2023-2024學(xué)年福建省福州市高一年級下冊冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題合集2套（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省福州市高一下冊期中數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測模擬試題

一、單選題

1.已知復(fù)平面內(nèi)，（2-i）z對應(yīng)的點位于虛軸的正半軸上，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【正確答案】B

【分析】設(shè)2=。+歷（。）€尺），然后對（2-i）z化簡，結(jié)合（2-i）z對應(yīng)的點位于虛軸的正半軸上可求出

a,6的范圍，從而可求出復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點所在的象限

【詳解】設(shè)2=。+bi（a,b￡E）,所以（2—i）（a+6i）=2。+6+（26—a）i,

[2〃+b=0[b=-2a

則日-.〉。'即[a<26,

所以a<0,b>0,故該點在第二象限，

故選：B.

2.已知石滿足￡=（2,2）邛卜2,且3的夾角為]兀，貝中+囚=（）

A.2A/5B.2C.4D.2c

【正確答案】B

【分析】先求出1%的值，將F+4平方轉(zhuǎn)化為數(shù)量積計算.

【詳解】fl=（2,2）,所以忖=2也，.石=卜帆cos;兀=-4,|a+Z>|123=a+l>+2a-Z>=8+4-8=4,所

以,++2.

故選：B

3.平行四邊形/BCD中，點￡是。。的中點，點尸是5C的一個三等分點（靠近5）,則麗=（）

A.-AB--ADB.-AB+-AD

2342

1—1—1—.2―-

C.-AB+-ADD.-AB——AD.

3223

【正確答案】D

【分析】用向量的加法和數(shù)乘法則運(yùn)算.

DE

【詳解】

B

由題意：點E是。。的中點，點尸是BC的一個三等分點,

：.EF=ED+DA+AB+BF^-^AB-AD+AB+為=^4B-

232>?

故選：D.

方法點睛：解題時可根據(jù)加法法則，從向量的起點到終點，然后結(jié)合向量的數(shù)乘運(yùn)算即可得.

4.若zeC且|z+3+4心2,則匕-1-4的最大和最小值分別為峪小，則”-加的值等于()

A.3B.4C.5D.9

【正確答案】B

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點的軌跡，再次利用復(fù)數(shù)差的模的幾

何意義得到從而可得"-機(jī)的值.

【詳解】因為|z+3+4i|42,

故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點尸到為=-3-4/對應(yīng)的點A的距離小于或等于2,

所以P在以為圓心，半徑為2的圓面內(nèi)或圓上,

又|z-1表示P到復(fù)數(shù)Z?=1+z?對應(yīng)的點B的距離,

最小值為|/a-2=41-2,故Af-加=4.

故選：B.

本題考查復(fù)數(shù)中卜—2|的幾何意義，該幾何意義為復(fù)平面上z/2對應(yīng)的兩點之間的距離，注意區(qū)+z2|

也有明確的幾何意義(可把區(qū)+Z2|化成I4-(-Z?)),本題屬于中檔題.

5.已知單位向量加滿足"石=0，若向量I=近￡+瘋j,貝1Jsin(a,c)=()

「

A近RV2V7

A?------V/?---------D.叵

3399

【正確答案】B

【分析】計算出.二二近，及口，從而利用向量余弦夾角公式計算得到cos?I）=3,再利用同角三

角函數(shù)平方關(guān)系求出Sin

【詳解】因為2,］是單位向量，

所以H=W=i,

又因為坂=0，c=J7a+各，

a-c

所以cos(a,c立

3

因為(a,c)e[0,7r],

故選：B.

Ab|

6.在△/BC中，內(nèi)角/,B,C的對邊分別為a,b,c已知sin2；+『=:，則△/SC的形狀為（）

22c2

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.等腰直角三角形

【正確答案】A

根據(jù)二倍角公式和，即可得至IJcosN=2,再根據(jù)余弦定理，得到〃+/=c2,由勾股定理可判斷.

C

,、4bn、...2，b1_/口.2/C—b

【詳解】.sm--+—,可r得sm—,

22c222c

.1-cosA_c-b_1b

22c22c'

cosA=—,

c

b2+c2-a2=2b2,Z?2+q2=02,

?,?力5C為直角三角形，且NC=90。，

故選：A.

