初中數(shù)學(xué)“最值問(wèn)題”-集錦

LYR(2010-09-23)“最值問(wèn)題”集錦

?平面幾何中的最值問(wèn)題..............01

?幾何的定值與最值..................07

?最短路線問(wèn)題.......................14

■對(duì)稱問(wèn)題..........................18

?巧作“對(duì)稱點(diǎn)”妙解最值題..........22

?數(shù)學(xué)最值題的常用解法..............26

?求最值問(wèn)題........................29

?有理數(shù)的一題多解..................34

?4道經(jīng)典題......................37

?平面幾何中的最值問(wèn)題

在平面幾何中，我們常常遇到各種求最大值和最小值的問(wèn)題，有時(shí)它和不等式聯(lián)系在

一起，統(tǒng)稱最值問(wèn)題.如果把最值問(wèn)題和生活中的經(jīng)濟(jì)問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，可以達(dá)到最經(jīng)濟(jì)、

最節(jié)約和最高效率.下面介紹幾個(gè)簡(jiǎn)例.

在平面幾何問(wèn)題中，當(dāng)某幾何元素在給定條件變動(dòng)時(shí)，求某幾何量(如線段的長(zhǎng)度、

圖形的面積、角的度數(shù))的最大值或最小值問(wèn)題，稱為最值問(wèn)題。

最值問(wèn)題的解決方法通常有兩種：

(1)應(yīng)用幾何性質(zhì)：

①三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

②兩點(diǎn)間線段最短；

③連結(jié)直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短；

④定圓中的所有弦中，直徑最長(zhǎng)。

⑵運(yùn)用代數(shù)證法：

①運(yùn)用配方法求二次三項(xiàng)式的最值；

②運(yùn)用一元二次方程根的判別式。

例1、A、B兩點(diǎn)在直線1的同側(cè)，在直線L上取一點(diǎn)P,使PA+PB最小。

變題:兩端居峨直覦的兩鞭I,在直匹上取律“1修HAfSbt..

.A

B

分析：在直線L上任取一點(diǎn)P',連結(jié)AP',BP',

在△ABP'中AP'+BP'>AB,如果AP'+BP'=AB,則P'必在線段AB上，而線

段AB與直線L無(wú)交點(diǎn)，所以這種思路錯(cuò)誤。

取點(diǎn)A關(guān)于直線L的對(duì)稱點(diǎn)A',則AP'=AP,

在AA'BP中A'P'+B'P'>A'B,當(dāng)P'移到A'B與直線L的交點(diǎn)處P點(diǎn)時(shí)

A'P'+B'P'=A'B,所以這時(shí)PA+PB最小。

1已知AB是半圓的直徑，如果這個(gè)半圓是一塊鐵皮，ABDC是內(nèi)接半圓的梯形，試

問(wèn)怎樣剪這個(gè)梯形，才能使梯形ABDC的周長(zhǎng)最大(圖3-91)?

圖3-91

分析本例是求半圓AB的內(nèi)接梯形的最大周長(zhǎng)，可設(shè)半圓半徑為R.由于AB//CD,

必有AC=BD.若設(shè)CD=2y,AC=x,那么只須求梯形ABDC的半周長(zhǎng)u=x+y+R的最大值

即可.

222

解作DELAB于E,則X=BD=AB-BE=2R?(R-y)=2R-2Ry,

2R2-x2

所以

2R2-x2

Ux+y+R=x+————+R

所以2K

X2+2RX+2R2

+R.

2R

所以求u的最大值，只須求-x2+2Rx+2R2最大值即可.

-X2+2RX+2R2=3R2-(X-R)2<3R2,

上式只有當(dāng)x=R時(shí)取等號(hào)，這時(shí)有

2R2-x22R2-B?R

丫2R2R2'

所以2y=R=x.

所以把半圓三等分，便可得到梯形兩個(gè)頂點(diǎn)C,D,

這時(shí)，梯形的底角恰為60°和120°.

2.如圖3—92是半圓與矩形結(jié)合而成的窗戶，如果窗戶的周長(zhǎng)為8米(m),怎樣才能得出最

大面積，使得窗戶透光最好？

圖3-92

分析與解設(shè)x表示半圓半徑，y表示矩形邊長(zhǎng)AD,則必有2x+2y+7cx=8,

8-以-2x小

y=-7—?①

乙

若窗戶的最大面積為S,則

S=2xy+.②

把①代入②有

8-Tex-2x1

S=2x?-------------+-7CX

22

=8x-(2+今x?

2\4+冗J4+冗

《尹.

4+冗

上式中，只有x=/—時(shí)，等號(hào)成立.這時(shí)，由①有

4+加

(88)1

y=8-7T*---------2*-------X-

I4+兀4+KJ2

8

=------=X,

4+7C

即當(dāng)窗戶周長(zhǎng)一定時(shí)，窗戶下部矩形寬恰為半徑時(shí)，窗戶面積最大.

3.已知P點(diǎn)是半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試問(wèn)P在什么位置時(shí)，PA+PB最大(圖3—93)?

