挑選2個，記隨機變量Y為“2023年人均生產(chǎn)總值高于該地區(qū)的城市或地區(qū)的數(shù)量”，求Y=1的概率；(2)該地區(qū)的人口總數(shù)t(百萬人)與年份編號x的回歸方程可以近似為t=0.2x+2.2，根據(jù)上述的回歸方程，估算該地區(qū)年份編號x與人均生產(chǎn)總值(人均GDP)u(萬元)之間的線性回歸參考公式與數(shù)據(jù)：人均生產(chǎn)總值=地區(qū)生產(chǎn)總值÷人口總數(shù)；線性回歸方程y=x+中，斜率和截距的最小二乘法估計公式分別是：若X~N(μ,σ2)，則P(μ一σ≤x≤μ+σ)≈0.68,P(μ一2σ≤x≤μ+2σ)≈0.95.1715分）已知M為圓x2+y2=9上一個動點，MN垂直x軸，垂足為N，O為坐標原點，△OMN的重心為G.(1)求點G的軌跡方程;(2)記（1）中的軌跡為曲線C，直線l與曲線C相交于B兩點，點Q(0,1)，若點H(5,0)恰好是△ABQ的垂心，求直線l的方程.1817分）已知函數(shù)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若方程f(x)=1有兩個不同的根x1,x2.(i)求a的取值范圍；1917分）已知數(shù)列{an}是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,21,34.......這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，an+2=an+1+an(n∈N*)數(shù)k，若存在正整數(shù)n使得bk+n=bk+bn成立，則稱數(shù)列{bn}為“k階可分拆數(shù)列”.(1)已知數(shù)列{cn}滿足cn=man（n∈N*，m∈R）.判斷是否對丫m∈R，總存在確定的正整數(shù)k，使得數(shù)列{cn}為“k階可分拆數(shù)列”，并說明理由.（i）若數(shù)列{dn}為“1階可分拆數(shù)列”，求出符合條件的實數(shù)a的值；（ii）在（i）問的前提下，若數(shù)列滿足fn=，n∈N*，其前n項和為Tn.證明：當n∈N*+1成立.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678DCCBAABC二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9BCDACDAC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。π 133四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。1513分）【詳解】（1）由題意AB=2CD=2AD=2BC=2，則上ABC=60o，因為BC=1,AB=2，所以上ACB=90o,AC丄BC1分）因為平面PAB丄平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD=AB，且PA丄AB,PAC平面PAB，所以PA丄平面ABCD2分）因為BC平面ABCD，所以PA丄BC3分）且AC∩PA=A,AC,PA平面PAC，所以BC丄平面PAC4分）又BC平面PBC，所以平面PAC丄平面PBC5分）（2）如圖，以A為原點，A––,A––分別為x軸，y軸正方向，在平面ABCD內(nèi)過點A作平面ABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，則7分，建系、設(shè)點各一分）所以 →設(shè)平面PAD的一個法向量n1=(x,y,z)，設(shè)平面PBC的法向量n-=(m,n,p)，-設(shè)平面PAD與平面PBC的夾角為θ,則cosθ=（12分）1615分）【詳解】（1）易知9.39=8.57+0.82，所以根據(jù)正態(tài)分布區(qū)間公式有即每個地區(qū)大于該地區(qū)的人均生產(chǎn)總值的概率為0.16，則Y~B(2,0.16)4分，不寫不扣分）（2）因為t=0.2x+2.2，由題意可知，每年的人均生產(chǎn)總值分別依次為：所以=7.610分）1715分）【詳解】（1）設(shè)G(x,y),M(x0,y0)，則N(x0,0)，因G為△OMN的重心，故有2分）解得,y0=3y，代入x化簡得+y2=1，(4分)又x0y0≠0，故xy≠0，所以G的軌跡方程為+y2=1(yy?0).(5分)（2）因H為△ABQ的垂心，故有AB丄HQ,AH丄BQ，又kHQ=所以-15.（7分）故設(shè)直線l的方程為y-J3x+m(m*1),與+y2=1聯(lián)立消去y得：13x2+85mx+4m2,由AH丄BQ，得=-1，所以x2（12所以4x1x2+F(m-1)(,+x:)+m2-m=所以4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m)=0，化簡得5m2+11m-16=013分）解得m=l(舍去)或m=-故直線l的方程為1817分）【詳解】（1）由題意得，則f,(x)=一若a>0，則當0<x<1時，f,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，當x>1時，f,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減；若a<0，則當0<x<1時，f,(x)<0,f(x)單調(diào)遞減，當x>1時，f,(x)>0,f(x)單調(diào)遞增4綜上，當a>0時，f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減；當a<0時，f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增5分） 設(shè)，由(1)得g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減6分）所以當0<a<1時，方程有兩個不同的根，即方程有兩個不同的根，故a的取值范圍是(0,1)9分）