思路點睛:

A

由|■聯(lián)想到降幕公式，當(dāng)余弦和邊同時出現(xiàn)時，應(yīng)通過余弦定理將邊將角化為邊.

7.已知矩形/BCD的一邊48的長為4,點N分別在邊BC,OC上，當(dāng)M,N分別是邊BC,DC

的中點時，有（而+/）?麗=0.若而+京=》益+了1萬，x+y=3,則線段MN的最短長度為（）

A.V3B.2C.2百D.272

【正確答案】D

【分析】先根據(jù)M,N滿足的條件，將（AM+N元）?麗=0化成而，刀的表達(dá)式，從而判斷出矩形ABCD

為正方形；^AM+AN^xAB+yAD,左邊用石,而表示出來，結(jié)合x+y=3,即可得NC+A/C=4,

最后借助于基本不等式求出MN的最小值.

當(dāng)M,N分別是邊BC,DC的中點時,

所以則矩形N5CD為正方形，設(shè)灰=濃版=詼，則

AM+AN=AB+(I-/u")AD+(1-AJ4B+AD=xAB+yAD

貝?。輝=2-X,y=2-〃，又x+y=3,所以%+〃=l.

故NC+MC=4,則MN=JMC'NC。2J"+；。寧二心242

（當(dāng)且僅當(dāng)MC=NC=2時取等號）.

故線段MN的最短長度為2亞

故選：D.

8.設(shè)AA8C,1是邊48上一定點，滿足為8=彳48,且對于邊48上任一點尸，恒有方.無2磔.錠.

則（）

c

A.ZABC=90°B./a4c=90°C.AB=ACD.AC=BC

【正確答案】D

【分析】取BC的中點D,由極化恒等式可得而.斤=歷一赤，即.餐=?-赤，從而可得

|加上|麗即可得出4D,43,由得出答案.

【詳解】如圖，取3C的中點。，

U

A

由極化恒等式可得：PB?PC=PDi-BDi，

同理，展?卷二月講—方，由于麗?無之尊?就,

則|所上|他所以與3,

因為=。是BC的中點，于是/C=3C.

故選：D.

二、多選題

9.已知4與Z2是共軌復(fù)數(shù)，以下4個命題一定正確的是（）

A.平2=匕hB.Z；〈㈤2

C.z；+z2eRD.—eR

Z2

【正確答案】AC

【分析】設(shè)4=。+萬,22=”萬,〃力€1<,根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算Z0,可得A正確；分別求出Z；,"「，得到

B不正確；根據(jù)4+z2=2aeR,可得C正確；根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，可得D不一定正確，即可求解.

Z

【詳解】T^I=a+bi,z2=a-bi,a,beR,

22

由十2=。2+62,\Zlz2\=a+b,所以卒2=匕必2],所以A正確；

則z；=/-〃+2"i,"「=（而下『=/+〃，所以B不正確;

由4+z2=2aeR,所以C正確；

z_a+b\_(a+bi)~_d-B

x不一定是實數(shù),

z2a-bi(a-6i)(a+6i)d+3

所以D不一定正確.

故選：AC

10.在“3C中，內(nèi)角4B,。所對的邊分別為a,b,c,且°=也，則下列選項正確的是（）

A.若,則“3C有兩解

4

B.若力>后，則A/IBC無解

C.若"3C為銳角三角形，且3=2C,貝ijsin/w-^a,-a

I42

D.若4+3=2C,則a+6的最大值為2也

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)邊角的關(guān)系，可判斷三角形的個數(shù)，即可判斷AB；

根據(jù)三角形是銳角三角形，求角。的范圍，即可判斷C；

利用正弦定理，將邊表示為三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷D.

【詳解】對于A,因為8=工,1<6<也，所以csinB<6<c,則AA8C有兩解，A正確.

4

對于B,因為2€13，],6>五，所以“BC有且僅有一解，B錯誤.

