初中數(shù)學(xué)-切線的性質(zhì)與判定

題型五切線的性質(zhì)與判定

針對演練

類型一等腰三角形模型

1.如圖，在△NBC中，AB=BC,以8c為直徑的。。交ZC于點。，過點

。作。DFA.BC,垂足分別為點￡、F.

(1)求證：是。。的切線；

(2)若DF—3小，cosA=§,求。。的直徑.

第1題圖

2.(2016葫蘆島12分)如圖，在△N8C中，AB=AC,以為直徑的。。分

別交線段3C、ZC于點。、E,過點。作。垂足為E線段尸。、N8的

延長線相交于點G.

(1)求證：。/是。。的切線；

(2)若CF=1,DF=?求圖中二陰影部分的面積.

第2題圖

3.(2016甘孜州10分)如圖，在△N8C中，AB=AC,以為直徑作的(DO

與邊BC,/C分別交于。，E兩點，過點。作。于點〃

(1)判斷?！迸c。。的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)求證：”為CE的中點;

J5

(3)若BC=10,cosC=yr，求AE的長.

/YE

/7\//

第3題圖

4.已知：如圖，在△N8C中，BC=AC,以3C為直徑的。。與邊N3相交

于點。，DELAC,垂足為點E.

(1)求證：點。是ZB的中點；

(2)判斷。E與。O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

(3)若。。的直徑為3,BD=\,求DE的長.

八方￥

第4題圖

5.(2017原創(chuàng))如圖，半。。是的外接圓，AB=AC,延長8。與/C

交于點C,過點。作。EL/C,垂足為點E,延長E。，交AS的延長線于點E

(1)求證：跖是。。的切線；

(2)求證：AFDBS4FAD；

(3)如果。。的半徑為5,黑AF=言4求職的長.

I)

第5題圖

類型二弦切角模型

1.(2016常德8分)如圖，已知。。是△Z8C的外接圓，是。。的直徑,

且HD=3C,延長/。到E,且有

(1)求證：8E是。。的切線；

⑵若BC=小,AC=5,求圓的直徑4D及切線BE的長.

第1題圖

2.(2016宿遷8分)如圖①，在△/8C中，點。在邊8c上，

/ABC：/ACB:NADB=1：2：3,。。是的外接圓.

(1)求證：NC是。。的切線;

(2)當BD是。。的直徑時(如圖②)，求NC/O的度數(shù).

圖①圖②

第2題圖

3.(2016來賓12分)如圖，在△48C中，ZC=90°,NA4c的平分線交3C

于點。，DE±AD,交N8于點E,/E為。。的直徑.

⑴判斷與。。的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論;

⑵求證：LABDsADBE；

⑶若cos8=手，AE=4,求CD

4.(2016黔南州12分)如圖,是。O的直徑,點D是上一點,且NBDE=ZCBE,

BD與AE交于點F.

(1)求證：8C是。。的切線；

(2)若8。平分NZ3E,求證：DE2=DFDB；

(3)在(2)的條件下，延長E。、8/交于點尸，若a=ZO,DE=2,求PO的

長.

第4題圖

5.(2016柳州10分汝口圖，AB為AABC外接圓。O的直徑，點P是線段CA延長

線上一點，點￡在圓上且滿足產(chǎn)層=a.pc,連接CE,AE,OE,OE交CA于點、

D.

(1)求證：△尸EC；

(2)求證：PE為。。的切線;

(3)若N8=30。，AP=^AC,求證：DO=DP.

第5題圖

類型三直角三角形模型

1.如圖，在中，NZCB=90。，以NC為直徑的。。與邊交于

點。，點E是邊8C的中點.

(1)求證：BC2=BDBA；

(2)判斷。E與。。位置關(guān)系，并說明理由.

第1題圖

2.(2016永州10分)如圖，△Z8C是。。的內(nèi)接三角形，48為直徑，過點3

的切線與NC的延長線交于點。，E是BD中點、,連接CE.

