高等動力氣象期末復(fù)習(xí)筆記

目錄

大氣波動的穩(wěn)定性問題

§1波動穩(wěn)定性的基本概念

§2波動穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表達(dá)

§3靜力穩(wěn)定度

§4慣性穩(wěn)定度

§5正壓不穩(wěn)定

§6斜壓不穩(wěn)定

大氣中的地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程

§1地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的概念

§2大氣運動的可分性

§3地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的物理機(jī)制

§4正壓大氣中的地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程

§5適應(yīng)過程的終態(tài)

準(zhǔn)地轉(zhuǎn)動力學(xué)

§1正壓準(zhǔn)地轉(zhuǎn)動力學(xué)

熱帶大氣動力學(xué)簡介

一，特征

二，Kelvin波

大氣波動的穩(wěn)定性問題

主流理論：波動理論，且是線性的。

上學(xué)期已經(jīng)講過了：

波動的性質(zhì)、機(jī)制、求解波速一一討論傳播問題

天氣尺度的波動，控制日常天氣；對于這類天氣尺度系統(tǒng)，要研究:

它的發(fā)生、發(fā)展、移動的機(jī)制、規(guī)律。

能量學(xué)：涉及了天氣尺度的發(fā)生發(fā)展問題。

_||匕緯向平均氣流，大氣環(huán)流，基本氣流

v=v+v,\

II，：擾動，渦旋運動，波動

說明了：波動是疊加在基本氣流上；或稱基本氣流受擾動，會產(chǎn)生波動。

波動與大氣環(huán)流之間有關(guān)系：

A'——K-——D'

能量學(xué)的特點：

1）能量守恒，可以相互轉(zhuǎn)換；物理意義清楚；只需要考慮初態(tài)、終態(tài)。

2）過程未知。

本部分主要解決：

波動的發(fā)生、發(fā)展問題

§1波動穩(wěn)定性的基本概念

《流體力學(xué)》中：給一個擾動，有2種后果=

1）擾動發(fā)展，基本氣流由層流（有序）變化了，即基本氣流很不穩(wěn)定，擾動不

穩(wěn)定；

2）擾動消亡很快，或始終很小，基本氣流穩(wěn)定，擾動穩(wěn)定。

擾動是否穩(wěn)定，說明了波流相互作用｛擾動發(fā)展，能量一定是來自于基本氣流｝。

※流體力學(xué)側(cè)重的是基本氣流是否穩(wěn)定，（純粹是動力學(xué)問題）；而氣象上側(cè)重的

是波動是否穩(wěn)定，（動力、熱力問題）。

氣象上的基本氣流是大氣環(huán)流，而大氣環(huán)流本身狀態(tài)的變化并不決定于波，其它

因子（如層結(jié)）也會改變它。

如果波動或擾動（流體力學(xué)）能發(fā)展，那么這個波動就是不穩(wěn)定的；如果波動或

擾動（流體力學(xué)）不發(fā)展，即始終很小或衰減了，那么這個波動就是穩(wěn)定的。

從能量學(xué)來講，如果波動的動能K，增加了，則不穩(wěn)定。

具體的，還可以看出K，為什么是增加的。

---dit

uv'"(3ydM

du

若是均勻基流，則_=0=冗與K，無相互轉(zhuǎn)換，故波動是穩(wěn)定的。

dy

前面為討論波動的傳播特性，一直設(shè)“基流均勻”。

...至少必須有基本氣流的切變，才可能不等于Oo

即，基本氣流必須滿足一定條件，波動才能發(fā)展。

§2波動穩(wěn)定性的數(shù)學(xué)表達(dá)

中=

m

簡諧波：設(shè)單波解41=Aeikxcrt,-)=Aeikx(-wt)

VA=Const,

.??不能討論波的增強(qiáng)。

實際上，c或3可以是復(fù)數(shù)，則振幅隨時間可變。

證明如下:設(shè)它們是復(fù)數(shù)：C=+&iO=Ae**ct(-jekct產(chǎn)

AekCheikxct(-r)，

記工產(chǎn)，=//*()；

￡=0,則A*=—A—常量，擾動始終很小=穩(wěn)定如果]

[CHO，不論>0，還是<0=不穩(wěn)定

問題：為什么Ci<0,振幅A*l,但波動卻是不穩(wěn)定的呢？解釋：?.?振蕩解都是

共匏的，

dx2

―2=-kx,若k>0,表示的是受與位移相反的回復(fù)力的作用下的運動方程。

dt

對應(yīng)的特征方程是：1=~k

故波動解是：x=A新+Be7k.