7r

0<兀一3C<—

2

對于C,由0<2C得貝(jsinCw2?"F

7

0<C<-

2

、

aasinC（拒1

因為,所以sin4=G-----ci.——a，C正確.

sinAsinC42

abcV2276

7T_______—

對于D.因為4+8=2C,所以C=],又因為sinN-sinBsinC^33，

2

所以a=sin46=sinB，則

2"33

A

33333

—f-sin^+—cosyl^=272si[八.27rzt=?兀.兀5兀

A,由0<4<——,得一</+一<—,

3223666

所以當(dāng)/+5=g，即/=g時，6取得最大值2及，D正確.

623

故選：ACD

11.窗花是貼在窗子或窗戶上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個正八邊形窗花,

圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖.已知正八邊形呼G”的邊長為血，P是正八邊形

ABCDEFGH邊k任意一點,則下列結(jié)論正確的是（）

圖1圖2

A.BG=2AH

6

B.4。在方向量上的投影向量為工-+14B

7

C.若況?元=（1+a）用.麗，則尸為瓦）的中點

D.若尸在線段3C上，且9=+y而，貝!I尤+了的取值范圍為［1,2+拒］

【正確答案】BD

【分析】以4E為V軸，GC為％軸建立直角坐標(biāo)系，計算各點坐標(biāo)，計算就初，A錯誤，投影

、_%+q

向量為學(xué)+14B,B正確，直線與正八邊形有兩個交點，C錯誤,—W,D正確，得到

CL----------CL

72

答案.

【詳解】如圖所示：以月E為y軸，GC為x軸建立直角坐標(biāo)系,

川

E

A

^OA=OB=OC=OD=OE=OF=OG=OH=a,

貝1）2=42+42—242x35：,整理得到/=2+的，

4

4（0,-Q）,5^^2],C僅,0],￡。,〃）F-<F，]

2~"a，>J'

G（一〃,0）,H-^-a,-^-a,設(shè)尸（才0,九），

\7

—Hr1?'一（?后）

A：BG=—ci----a,a,A,H------a,a-----ci,JG^2AH，錯誤；

、22J（22,

、一（亞6）—/后⑦\(yùn)

~I22JI22J

12212

而.萬_2a+a~2^1班（收、一

l2gi2立丫-2-E5T，即投影向量為+14B,正確；

11—42+Q-----a1

2I2J

_._.（亞E、也

對選項C：OA-FC—（0,—a,ci-\----a,----a----a?,

I22）2

成.而=）j變a,變”“=-包"+2）

-a-ci,

I22J212

62

厲A=（l+祀廬.而，整理得到/變”,J2a,即％=（后+1卜0,與正八

2°'211+后

邊形有兩個交點，錯誤;

對選項D：4P=(%,%+。)，AB=

AP=xAB+yAH，(x0,y0+a)=x

整理得至產(chǎn)'=一行,故x+ye[l,2+后],正確.

a------a

故選：CD

關(guān)鍵點睛：本題考查了向量的運(yùn)算，投影向量，意在考查學(xué)生的計算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力,

其中建立直角坐標(biāo)系，將向量運(yùn)算轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，可以減少計算量，是解題的關(guān)鍵.

12.如圖，AA8C的內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。,b,c.若a=b,且G(acosC+ccos/)=26sin8,

。是。BC外一點，DC=\,D4=3,則下列說法正確的是()

A.AASC是等邊三角形

B.若NC=2百，則A,B,C,。四點共圓

C.四邊形/BCD面積最大值為邁+3

D.四邊形/BCD面積最小值為地-3

2

【正確答案】AC

【分析】利用三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可求sing,再利用“=6,可知A/3C為等邊三角形，從

而判斷A；利用四點A,B,C,。共圓，四邊形對角互補(bǔ)，從而判斷8；設(shè)/C=x,x>0,在A/DC

中，由余弦定理可得Y=10-6COS。，利用三角形的面積公式，三角函數(shù)恒等變換的，可求S四邊囪sc。，

利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，求出最值，判斷CO.

【詳解】由正弦定理。=2Asin46=2AsinB,c=2AsinC,

得百-(sinAcosC+sinCcos4)=2sin5?sinB,

/.也=2sinB,sinB=,

jr

-：a=b,8是等腰小BC的底角，，Be(0,5),

TT

.?.2=H，.?.4/2C是等邊三角形，/正確；

8不正確：若4B,C,。四點共圓，則四邊形對角互補(bǔ),

2n1

由《正確知2D=—,cosD=一一,

32

但由于DC=1,。/=3,/C=2g時,

DC?+"-Re?I2+32-(2A/3)211

cosD==0

2-DA-DC~2x1x3-----3------2

:.B不正確.