(1)求證：CE是。。的切線；

(2)若/C=4,BC=2,求8。和CE的長.

第2題圖

3.(2016呼倫貝爾8分)如圖，已知。。的直徑為AC1AB于點4,BC與0O

相交于點。，在NC上取一點E,使得ED=E4

(1)求證：E0是。。的切線；

(2)當?！?10時，求8C的長.

4.如圖，在△NBC中，ZBAC=90°,AB=AC,N8是。。的直徑，。。交

8c于點。，DELAC于點、E,BE交0O于點、F,連接NRZE的延長線交。E

于點P.

(1)求證：是。。的切線;

⑵求tanAABE的值;

(3)若。4=2,求線段/P的長.

第4題圖

5.(2016長沙9分)如圖，四邊形4SC。內(nèi)接于。。，對角線NC為。。的直徑,

過點。作NC的垂線交4。的延長線于點E,點E為CE的中點，連接08,DC,

DF.

(1)求N8E的度數(shù);

(2)求證：OF是。。的切線；

⑶若AC=2y[5DE,求tanZABD的值.

第5題圖

類型四角平分線模型

1.(2016寧波10分)如圖，已知。O的直徑/8=10,弦ZC=6,的平

分線交。O于點D,過點D作DEYAC交AC的延長線于點E.

(1)求證：DE是。。的切線;

(2)求。E的長.

第1題圖

2.(2016張家界6分)如圖，是OO的直徑,。是。。上的一點，直線朋N經(jīng)

過點C,過點4作直線的垂線，垂足為點。，且NC平分

(1)求證：直線WN是。。的切線；

(2)若/。=4,AC=5,求。。的直徑.

第2題圖

3.(2016武漢8分)如圖，點C在以Z8為直徑的。。上，與過點。的切

線垂直，垂足為。，交。。于點E

(1)求證：/C平分ND48;

(2)連接BE交/C于點R若co$NC4O=/求器的值.

第3題圖

4.(2015西寧)如圖，已知8c為。。的直徑，84平分NF8C交。。于點4,

RDRA

。是射線8尸上的一點，且滿足需=能.過點。作。M_L4C于點E,交。。于

15ADC

點"，連接BA/,AM.

(1)求證：是。。的切線；

3

(2)若比〃AM=6,求。。的半徑.

第4題圖

5.(2016巴彥淖爾12分)如圖，在△48C中，ZC=90°,的平分線交

/C于點E,過點E作8E的垂線交N8于點R是△5EF的外接圓.

(1)求證：NC是。。的切線;

(2)過點E作E/AL/8,垂足為〃，求證：CD=HF；

(3)若CZ)=1,EH=3,求8E及/E長.

第5題圖

答案

類型一等腰三角形模型

1.(1)證明：如解圖，連接。。、BD,

?.?8C是。。的直徑，

第1題解圖

Z.ZBDC=90°,

：.BD±AC,

?：AB=BC,

：.AD=CD,

?：OB=OC,

為△NBC的中位線，

J.OD//AB,

'：DE±AB,

：.DE±OD,

又「。。為。。的半徑，

.?.0E是。。的切線；

(2)M：'：AB=BC,

：.ZA=ZC,

CF2

在Rt/\CFD中，CO$C=^B=COS/=W，

設(shè)C尸=2x,貝UC0=3x,

DF=7(3X)2—(2x)2=y[5x,

.,.小x=3/，解得x=3,

：.CD=9,

CD2

在Rt/\BCD中，?:cosC=口廠，

JDCJ

327

???8C=鏟9=g,

27

即。。的直徑為奇.

2.(1)證明：如解圖，連接力。、OD.