分析與解因?yàn)镻點(diǎn)是半圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P近于A或B時(shí)，顯然PA+PB漸小，在極限

狀況（P與A重合時(shí)）等于AB.因此，猜想P在半圓弧中點(diǎn)時(shí)，PA+PB取最大值.

設(shè)P為半圓弧中點(diǎn)，連PB,PA,延長(zhǎng)AP至11C,使PC=PA,連CB,則CB是切線.

為了證PA+PB最大，我們?cè)诎雸A弧上另取一點(diǎn)P',連P'A,P'B,延長(zhǎng)AP'到C',

使P'C'=BP'，連C'B,CC',則NP'C'B=/P'BC=NPCB=45°,

所以A,B,C',C四點(diǎn)共圓，所以NCC'A=/CBA=90°,

所以在△ACC'中，AC>AC',即PA+PB>P'A+P'B.

圖3-93圖3-94

4如圖3—94,在直角AABC中，AD是斜邊上的高，M,N分別是△陽(yáng)□,4ACD的內(nèi)

心，直線MN交AB,AC于K,L.求證：SAABC>2SAAKL.

證連結(jié)AM,BM,DM,AN,DN,CN.

因?yàn)樵凇鰽BC中，NA=90°,AD_LBC于D,

所以ZABD=ZDAC,ZADB=ZADC=90".

因?yàn)镸,N分別是aABD和AACD的內(nèi)心，所以

/1=22=45°,Z3=Z4,

所以△ADNS/\BDM,

DM_BD

所以

DN=AD

又因?yàn)镹MDN=90°=ZADB,所以△MDNc^ABDA,

所以ZBAD=ZMND.

由于NBAD=/LCD,所以ZMND=ZLCD,

所以D,C,L,N四點(diǎn)共圓，所以ZALK=ZNDC=45°.

同理，NAKL=/1=45°,所以AK=AL.因?yàn)椤鰽KM0AADM,

所以AK=AD=AL.而

2

SA恥。［必“。SAAKL=|AD-AL=1AD,

而

.AC2AB2AC2?AB2

口BC2AB2+AC2*

從而

c1…-AC*AC

S八=-AC*AB?—5------y

A題AVT2AB2+AC2

/111

45AB?AC*=2S*iABC

所以SAABC>SAAKL?

5.如圖3—95.已知在正三角形ABC內(nèi)（包括邊上）有兩點(diǎn)P,Q.求證：PQ&AB.

證設(shè)過(guò)P,Q的直線與AB,AC分別交于P1，Q“連結(jié)P】C,顯然，PQ《P】Q「

因?yàn)镹AQR+NP】QiC=180°,

所以/AQE和ZP】Q】C中至少有一個(gè)直角或鈍角.

若NAQiPi，90°,則PQ<P1Q1<AP1<AB;

若NPiQiC>90°,則PQ<P1Q1<P1C.

同理，NARC和NBRC中也至少有一個(gè)直角或鈍角，不妨設(shè)NBP|C>90°,

則P[C<BC=AB.

對(duì)于P,Q兩點(diǎn)的其他位置也可作類似的討論，因此，PQ<AB.

6.設(shè)△回（：是邊長(zhǎng)為6的正三角形，過(guò)頂點(diǎn)A引直線1,頂點(diǎn)B,C到1的距離設(shè)為d1,

d2,求d1+d2的最大值（1992年上海初中賽題）.

圖3-96

解如圖3—96,延長(zhǎng)BA到B',使AB'=AB,連B'C,則過(guò)頂點(diǎn)A的直線1或者

與BC相交，或者與B'C相交.以下分兩種情況討論.

⑴若1與BC相交于D,則

1

萬(wàn)（由+d2）?AD=SAABD+SAQc

73

=S&ABC彳?36，

所以

18后-18出

d,+d=

12AD3也

只有當(dāng)1_LBC時(shí)，取等號(hào).

⑵若1'與B'C相交于D',則

1

5(d[+%)?AD=S&BD.A+SAACP

=S+S=S

^AB'D'A'"AACD，“AABC，

所以

di+d2418f=6瓜

上式只有1'JlB'C時(shí)，等號(hào)成立.

綜合⑴,(2),di+d2的最大值為6、氏

7.如圖3—97.已知直角AAOB中，直角頂點(diǎn)。在單位圓心上，斜邊與單位圓相切，延

長(zhǎng)AO,BO分別與單位圓交于C,D.試求四邊形ABCD面積的最小值.

解設(shè)。。與AB相切于E,有OE=1,從而

AB=OE?AB=AO?OB

AO2+BO2(AO-BO)2

=22

,AO2+BO2AB2

&----------------=-------

22

即AB>2.

當(dāng)AO=BO時(shí)，AB有最小值2.從而

11

SABCD=萬(wàn)AC?BD=5(1+OA)(1+BO)

1

=-(l+AO+BO+AO*BO)

>1(1+2JAO?BO+AO?BO)

=|(i+7Ao?BO)2=|(i+JOE?AB)

=1(I+7AB)2>|(I+72)2

=g(3+2、②.

所以，當(dāng)AO=OB時(shí)，四邊形ABCD面積的最小值為

^(3+272).