C正確，。不正確:

設(shè)/。=8,貝!J/。？2。。?。/式05。=10—6cos6,

Q_百八八久n\_5G30

S&ABC=7.(1°—6COS°)=—c°sO

3

Sm'sm。,

=3sin(0-：)+乎，

,?*dG(fi,jr),sin(6--)G(——,1］，

cn

一石＜S四邊形/BCDV；-+3，，C正確，。不正確;

故選：AC..

本題主要考查正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的綜合

應(yīng)用，考查計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.

三、填空題

13.已知復(fù)數(shù)4，z是方程/+》+1=。的兩個根，則告+_=__________.

Z]+1Z2+1

【正確答案】-2

【分析】由題意求出4/2,代入年+旦7化簡，可得答案.

2]+1Z2+1

【詳解】由復(fù)數(shù)4/2是方程x2+x+l=0的兩個根，則不妨取4=*畫/2=二1#，

-1+ei

故號-+，L_=—_2=一]_i=一2

Z]+1z2+11—V3i1+v3i

22

故-2

14.海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)“，我國擁

有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A,3兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取

兩點C,D,測得8=80,ZADB=135°,ZBDC=ZDCA=15°,ZACB=120°,則A,8兩點間的距

離為.

【正確答案】80證

【分析】根據(jù)題意，求得各個角度，即可得長，根據(jù)正弦定理，可得3。長，根據(jù)余弦定理，即可

得答案.

【詳解】因為/AD8=135。，ZBDC=ZDCA=15°,

所以NADC=150。，ZDAC=ZDCA=15°,

所以/D=CD=80,

又因為/ZC8=120°,

所以N5CZ)=135。,/(72。=30。，

BD_8。

由正弦定理得：一,即正=丁，解得50=80匹,

sinABCDsmZ.CBD——T

22

在4ABD中，由余弦定理得AB2=AD2+BD2-2AD-BDcosZADB,

=802+(80V2)2-2X80X80V2X二叵

一_T

7

解得/8=80右m.

故806

15.如圖，已知正六邊形4BCDEF邊長為1,點尸是其內(nèi)部一點，（包括邊界），則刀.淺的取值范

【正確答案】［0,可

【分析】易得/尸?/C=NP?/C?cos(AP,再由網(wǎng).cos用，就）表示不

在於上的投影求解.

【詳解】解：由正六邊形的性質(zhì)得：NBCA=NBAC=30°，

貝ijNC=2xlxcos30°=,ZG4F=120°-30°=90°,

萬.就=網(wǎng)

而網(wǎng)■cos（AP,AC）表示N在衣上的投影，

當(dāng)點P在C處時，投影最大為石，當(dāng)點尸在尸處時，投影最小為0,

所以刀.黑的取值范圍為［。，3］,

故[0,3]

16.在△/BC中，角4B,C所對的邊分別為％b,c.若a2+〃+2c2=8,則△/BC的面積的最大值

為.

【正確答案】*

【分析】（1）可以把△N2C放入直角坐標(biāo)系中，將已知條件轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)之間的方程關(guān)系，數(shù)形結(jié)合,

找到取得面積最大時的特殊位置；

(2)可以把已知條件中三個變元的關(guān)系結(jié)合基本不等式形成兩個變元的關(guān)系，同時面積也轉(zhuǎn)化成這兩

個變元的關(guān)系再求最值即可；

(3)可以把已知條件結(jié)合余弦定理及基本不等式，將面積轉(zhuǎn)化為以角度為變量的三角函數(shù)表示，利用

函數(shù)思想求三角函數(shù)最值.

【詳解】方法1：在中，以線段所在的直線為x軸，的中垂線為了軸，建立平面直角坐

標(biāo)系，則/(-別,設(shè)C5相

因為/+/+2。2=8,所以8c2+解=8-2c\

整理得f-*,即C是如圖1所示的圓上的動點.