??Z8是。。的直徑，

第2題解圖

，ZJZ)5=90°,

又..[。力瓦

:.CD=BD,

5L'：OA=OB,

...8是△N8C的中位線，

.,.OD//AC,

XVZ)F±JC,

J.DFLOD,

又：。。是。。的半徑，

尸是。。的切線；(6分)

(2)解：?.?在放△")產(chǎn)中，tanZCDF=^=^=y-

；.NCDF=30。,

AZC=60°,則△N8C為等邊三角形，

：.ZODB=60°,

又，：OD=OB,

...△80。為等邊三角形，

，ZDOB=60°,

OD=BD=CD=^/CF2+DF2=^/12+(^3)2=2,

.60—222

??S扇形080=-360—=]兀'

?:在RtAODG中，NZ>OG=60。，

：.DG=y[3OD=2y[3,

S△DOG=]DG.OD=￥Qx2"\[^,

2

?'?S陰影=S^OOG-S扇形O8￡)=2、/§—產(chǎn)(12分)

3.(1)解：?！芭c。。相切.理由如下:

第3題解圖

如解圖，連接O。、AD,

?.18為直徑，

AZJ￡>5=90°,ADLBC,

'：AB=AC,

：.BD=CD,

'：AO=BO,

二。。為△/BC的中位線，

J.OD//AC,

?:DHL4C,

：.OD±DH,

又「。。是。。的半徑，

為。。的切線；(4分)

(2)證明：連接。E,如解圖，

???四邊形ABDE為。。的內(nèi)接四邊形，

，ZDEC=NB,

?:AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZDEC=ZC,

：.DE=CD,

'：DH±CE,

：.CH=EH,即〃為CE的中點；(7分)

(3)解：在放△4DC中，CD=^BC=5,

.".AC=5\[5,

在RtACDH中，?.7。5。=器=坐,

：.CH=y15,

：.CE=2CH=2y/5,

:.AE=AC—CE=5小—2小=3小.(10分)

4.(1)證明：如解圖，連接。0,

第4題解圖

?：0D=0B,

：.Z0DB=ZB,

?:BC=AC,

?*.NA=NB,

：./0DB=/A,

：.OD//AC,

?：OB=OC,

：.BD=AD,

即點。是48的中點；

(2)解：與。。相切.證明如下:

?：0D〃AC,DE工AC,

J.DELOD,

又：。。為。。的半徑，

為。。的切線；

(3)解:連接CD,如解圖，

???8C為直徑，

,Z5DC=90°,

，CZ)=A/BC2-BD2=^/32-12=2^2,

2/2

在放△8DC中，sinB=~^;=,

DCQ3

DE

:?sinA=XB=sinB,

?：AD=BD=L

.DE2小

,,丁=3'

.rw2小

??DIL3.

5.(1)證明：如解圖，連接。。，

?:AB為OO的直徑，

第5題解圖

，ZADB=90°,

J.ADLBC,

?:AB=AC,

：.DB=DC,

'：OA=OB,

二。。為△NBC的中位線,

：.OD//AC,

'：DELAC,

：.ODLDE,

又為半。。的半徑，

是。。的切線；

(2)證明：是。。的切線,

：.ZODB+ZBDF=90°,

'：OD=OB,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZOBD+ZBDF=90°,

又ZDAB+ZOBD=90°,

，/DAB=/BDF,

,//BFD=NDE4,

：.AFDBsAFAD；

(3)解：?：NDAC=/DAB,ZAED=ZADB=9Q°,

，ZADE=ZABD,

sin/ADE=x1W?-=)wD=sinZABD,

AD4

?.口=三,

sinN4BD=At)DAB—10,

.\AD=8,

?：OD〃AE,

：./\FDO^/\FEA,

.OD_FO5_BF+5

**AE-FA,即交—BF+10'

90

：

.BF=7-

類型二弦切角模型

1.(1)證明：如解圖，連接。5,

第1題解圖

,:BD=BC,

：.ZCAB=ZBAD,

'：/EBD=/CAB,

：.ZBAD=ZEBD,

?.1。是。。的直徑，

,ZABD=90°,

'：OA=BO,

：.ZBAD=ZABO,

：./EBD=NABO,

：.ZOBE=NEBD+4OBD=ZABO+ZOBD=480=90。,

?..OB是。。的半徑，

.,.BE是。O的切線.(4分)