?幾何的定值與最值

幾何中的定值問(wèn)題，是指變動(dòng)的圖形中某些幾何元素的幾何量保持不變，或幾何元素

間的某些幾何性質(zhì)或位置關(guān)系不變的一類問(wèn)題，解幾何定值問(wèn)題的基本方法是：分清問(wèn)題

的定量及變量，運(yùn)用特殊位置、極端位置，直接計(jì)算等方法，先探求出定值，再給出證明.

幾何中的最值問(wèn)題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個(gè)確定的量（如線段長(zhǎng)

度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值，求幾何最值問(wèn)題的基本方法有：

1.特殊位置與極端位置法；

2.幾何定理（公理）法；

3.數(shù)形結(jié)合法等.

注：幾何中的定值與最值近年廣泛出現(xiàn)于中考競(jìng)賽中，由冷點(diǎn)變?yōu)闊狳c(diǎn).這是由于這

類問(wèn)題具有很強(qiáng)的探索性（目標(biāo)不明確），解題時(shí)需要運(yùn)用動(dòng)態(tài)思維、數(shù)形結(jié)合、特殊與一

般相結(jié)合、

邏輯推理與合情想象相結(jié)合等思想方法.

【例題就解】

【例1】如圖，已知AB=10,P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和

PB為邊作等邊AAPC和等邊4BPD,則CD長(zhǎng)度的最小值為G.

思路點(diǎn)撥如圖，作CC'LAB于C,DD'LAB于D',

DQ±CCZ,CD2=DQ2+CQ2,DQ=；AB—常數(shù)，當(dāng)CQ越小，CD/

本例也可設(shè)AP=x,則PB=10-x,從代數(shù)角度探求CD的最小值.A?PD'B

注：從特殊位置與極端位置的研究中易得到啟示，常能找到解題突破口，特殊位置與

極端位置是指：

⑴中點(diǎn)處、垂直位置關(guān)系等；

⑵端點(diǎn)處、臨界位置等.

【例2】如圖，圓的半徑等于正三角形ABC的通々此圓在沿底邊AB滾動(dòng)，切點(diǎn)為T,

圓交AC、BC于M、N,則對(duì)于所有可能的圓的位置言言，MTN為的度數(shù)（）

A.從30°到60°變動(dòng)B.從60°到90°變動(dòng)

C.保持30°不變D.保持60°不變

思路點(diǎn)撥先考慮當(dāng)圓心在正三角形的頂點(diǎn)C時(shí)，

其孤的度數(shù)，再證明一般情形，從而作出判斷.

注：幾何定值與最值問(wèn)題，一般都是置于動(dòng)態(tài)背景下，

動(dòng)與靜是相對(duì)的，我們可以研究問(wèn)題中的變量，考慮當(dāng)變

化的元素運(yùn)動(dòng)到特定的位置，使圖形變化為特殊圖形時(shí)，

研究的量取得定值與最值.

【例3】如圖，已知平行四邊形ABCD,AB="，BC=%（〃>b）,P為AB邊上的一動(dòng)

點(diǎn)，

直線DP交CB的延長(zhǎng)線于Q,求AP+BQ的最小值.

思路點(diǎn)撥設(shè)AP=x，把AP、BQ分別用x的代數(shù)式表示，運(yùn)用不等式/+&222ab（當(dāng)

且僅當(dāng)。=萬(wàn)時(shí)取等號(hào)）來(lái)求最小值.

【例4】如圖，已知等邊△回（：內(nèi)接于眼在劣弧.

線AC與BM相交于K,直線CB與AM相交手'點(diǎn)N,證

點(diǎn)的選擇無(wú)關(guān).

思路點(diǎn)撥即要證AK?BN是一個(gè)定值，在圖形中aABC

的邊長(zhǎng)是一個(gè)定值，說(shuō)明AK-BN與AB有關(guān)，從圖知AB為

2

△ABM與4ANB的公共邊，作一個(gè)大膽的猜想，AK-BN=AB;

從而我們的證明目標(biāo)更加明確.

注：只要探求出定值，那么解題目標(biāo)明確，定值問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為一般的幾何證明問(wèn)題.

【例5】已知AXYZ是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形（NZ=90°）,它的三個(gè)頂點(diǎn)

分別在等腰Rt^ABC（NC=90°）的三邊上，求△回（：直角邊長(zhǎng)的最大可能值.

思路點(diǎn)撥頂點(diǎn)Z在斜邊上或直角邊CA（或CB）上，當(dāng)頂點(diǎn)Z在斜邊AB上時(shí)，取xy

的中點(diǎn)，通過(guò)幾何不等關(guān)系求出直角邊的最大值，當(dāng)頂點(diǎn)Z在（AC或CB）上時(shí)，設(shè)CX=x,

CZ=.y,建立x,y的關(guān)系式，運(yùn)用代數(shù)的方法求直角邊的最大值.

注：數(shù)形結(jié)合法解幾何最值問(wèn)題，即適當(dāng)?shù)剡x取變量，建立幾何元素間的函數(shù)、方程、

不等式等關(guān)系，再運(yùn)用相應(yīng)的代數(shù)知識(shí)方法求解.常見(jiàn)的解題途徑是：

⑴利用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，運(yùn)用判別式求幾何最值；

⑵構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值.