圖1圖2

如圖2,當(dāng)點C在〉軸上時，即尤=0時，△N8C面積最大，

故S*=；xcx,#=(k一/,當(dāng)時，即。=妾時，△/8C面積取得最大值為孚.

方法2：如圖3,CO是△/BC邊上的高，設(shè)/D=x,BD=y,CD=h,由/+/+2c?=8,得

(肥+力+儼+/)+2(工+4=8,即2/+/+產(chǎn)+2(》+4=8,又亨,產(chǎn)!￡,得當(dāng)且

僅當(dāng)x=y時取等號)，所以2//+g(x+?.,8,

又SA48c=；(x+y)〃==；x^X+當(dāng)x50+.)+?h2下,

當(dāng)且僅當(dāng)』(x+y)="z時，等號成立，即仁石x,

將〃=氐與x=y代人2〃2+/+/+2。+>)2=8中，得尤=了=叵.

5

所以面積的最大值為亭.

方法3:由三角形面積公式，得S“c=gabsinC,即黑.=；。出sin2c=+若(l-cos’C),

由Q2+/+2C2=8,得/+〃=8-2/,由余弦定理，得cosC=，

2ab

所以

2222222222

S^ABC~~^bsinC=^-ab(1-cosC)=—ab?1-f8.]]=~ab-—―

c44V74](2砧〃416

(8—Sc?(8-2C2J_(8一然j,_四二，2(當(dāng)且僅當(dāng)Q=b時取等號)，

”1616161616

當(dāng)。2/時，即”巫時，—今+M取得最大值金，即％g]所以△45。面積的最大值為宜t

5516555

(也可以用基本不等式求S九5c的最大值,

即雙叱-紀(jì)+八人軍也到4,

△ABC165165

當(dāng)c?=g時，即,=①時取等號，所以△/BC面積的最大值為也.)

555

方法4：在△45C中，由余弦定理，得/=/+〃一①6cosC,由a?+/+2°2=8,得

/+/+2(/+Z>2-2abcosC)=8,即3(/+/)=8+4abcosC,又a1+及..2ab,所以8+4Q6COSC..6Q6,即

41?sinC2sinx

^(3-2cosC)?4,故她，一又凡,=彳仍sin。，所以:。令/a)=

3-2cosC23—zcosC3-2cosx

/八、/口”、6cosx-4./口2

XG(O,TT),得/(x)=(3_2cosx)2'令6COS%—4=0,得COSXO=§,

X(o,%)%(尤0,萬)

/'(x)+0-

f(x)/極大值/(X。)

即當(dāng)COSX°=g時，sinx,=李，/(x)最大值=4％)=：=孚,所以△，8C面積的最大值為也.

在處理與正余弦定理相關(guān)的面積最值問題時：

(1)如果出現(xiàn)邊的一次式一般采用正弦定理，出現(xiàn)二次式一般要結(jié)合余弦定理，利用基本不等式找到

變元間的不等關(guān)系，結(jié)合面積公式求得最值；

(2)三角形的面積可以轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，也可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值；

(3)也可以數(shù)形結(jié)合，如果能從形中找到突破口，會降低難度和計算量.

四、解答題

2

17.已知復(fù)數(shù)2=〃+/,(心0,aGR),i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)2+-為實數(shù).

(1)求復(fù)數(shù)Z；

(2)在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)(m+z)2對應(yīng)的點在第一象限，求實數(shù)機(jī)的取值范圍.

【正確答案】(1)Z=l+Z；(2)(0,+8).

【分析】(1)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的分類即求解.

(2)利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.

【詳解】(1)因為z=a+i(a>0),

22

所以z+—=a-\-i-\-----

za+i

=q+j+7T7T

_...2a-2i

一Cl\l\9

a2+l

=[“+用+『告k

由于復(fù)數(shù)2+42為實數(shù)，所以1—告2=0,

因為Q>0,解得4=1,因此，Z=l+z.

(2)由題意(yn+z)2HMz+1+。2

=(m+1)2-1+2(m+l)z=(m2+2m)+2(m+1)3

m+2m>0

由于復(fù)數(shù)(%+z)2對應(yīng)的點在第一象限，則2(7力+1)>0,解得心0.