(2)解：如解圖，連接8,交OB于點F,設(shè)圓的半徑為火，

??1。為。。的直徑，

48=90。，

,:BC=BD,

C.OBLCD,

J.OB//AC,

'：OA=OD,

OF=^AC=2,

?.?四邊形ZCAD是圓內(nèi)接四邊形,

：.ZBDE=ZACB,

'：/DBE=NCAB,

，ADBES△CAB,

.DBDE

，，AC=BC,

即坐=用,

3\3

3

:.DE=q,

253

火2-/一］=(),

.,.Ri=-&=3,

?：/OBE=/OFD=9G0,

：.DF//BE,

.OFOoDE

OB

5

-

2R

R-3

R-

+-5

??R=3,

:.AD=2R=6,

VZDBE=ZBAE,NDEB=NBEA,

...ABDEsAABE,

?BEDE

,,AE=BE'

；.BE=qDExAE=]|x(2x3+|):斗五.(8分)

2.(1)證明：如解圖，連接CM,0D設(shè)

"3"

第2題解圖

VZABC:/ACB:ZADB=]：2：3,

/.ZADB=3x,ZACB=2x,

：.ZDAC=x,ZAOD=2ZABC=2x,

,,180°-2x

.?NO4D=2=90°-x,

ZOAC=90°-x+x=90°,

：.OA±AC,

又＜OA為00的半徑，

是。。的切線；(4分)

(2)解：：8。是。。的直徑，

，ZBAD=90°,

'：ZABC：NACB:ZADB=]：2：3,ZABC+ZADB=9Q°,

：.ZABC+3ZABC=9Q°,

解得N/8C=22.5。，

，//。8=67.5°,ZACB=45°,

：.ZG4Z)=22.5°.(8分)

3.(1)解：8C與。O相切.

證明：如解圖，連接O。,

D

第3題解圖

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

又平分N8ZC,

:./CAD=NBAD,

：.ZCAD=ZODA,

J.AC//OD,

VZC=90°,

：.ZBDO=90°,（3分）

:。。是。。的半徑，

.?.8C與OO相切；（4分）

（2）證明：?.【￡是。。的直徑，

二ZADE=9Q°,

'：ZODB=90°,

：.ZADO=/BDE,

*/ZDAO=ZADO,

，/DAB=NBDE,

?:NB=/B,

：.AABD^ADBE；（8分）

（3）解:設(shè)8E=x,則。8=x+2,AB=x+4,

在RtABOD中，。。58=器=率=平，

OBx+23

.吁鳴+逑

由AABDSADBE,得|^=器，即8。2=8七.34,

/.(^^x+^2^)2=x(x+4),

解得xi=-8(舍去)或X2=4,

.?./8=4+4=8,BD=4y[2,

R09"\/9

在RtAABC中，cosB=~^W=T~,

ADJ

.16小

??/5C/3，

4、歷

:.CD=BC—BD=+.(12分)

4.(1)證明：?.ZB是。。的直徑，

ZAEB=9Q°,：.ZEAB+ZEBA=9Q°,

■:/EDB=/EAB,NBDE=NCBE,:.NEAB=/CBE,

：.NABE+NCBE=90。,

：.BCLAB.

?.18是。。的直徑，

是。。的切線；(4分)

⑵證明：???8。平分N/8E,

:./ABD=/DBE,=,

：./DEA=/DBE,

,/NEDB=/BDE,

：.ADEF-ADBE,

.DEDF

,,DB=DE'

：.DE2=DFDB；(8分)

(3)解：如解圖,連接。O,

,:DO=OB,

：.ZODB=ZOBD,

第4題解圖

又,:/EBD=/OBD,

，/EBD=/ODB,

：.OD//BE,

.PD=PO

?，PE=PB,

'：PA=AO,

：.PA=AO=OB,

.P0=2

,?PB-?