學(xué)力訓(xùn)練

1.如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與B點(diǎn)或C點(diǎn)重

合），分別過(guò)B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B'、C'、D',則BB'+CC'

+DD'的最大值為,最小值為.

2.如圖，NAOB=45°,角內(nèi)有一點(diǎn)P,PO=10,在角的兩邊上有兩點(diǎn)Q,R（均不同

于點(diǎn)O）,則△PQR的周長(zhǎng)的最小值為.

3.如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8,B到MN的距離

BD=5,CD=4,P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則目的最大值等于.

（第1題）（第2題）（第3題）

4.如圖，A點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，B點(diǎn)是弧AN的中點(diǎn)，P點(diǎn)是直徑MN上一動(dòng)

點(diǎn)，OO的半徑為1,則AP+BP的最小值為（）

A.1B.—C.V2D.V3-1

2

5.如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿看圓柱

的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短距離是（）

A.2川+乃2B.2jl+4MC.D.2/4+〃

6.如圖、已知矩形ABCD,R,P戶分別是DC、BC上的點(diǎn)，E,F分別是AP、RP

的中點(diǎn)，當(dāng)P在BC上從B向C移動(dòng)而R不動(dòng)時(shí)，那么下列結(jié)論成立的是（）

A.線段EF的長(zhǎng)逐漸增大B.線段EF的長(zhǎng)逐漸減小

C.線段EF的長(zhǎng)不改變D.線段EF的長(zhǎng)不能確定

n

（第4題）（第5題）（第6榜）

7.如圖，點(diǎn)c是線段AB上的任意一點(diǎn)（C點(diǎn)不與A、B點(diǎn)重合），分別以AC、BC為

邊在直線AB的同側(cè)作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE,AE與CD相交于點(diǎn)M,BD

與CE相交于點(diǎn)N.

（1）求證：MN//AB;

（2）若AB的長(zhǎng)為10cm,當(dāng)點(diǎn)C在線段AB上移動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的一點(diǎn)C,使線段

MN的長(zhǎng)度最長(zhǎng)?若存在，請(qǐng)確定C點(diǎn)的位置并求出MN的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（2002年云南省中考題）

8.如圖，定長(zhǎng)的弦ST在一個(gè)以AB為直徑的半圓上滑動(dòng)，M是ST的中點(diǎn)，P是S

對(duì)AB作垂線的垂足，求證：不管ST滑到什么位置，NSPM是一定角.

9.已知AABC是。。的內(nèi)接三角形，BT為。。的切線，B為切點(diǎn)，P為直線AB上

一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作BC的平行線交直線BT于點(diǎn)E,交直線AC于點(diǎn)F.

⑴當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)（如圖），求證：PA-PB=PE.PF;

⑵當(dāng)點(diǎn)P為線段BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)時(shí)，第⑴題的結(jié)論還成立嗎?如果成立，請(qǐng)證明，如

果不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

10.如圖，已知；邊長(zhǎng)為4的正方形截去一角成為五邊形ABCDE,其中AF=2,BF=1,

在AB上的一點(diǎn)P,使矩形PNDM有最大面積，則矩形PNDM的面積最大值是（）

A.8B.12C.—D.14

11.?點(diǎn)A,線段DB上AB于點(diǎn)B,AB=2;

AC=1,1ACPDB的最大面積是（）

〈第11題）

C.3+V2D.V3+\/2

12.如圖，在△ABC中，BC=5,AC=12,AB=13,在邊AB、AC上分別取點(diǎn)D、E,

使線段DE將△回（：分成面積相等的兩部分，試求這樣線段的最小長(zhǎng)度.

（第12題）（第13U）

13.如圖，ABCD是一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點(diǎn)，AV與

DU相交于點(diǎn)P,BV與CU相交于點(diǎn)Q.求四邊形PUQV面積的最大值.

14.利用兩個(gè)相同的噴水器，修建一個(gè)矩形花壇，使花壇全部都能噴到水.已知每個(gè)

噴水器的噴水區(qū)域是半徑為10米的圓，問(wèn)如何設(shè)計(jì)（求出兩噴水器之間的距離和矩形的長(zhǎng)、

寬），才能使矩形花壇的面積最大？

15.某住宅小區(qū)，為美化環(huán)境，提高居民生活質(zhì)量，要建一個(gè)八邊形居民廣場(chǎng)（平面圖

如圖所示）.其中，正方形MNPQ與四個(gè)相同矩形（圖中陰影部分）的面積的和為800平方米.

⑴設(shè)矩形的邊AB=x（米），AM=y（米），用含x的代數(shù)式表示y為.

（2）現(xiàn)計(jì)劃在正方形區(qū)域上建雕塑和花壇，平均每平方米造價(jià)為2100元；在四個(gè)相同的

矩形區(qū)域上鋪設(shè)花崗巖地坪，平均每平方米造價(jià)為105元；在四個(gè)三角形區(qū)域上鋪設(shè)草坪,

平均每平方米造價(jià)為40元.