因此，實數(shù)"2的取值范圍是(0,+oo).

18.已知向量Z=（"-D,

⑴求與"平行的單位向量工；

（2）設(shè)x="+?2+3）6,y=-b/a+b,若存在te［0,2］,使得成立，求后的取值范圍.

【正確答案】（1）?

(2)/-,+s

【分析】（1）待定系數(shù)法設(shè)坐標(biāo)后列方程組求解

（2）由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算化簡，轉(zhuǎn)化為方程有解問題

廠+y=1,

【詳解】（1）設(shè)口（x,y）,根據(jù)題意得，

#>y+x=0,

G1

解得或，=

2'2-

V3

(2)a=(\/3,-r),b=.a-b=O

2,~2

xLy,—kt|aI"+（r+3）向2=o.a|=2,|Z>|=1,

3-4h+3=0.問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的二次方程產(chǎn)-4狂+3=0在［0,2］內(nèi)有解.

令/⑺=/一物+3,

①當(dāng)次,0,即仁0時，％）在。2］內(nèi)為增函數(shù)，/（0）=3

方程『一4八+3=0在［。，2］內(nèi)無解.

②當(dāng)0<2左，2,即0<&1時,由A=16左2-12..0,解得后或后…旦

222

7

③當(dāng)2人>2,即上>1時，/（。在。2］內(nèi)為減函數(shù)，由〃2）,0得4一8左+3,0.解得?左>L

O

19.在AA8C中，角4&C的對邊分別為a、“c,已知(b-cXsin8+sinC)=a(siiU-sinC),

⑴求B；

（2）若“BC為銳角三角形，6=6，求/+°2的取值范圍.

【正確答案】（1）84

⑵（5,6]

2

【分析】（1）利用正弦定理角化邊可得力+,2一/=℃,結(jié)合余弦定理即得8弦="+=一"=L即

2ac2

可求得答案；

（2）利用余弦定理表示出/+c2=3+ac,結(jié)合正弦定理邊化角可得ac=4siMsinC,利用三角恒等變

換化簡可得“c=2sin1,結(jié)合“8C為銳角三角形確定N的范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)，即可

求得答案.

【詳解】（1）由（b—c）（sin5+sinC）=（sirL4—sinC）。，

根據(jù)正弦定理可得他-。）9+。）=（〃-?！?

所以/+，一〃-ac,

由余弦定理可得cosB="一+C?-嗔1,

2ac2

兀）,:.B.

22

（2）由余弦定理，得6?=/+o?一2QCCOSH,「.3=a+c-ac,

BPa2+c2=3+acf

a_c_b_VJ_2

由正弦定理,得siMsinCsinB^3,

3

2兀

即〃=2sirU,c=2sinC,又C=------A,

3

所以“c=4sirL4sinC=4sin4sin]=2次in4coM+2sin%

=>Asin24-cos2/+l=2sin（24-E}l,

八,兀

0</<一

由"gc為銳角三角形，故c2,解得

八2兀，兀62

0<------A<—

[32

所以3<2/一3<*，所以sin12/—U：,l],

666I6y\2J1

所以ac￡(2,3],所以&+。2=3+ac￡(5,6].

cosA_

20.在中，內(nèi)角4,B,C的對邊分別為eb,c,點。是邊5C上的一點,

cosC2b+4^c

口sinABADsinZCAD3

且---------+---------二——.

bc2a

⑴求證：

(2)若CD=2BD,求cos/NOC.