.PD_2

,,瓦

.PD2

-PD+DE巧,

,:DE=2,

，產(chǎn)。=4.（12分）

5.證明：（1）：。片=刈/。,

■PA=PE

"PE~PC,

,//P=NP,

:.AR4EsAPEC;（2分）

（2）VAPAEsAPEC,

：.ZPEA=ZPCE,

'：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE,

如解圖①，連接8E,

c

第5題解圖①

?.78是。。的直徑，

，ZAEB=90°,

：.ZABE+ZBAE=90°,

又；ZABE=ZACE,

：.ZOAE+N/CE=90。，

，ZPEO=NPEA+ZOEA=ZPCE+ZOAE=90a,

即OEUE,（5分）

為。。的半徑，

...PE為。。的切線；（6分）

（3）如解圖②，過點。作OH±AC于點H,

第5題解圖②

則NN”O(jiān)=90。，

'：AB是。O的直徑，

，ZACB=ZAHO=90°,

：.BC//OH,（7分）

又：Z5=30°,

AZAOH=ZB=30°,AC=^AB=OA=OB,

OH=^OA=當4c.

1

"：AP=^AC,PE27=PA-PC,

3

：.PE2=PA-（PA+AO=^AC2,（8分）

：.PE=^-AC=OH,

在ADHO和△￡>￡1?中，

ZDHO=ZPED=90°

ZHDO=ZEDP,

OH=PE

:.ADHO咨ADEP（AAS）,（9分）

分)

類型三直角三角形模型

1.(1)證明：丁/C為。。的直徑,

，ZADC=90°,

，ZBDC=9Q0,

又?:ZACB=90°,

：.ZACB=ZBDC,

又：ZB=Z5,

，ABCDsABAC,

.BCBD

，，BA=BC,

即BC1=BABD；

(2)解：DE與。O相切.理由如下：

如解圖，連接。O,

第1題解圖

,/ZBDC=90°,E為8C的中點，

：.DE=CE=BE,

：.ZEDC=ZECD,

又?：OD=OC,

：./ODC=NOCD,

,：ZOCD+ZDCE=ZACB=90°,

：.ZEDC+ZODC^90°,即NEZ>0=90。,

：.DE1OD,

又為。。的半徑，

...OE與。。相切.

2.(1)證明：如解圖，連接OC,

第2題解圖

???8。是。。的切線，

/.ZABD=ZCBD+ZCBA=90°,

?:AB是。O的直徑，

AZACB=90°,ZJ+ZC5J=90°,

AZACO+ZBCO=90°,ZBCD=90°,

ZCBE=ZA,(2分)

?:E是BD中點，

：.CE=BE=^BD,

:./BCE=/CBE=/A,（3分）

"：OC=OA,

，NACO=ZA,

，/ACO=/BCE,

：.Z5C￡+Z5CO=90°,（5分）

即NOCE=90°,CELOC,

又YOC為GO的半徑，

是G）O的切線；（6分）

（2）解:VZACB=90°,

.,.J5=^AC2+BC2=^/42+22=24,

.BDBC21

?,to/?J=AB=AC=4=2,

BD=^AB=-\[5,（8分）

.?.CE=；3O=坐（10分）

3.（1）證明：如解圖，連接OD

,：ACLAB,

：.ZBAC=90°,即/O/E=90°.

在△ZOE與△OOE中，

第3題解圖

OA=OD

AE=DE,

OE=OE

，AJOE咨/\DOE(SSS),

：.ZOAE=ZODE=90°,

即ODtED.

又是。。的半徑，

是。。的切線；(4分)

(2)解：?.?(?￡=10,??75是直徑,

AZADB=9Q°,B|JADLBC.