①設(shè)該工程的總造價(jià)為5（元），求S關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式.

②若該工程的銀行貸款為235000元，僅靠銀行貸款能否完成該工程的建設(shè)任務(wù)?若能,

請(qǐng)列出設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

③若該工程在銀行貸款的基礎(chǔ)上，又增加資金73000元，問(wèn)能否完成該工程的建設(shè)任

務(wù)?若能，請(qǐng)列出所有可能的設(shè)計(jì)方案；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（鎮(zhèn)江市中考題）E—^E

16.某房地產(chǎn)公司擁有一塊“缺角矩形"荒地ABCDE,邊長(zhǎng)和方向如圖，欲在這塊

地上建一座地基為長(zhǎng)方形東西走向的公寓，請(qǐng)劃出這塊地基，并求地基的最大面積（精確到

1m2）.

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參考答案

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從而，符合要求的設(shè)計(jì)是兩個(gè)質(zhì)水器的距離為0。川環(huán)正麗=10日(米)，矩形兩邊長(zhǎng)AD=1Q業(yè)米,AB=

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?最短路線問(wèn)題

通常最短路線問(wèn)題是以“平面內(nèi)連結(jié)兩點(diǎn)的線中，直線段最短”為原則引申出來(lái)的.人

們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題.

在本講所舉的例中，如果研究問(wèn)題的限制條件允許已知的兩點(diǎn)在同一平面內(nèi)，那么所

求的最短路線是線段；如果它們位于凸多面體的不同平面上，而允許走的路程限于凸多面

體表面，那么所求的最短路線是折線段；如果它們位于圓柱和圓錐面上，那么所求的最短

路線是曲線段；但允許上述哪種情況，它們都有一個(gè)共同點(diǎn)：當(dāng)研究曲面僅限于可展開(kāi)為

平面的曲面時(shí)，例如圓柱面、圓錐面和棱柱面等，將它們展開(kāi)在一個(gè)平面上，兩點(diǎn)間的最

短路線則是連結(jié)兩點(diǎn)的直線段.

這里還想指出的是，我們常遇到的球面是不能展成一個(gè)平面的.例如，在地球（近似

看成圓球）上A、B二點(diǎn)之間的最短路線如何求呢？我們用過(guò)A、B兩點(diǎn)及地球球心。的

平面截地球，在地球表面留下的截痕為圓周（稱大圓），在這個(gè)大圓周上A、B兩點(diǎn)之間

不超過(guò)半個(gè)圓周的孤線就是所求的A、B兩點(diǎn)間的最短路線，航海上叫短程線.關(guān)于這個(gè)

問(wèn)題本講不做研究，以后中學(xué)會(huì)詳講.

在求最短路線時(shí)，一般我們先用“對(duì)稱”的方法化成兩點(diǎn)之間的最短距離問(wèn)題，而兩

點(diǎn)之間直線段最短，從而找到所需的最短路線.像這樣將一個(gè)問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)和它等價(jià)的

問(wèn)題，再設(shè)法解決，是數(shù)學(xué)中一種常用的重要思想方法.

例1如下圖，偵察員騎馬從A地出發(fā)，去B地取情報(bào).在去B地之前需要先飲一次

馬，如果途中沒(méi)有重要障礙物，那么偵察員選擇怎樣的路線最節(jié)省時(shí)間，請(qǐng)你在圖中標(biāo)出

來(lái).

解：要選擇最節(jié)省時(shí)間的路線就是要選擇最短路線.

作點(diǎn)A關(guān)于河岸的對(duì)稱點(diǎn)A',即作AA'垂直于河岸，與河岸交于點(diǎn)C,且使

AC=A'C,連接A'B交河岸于一點(diǎn)P,這時(shí)P點(diǎn)就是飲馬的最好位置，連接PA,此時(shí)

PA+PB就是偵察員應(yīng)選擇的最短路線.

證明：設(shè)河岸上還有異于P點(diǎn)的另一點(diǎn)P',連接P'A,P'B,P'A'.

,/p，A+P'B=P'A'+P'B>AZB=PA'+PB=PA+PB,

而這里不等式P'A'+P'B>A'B成立的理由是連接兩點(diǎn)的折線段大于直線

段,

所以PA+PB是最短路線.

此例利用對(duì)稱性把折線APB化成了易求的另一條最短路線即直線段A'B,所以這種

方法也叫做化直法，其他還有旋轉(zhuǎn)法、翻折法等.看下面例題.

例2如圖一只壁虎要從一面墻壁a上A點(diǎn)，爬到鄰近的另一面墻壁§上的B點(diǎn)捕蛾，

它可以沿許多路徑到達(dá)，但哪一條是最近的路線呢？

解：我們假想把含B點(diǎn)的墻§順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°（如下頁(yè)右圖），使它和含A點(diǎn)的墻a

處在同一平面上，此時(shí)B轉(zhuǎn)過(guò)來(lái)的位置記為B',B點(diǎn)的位置記為B',則A、B'之間最短

路線應(yīng)該是線段AB',設(shè)這條線段與墻棱線交于一點(diǎn)P,那么，折線4PB就是從A點(diǎn)沿

著兩扇墻面走到B點(diǎn)的最短路線.