【正確答案】(1)詳見解析；

⑵上

14

【分析】(1)先利用余弦定理由金=-一蟲%得到/=?,再利用正弦定理由

cosC2bz3c6

sinZBADsinZCAD

-------------+即可求得皿鼻

b--------c

人c=yfib13

(2)先利用余弦定理求得廠,進(jìn)而利用余弦定理求得

a=yHb14

COSA_V5(7

【詳解】(1)在力5C中,

cosC2b+43c

221

EIb+c-a2abviz

貝1--------------x—~-―-=——\=-

2bca+b—c2,b+yjic

整理得〃+02一。2=一&7c,則COS4=J+?———=

2bc2

5兀

又0<4<兀，則4=—

6

；.q?sinZCADsinC..0…CDsinC

在△ZCD中，由正弦定理得--------二-----,貝n！|sm/C4Z)=-------------

CDADAD

....十獷…E/口sin/540sin5.BD?sinB

在△氏4。中，由正弦定理得--------二-----,則nilsm/54D=-------------

BDADAD

ntlsinZBADsinZCADBD-sinBCD-sinC

bcADbADc

g￡)C￡>x

_BDsinACDsinA_(+)^_"匚t3

AD-aAD-aAD-aAD,a24D2z

則4D=

D

A\^L/n

=28。，可得CD=Za,8O=」a,又AD*

(2)由CD=

333

M+1d%]+[t-，

則cosAADC=-----------------icos/ADB=----------------

。12'。11

2x—ax—a2x-ax-a

3333

由cosZ.ADC+cosZADB=0

可得⑶+0]，in-。2

0，解之得〃2一加=2。2

c12C11

2X—ClX—CL2X—ClX—CL

3333

STT

又4=1貝1/=^+,2+商八

0

a1—b1=2c1c=y/ib

由V222廠，可得Vr

a=b+c+V3be\a=Nlb

22

廣Q1+[<"〕_"2-x7/7-b

則cosZ/WC=13)J3'----=j------_13

o1241一14

2x—QX—Q—x7Z?

339

21.如圖所示，在“BC中，尸在線段上，滿足2加=正，。是線段4尸的中點.

cA

/fx土

Bp------------------CBL---；------

（圖1）（圖2）

⑴延長C。交48于點。（圖1）,求架的值；

（2）過點。的直線與邊,ZC分別交于點心尸（圖2），設(shè)麗=AAE，F(xiàn)C=juAF.

（i）求證24+//為定值；

S

（ii）設(shè)的面積為用，的面積為S2,求不的最小值.

7

【正確答案】（1）;

7

⑵⑴證明見解析；(ii)j.

【分析】(1)根據(jù)題意，將質(zhì),就作為基底表示而，由C,o,。三點共線可知，而,K的系數(shù)之和

為1,即可求出：g的值；

(2)(i)根據(jù)題意，將衣，下作為基底表示而，由￡,0,戶三點共線可知，AE,前的系數(shù)之和

為1,即可求出22+〃為一定值；(ii)根據(jù)題意，S}=^AE\\AF\smA,

邑=；|/訓(xùn)/qsinN=g(l+X)M司+/川sin/,Q++,由"+〃=3可將興化為關(guān)于

彳的函數(shù)，利用函數(shù)性質(zhì)求U的最小值即可.

【詳解】(1)依題意，因為2加=無，

1____1____Q_____1_

所以刀=萬+麗=方+-前=N§+—(加+就)=一方+-就,

33、733

因為0是線段AP的中點，所以m=:不=!萬+9就，

236

^AB=xAQ,則有NO=—/。+—4C,

36

y1S

因為C。,°三點共線，所以;+；=1,解得x=；,

362

即=所以=所以黑=；；

5533

(2)(i)根據(jù)題意在=次+麗=次+2荏=(1+2)AE,

同理可得：芯=(1+〃)方，

由(1)可知，~AO=-AP=-JB+-AC,

236

所以前=匕上而+匕￡/，

36

因為瓦O,尸三點共線，所以畢+?=1,

36

化簡得”+〃=3,

即22+〃為定值，且定值為3；

(ii)根據(jù)題意，岳=J/E||4F|sin/,

s1

所以亍=1------------------------------------=7.―-----------\>

邑((1+4)|/用(1+〃)卜尸卜山工(1+彳)(1+〃)

由⑴可知2%+"=3,貝?。荨?3-2丸，

._111

所以另二(1+4)0+3-24)=-2儲+2+廠/1丫9，

I2)2

易知，當(dāng)幾=：1時，子S,有最小值，此時S.寸=2丁

2?2?2,

22.如圖，某公園改建一個三角形池塘，ZC=900，NB=2百米，8C=1百米，現(xiàn)準(zhǔn)備養(yǎng)一批觀賞魚

供游客觀賞.

(1)若在△N8C內(nèi)部取一點尸，建造連廊供游客觀賞，方案一如圖