=兩個特征解都是成對地、共也出現(xiàn)的：。士活8,>0

求出的波速一定是成對的共枕根：土iG=〃產(chǎn)/+當(dāng)t

T8時，無論是G>0還是G<0,都有：上式T8。

=只要CH0，波動就是不穩(wěn)定的。

波動是否穩(wěn)定，只要判斷Ci是否不等于0o

基于波解的基礎(chǔ)上，討論Rossby波的穩(wěn)定性的判據(jù)：

1）波動發(fā)展，波動不穩(wěn)定，CH0;

2）波動不發(fā)展，波動穩(wěn)定，C,=0

在討論重力內(nèi)波、慣性波的穩(wěn)定性時，不必求波解：重力內(nèi)波、慣性波：浮力

振蕩經(jīng)水平輻合輻散傳播，受力機(jī)制很清楚；不必從波解看，只要看回復(fù)力與位

移是否同向。

由此，可以得到：靜力穩(wěn)定度、慣性穩(wěn)定度。

而Rossby波的產(chǎn)生機(jī)制是B—效應(yīng):fv：f=f（y）和v_南北運動。

始終從渦旋場（運動學(xué)角度）討論Rossby波，而沒有具體討論其動力性質(zhì)一

受什么力回復(fù)回來的；所以只能從Ci是否等于0判別其穩(wěn)定性了。

§3靜力穩(wěn)定度

層結(jié)流體，受垂直擾動。

向上擾動：Pz（）l,膨脹，TI（注：這個過程很快，使T很快降到與T二樣,

總要使氣團(tuán)與外界氣壓一樣；而熱交換時間很長，故與外界熱交換很?。?/p>

\P=二準(zhǔn)靜力過程=

［干絕熱

個

z-----y-----/(z)\

|亍(z))

P(z)\

zo-----------------

平街位置，力=0

如上圖所示：

初始：Z0處，重力=浮力；p(z0)=6(zo),Tz(o)=Tz(o)

氣塊通過干絕熱過程，上升到z處，Tl,p~l；膨脹，對外作功，內(nèi)能1,71。

故z處氣團(tuán)所受的凈浮力的方向，取決于T旨，或?qū)?Pp哪個下降得塊。

dw1dP

—=-g-（對單位質(zhì)量氣團(tuán)）

dtpdt

單位體積：pdw=-pg-

dP

dtdt

由阿基米德定律知，一度=+￡)g

PP

dw

^g_RT-RTL=Lg

=dtp1

RT

dT

T-TZ（0）+6Z=7J（0）-Y。dZ

dz

由__z工zz

T=4。）+/=一（。）一

dwg存

=（Y、dd-）zdt

2俱YYl）=^in0

令N=

Tdz

f靜力穩(wěn)定度：完全取決于環(huán)境位溫e_的垂直分布。

dw~z，

=>=-N6dt

N>3力作負(fù)功，擾動減弱，層結(jié)是穩(wěn)定的；

|20,力不作功，層結(jié)是中性的；

f\N=

h"<o,力作正功，擾動得到能量而增強(qiáng)，層結(jié)不穩(wěn)定

如果從波解討論，即：

r2=—N2,r=-^4N2

\

,----6

一若｛|||NN22<>00，U^，，=rr+±iN,=N2ZbAeZ只有指數(shù)解，小什

BeiNt,NN為實數(shù)，振蕩解；為虛數(shù)。

注意說法：

可以說“層結(jié)”&“浮力振蕩”&“波動”，是穩(wěn)定還是不穩(wěn)定的。

§4慣性穩(wěn)定度科氏力作用下，慣性振蕩的穩(wěn)定性問題。

V

小

如上圖所示，運動軌跡是一個慣性圓；

如果僅受，由于不作功，K不會增加，故是穩(wěn)定的。ff

實際大氣，振蕩發(fā)生在基本氣流下：

1）均勻基流：一邊振蕩，一邊向下游運動；運動的性質(zhì)不變

2）切變基流（實際大氣）：

基本狀態(tài)：地轉(zhuǎn)平衡

=-,一定存在如下圖所示的氣壓場:

N一應(yīng)0

-f

-----Z-------傘-

耳(y)

—仇

---------------------------6

在X方向上，不存在不穩(wěn)定的問題。

'du/.