證明：在墻棱上任取異于P點(diǎn)的P'點(diǎn)，若沿折線AP'B走，也就是沿在墻轉(zhuǎn)90°后

的路線AP'B'走都比直線段APB'長(zhǎng)，所以折線APB是壁虎捕蛾的最短路線.

由此例可以推廣到一般性的結(jié)論：想求相鄰兩個(gè)平面上的兩點(diǎn)之間的最短路線時(shí)，可

以把不同平面轉(zhuǎn)成同一平面，此時(shí)，把處在同一平面上的兩點(diǎn)連起來(lái)，所得到的線段還原

到原始的兩相鄰平面上，這條線段所構(gòu)成的折線，就是所求的最短路線.

例3長(zhǎng)方體ABCD—A'B'C'D'中，AB=4,A'A=2'，AD=1,有一只小蟲(chóng)從頂

點(diǎn)D'出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到B點(diǎn)，問(wèn)這只小蟲(chóng)怎樣爬距離最短？（見(jiàn)圖（1））

解：因?yàn)樾∠x(chóng)是在長(zhǎng)方體的表面上爬行的，所以必需把含D'、B兩點(diǎn)的兩個(gè)相鄰的

面“展開(kāi)”在同一平面上，在這個(gè)“展開(kāi)”后的平面上D'B間的最短路線就是連結(jié)這兩

點(diǎn)的直線段，這樣，從D'點(diǎn)出發(fā)，到B點(diǎn)共有六條路線供選擇.

①?gòu)腄'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)面攤開(kāi)在一個(gè)平面

上（上頁(yè)圖（2））,這時(shí)在這個(gè)平面上D'、B間的最短路線距離就是連接D'、B兩點(diǎn)

的直線段，它是直角三角形ABD'的斜邊，根據(jù)勾股定理，

D'B2=D'A2+AB2=（1+2）2+42=25,/.D'B=5.

②容易知道，從D'出發(fā)經(jīng)過(guò)后側(cè)面再進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離也是5.

③從D'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn).將這兩個(gè)面攤開(kāi)在同一平

面上，同理求得在這個(gè)平面上D'、B兩點(diǎn)間的最短路線（上頁(yè)圖（3））,有：

D'B2=22+（1+4）2=29.

④容易知道，從D'出發(fā)經(jīng)過(guò)后側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是29.

⑤從D'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)左側(cè)面，然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)，將這兩個(gè)平面攤開(kāi)在同一

平面上，同理可求得在這個(gè)平面上D'、B兩點(diǎn)間的最短路線（見(jiàn)圖），

D'DC

A'2A4B

D'B2=（2+4）2+12=37.

⑥容易知道，從D'出發(fā)經(jīng)過(guò)上側(cè)面再進(jìn)入右側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)的最短距離的平方也是37.

比較六條路線，顯然情形①、②中的路線最短，所以小蟲(chóng)從D'點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)上底面

然后進(jìn)入前側(cè)面到達(dá)B點(diǎn)（上頁(yè)圖（2））,或者經(jīng)過(guò)后側(cè)面然后進(jìn)入下底面到達(dá)B點(diǎn)的

路線是最短路線，它的長(zhǎng)度是5個(gè)單位長(zhǎng)度.

利用例2、例3中求相鄰兩個(gè)平面上兩點(diǎn)間最短距離的旋轉(zhuǎn)、翻折的方法，可以解決

一些類似的問(wèn)題，例如求六棱柱兩個(gè)不相鄰的側(cè)面上A和B兩點(diǎn)之間的最短路線問(wèn)題（下

左圖），同樣可以把A、B兩點(diǎn)所在平面及與這兩個(gè)平面都相鄰的平面展開(kāi)成同一個(gè)平面

（下右圖），連接A、B成線段AP1P2B,Pl、P2是線段AB與兩條側(cè)棱線的交點(diǎn)，則折

線AP1P2B就是AB間的最短路線.

圓柱表面的最短路線是一條曲線，“展開(kāi)”后也是直線，這條曲線稱為螺旋線.因?yàn)?/p>

它具有最短的性質(zhì)，所以在生產(chǎn)和生活中有著很廣泛的應(yīng)用.如：螺釘上的螺紋，螺旋輸

粉機(jī)的螺旋道，旋風(fēng)除塵器的導(dǎo)灰槽，槍膛里的螺紋等都是螺旋線，看下面例題.

例4景泰藍(lán)廠的工人師傅要給一個(gè)圓柱型的制品嵌金線，如下左圖，如果將金線的起

點(diǎn)固定在A點(diǎn)，繞一周之后終點(diǎn)為B點(diǎn)，問(wèn)沿什么線路嵌金線才能使金線的用量最少？

解：將上左圖中圓柱面沿母線AB剪開(kāi)，展開(kāi)成平面圖形如上頁(yè)右圖（把圖中的長(zhǎng)方

形卷成上頁(yè)左圖中的圓柱面時(shí)，A'、B'分別與A、B重合），連接AB',再將上頁(yè)右

圖還原成上頁(yè)左圖的形狀，則AB'在圓柱面上形成的曲線就是連接AB且繞一周的最短線

路.

