線性插值法詳解

線性插值法-詳解

(重定向自線性插值)線性插值法(linearinterpolation)目錄1什么是線性插值法[1]2如何進(jìn)行線性插值3線性插值近似法4線性插值法的計(jì)算實(shí)例[2]5參考文獻(xiàn)什么是線性插值法[1]線性插值法是指使用連接兩個(gè)已知量的直線來(lái)確定在這兩個(gè)已知量之間的一個(gè)未知量的值的方法。如何進(jìn)行線性插值假設(shè)我們已知坐標(biāo)(x0,y0)與(x1,y1),要得到[x0,x1]區(qū)間內(nèi)某一位置x在直線上的值。根據(jù)圖中所示，我們得到兩點(diǎn)式直線方程：假設(shè)方程兩邊的值為α，那么這個(gè)值就是插值系數(shù)—從x0到x的距離與從x0到x1距離的比值。由于x值已知，所以可以從公式得到α的值同樣，這樣，在代數(shù)上就可以表示成為：y=(1?α)y0+αy1或者，y=y0+α(y1?y0)這樣通過(guò)α就可以直接得到y(tǒng)。實(shí)際上，即使x不在x0到x1之間并且α也不是介于0到1之間，這個(gè)公式也是成立的。在這種情況下，這種方法叫作線性外插—參見(jiàn)外插值。已知y求x的過(guò)程與以上過(guò)程相同，只是x與y要進(jìn)行交換。線性插值近似法線性插值經(jīng)常用于已知函數(shù)f在兩點(diǎn)的值要近似獲得其它點(diǎn)數(shù)值的方法，這種近似方法的誤線定義為RT=f(x)?ρ(x)其中ρ表示上面定義的線性插值多項(xiàng)式根據(jù)羅爾定理，我們可以證明：如果f有兩個(gè)連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么誤差范圍是正如所看到的，函數(shù)上兩點(diǎn)之間的近似隨著所近似的函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的增大而逐漸變差。從直觀上來(lái)看也是這樣：函數(shù)的曲率越大，簡(jiǎn)單線性插值近似的誤差也越大。線性插值法的計(jì)算實(shí)例[2]線性插值法是認(rèn)為現(xiàn)象的變化發(fā)展是線性的、均勻的，所以可利用兩點(diǎn)式的直線方程式進(jìn)行線性插值。兩點(diǎn)式的直線方程式為：即式中X0,Y0,X1,Y1——已知的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)；X——X0,X1之間的任何數(shù)據(jù)；Y——與X對(duì)應(yīng)的插值數(shù)據(jù)。例某地區(qū)居民貨幣收入和消費(fèi)支出情況如表1所示。試推算該地區(qū)居民收入為19．5億元時(shí)，其相應(yīng)的消費(fèi)支出是多少?表1居民貨幣收入和消費(fèi)支出資料(單位：億元)順序貨幣收入(x)消費(fèi)支出(y)018．215．8119．817．2解=16.9所以，當(dāng)該地區(qū)居民收入是19．5億元時(shí)，其消費(fèi)支出是16．9億元。由于線性插值法只利用兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)值宋推算兩點(diǎn)之間的對(duì)應(yīng)值，而兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)值本身往往受到各種偶然因素的影響，所以線性插值結(jié)果可能誤差較大。參考文獻(xiàn)↑道明誠(chéng)教育CFA考試培訓(xùn)中心編,余潤(rùn)主編.CFA考試核心詞