二工=加

u

-dV「

—=-fu=-/o（?_%）

dv

能-----------罌弱招鬻就則會

個vHF=fv

vHu而力到底在正還是硬方向上，

"---西)則取決于旃1基本氣流比的大小。

°若u＞Jg,則條＜0,即有回復(fù)力作用；

5

若*&,則黑＞0,K變大,可能不穩(wěn)定\dt

★靜力穩(wěn)定度：層結(jié)大氣中，垂直面內(nèi)；考慮重力和垂直向的壓力梯度力(浮力)

的合力的方向，與位移的方向的關(guān)系。

慣性穩(wěn)定度：水平面內(nèi)(南北向)；考慮科氏力和南北向的壓力梯度力的合力

的方向，與位移的方向的關(guān)系。

初始：環(huán)境—%(0)

質(zhì)點—此時不受擾動，?o=?g(0)

d第

后來，受到擾動到y(tǒng)處：環(huán)境—外()歹=垓(0)+T

dyy=o

du

質(zhì)點—uy()=uo+--ydy

dd

※注：一是局地變化；—是隨體變化。

dydy

※存在隨體變化的原因是：質(zhì)點在x方向上受科氏力作用,u隨y變化。

故=-亦(〃-/)=-%("o+/)o-?g

(0)--y)dtdy

dvdtfg

一==-7。

(f-)ydtdy

上式表明：南北方向所受的力：1)大小與位移成正比;

\>0n穩(wěn)定

中性

2)方向取決于/-{=0=

0/[<0=不穩(wěn)定

dvdu-

又由g-r—好-6?運

dxdydy

=>./--=./+<《g?，基本氣流的絕對渦度。

dy

???正如靜力慣性度取決于層結(jié)(背景)，慣性穩(wěn)定度也

取決于環(huán)境背景一一基本氣流的絕對渦度C『

一般地，實際大氣（北半球）：

%?10-4S-1,%>0,dttg--+01-1?10--5S1

y?106s

d

所以，一般都有Ci>o,為穩(wěn)定的。

—。檄

要使C〃=播———<0，不穩(wěn)定，/>o；

dy

條件有二：①力鏟>o,《g>o,故為氣旋性流動；

dy

du*

②>為,即基本氣流的南北向切變很大。

dy

。產(chǎn)在急流軸—

以北：

0；以南：0。

dt

=取決于環(huán)境亍與氣塊T哪個降得快;

dv_。鏟

慣性穩(wěn)定度：—=-7o<ay=-f0（J0--）y

dtdy

du

=取決于環(huán)境綺與氣塊u哪個大，而u的大小取決于_=fv0dt

※中尺度過程：重力波、慣性波、重力慣性波，在天氣圖上（時空都不行）觀測

不到。

※天氣圖上，只可見：1）天氣系統(tǒng)：Rossby波或氣旋反氣旋或槽脊系統(tǒng)

2）大氣環(huán)流

§5正壓不木急定----Rossby波的正壓不穩(wěn)定問題

V=V+V',即緯向平均運動+渦旋運動。

如果是正壓過程，只考慮

若是穩(wěn)定的，則是K'給基流能量：K'fR

若是不穩(wěn)定的，一定是基本氣流給Rossby波（

波動理論下）能量：K）K'

1.描寫Rossby波的方程：考慮8一效應(yīng)（主要機(jī)制）。

\dddd

+udx?+v“CP+v=0&―dt+/）=0

d

I

dvdu

IC=―――

dxdy

\dudv

|一+一=0

[dxdy

=水平無輻散下的渦度方程；非線性方程。

2.線性

化

設(shè)：u=tt()y+uxytv(,,),=vxyt'(,,)

且：w()yHConst=緯向切變的基本氣流：n-=w()y,^=0

M不隨z變化(因為是正壓大氣)。

X注：

上學(xué)期，在討論Rossby波傳播時，取的是緯向均勻的基本氣流，主要是

Dopplar效應(yīng)，而波和流沒有相互作用。

現(xiàn)在討論的是Rossby波的發(fā)生發(fā)展問題：

QU------f”>.0

{KK1,}=A^uv"dydxdy-,切變氣流下，能量發(fā)生相互轉(zhuǎn)化。

且基流也會影響波的傳播：均勻基流下，K是常矢量；非均勻基流，K變化，

波發(fā)生折射。

,如果基流是均勻的，則一定是穩(wěn)定的；如果波不穩(wěn)定，則基流一定是非均

勻的(一般是緯向切變的)。

_———dd

則：CCCC=+'，=-加,C'=n'-u，

dydxdy

把〃="()y+〃'和v=v',代入+=0,仍有：

dxdy

du'dv'

一+一=0

dxdy

'-2故可以引入流函數(shù)3，：〃，=一

,M=<'=VW'

dydx

對渦度方程線性化:

笈…Bv-=o

=+工州=。

引dtdx

=因+或）&v”，+（B一練）理=0.（*）

dtdxdydx

=變系數(shù)的偏微分方程。

3.下面設(shè)形式解：

以前，當(dāng)*=Co〃sf時，取1P'~/eik伏+-W/）；

但現(xiàn)在，

①3或c可能是復(fù)數(shù)；

方程系數(shù)是y的函數(shù)］

②}=中，一定是y的函數(shù)，且x方向上仍是均勻的y方向介質(zhì)（基流）不均勻］

故設(shè):中=▽（?**?-）,中（卜=4”（嚴(yán)且1=1（y）,c是復(fù)數(shù):Cr+iG，

故：WW+MJrz,,也是復(fù)數(shù),

且有dd

_='就4?',_ikc^',

dxdt

把它們代入方程(*)中，得到：

2dyd~r^V()ye'^+(0)/對+1()ye'Q=0

[-ike+[%"()][&%)+2dy

2+(P-Pl物)3=0

n-+[cw()](y-k+2方整理(降階排列)，得到:

d2it

p--

=ddyi)V2+(tt—dyci-=0

4.兩個邊條件

Rossby波發(fā)生在緯向剛性邊界組成的通道中,

=一元二階齊次變系數(shù)方程:

|\ddy^V2+(PH—dyci-攵2)中=0(*，)

I

|[MJ01)=中e2)=oT通道Rossby波的情況

這是齊次方程，會有零解；求取非零解的條件一一本征值問題。若系數(shù)為常系數(shù),

則可求本征值；但是現(xiàn)在為變系數(shù)的，這樣的本征值問題在數(shù)學(xué)上是不可解的。

而我們現(xiàn)在不要求解，只要知道Ci是否等于0,即求解GH0(不穩(wěn)定)的條件。

※雷利：1920飛，層流不穩(wěn)定問題；郭曉嵐：1949,提出正壓不穩(wěn)定理論。

雷利解：

令。=C+心耳=3+中小

rn.l_______r+'G-

則：=廠二?|2i

?cc

其中，6，=廣^，6，=/運

l?-clk-411H--C

這樣，方程(*')變?yōu)椋?/p>

ddy^V2,+iddyi'V2i+[(P-___ddyitti)(66,+i：)-2](MJ+中〃z,)=0

虛、實部分開，得到兩個方程：

ddy2^2r[k2-

2

(B-ddyu2)6-r(P-ddy-itz)6,邛=,0-*-?(1)實：-

22,222

虛：____ddy-[A：-(P-___ddytt2)6+,(P-___ddytt2)6AP=r0

一⑵

⑴中得到：dddy3')

2222

-[(P-dH2)6M+z(p-ddyU2)6r]=0

idyi-2dy

j22

(^iddy^2r-^rddy^2)^(P-ddyu2)bM=0

對上式從"T為積分，得到：

\ynddy^V1-1Pd2Vpi)dy-Jw2(B-ddyiui)62

dy=Oy——|I

(M2rdyi

y

\\idydddy^VrddyyVi)dy-J期2(0-ddyuLMidy

-Oj

(M-乜

(乜^Pr-M<^44?,)V2-JWM-dd^2H2)6M2力=0

由邊值：乜.3）=乜3）=0=中心2）=乜5），知上式右邊積分第一項的值

為0o

=；（B-煞）F^7?"=。

I1p^|?_c|

d2u

2

C^；—^Mdy=0

rl?-d2

要使波動不穩(wěn)定，即CHO,

d%

1B-dyr2

=必須-V,p2,-J0（必要條件）

u--c

d2u

P_dy22

=必須有：被積函數(shù)-；「Ml在積分區(qū)域內(nèi)變號（必要條件）

?■_C

[2*即B-___打2在積

分區(qū)域中變號。

根據(jù)Rolle中值定理，在區(qū)域中至少存在一點必01<%<力），使得:

d2tt

（P~砂2）尸=0

_顯——d（“d2H

由前面的慣性穩(wěn)定度判據(jù)：c〃=/-，=P--dy2dy

dy

=在區(qū)域中至少存在一點必3<”<%），基本氣流的絕對渦度的經(jīng)向梯度存在

零點；在這一點上，絕對渦度取極值。

總結(jié)：

要使Rossby波正壓不穩(wěn)定，必耍條件

必須在Rossby波的活動區(qū)域中，至少存在一點，在這一點上基本氣流的絕對渦

d%

度存在極值，或稱其經(jīng)向梯度為零，即（B-荀五）,《=0,H3<么<紇）。

※必要條件的含義：

①條件成立，不一定結(jié)論成立；

②結(jié)論成立，一定有條件成立；

③條件不成立，一定有結(jié)論不成立。

X“均勻基流下，Rossby波正壓穩(wěn)定”的原因是什么？

1）從判據(jù)上講：

d2tt

如果*=Const,（P-dy2）y>=BW0,Rossby波正壓穩(wěn)定。

2）從能量上講:

如果"=Co〃s/,Rossby波與基流間無相互作用，Rossby波不能得到能量，故

Rossby波不能發(fā)展，正壓穩(wěn)定。

從全球平均狀況講，K'—>OAK,即Rossby波正壓穩(wěn)定。

北半球：p>0

d2tt----------------------d2H

—2<0,故使得B--dy2>0比較容易；

dy

d2a------------------------d%

而使積分值為0,必然要求0--2有<0的部分，即一dy2>P>

0dy

d2tt

一2>0,即熱帶地區(qū)（下凹的）也有，但很少。

dy

§6斜壓不穩(wěn)定

在斜壓大氣中，Rossby波的不穩(wěn)定。

※正壓不穩(wěn)定過程，是指斜壓不穩(wěn)定過程，是指

斜壓大氣：p=fp7（,）,

表現(xiàn)的結(jié)果是：1）等壓面與等容面相交（《流體力學(xué)》）;

2）等壓面上溫度分布不均勻（《動力氣象》）。

則：1）從能量的角度看，具有有效位能，使波動發(fā)展，能量增加;

dH

2）有熱成風(fēng)存在，一#0

dp

3）各層大氣的運動是不一樣的。

風(fēng)場、溫度場隨p變化實際上是連續(xù)的，△〃一（）時；

但在處理中作垂直分層，層內(nèi)值相同，層與層之間值不相同。

垂直方向上分層：

1）目的：垂直方向大氣上下不同

2）精度：分得越細(xì)，精度越高

至少要分成2層；上下兩層不同，才能體現(xiàn)出大氣的斜壓性。

數(shù)值模式中：很少用2層模式，已經(jīng)用到了十幾層至二十幾層的模式了;

理論研究中：分得不必太多，多了反而會忽視掉物理本質(zhì)。

本節(jié)：

1）斜壓不穩(wěn)定的含義、條件、性質(zhì)、如何得到的。

2）如何處理斜壓大氣的有關(guān)問題。

采用p坐標(biāo)系下的絕熱無摩擦方程組：

\du+udu+vdu+（JQdu=-__。①=/v

|dtdxdydPdx

I

|dvdvdvdv。①

———⑺

\gt+ugx+vgy+dP=~——dy-fu

I

①RT

|一dp=-a=-____P

II

\du+dv+-dt0=0

|dxdydp

|。(d①)+〃。①)+v。(。①)-(j0)*=0

|3/dpdxdpdydp

I

|os=御—與層結(jié)有關(guān)的參數(shù)。。

Ildpdp

uv,,UJ,0,r；非線性方程。

線性化：

令〃=?()p+i/v',=M,ooco=',①=①+①',。oas=.$+s',

注：這里設(shè)基本氣流是隨p變化的：十二或)p,會引起斜壓不穩(wěn)定；而前面是

設(shè)：*="(?,體現(xiàn)了正壓不穩(wěn)定。

代入上面的方程組，得到：

dudu'50'+u=-+fv'

一⑴

dtdxdx

dv'dv。①'+u=—fu

一⑵

dtdxdy

du'dv'而'

~+~+—=0

dxdydp—

(。+tt-d)。①'+v'd(d①)-oto$'=0

dt___dxdp___dydp?①

□5%=0<=-QX+/v-=0;___Qt0

，3+淖)眄=0

dtdxdp

a麗一

--------------二一---------

v/5(5(P)=v___----()

dydpdpdydp

口基本氣流滿足原方程，把=￡0代入原方程組第二式，

［左邊=0

得到］獨

||右邊=_dy—fe

海

一=-fU,而u=()?——p

.d_

一(—fe)#0

°y°p

=（。+n-d）。①-fa-v'-OU）=0

dtdxdpdp

把方程（1）和方程（2）化為渦度方程，并且假設(shè)擾動與y無關(guān)（波動是一維）。

dd

一⑵一-⑴得到:

dxdydddv'du'

+e^=)—+f-+0M=0

dtdxdxdx

???波動或擾動與y無關(guān)

一一一一d—d—d'

dv'=dv'-du=《'，u=u+v=WW0,與L正壓不同。

dxdxdydxdxdy

從熱力學(xué)角度:

從動力學(xué)角度：低層低壓有輻合，由地轉(zhuǎn)關(guān)系知會產(chǎn)生氣旋；

高層高壓有輻散，由地轉(zhuǎn)關(guān)系知會產(chǎn)生反氣旋；500hPa——

相當(dāng)于正壓層，基本無輻散，3大；

在500hPa上Rossby波很清楚，0—效應(yīng)形成Rossby波。

槽前暖空氣，偏南風(fēng)；槽后冷空氣，偏北風(fēng)。溫度槽落后于高度槽。=

※西傾槽為何能發(fā)展？暖空氣上升，冷空氣下沉，

4tK',槽會發(fā)展；

另一方面，暖空氣上升，低層輻合加強(qiáng)；冷空氣下沉，高層輻合加強(qiáng)。能維持這

種西傾。

［斜壓作用----熱力的故：Rossby

波有2種機(jī)制維持］

［正壓作用一一P一效應(yīng)