圓錐表面的最短路線也是一條曲線，展開(kāi)后也是直線.請(qǐng)看下面例題.

例5有一圓錐如下圖，A、B在同一母線上，B為AO的中點(diǎn)，試求以A為起點(diǎn)，以

B為終點(diǎn)且繞圓錐側(cè)面一周的最短路線.

解：將圓錐面沿母線AO剪開(kāi)，展開(kāi)如上右圖（把右圖中的扇形卷成上圖中的圓錐面

時(shí)，A'、B'分別與A、B重合），在扇形中連AB',則將扇形還原成圓錐之后，AB'

所成的曲線為所求.

例6如下圖，在圓柱形的桶外，有一只螞蟻要從桶外的A點(diǎn)爬到桶內(nèi)的B點(diǎn)去尋找

食物，已知A點(diǎn)沿母線到桶口C點(diǎn)的距離是12厘米，B點(diǎn)沿母線到桶口D點(diǎn)的距離是8

厘米，而C、D兩點(diǎn)之間的（桶口）瓠長(zhǎng)是15厘米.如果螞蟻爬行的是最短路線，應(yīng)該怎

么走？路程總長(zhǎng)是多少？

分析我們首先想到將桶的圓柱面展開(kāi)成矩形平面圖（下圖），由于B點(diǎn)在里面，不

便于作圖，設(shè)想將BD延長(zhǎng)到F,使DF=BD,即以直線CD為對(duì)稱軸，作出點(diǎn)B的對(duì)稱

點(diǎn)F,用F代替B,即可找出最短路線了.

解：將圓柱面展成平面圖形（上圖），延長(zhǎng)BD到F,使DF=BD,即作點(diǎn)B關(guān)于直

線CD的對(duì)稱點(diǎn)F,連結(jié)AF,交桶口沿線CD于O.

因?yàn)橥翱谘鼐€CD是B、F的對(duì)稱軸，所以O(shè)B=OF,而A、F之間的最短線路是直

線段AF,又AF=AO+OF,那么A、B之間的最短距離就是AO+OB,故螞蟻應(yīng)該在桶外

爬到。點(diǎn)后，轉(zhuǎn)向桶內(nèi)B點(diǎn)爬去.

延長(zhǎng)AC到E,使CE=DF,易知△AEF是直角三角形，AF是斜邊，EF=CD,根據(jù)勾

股定理，AF2=（AC+CE）2+EF2=（12+8）2+152=625=252,解得AF=25.

即螞蟻爬行的最短路程是25厘米.

例7A、B兩個(gè)村子，中間隔了一條小河（如下圖），現(xiàn)在要在小河上架一座小木

橋，使它垂直于河岸.請(qǐng)你在河的兩岸選擇合適的架橋地點(diǎn)，使A、B兩個(gè)村子之間路程

最短.

分析因?yàn)闃虼怪庇诤影?，所以最短路線必然是條折線，直接找出這條折線很困難，

于是想到要把折線化為直線.由于橋的長(zhǎng)度相當(dāng)于河寬，而河寬是定值，所以橋長(zhǎng)是定

值.因此，從A點(diǎn)作河岸的垂線，并在垂線上取AC等于河寬，就相當(dāng)于把河寬預(yù)先扣除,

找出B、C兩點(diǎn)之間的最短路線，問(wèn)題就可以解決.

解：如上圖，過(guò)A點(diǎn)作河岸的垂線，在垂線上截取AC的長(zhǎng)為河寬，連結(jié)BC交河岸

于D點(diǎn)，作DE垂直于河岸，交對(duì)岸于E點(diǎn)，D、E兩點(diǎn)就是使兩村行程最短的架橋地點(diǎn).即

兩村的最短路程是AE+ED+DB.

例8在河中有A、B兩島（如下圖），六年級(jí)一班組織一次劃船比賽，規(guī)則要求船從

A島出發(fā)，必須先劃到甲岸，又到乙岸，再到B島，最后回到A島，試問(wèn)應(yīng)選擇怎樣的路

線才能使路程最短？

解：如上圖，分別作A、B關(guān)于甲岸線、乙岸線的對(duì)稱點(diǎn)A'和B',連結(jié)A'、

B'分別交甲岸線、乙岸線于E、F兩點(diǎn)，則A-E—F-B-A是最短路線，即最短路程為：

AE+EF+FB+BA.

證明：由對(duì)稱性可知路線AfEfF—B的長(zhǎng)度恰等于線段A'B'的長(zhǎng)度.而從A島

到甲岸，又到乙岸，再到B島的任意的另一條路線,利用對(duì)稱方法都可以化成一條連接A'、

B'之間的折線，它們的長(zhǎng)度都大于線段A'B',例如上圖中用“--------”表示的路

線A-E'-F'-B的長(zhǎng)度等于折線AE'F'B的長(zhǎng)度，它大于A'B'的長(zhǎng)度，所以A

_>EfF-B-*A是最短路線.