又?.?由(1)知，/\AOE^/\DOE,

，/AEO=NDEO,

又,：AE=DE,

：.OE±AD,

：.OE//BC,

.OAOEl

，，AB=BC=2,

：.BC=2OE=20,即BC的長是20.(8分)

4.(1)證明：如解圖，連接Z。、OD,

第4題解圖

?.18是。。的直徑，

，ZADB=90°,

,:AB=AC,

垂直平分8C,E[JDC=DB,

為△8/C的中位線,

：.OD//AC,

'：DELAC,

C.ODLDE,

又是。。的半徑，

.?.0E是。。的切線；

(2)解：'JODLDE,DELAC,ZBAC=90°,

，四邊形ONE。為矩形，

"：OD=OA,

，四邊形為正方形，

.,.AE=AO,

?,/“叩A(chǔ)E1

.?ternNAB乜=入==不

(3)解：?.73是。。的直徑，

，N4ra=90。，

，ZABF+ZE4B=90°,

'：ZEAP+ZFAB=90°,

：.NEAP=/ABF,

:.tan/EAP=taw/ABE=/

EP1

在中，口一劣

AE=2,tanNEAP=A.HZ,

：.EP=\,

.,.^P=^AE2+EP2=V5.

5.(1)解：?.?對角線/C為。O直徑，

，ZADC=9Q°,

；.NCDE=90°；(2分)

(2)證明：如解圖，連接。。，

第5題解圖

?:/CDE=90。,F為CE中點,

：.DF=^CE=CF,

：./FDC=ZFCD.

又，：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

：.ZODC+ZFDC=ZOCD+ZFCD,

：.ZODF=ZOCF,

".'EC1AC,

：.ZOCF=90°,

：.ZODF=90°,

:。。為。。的半徑，

二。廠是。。的切線；(5分)

(3)解：由圓周角定理得N/BO=NZC。，

由(1)可知NN0C=NCr>E=9O。，由不難得到⑵可知NC40=NEC。,

,XADCsACDE,

.ADDC

?，CD=DE,

：.CD2=ADDE,

,:AC=2鄧DE,

故設(shè)。AD=b,

則AC=2/a,CD=y[^),

在Rt/\ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2,

即h2+（Vab）2=（2^/5a）2,

整理得（與產(chǎn)+）-20=0,

aa

解得2=4或：=—5（舍去），

dd

狀=2.（9分）

tun^.ABD—tun/A.CD=CD=

類型四角平分線模型

1.(1)證明：如解圖，連接。。,

第1題解圖

?.1。平分N比1C,

二ZDAE=ZDAB,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZODA=ZDAE,

：.OD//AE.(3分)

,：DEA.AC,

：.OD±DE,

又為。。的半徑，

是。。的切線；(5分)

(2)解：如解圖，過點。作于點R

易得AF=CF=^AC=3,

（9F=A/AO2-AF2=^/52-32=4,

ZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

，四邊形OEE。是矩形,

.?.OE=Ob=4.（10分）

2.(1)證明：如解圖，連接OC,

第2題解圖

'：OA=OC,

：.NBAC=/ACO.

?.1C平分N84D,

，ZBAC=ZCAD,

：.ZACO=ZCAD,

：.OC//AD,

又?：ADLMN,

：.OC±MN,

又為。。的半徑,

二直線A/N是。。的切線;（3分）

（2）解：VZADC=ZACB,ZBAC=ZCAD,

：.△ADCs”CB,

■ADAC

，，AC=AB,

.,O=AC!=25

,'AB~AD~4，

25

...G）O的直徑是m.（6分）

3.(1)證明：如解圖①，連接。C,

D

F..

第3題解圖①

?.?CD是。。的切線，

：.OC±CD,

'.'AD1.CD,

：.OC//AD,

：.ZDAC=ZOCA,

'：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZDAC=ZOAC,

平分ND48；(4分)

第3題解圖②

(2)解：如解圖②，連接8C,

'：AB是。O的直徑，

?*.ZACB=90°,