。①'

1

準(zhǔn)地轉(zhuǎn)：M=；

fdx

a?doiL連續(xù)方程：

dxdp

代入渦度方程，得到：

2

(豆萬上/2皿Q由八

dtdxdxdpdx

從數(shù)學(xué)上講，2個未知量，單由此方程不可解；

從物理上講，沒有引入熱力過程，無法體現(xiàn)輻合輻散、垂直運動。

熱力學(xué)方程：

(d~+n-d-^'-oGJ「=0*2

dtdxdpdpdx

——。①，*2不同一/I產(chǎn)生水平輻合輻散作用，上下層不相同T上下層

由即T——'

3P

氣旋、反氣旋系統(tǒng)的c變化不同

T上下層為不同渦旋系統(tǒng)的形勢維持、發(fā)展變化。

分兩層：如下圖所示。

0PQ=O'

1-------滿度方程-----P1上層大氣

2熱力學(xué)方程——P2=1--

3撮度方程_—P3下層大氣

4P卡Poo一

把《寫在中間層上，＜「代表上層大氣的情況，c3,代表下層大氣的情況。

C3‘,①’3聲-說3n擾動的和基本氣流的上下層情況都不相同。

把相應(yīng)的渦度方程也分別寫到每一層的中間層上。

32,是聯(lián)系上下兩層渦旋系統(tǒng)《’的變化，把熱力學(xué)方程*2寫在層上。P2

3。'=0,3/=0=上下為剛性邊界。

※若分為9層，也是:

把《’和渦度方程*1寫在每層的中間層上，把3寫在兩層間的聯(lián)系處。

||dtH\(d2+PXX

d

f|(d+d。沏/2(。,)I+Pd^7

Gdx)詞①2、

?——)~111(她，

p

|dt?dxdx2-dpdx+。①X'3

=1

111(-^+ifyd-<920';f3+

—2(嗎4Xd

|d。。①，da

d

|dtdx)dx-dp

2X一(—H------)(-----)(—)一

|——=/2

'ddd(P'du

(do)')i

------d_=0-?描述上層大氣dp

Rossby波的變化

=/2(<9a)')3

=一下層dp

d

1(一十此一)(——)2-(一)?R-’2。0)s2'=

|[dtdxdpdpdx

[(<3+d①①i'd①/

+22-2①2=03s2

|[dtdxdpdpdx

用差分代替微分：

???在這些層上的這些量沒有記錄

?,?只能通過相鄰的有記錄的站點的這些量的值作內(nèi)插得到。

(JUT)1=U)0‘一32’二一332‘二2’

dpPQ-P2-A272Ap

f

(^W-)3=€9—2?，―2-——=-CO21

dp尸2-尸4-A2P2Ap

（叱）2=。7①/=①-\3'=斜壓項,顯示的是擾動隨高度的不同

dpP3-R2Ap

(__du-)2=啦一地二附一材1

dpP3-P\2Ap

作近似:

Ul=?L+①'2=①+1'①’3

22

產(chǎn)2層體現(xiàn)的是整層大氣的性質(zhì)，相當(dāng)于正壓層。

把它們代入上面的方程組，得到：

aaa2o;網(wǎng)f；\

(--U—)-------------

\dt+\dxdxi+Bdx=2ApUJ2

_-I

\\\(rd+

_覘Z)2

I

)+P=-U)

Idtdxdxidx2Ap2

||(一d+u\_+U3.一d)(0一'3①i')-(U3_-肛)一d(0+「①I)=2Apo0)x2'

|[dt2dx2dx

①/，①\32’；線性方程組，閉合的，可求解。

令：①-\Aeikxct(-)

①3二BCikxcl(-)

32'=Eeikxct(-)

三個振幅不同，位相不同。令A(yù),B為復(fù)數(shù)，

e.g.A=Aeo/6o,B=Beoo'

★如果A,B為實數(shù)，則：槽不傾斜，體現(xiàn)不出斜壓性。

代入上面的三個方程組，得到：

f||2]A-2ZA02pE=Oik

c[(-Hi)k+P

=IH汝c[(-+)k2+P]5+foiE=0

3

|2Ap

\-ikc(-抬)2+ikc(-tt\)B-△2pOSE=0

I

II

這是關(guān)于A,B,E的線性齊次代數(shù)方程組。

如果它有非零解，條件是：系數(shù)行列式=0,

2]o-.A

ikc[{+P

2

△P—

f2

即：0"C[(一拘)*+0]°=0

2Ap

-ikc(-it3)Aikc(f、)B-△2pOs

6

把行列式展開，并令入2=一。2

ov(2Ap)