?對(duì)稱問(wèn)題

教學(xué)目的：進(jìn)一步理解從實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法，對(duì)于軸對(duì)稱問(wèn)題、中心對(duì)

稱問(wèn)題有一個(gè)比較深入的認(rèn)識(shí)，可以通過(guò)對(duì)稱的性質(zhì)及三角形兩邊之和與第三邊的關(guān)系找

到證明的方法。

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：猜想驗(yàn)證的過(guò)程，及幾何問(wèn)題的說(shuō)理性。

一、點(diǎn)關(guān)于一條直線的對(duì)稱問(wèn)題

問(wèn)題超市：一天，天氣很熱，小明想回家，但小狗想到河邊去喝水。有什么辦法能讓

小狗到河邊喝上水，同是回家又最近？

問(wèn)題數(shù)學(xué)化：設(shè)小明與小狗在A處，家在B處，小河為L(zhǎng)

L,小明要在直線L上找一個(gè)點(diǎn)C（小狗在C處飲水），使得

AC+BC最短。（如圖所示）A-

?B

知識(shí)介紹：兩條線段之和最短，往往利用對(duì)稱的思想，

把兩條線段的和變?yōu)橐粭l線段來(lái)研究，利用兩點(diǎn)之間的線段最短，可以得出結(jié)果。

中學(xué)數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的對(duì)稱有兩類，一類是軸對(duì)稱，一類是中心對(duì)稱。

軸對(duì)稱有兩個(gè)基本特征:垂直與相等。構(gòu)造點(diǎn)M關(guān)于直線PQ的軸對(duì)稱點(diǎn)N的方法是:

過(guò)M作MO垂直于PQ于點(diǎn)O,并延長(zhǎng)MO到點(diǎn)N,使NO=MO,則點(diǎn)N就是點(diǎn)M關(guān)于

直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)。

問(wèn)題分析：過(guò)A作AO垂直于直\

線L于點(diǎn)O,延長(zhǎng)AO到點(diǎn)A',使_______?\C_____L

A'O=AO,連接A'B,交直線L于點(diǎn)

C,則小明沿著ACB的路徑就可以滿A\

足小狗喝上水，同時(shí)又使回家的路B

程最短。

問(wèn)題的證明方法：三角形兩邊之和大于第三邊及對(duì)稱的性質(zhì)。

問(wèn)題的延伸1：已知直線L外有一個(gè)定點(diǎn)P,在直線L上找兩

點(diǎn)A、B,使AB=m,且PA+PB最短。(其中m為定值)/\

提示：作PC平行于AB,且PC==AB,則問(wèn)題變?yōu)椋涸谥本€L4——'—L

上找一個(gè)點(diǎn)B,使它到P、C兩點(diǎn)的距離之和最短。''

問(wèn)題的延伸2:在兩條相交線

之外有一個(gè)定點(diǎn)P,分別在兩條直

線上找點(diǎn)B、C使得PB+BC+CP最

短，如何確定B、C的位置？

提示：分別作點(diǎn)P關(guān)于直線L1

和直線L?的對(duì)稱點(diǎn)P1和P2,連接

PF2分別與兩直線交于B、C點(diǎn)，

則PB+BC+PC最短。證明方法同上。

二、橋該建在哪里：

問(wèn)題超市：農(nóng)場(chǎng)里有一條小河，里面養(yǎng)了很多魚(yú)。在河的兩岸有兩個(gè)加工廠，農(nóng)場(chǎng)主

經(jīng)常要在這兩個(gè)工廠之間來(lái)回奔波。農(nóng)場(chǎng)新買了一輛汽車，想在農(nóng)場(chǎng)內(nèi)建造一條馬路，同

時(shí)在河上修建一座橋。要求橋與河岸垂直，可是橋應(yīng)該建在何處，才能使兩個(gè)加工廠之間

的路程最短？

,A

問(wèn)題數(shù)學(xué)化：在直線L1和直線J之間作一條垂線段

CD,使得BC+CD+DA最短。

知識(shí)介紹：/

關(guān)于最短距離，我們有下面幾個(gè)相應(yīng)的結(jié)論：B，

(1)在連接兩點(diǎn)的所有線中，線段最短(兩點(diǎn)之間，線段最短)；

(2)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；

(3)在三角形中，大角對(duì)大邊，小角對(duì)小邊。

一般說(shuō)來(lái)，線段和最短的問(wèn)題，往往把幾條線段連接成一條線段，利用兩點(diǎn)之間線段

最短或者三角形兩邊之和大于第三邊來(lái)加以證明。

另外，在平移線段的時(shí)候，一般要用到平行四邊形的判定和性質(zhì)。(判定：如果一個(gè)

四邊形的一組對(duì)邊平行且相等，那么這個(gè)四邊形是平行四邊形；性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊

相等。)

問(wèn)題分析：由于CD的長(zhǎng)度一定，所以BC+CD+DA最短，只需BC+DA最短既可。

我們想辦法把線段AD平移到和

線段BC共線的位置，于是變化

為下面兩圖。

問(wèn)題的總結(jié)與結(jié)論：一般來(lái)LiLi

說(shuō)，我們利用圖形的對(duì)稱性尋找