※注：求解的目的是求出C,而且只要看G是否等于0。

=+(/2八22A：c)2+[2(P入F+-+2)(藥物)(3+2人~~k

C)]+4用3卅+-+P2(a1"3)(左2+入PA2)+21k(tt12

+計32)]0=

[k

※數(shù)學(xué)上，ax2+bx+c=0x=-b±b2-4ac,

2a

24ac>0,討論Rossby波是穩(wěn)定的。通過力

<0不穩(wěn)定

Pk2+\22=>c=

um-_________k2左2+2入2

±6★

6=左4（4BA224+2入22）-unk（2i\+?2-入?ku,T

+

um=u\_計3

2

-XX

L1

UT=H——風(fēng)的鉛直切變，即熱成風(fēng)強(qiáng)度或斜壓性強(qiáng)度。

2

使波動斜壓不穩(wěn)定，則c一定是復(fù)數(shù):

則6<0,c=±C,iCCi,,=4b

要使得6<0,一定要有：1）后項>0

且2）后項》前一項。

二

①6<0,必須有：2入2M2>0,左2<2入2,（一2"）2<2入2=1>2"

LA

A

令人=Lc---臨界波長，

則表明：若一個波長￡4一定是穩(wěn)定的。u短波易穩(wěn)定。

???k越小，町（2萬“）22入2越容易>0；且其數(shù)值越大，使6<0越容易

左+...長波容易發(fā)生斜壓

不穩(wěn)定。通常，乙取為3700km。

②L>Lc,〃r越大，后一項數(shù)值越大，6越容易（0,越容易產(chǎn)生斜壓不穩(wěn)定。

f~*穩(wěn)定性取決于ku,T★

圖像：

6<0與6>0的分界是：6=0

由6=4（卬入224+2A22）~=

unk（2iK+22-入kii）=0,k

\_

k4B2

得：___2入=1±（1-____U4TI）

24A

=如下圖像：

其中，縱軸---------2A2UT,橫軸---

___ki；P2入2

討論：

ki

1）當(dāng)—2>1.0,即L<￡c時，6>0,這樣的波動穩(wěn)定。

2A

2）0較小時（斜壓性小，風(fēng)切變?。眽盒匀?，所有波動穩(wěn)定。

3）隨著增大，不穩(wěn)定的波段擴(kuò)大。Ur

4）波長很長，即k很小的波動，需要有很強(qiáng)的斜壓性，才能穩(wěn)定。

!并非“波長越長，越易不穩(wěn)定”。

大氣中的地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程

※對于大尺度大氣運動，/??<<1,具有準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運動的特點，即：

-/AV-—^7p?0

p

=力近似平衡，加速度近似等于0,風(fēng)場變化小，水平近似無輻散，自由表面

近似無變化，氣壓場變化小。

準(zhǔn)地轉(zhuǎn)狀態(tài)下：風(fēng)場、壓力場變化緩慢。

問題：如果受到摩擦、非線性作用等擾動，地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)被破壞，會出現(xiàn)什么

情況？------非地轉(zhuǎn)

※實際運動方程：

FY-f/\V-1Np=V+V-\/V

pdt

--1

一7rAp——Vp?o

要使.p,即地轉(zhuǎn)平衡；

則要求很小，加速度很小。外

若由于摩擦或非線性作用（平流項WVP）很大，則地轉(zhuǎn)平衡被破壞。

非地轉(zhuǎn)：科氏力+壓力梯度力W0,

\dV

I一大

={dt

|［有穿越等壓線的運動一有輻合輻散

=風(fēng)、壓場快速調(diào)整，最終調(diào)整為地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)。

地轉(zhuǎn)關(guān)系：<=P”，即c?-H

=風(fēng)場與氣壓場之間有對應(yīng)關(guān)系：氣旋反氣旋與低壓高壓相對應(yīng)。

例：

1

1I高壓，初始時刻：有氣壓場無

風(fēng)場1p

\v=-O,/AT=0

1--

—VpfAV^O

=非地轉(zhuǎn)的（一。一），加速度大，風(fēng)、壓場不平衡。

Pp指向外，產(chǎn)生輻散運動，D>0,則:

--V

1）高壓減弱，Pp減??；

2）由渦度方程知：輻散?反氣旋渦度增加，形成反氣旋，產(chǎn)生向內(nèi)的科氏力。

--1

-A<-----V

開始，反氣旋不強(qiáng)，科氏力也較小，即P,fVp；

故仍繼續(xù)輻散，反氣旋渦度繼續(xù)增加；

----▽D&J-A

直到P/V相平衡，=達(dá)到新的地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)。

§1地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程的概念

當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)平衡被破壞后，風(fēng)壓場進(jìn)行快速調(diào)整（時間尺度在104s量級），達(dá)到新

的地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)，稱為“地轉(zhuǎn)適應(yīng)過程”；是一個很快的，由不平衡到平衡的

過程。

準(zhǔn)地轉(zhuǎn)狀態(tài)下的緩慢變化過程，稱為“地轉(zhuǎn)演變過程”；是一個慢過程。

實際的天氣過程，是由演變過程和適應(yīng)過程組成的；

演變過程：緩慢，時間尺度N105s?天；適應(yīng)過程：快速，時間尺度?lO,s。

2

非地轉(zhuǎn)非地轉(zhuǎn)

適應(yīng)適應(yīng)

演變演變

實際天氣圖上，看不到非地轉(zhuǎn)；

是?.?不是全球尺度的，而是局地的；又?.?快速變化，非地轉(zhuǎn)一旦出現(xiàn)，很快又

會變成地轉(zhuǎn)的。

§2大氣運動的可分性(階段性)

時間尺度上的可分性：一個是快過程，一個是慢過程。

以具有自由表面的正壓大氣為模型，方程為：

\dudududh

\t+u+vdy=.fv-g-dx

d

I

\dvdvdvdh

\+u+v=-fu-g一\dtdx

dydy

\dhdhdhdudv

|一+u—+v—+h(—+—)=0

dydxdy

下面要做的是：

★求適應(yīng)過程和演變過程的時間尺度一一尺度分析

兩個原則：1)方程左、右兩邊尺度相

同

2)一個方程中最大尺度項至少有2項

令6=%+“'」＜＜|%],即正壓表面的擾動＜＜自由表面靜止時的深度

3

故：h(-dtt+-^v)=-H-dv)=Hfr^dudv)

dxdydxdydxdydxdy

??.0;CgHo,無基流下的重力外波的波速Co

=h(du+dv)=c^(du+dv)

dxdygdxdy

Vv=vg+v,危-g一=0

dx

dh

=>jv-g-=/v(-vg)甲尸J鮑礴墓也轉(zhuǎn)。

dx

dudv.duf5v\觸dv

—+—=>(——+——)+(--+--)

I—LI-\dxdydxdydxdy

※注：|v|?|卜巾時,地轉(zhuǎn)偏差很強(qiáng)，"非地轉(zhuǎn)；，

。①——1。①-----

口以二-----\fdy-------fdx，/=/M)

dug1d①2dvg___1dfd^

一=-,=-+Qsin(|)

dxfddxydyfdydx

d〃gdvg1df1。①

+=-?=-vg___

dxdyfad^fdx

dudvdudv'vg

=—十—=L+「——噩。

dxdydxdya

1d①2

fddxycos(|)

\dududu

\+u+v=fv'\dtdx

dy

||<3vdvdv

這樣，方程變?yōu)?/p>

+u+v=-"

4

\dtdxdy

I。①u。4v。①C2(dii+dv-vgctg^)=0

I+++o

|ldtdxdydxdya

*

令力=vuy=vv\t=rt\0f=ff,

u=Vu，*,M=PV*,(,)xy=Lx(*/*),

①=fVL.^\Vg=VVg；V-="=①~fVLOg

dy

(寫成“特征量義無量綱量”的形式)代入方程：

[Vdu*V2*du**du***

\b+L(wdx*+vdy*)=f^fvo''—T(1)「

Id

\Vdv*Vi*dv**dv***

IT+~(u—+yF=-fVfu.一-(2)

|TdtLdxdy

—/1***

11fLV^rgdVL/fLVa/￡u*。①dx*+u*0①Oy*)-gHVao8ctgu。g*

I

||=-gHVL^(ddux1^^ddvy'**)->->(3)

l

用(l),(2)//%;(3)*￡VgHIs°u變方程(1),(2),(3)為無量綱方程，得到：

11du*V_t_du**_dv*VI**|*+

(w*+v*)=fv|TdtfLodx

dyV

||1dv*V*dv**dv*V**

=|T+—(u-+v~^)=--fu'

5

對大尺度大氣運動,

V

Ro-1O'!

fL。|TfodtfL0dx

rI-------

E=-10°|

V

對于適應(yīng)過程，f

V-lOo

F=L

方程變?yōu)椋?

(||ddut**o*ddux**v?dduy**)=d

Efvc*'￡+&〃(+①